Bir parametrik denklemde bir bağımlı değişkenin diğerine göre türevi, bu değişkenlerin denklemin parametresine göre türevlerinin oranına eşittir.
Bir parametrik denklemin belirli bir \( t = a \) değeri için türevlenebilir olması için \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin \( t \) cinsinden tanımları bu noktada türevlenebilir olmalıdır.
Bir parametrik denklemde bağımlı değişkenlerden birinin diğerine göre ikinci türevini, birinci türevin aynı formülle tekrar türevini alarak elde edebiliriz. İkinci türevde paydanın birinci türevle aynı olduğuna ve paydanın ikinci türevinin alınmadığına dikkat edilmelidir.
Türevin parametrik denklemlerdeki bazı uygulamaları aşağıdaki gibidir.
Eğim Bulma
Türevin eğim anlamı parametrik denklemler için de geçerlidir. Buna göre \( t \) parametresine bağlı bir parametrik eğriye \( t = a \) değerinin karşılık geldiği \( (x(a), y(a)) \) noktasında çizilen teğetin eğimi denklemin birinci türevinin \( t = a \) için değerine eşittir.
ÖRNEK 1:
Aşağıda denklemi verilen parametrik eğriye \( t = \frac{\pi}{4} \) değerine karşılık gelen noktada çizilen teğet doğrunun eğimini hesaplayalım.
Buna göre \( t = \frac{\pi}{4} \) değeri parametrik eğride \( (2\sqrt{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2}) \) noktasına karşılık gelir ve eğriye bu noktada çizilen teğetin eğimi \( -\frac{3}{4} \) olur.
Parametrik eğrinin grafiği ve bu noktadaki teğeti aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
Durağan Noktaları Bulma
Bir fonksiyonun birinci türevinin tanımlı ve sıfır olduğu noktalara durağan nokta denir. Bir durağan nokta yerel minimum/maksimum nokta olmak zorunda değildir, bir yatay büküm noktası da olabilir.
Bir parametrik denklemin durağan noktaları kartezyen denklemlerinde olduğu gibi \( y \) değişkeninin \( x \) değişkenine göre türevinin sıfır olduğu noktalarda oluşur.
\( \dfrac{dy}{dx} = 0 \)
Parametrik denklemin türev formülü düşünüldüğünde, durağan noktalar \( y \) değişkeninin parametreye göre türevinin sıfır olduğu, ama \( x \) değişkeninin parametreye göre türevinin sıfırdan farklı olduğu noktalardır.
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} = 0 \)
\( \Longrightarrow \dfrac{dy}{dt} = 0 \)
\( \Longrightarrow \dfrac{dx}{dt} \ne 0 \)
ÖRNEK 2:
Aşağıdaki parametrik denklemin durağan noktalarını bulalım.
\( x(t) = -t^2 + 2t + 9 \)
\( y(t) = 3t^4 - 4t^3 - 12t^2 + 15 \)
Değişkenlerin parametreye göre türevini alalım.
\( \dfrac{dx}{dt} = -2t + 2 \)
\( \dfrac{dy}{dt} = 12t^3 - 12t^2 - 24t \)
\( = 12t(t - 2)(t + 1) \)
Değişkenlerin birbirine göre türevini bulalım.
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} \)
\( = \dfrac{12t(t - 2)(t + 1)}{-2(t - 1)} \)
Eğrinin durağan noktaları birinci türev sıfır olduğunda oluşur.
\( \dfrac{dy}{dx} = 0 \)
Bu koşul \( y \)'nin parametreye göre türevi sıfırken \( x \)'in parametreye göre türevinin sıfırdan farklı olmasını gerektirir.
Bu \( t \) değerlerinden hiçbiri \( \frac{dx}{dt} \) ifadesini sıfır yapmadığı için eğrinin \( t = -1 \), \( t = 0 \) ve \( t = 2 \) değerlerinde durağan noktaları vardır.
Bu \( t \) değerlerinde oluşan \( (x, y) \) noktalarını bulalım.
Buna göre \( t = -1 \) değerindeki \( (6, 10) \), \( t = 0 \) değerindeki \( (9, 15) \) ve \( t = 2 \) değerindeki \( (9, -17) \) noktaları eğrinin durağan noktalarıdır.
Parametrik eğrinin grafiği ve durağan noktaları aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
Dikkat edilirse \( x = 9 \) noktasında farklı \( t \) değerleri için birbirinden farklı iki durağan nokta oluşmuştur.
Benzer şekilde, bir parametrik denklemin dikey durağan noktaları (yani eğim açısının 90° ve değerinin tanımsız olduğu noktalar) \( x \) değişkeninin \( y \) değişkenine göre türevinin sıfır olduğu noktalarda oluşur.
Yatay durağan noktalara benzer şekilde, dikey durağan noktalar \( x \) değişkeninin parametreye göre türevinin sıfır olduğu, ama \( y \) değişkeninin parametreye göre türevinin sıfırdan farklı olduğu noktalardır.
\( \dfrac{dx}{dy} = 0 \)
\( \Longrightarrow \dfrac{dx}{dt} = 0 \)
\( \Longrightarrow \dfrac{dy}{dt} \ne 0 \)
SORU 8:
Aşağıdaki parametrik denklem bir cismin zamana bağlı konumunu vermektedir.
\( t \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x(t) = t^4 - 2t^2 \)
\( y(t) = t^2 - 2t \)
Buna göre bu aracın tamamen durduğu bir nokta olup olmadığını, varsa bu noktanın koordinatlarını bulunuz.
Bir parametrik eğriye bir noktada çizilen teğetin \( y \) eksenine paralel olması için o noktada \( x \) değişkeninin \( y \) değişkenine göre türevi sıfır olmalıdır.
\( \dfrac{dx}{dy} = \dfrac{dx/dt}{dy/dt} = 0 \)
Bu türev formülünün sıfır olabilmesi için \( \frac{dx}{dt} = 0 \) ve \( \frac{dy}{dt} \ne 0 \) olmalıdır.
\( \dfrac{dx}{dt} = 0 \)
\( -2t + 2 = 0 \)
\( t = 1 \)
Bu değerin \( \frac{dy}{dt} \) ifadesin sıfır yapıp yapmadığını kontrol edelim.
\( \dfrac{dy}{dt} = -3t^2 + 8 \)
\( \dfrac{dy}{dt}|_{t=1} = -3(1)^2 + 8 = 5 \)
Buna göre \( t = 1 \) değerindeki noktada eğriye çizilen teğet \( y \) eksenine paralel olur.
\( t = 1 \) için \( (x, y) \) koordinatlarını bulalım.
\( x(1) = -1^2 + 2(1) + 3 = 4 \)
\( y(1) = -1^3 + 8(1) = 7 \)
Eğriye çizilen teğetin \( y \) eksenine paralel olduğu nokta \( t = 1 \) değerindeki \( (4, 7) \) noktasıdır.
Parametrik eğrinin grafiği ve bu noktada çizilen teğet aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
Buna göre eğri üzerinde \( \theta = \frac{\pi}{8} \) değerindeki noktanın kartezyen koordinatları \( (\frac{\sqrt{2}}{2}, 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) \) olur ve eğriye bu noktada çizilen teğet doğrunun eğimi \( m_t = 1 \) olur.
Bir noktadaki teğet ve normal doğrular birbirine dik olduğu için eğimlerinin çarpımı -1 olur.
\( m_t \cdot m_n = -1 \)
\( 1 \cdot m_n = -1 \Longrightarrow m_n = -1 \)
\( (\frac{\sqrt{2}}{2}, 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) \) noktasından geçen ve eğimi \( -1 \) olan doğrunun denklemini bulalım.
Bir parametrik denklemin durağan noktaları kartezyen denklemlerinde olduğu gibi \( y \) değişkeninin \( x \) değişkenine göre türevinin sıfır olduğu noktalarda oluşur.
Parametrik denklemin türev formülü düşünüldüğünde, durağan noktalar \( y \) değişkeninin parametreye göre türevinin sıfır olduğu, ama \( x \) değişkeninin parametreye göre türevinin sıfırdan farklı olduğu noktalardır.
Buna göre parametrik eğriye \( A \) noktasındaki teğet doğrunun eğimi \( \frac{3}{8} \) olarak bulunur.
\( A(4, -3) \) noktasından geçen ve eğimi \( \frac{3}{8} \) olan doğrunun denklemini bulalım.
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - (-3)) = \dfrac{3}{8}(x - 4) \)
\( 8y + 24 = 3x - 12 \)
\( 3x - 8y - 36 = 0 \)
İkinci adımda teğet doğru ile eğrinin tüm kesişim noktalarını bulalım.
Teğet doğrunun \( C \) eğrisi ile \( t \)'nin hangi değerlerinde kesiştiğini bulmak için parametrik eğri üzerindeki tüm noktaları temsil eden \( (t^2, \frac{6}{t}) \) sıralı ikilisini doğru denkleminde yerine koyalım.
\( 3x - 8y - 36 = 0 \)
\( 3t^2 - 8 \cdot \dfrac{6}{t} - 36 = 0 \)
\( 3t^3 - 48 - 36t = 0 \)
\( t^3 - 12t - 16 = 0 \)
İfadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( (t + 2)^2(t - 4) = 0 \)
Doğrunun parametrik eğriye \( t = -2 \) değerinde teğet olduğunu biliyoruz.
Buna göre doğru eğriyi tekrar \( t = 4 \) değerinde keser.
Eğri üzerinde \( t = 4 \) değerindeki noktanın kartezyen koordinatlarını bulalım.
\( x(4) = 4^2 = 16 \)
\( y(4) = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2} \)
Teğet doğrunun eğriyi tekrar kestiği noktanın kartezyen koordinatları \( (16, \frac{3}{2}) \) olarak bulunur.
Aşağıdaki şekilde \( C \) eğrisiyle \( 3x - 8y - 36 = 0 \) doğrusunun kesişim noktaları gösterilmiştir.
Bir fonksiyonun birinci türevinin tanımlı ve sıfır olduğu noktalara durağan nokta denir.
Bir parametrik denklemin durağan noktaları kartezyen denklemlerinde olduğu gibi \( y \) değişkeninin \( x \) değişkenine göre türevinin sıfır olduğu noktalarda oluşur.
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} = 0 \)
Parametrik denklemin türev formülü düşünüldüğünde, durağan noktalar \( y \) değişkeninin parametreye göre türevinin sıfır olduğu, ama \( x \) değişkeninin parametreye göre türevinin sıfırdan farklı olduğu noktalardır.
Yukarıdaki eğrinin parametrik denklemi aşağıda verilmiştir.
\( 0 \le t \lt 2\pi \) olmak üzere,
\( x(t) = \sin(t + \frac{\pi}{6}) \)
\( y(t) = 1 + \cos(2t) \)
Grafikte işaretli noktalardan \( A \), \( B \), \( C \) ve \( D \) eğrinin yatay durağan noktaları, \( E \) ve \( F \) dikey durağan noktaları, \( G \) ise eğrinin \( y \) eksenini kestiği noktadır.
Bir fonksiyonun birinci türevinin tanımlı ve sıfır olduğu noktalara durağan nokta denir.
İlk olarak eğrinin yatay durağan noktalarını bulalım.
Bir parametrik denklemin yatay durağan noktaları kartezyen denklemlerinde olduğu gibi \( y \) değişkeninin \( x \) değişkenine göre türevinin sıfır olduğu noktalarda oluşur.
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} = 0 \)
Parametrik denklemin türev formülü düşünüldüğünde, yatay durağan noktalar \( y \) değişkeninin parametreye göre türevinin sıfır olduğu, ama \( x \) değişkeninin parametreye göre türevinin sıfırdan farklı olduğu noktalardır.
\( (-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0) \) noktası \( x \) ekseni üzerinde ve negatif tarafta olduğu için bu nokta \( A \) noktasıdır.
İkinci adımda eğrinin dikey durağan noktalarını bulalım.
Bir parametrik denklemin dikey durağan noktaları \( x \) değişkeninin \( y \) değişkenine göre türevinin sıfır olduğu noktalarda oluşur.
\( \dfrac{dx}{dy} = 0 \)
Parametrik denklemin türev formülü düşünüldüğünde, dikey durağan noktalar \( x \) değişkeninin parametreye göre türevinin sıfır olduğu, ama \( y \) değişkeninin parametreye göre türevinin sıfırdan farklı olduğu noktalardır.