Permütasyonu bir kümenin elemanlarının her bir farklı dizilişi olarak tanımlamıştık. Küme tanımı gereği bir eleman bir kümede yalnız bir kez bulunabildiği için belirli bir permütasyonda da sadece bir kez yer alabilir.
Kümeler konusunun sonunda kısaca değindiğimiz çoklu kümelerde ise elemanlar birden fazla kez (tekrarlı) bulunabilir, dolayısıyla belirli bir permütasyonda çoklu kümede bulundukları adetlerde yer alabilirler.
Tekrar eden elemanların bulunduğu kümelerin tüm dizilişlerinde birbirinin aynısı dizilişler elde edildiği için çoklu kümeler için farklı bir permütasyon formülü kullanılır.
TEKRARLI PERMÜTASYON:
\( n \) bir çoklu kümenin eleman sayısı,
\( n_1, n_2, \ldots, n_k \) kümedeki \( k \) farklı elemanın çoklu kümede bulunma sayıları olmak üzere,
Permütasyon sayısı \( = \dfrac{n!}{n_1!\ n_2! \ldots n_k!} \)
\( A \) kümesi \( n \) elemanlı bir çoklu küme olsun.
\( A \) kümesindeki \( k \) farklı elemana \( a_1, a_2, \ldots, a_k \) ve bu farklı elemanların çoklu kümede bulunma sayılarına \( n_1, n_2, \ldots, n_k \) diyelim.
Farklı elemanların kümede bulunma sayılarının toplamı \( A \) kümesinin eleman sayısını verir.
\( n_1 + n_2 + \ldots + n_k = n \)
Oluşturulacak farklı dizilişlerdeki her basamağı birer kutu olarak düşünelim. Tekrarlı permütasyon problemini bu noktada bir kombinasyon problemi olarak kurgulayalım.
Birinci adım: \( n_1 \) adet özdeş \( a_1 \) elemanını yerleştirmek için \( n \) kutu arasından \( n_1 \) kutu \( C(n, n_1) \) farklı şekilde seçilebilir.
İkinci adım: \( n_2 \) adet özdeş \( a_2 \) elemanını yerleştirmek için kalan \( n - n_1 \) kutu arasından \( n_2 \) kutu \( C(n - n_1, n_2) \) farklı şekilde seçilebilir.
Üçüncü adım: \( n_3 \) adet özdeş \( a_3 \) elemanını yerleştirmek için kalan \( n - n_1 - n_2 \) kutu arasından \( n_3 \) kutu \( C(n - n_1 - n_2, n_3) \) farklı şekilde seçilebilir.
Son adım: \( n_k \) adet özdeş \( a_k \) elemanını yerleştirmek için kalan \( n - n_1 - \ldots - n_{k - 1} \) kutu arasından \( n_k \) kutu \( C(n - n_1 - \ldots - n_{k - 1}, n_k) \) farklı şekilde seçilebilir.
Tüm bu seçimler birbirinden bağımsız olduğu için, yukarıda bulduğumuz ifadelerin çarpımı \( a_1, a_2, \ldots, a_k \) elemanlarının tümünün \( n \) kutuya farklı yerleştirme sayısını verir.
\( 1! = 1 \) olduğu için çoklu kümede sadece 1 kez yer alan elemanlar permütasyon formülünde paydaya dahil edilmeyebilir.
İki örnekle çoklu kümelerin permütasyon formülünün mantığını açıklamaya çalışalım.
KİVİ kelimesinin tekrarlı permütasyonları
4 harfli KİVİ kelimesinin harflerinin standart permütasyon formülüne göre \( 4! = 24 \) dizilişi vardır, ancak "İ" harfi kelimede iki kez bulunduğu için bu dizilişlerin bazıları birbirinin aynısıdır.
"İ" harfleri her dizilişte kendi aralarında \( 2! = 2 \) şekilde yer değiştirebilir ve bu yer değiştirmeler farklı bir diziliş oluşturmaz, dolayısıyla 24 diziliş \( 2! = 2 \)'şerli gruplandığında farklı diziliş sayısı olan \( \frac{4!}{2!} = 12 \) bulunur.
ARABA kelimesinin tekrarlı permütasyonları
5 harfli ARABA kelimesinin harflerinin standart permütasyon formülüne göre \( 5! = 120 \) dizilişi vardır, ancak "A" harfi kelimede üç kez bulunduğu için bu dizilişlerin bazıları birbirinin aynısıdır.
"A" harfleri her dizilişte kendi aralarında \( 3! = 6 \) şekilde yer değiştirebilir ve bu yer değiştirmeler farklı bir diziliş oluşturmaz, dolayısıyla 120 diziliş \( 3! = 6 \)'şarlı gruplandığında farklı diziliş sayısı olan \( \frac{5!}{3!} = 20 \) bulunur.
SORU 1:
DERSPRESSO kelimesinin harfleri ile 10 harfli kaç farklı kelime yazılabilir?
Her yazı-tura atışının sonucunu "Y" ya da "T" olarak kodlayalım. Buna göre örneğin önce 4 yazı sonra 4 tura gelen senaryoyu "YYYYTTTT" şeklinde ifade edebiliriz.
Bu durumda soruyu 4 "Y" ve 4 "T" harfinden oluşan 8 elemanlı bir çoklu kümenin permütasyon sayısı olarak kurgulayabiliriz.
İstenen koşulu sağlayacak şekilde birer tane 8, 4 ve 0 rakamını sayının son 3 basamağına yerleştirelim.
Kalan \( 0, 4, 4, 8 \) rakamlarını kullanarak 4 basamaklı kaç farklı sayı yazabileceğimizi hesaplayalım.
0 rakamını 1. basamağa yazamayacağımız için bu 4 rakam \( 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 18 \) farklı şekilde dizilebilir.
Bu dizilişler içinde 4 rakamı iki kez bulunduğu için bu rakamlar aralarında yer değiştirdiğinde yeni bir sayı oluşmaz, dolayısıyla tekrarlı permütasyon formülü gereği bulduğumuz sayıyı \( 2! \)'e bölmeliyiz.
Yazılabilecek 7 basamaklı ve \( 840 \) ile biten sayı adedi:
Ceylin 4 haneli telefon şifresini doğum tarihindeki rakamlar olan 1, 4, 5, 8, 9 rakamlarını kullanarak ve her zaman 2 rakam aynı olacak şekilde oluşturuyor.
Şifresini her hafta bu kurala uygun şekilde değiştiren Ceylin, kaç hafta sonunda daha önce kullandığı bir şifreyi tekrar kullanmadan yeni şifre oluşturamaz?
Şifrede kullanılmak üzere 5 rakam içinden 3 rakam \( C(5, 3) = 10 \) farklı şekilde seçilebilir.
Seçilen 3 rakam içinden 2 kez kullanılacak olan rakam \( C(3, 1) = 3 \) farklı şekilde seçilebilir.
Bu iki seçim sonucunda 4 haneli ve 2 rakamı aynı olan bir şifre (tekrarlı permütasyon formülü ile) \( \frac{4!}{2!} = 12 \) farklı şekilde oluşturulabilir.
Buna göre Ceylin belirlediği kurala uygun şekilde \( 10 \cdot 3 \cdot 12 = 360 \) farklı şifre oluşturabilir, dolayısıyla 360 hafta sonunda daha önce kullandığı bir şifreyi tekrar kullanmadan yeni şifre oluşturamaz.
Bu rakamlar ile 5 basamaklı kaç sayı oluşturulabileceğini tekrarlı permütasyon formülü ile bulalım.
\( \dfrac{5!}{3!} = 5 \cdot 4 = 20 \)
"2", "4" ve "5" rakamlarının sayıları arasında 3:1:1 oranı vardır ve rakamların oluşturulacak sayıların her basamağında kaç kez bulunacağı bu orana göre belirlenir.
Buna göre oluşturulabilecek 20 sayının her basamağında 12 kez "2", 4 kez "4" ve 4 kez "5" kullanılır.
Bu 20 sayının birler basamağındaki rakamların toplamı \( 12 \cdot 2 + 4 \cdot 4 + 4 \cdot 5 = 60 \) olur.
20 sayının onlar basamağında da aynı rakamlar aynı sayıda bulunacağı için bu basamaktaki rakamların basamak değerlerinin toplamı \(60 \cdot 10 = 600 \) olur.
Benzer şekilde, 20 sayının yüzler basamağındaki rakamların basamak değerlerinin toplamı \(60 \cdot 100 = 6000 \) olur.
Benzer şekilde, 20 sayının binler basamağındaki rakamların basamak değerlerinin toplamı \(60 \cdot 1000 = 60000 \) olur.
Benzer şekilde, 20 sayının on binler basamağındaki rakamların basamak değerlerinin toplamı \(60 \cdot 100000 = 6000000 \) olur.
Bu basamak değerlerinin tümünü topladığımızda 20 sayının toplamını elde ederiz.
\( 600000 + 60000 + 6000 + 600 + 60 = 666660 \)
Sayıların ortalamasını bulmak için sayıların toplamını 20'ye bölelim.
111 sayısının rakamları kullanılarak yazılabilecek 3 basamaklı sayıların sayısı tekrarlı permütasyon formülü ile \( \frac{3!}{3!} = 1 \) olarak bulunur.
Durum 2: 2 rakam aynı, 1 rakam farklı
Bu duruma uyan rakam kümeleri 10 tanedir:
122, 133, 144, 155, 166, 177, 188, 199, 224, 339
122 sayısının rakamları kullanılarak yazılabilecek 3 basamaklı sayıların sayısı tekrarlı permütasyon formülü ile \( \frac{3!}{2!} = 3 \) olarak bulunur.
10 farklı rakam kümesi için \( 10 \cdot 3 = 30 \) farklı sayı yazılabilir.
Durum 3: 3 rakam da farklı
Bu duruma uyan rakam kümeleri 2 tanedir:
236, 248
236 sayısının rakamları kullanılarak yazılabilecek 3 basamaklı sayıların sayısı \( 3! = 6 \) olarak bulunur.
2 farklı rakam kümesi için \( 2 \cdot 6 = 12 \) farklı sayı yazılabilir.
İstenen koşulu sağlayan toplam \( 1 + 30 + 12 = 43 \) farklı sayı yazılabilir.
Bir anne, okula göndereceği 4 çocuğunun her birine önce çorap, sonra ayakkabı giydirip en son bağcıklarını bağlayacaktır. Çorap, ayakkabı giydirme ve bağcık bağlama sırası her çocuk için aynı olsa da anne bu 12 işlemi herhangi bir sırada yapabilmektedir.
Örnek: 1. çocuk çorap, 2. çocuk çorap, 1. çocuk ayakkabı, 3. çocuk çorap, 1. çocuk bağcık, 2. çocuk ayakkabı, ...
Buna göre anne bu işlemleri kaç farklı sırada yapabilir?
1. çocuğa ait çorap, ayakkabı ve bağcığa 1-1-1, diğer çocuklara ait çorap, ayakkabı ve bağcığa da 2-2-2, 3-3-3 ve 4-4-4 diyelim.
Buna göre yapılması gereken 12 işlem aşağıdaki gibi olur.
111222333444
Soruda verilen örnek sıralama için diziliş aşağıdaki gibi olur.
121312......
Bu durumda soru 3'er tane 1, 2, 3 ve 4 sayısının farklı diziliş sayısı problemi şeklinde kurgulanabilir.
Örneğin belirli bir dizilişteki birinci 1 sayısı annenin 1. çocuğa çorap giydirmesine, ikinci 1 sayısı 1. çocuğa ayakkabı giydirmesine, üçüncü 1 sayısı da 1. çocuğun bağcıklarını bağlamasına karşılık gelir.
Tekrarlı permütasyon formülü ile bu sayıların farklı diziliş sayısını bulalım.
\( \dfrac{12!}{3!\ 3!\ 3!\ 3!} = \dfrac{12!}{(3!)^4} \) bulunur.
