Dairesel Permütasyon
Dairesel permütasyon bir kümenin elemanlarının doğrusal bir sıra/raf üzerinde değil, dairesel bir masa, kolye ya da anahtarlık etrafında farklı dizilişlerini inceler.
Saat Yönü Gözetilerek
\( n \) elemanlı bir kümenin elemanlarının yuvarlak bir düzende ve saat yönü gözetilerek (örneğin yuvarlak masa) dizildiği durumda, herhangi bir koltuğu diğerlerinden ayıran bir özellik olmadığı ve belirli bir oturma düzeninde herkes birer koltuk kaydığında diziliş değişmediği için doğrusal permütasyon formülünün sonucunu toplam koltuk sayısına bölmemiz gerekir.
\( n \) koltuk/eleman sayısı olmak üzere,
Dairesel diziliş ve saat yönü gözetildiği durumda,
Permütasyon sayısı \( = \dfrac{n!}{n} = (n - 1)! \)
Aşağıdaki şekilde belirli bir oturma düzeninde herkes saat yönünde birer koltuk kaydığında yeni bir oturma düzeni oluşmadığı gösterilmiştir, dolayısıyla doğrusal permütasyon formülünde koltuk sayısı kadar birbirinin aynısı oturma düzeni oluşmaktadır.
\( 6 \) kişi yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilir?
Çözümü Göster
\( 4 \) evli çift bir yuvarlak masada yemek yiyeceklerdir. Kadınlar ve erkekler kendi aralarında yan yana oturmak şartıyla kaç farklı oturma düzeni vardır?
Çözümü Göster
Anne, baba ve 3 çocuktan oluşan bir aile yuvarlak bir masa etrafında akşam yemeği yiyeceklerdir.
Aile anne ve baba yan yana olmayacak şekilde masaya kaç farklı şekilde oturabilir?
Çözümü Göster
Yukarıdaki dairesel permütasyon formülü herhangi bir koltuğu diğerlerinden ayıran bir özellik olmadığı varsayımına dayanmaktadır. Masada diğer koltuklardan farklı olarak tanımlayabileceğimiz bir koltuk varsa (başkan koltuğu, pencerenin yanındaki/kapıya yakın koltuk vb.) herkes birer koltuk kaydığında da yeni birer oturma düzeni oluştuğunu düşünmemiz gerekir, dolayısıyla böyle bir durumda doğrusal permütasyon formülünün sonucunu toplam koltuk sayısına bölmemize gerek yoktur.
\( n \) koltuk/eleman sayısı olmak üzere,
Dairesel diziliş ve saat yönü gözetildiği durumda, bir koltuğu diğerlerinden ayıran bir özellik varsa,
Permütasyon sayısı \( = n! \)
Saat Yönü Gözetilmeden
\( n \) elemanlı bir kümenin elemanlarının yuvarlak bir düzende ve saat yönü gözetilmeden (örneğin kolye, anahtarlık) dizildiği durumda, belirli bir diziliş düzeni bulunduğu düzlem etrafında ters çevrildiğinde diziliş değişmediği için dairesel permütasyon ile hesapladığımız sayıyı ikiye bölmemiz gerekir.
Dairesel diziliş ve saat yönü gözetilmediği durumda,
Permütasyon sayısı \( = \dfrac{(n - 1)!}{2} \)
Aşağıdaki şekilde saat yönünün gözetilmediği durumda belirli bir diziliş düzeni bulunduğu düzlem etrafında ters çevrildiğinde dizilişin değişmediği gösterilmiştir.
Yukarıdaki formül anahtarlığın üzerinde anahtarlar için bir referans noktası olarak tanımlayabileceğimiz bir nesne olmadığı varsayımına dayanmaktadır. Eğer anahtarlık üzerinde böyle bir nesne varsa (maskot vb.) anahtarları birer kaydırdığımızda da yeni birer diziliş oluştuğunu düşünmemiz gerekir, dolayısıyla böyle bir durumda doğrusal permütasyon formülünün sonucunu ikiye bölmemiz yeterlidir.
Dairesel diziliş ve saat yönü gözetilmediği durumda, referans noktası olabilecek bir nesne varsa,
Permütasyon sayısı \( = \dfrac{n!}{2} \)
8 farklı anahtar maskotsuz bir anahtarlığa kaç farklı şekilde dizilebilir?
Çözümü Göster
8 farklı anahtar maskotlu bir anahtarlığa kaç farklı şekilde dizilebilir?
Çözümü Göster