Çoklu Kümelerde (Tekrarlı) Permütasyon
Permütasyonu bir kümenin elemanlarının her bir farklı dizilişi olarak tanımlamıştık. Tanım gereği bir eleman bir kümede yalnız bir kez bulunabildiği için bir kümenin permütasyonlarında da bir eleman sadece bir kez yer alabilir.
Bazı durumlarda aynı elemanı birden fazla kez içeren kümelerin farklı dizilişlerini de bulmak isteyebiliriz ve bu amaçla kümeler konusunun sonunda kısaca bahsettiğimiz Çoklu Küme kavramını kullanabiliriz. Kısaca hatırlatmak gerekirse çoklu kümelerde normal kümelerden farklı olarak bir eleman birden fazla kez yer alabilir.
Çoklu kümelere standart permütasyon formülünü uyguladığımızda birbirinin aynısı dizilişler elde ederiz, dolayısıyla çoklu kümeler için farklı bir permütasyon formülü kullanmamız gerekir.
\( n \) bir çoklu kümenin eleman sayısı,
\( p, q, r \) özdeş elemanların çoklu kümede bulunma sayıları olmak üzere,
\( \text{Permütasyon sayısı} = \dfrac{n!}{p!\cdot q!\cdot r!} \)
4 özdeş matematik, 3 özdeş fizik ve 2 özdeş türkçe kitabından oluşan 9 elemanlı \( A \) çoklu kümesinin farklı permütasyonları:
\( A = \{ M, M, M, M, F, F, F, T, T \} \)
\( \text{Permütasyon sayısı} = \dfrac{9!}{4! \cdot 3! \cdot 2!} \)
DERSPRESSO kelimesinin harflerinden oluşan 10 elemanlı \( B \) çoklu kümesinin farklı permütasyonları
\( B = \{ D, E, R, S, P, R, E, S, S, O \} \)
\( \text{Permütasyon sayısı} = \dfrac{10!}{2! \cdot 2! \cdot 3!} \)
115777 sayısındaki rakamlardan oluşan 6 elemanlı \( C \) çoklu kümesinin farklı permütasyonları
\( C = \{ 1, 1, 5, 7, 7, 7 \} \)
\( \text{Permütasyon sayısı} = \dfrac{6!}{2! \cdot 3!} \)
8 kere yazı tura attığımızda kaç farklı şekilde 4 yazı ve 4 tura gelebilir?
Çözümü Göster
Dikkat edilirse çoklu kümeler için permütasyon formülünün normal formülden farkı, toplam permütasyon sayısını her bir özdeş elemanın tekrar sayısı kadar faktöriyeline bölüyor olmamızdır. Aşağıda iki örnek ile çoklu kümelerin permütasyon formülünün mantığını açıklamaya çalışacağız.
Bir Elemanın Kümede İki Kez Yer Aldığı Durum
Farklı 4 harften oluşan bir kümenin elemanlarını kullanarak 4 harfli \( 4! = 24 \) farklı kelime oluşturabiliriz. Bu 4 harf içinde tekrarlayan harfler varsa (yani bu harfleri içeren küme bir çoklu küme ise) bu 24 kelimenin bazıları birbirinin aynısı olacaktır.
Aşağıda KİVİ kelimesi için oluşturulan tabloda görülebileceği gibi, tüm harflerin farklı olması durumunda elde edeceğimiz 24 farklı kelime 2 harfin aynı olduğu durumda 12'ye inmektedir. Bunun sebebi 24 farklı dizilişte özdeş elemanların kendi aralarında yer değiştirdiği her \( 2! = 2 \) permütasyonun tek bir permütasyona inmesidir.
Bir Elemanın Kümede Üç Kez Yer Aldığı Durum
Benzer bir örneği aynı harfin 3 kez geçtiği ARABA kelimesi için de deneyebiliriz. Normalde harfleri farklı 5 harfli bir kelime ile yazabileceğimiz farklı kelime sayısı \( 5! = 120 \) iken bir harfin 3 kez tekrarladığı durumda bu sayı 20'ye düşmektedir. Bunun sebebi 120 farklı dizilişte özdeş elemanların kendi aralarında yer değiştirdiği her \( 3! = 6 \) permütasyonun tek bir permütasyona inmesidir.
