Parametrik Denklemlerin İntegrali
Bu bölümde parametrik denklemlerin bazı integral uygulamalarını inceleyeceğiz.
Bir Eğrinin Altında Kalan Alan
Kartezyen denklemlerinde kullandığımız eğrinin \( x \) ekseni ile arasında kalan alan formülüne değişken değiştirme uygulandığında, parametrik eğriler için alan formülü elde edilir.
\( x(t) \) integral aralığında monoton artan ve \( y(t) \ge 0 \) olmak üzere,
\( t_1 \le t \le t_2 \) aralığındaki alan:
\( A = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} y(t)x'(t)\ dt \)
İSPATI GÖSTER
İntegral konusunda \( y = f(x) \) şeklindeki bir fonksiyonun \( x \) ekseni ile arasında kalan alanın formülünün \( f(x) \ge 0 \) olduğu durum için aşağıdaki şekilde olduğunu ispatıyla birlikte göstermiştik.
\( A = \displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} \)
Bu fonksiyonun aşağıdaki şekilde parametrelendirildiğini varsayalım.
\( x = x(t), \quad y = y(t) \)
Değişken değiştirme yöntemi ile \( x \) değişkenine göre olan bu integrali \( t \) değişkenine çevirelim.
\( y = f(x) = y(t) \)
\( dx = x'(t)\ dt \)
İntegralin \( x = a \) ve \( x = b \) sınır değerlerini veren \( t \) parametre değerlerine \( t_1 \) ve \( t_2 \) diyelim.
\( a = x(t_1), \quad b = x(t_2) \)
Bu değerleri yukarıdaki integral ifadesinde yerine koyalım.
\( A = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} {y(t)x'(t)\ dt} \)
\( x(t) \) fonksiyonunun \( [t_1, t_2] \) aralığında monoton azalan olduğu durumda integral negatif alanı verir, bu durumda alan değerini bulmak için integral sonucunun negatifi alınır.
\( x(t) \) fonksiyonunun \( [t_1, t_2] \) aralığında monoton olmadığı durumda, aralık \( x(t) \) fonksiyonunun dönüm noktalarına göre alt aralıklara bölünmeli, elde edilen monoton aralıklarda integral ayrı ayrı alınmalıdır.
Bir parametrik denklemin \( x \) ekseni ile arasında kalan alanı bulurken verilen \( t \) değer aralığında aynı bölgenin birden fazla kez taranmadığından emin olunmalıdır. Örneğin \( t \in [0, 2\pi] \) aralığında ve saat yönünde taranan birim çemberin alanı (doğru şekilde) \( \pi \) olarak hesaplanırken \( t \in [0, 4\pi] \) aralığında (hatalı şekilde) \( 2\pi \) olarak hesaplanır.
Alan hesaplamasını bir örnek üzerinde gösterelim.
Aşağıda parametrik denklemi ve grafiği verilen eğrinin \( x \) ekseni ile arasında kalan alanı bulalım.
\( x(\theta) = \sin{\theta} \)
\( y(\theta) = \sin(2\theta) \)
Her iki koordinat fonksiyonu da tek fonksiyon olduğu için eğri orijine göre simetriktir.
Denklemlere \( s = \pi - \theta \) dönüşümü uygulayalım.
\( x(s) = \sin{s} = \sin(\pi - \theta) = \sin{\theta} = x(\theta) \)
\( y(s) = \sin(2s) = \sin(2\pi - 2\theta) = -\sin(2\theta) = -y(\theta) \)
\( x(s) = x(\theta) \) ve \( y(s) = -y(\theta) \) eşitlikleri sağlandığı için eğri \( x \) eksenine göre simetriktir.
Hem \( x \) eksenine hem de orijine göre simetrik olan eğri \( y \) eksenine göre de simetrik olur.
Parametrik eğri iki eksene göre de simetrik olduğu için sadece I. bölgedeki alanı bulup 4 ile çarpabiliriz.
Eğri \( \theta = 0 \) değerinde \( (0, 0) \) noktasından, \( \theta = \frac{\pi}{2} \) değerinde de \( (1, 0) \) noktasından geçer.
\( \sin{0}, \sin(2 \cdot 0)) = (0, 0) \)
\( \left( \sin{\dfrac{\pi}{2}}, \sin\left( 2 \cdot \dfrac{\pi}{2} \right) \right) = (1, 0) \)
Dolayısıyla I. bölgedeki alan için integrali \( \theta \in [0, \frac{\pi}{2}] \) aralığında almalıyız.
İntegral alan formülünü yazalım.
\( A = \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} y(\theta)x'(\theta)\ d\theta \)
\( x'(\theta) = \cos{\theta} \)
\( = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(2\theta)\cos{\theta}\ d\theta \)
Sinüs iki kat açı formülü ile \( \sin(2\theta) \) ifadesinin açılımını yazalım.
\( = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} 2\sin{\theta}\cos{\theta}\cos{\theta}\ d\theta \)
\( = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} 2\sin{\theta}\cos^2{\theta}\ d\theta \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \left( -\dfrac{2\cos^3{\theta}}{3} \right)\Bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} \)
\( = -\dfrac{2\cos^3{\frac{\pi}{2}}}{3} + \dfrac{2\cos^3{0}}{3} \)
\( = -0 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{3} \)
Buna göre parametrik eğrinin dört bölgede \( x \) ekseni ile arasında kalan toplam alan \( 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3} \) olur.
İki Eğrinin Arasında Kalan Alan
Parametrelendirmeleri farklı \( (x_1(t), y_1(t)) \) ve \( (x_2(t), y_2(t)) \) parametrik eğrilerinin arasında kalan alan, her iki eğri için hesaplanan alan değerlerinin farkına eşittir.
\( x_1(t) \) ve \( x_2(s) \) ayrı ayrı integral aralıklarında monoton artan ve \( y_1(t), y_2(s) \ge 0 \) olmak üzere,
\( A = \displaystyle\int_{a}^{b} {y_1(t)x_1'(t)\ dt} - \displaystyle\int_{c}^{d} {y_2(s)x_2'(s)\ ds} \)
Aşağıda parametrik denklemleri ve grafikleri verilen iki eğrinin kesişim noktaları arasında kalan alanı bulalım.
\( C_1: x_1(t) = t^2, y_1(t) = 2t \)
\( C_2: x_2(s) = 4s, y_2(s) = 4s^2 \)
Analitik uygulamalar bölümünde gördüğümüz yöntemi kullanarak iki eğrinin kesişim noktalarını bulalım.
\( x_1(t) = x_2(s) \)
\( t^2 = 4s \)
\( y_1(t) = y_2(s) \)
\( 2t = 4s^2 \)
Birinci denklemde \( s \)'yi yalnız bırakıp ikinci denklemde yerine koyalım.
\( s = \dfrac{t^2}{4} \)
\( 2t = 4\left( \dfrac{t^2}{4} \right)^2 \)
\( t(t^3 - 8) = 0 \)
\( t = 0 \Longrightarrow s = 0 \)
\( t = 2 \Longrightarrow s = 1 \)
Buna göre iki eğri sırasıyla \( t = 0 \) ve \( s = 0 \) değerlerinde geçtikleri \( (0, 0) \) ve \( t = 2 \) ve \( s = 1 \) değerlerinde geçtikleri \( (4, 4) \) noktalarında kesişir.
Taralı alan bu aralıkta üstte bulunan \( C_1 \) eğrisinin altında kalan alan ile altta bulunan \( C_2 \) eğrisinin altında kalan alanın farkına eşittir.
Bu alanlara sırasıyla \( A_1 \) ve \( A_2 \) diyelim.
\( A_1 = \displaystyle\int_0^2 {2t(t^2)'\ dt} \)
\( = \displaystyle\int_0^2 {4t^2\ dt} \)
\( = \left( \dfrac{4t^3}{3} \right)\Bigg|_0^2 = \dfrac{32}{3} \)
\( A_2 = \displaystyle\int_0^1 {4s^2(4s)'\ ds} \)
\( = \displaystyle\int_0^1 {16s^2\ ds} \)
\( = \left( \dfrac{16s^3}{3} \right)\Bigg|_0^1 = \dfrac{16}{3} \)
İki eğrinin arasında kalan alanı bulalım.
\( A = A_1 - A_2 = \dfrac{32}{3} - \dfrac{16}{3} = \dfrac{16}{3} \)
Yay Uzunluğu
Parametrik bir eğrinin belirli bir aralıktaki yay uzunluğu aşağıdaki formülle bulunur.
\( t_1 \le t \le t_2 \) aralığında eğrinin yay uzunluğu:
\( L = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2}\ dt \)
Yukarıdaki formülün kullanılabilmesi için \( x'(t) \) ve \( y'(t) \) fonksiyonları \( t \in [t_1, t_2] \) aralığında türevlenebilir olmalıdır.
Bir parametrik denklemin yay uzunluğunu bulurken verilen \( t \) değer aralığında aynı yayın birden fazla kez taranmadığından emin olunmalıdır. Örneğin \( t \in [0, 2\pi] \) aralığında birim çemberin yay uzunluğu (doğru şekilde) \( 2\pi \) olarak hesaplanırken \( t \in [0, 4\pi] \) aralığında (hatalı şekilde) \( 4\pi \) olarak hesaplanır.
Yukarıda gördüğümüz üzere, alan hesaplamasında sonucun işareti parametrik eğride hareketin yönüne bağlıdır. Yay uzunluğu hesaplamasında ise sonuç hareketin yönünden bağımsızdır.
Yay uzunluğu hesaplamasını bir örnek üzerinde gösterelim.
Aşağıda parametrik denklemi ve grafiği verilen eğrinin \( -2 \le t \le 2 \) aralığındaki yay uzunluğunu bulalım.
\( x(t) = \sqrt{3}t^2 \)
\( y(t) = t^3 - t \)
İntegral yay uzunluğu formülünü yazalım.
\( L = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2}\ dt \)
\( = \displaystyle\int_{-2}^2 \sqrt{(2\sqrt{3}t)^2 + (3t^2 - 1)^2}\ dt \)
\( = \displaystyle\int_{-2}^2 \sqrt{12t^2 + 9t^4 - 6t^2 + 1}\ dt \)
\( = \displaystyle\int_{-2}^2 \sqrt{9t^4 + 6t^2 + 1}\ dt \)
\( = \displaystyle\int_{-2}^2 \sqrt{(3t^2 + 1)^2}\ dt \)
\( = \displaystyle\int_{-2}^2 \abs{3t^2 + 1}\ dt \)
Mutlak değer içindeki ifade tüm reel sayılarda pozitiftir.
\( = \displaystyle\int_{-2}^2 (3t^2 + 1)\ dt \)
İfadenin integralini alalım.
\( = (t^3 + t)|_{-2}^2 \)
\( = (2^3 + 2) - ((-2)^3 + (-2)) \)
\( = 10 - (-10) = 20 \)
Aşağıda parametrik denklemi verilen eğrinin \( 0 \le t \le \pi \) aralığındaki yay uzunluğunu bulunuz.
\( x(t) = e^t\sin{t} \)
\( y(t) = e^t\cos{t} \)
Çözümü Gösterİntegral yay uzunluğu formülünü yazalım.
\( L = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2}\ dt \)
Türev çarpma kuralı ile denklemlerin türevini alalım.
\( = \displaystyle\int_0^{\pi} \sqrt{(e^t\sin{t} + e^t\cos{t})^2 + (e^t\cos{t} - e^t\sin{t})^2}\ dt \)
\( = \displaystyle\int_0^{\pi} \sqrt{e^{2t}(\sin^2{t} + 2\sin{t}\cos{t} + \cos^2{t}) + e^{2t}(\cos^2{t} - 2\sin{t}\cos{t} + \sin^2{t})}\ dt \)
\( = \displaystyle\int_0^{\pi} \sqrt{e^{2t}(1 + 2\sin{t}\cos{t}) + e^{2t}(1 - 2\sin{t}\cos{t})}\ dt \)
\( = \displaystyle\int_0^{\pi} \sqrt{2e^{2t}}\ dt \)
\( = \displaystyle\int_0^{\pi} \sqrt{2}e^{t}\ dt \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \sqrt{2}e^{t}|_0^{\pi} \)
\( = \sqrt{2}e^{\pi} - \sqrt{2}e^{0} \)
\( = \sqrt{2}(e^{\pi} - 1) \) bulunur.
Aşağıda parametrik denklemi verilen eğrinin \( 0 \le t \le 2\pi \) aralığındaki yay uzunluğunu bulunuz.
\( x(t) = \sin{t} - t\cos{t} \)
\( y(t) = \cos{t} + t\sin{t} \)
Çözümü Gösterİntegral yay uzunluğu formülünü yazalım.
\( L = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2}\ dt \)
Türev toplama ve çarpma kuralları ile denklemlerin türevini alalım.
\( = \displaystyle\int_0^{2\pi} \sqrt{(\cos{t} - \cos{t} + t\sin{t})^2 + (-\sin{t} + \sin{t} + t\cos{t})^2}\ dt \)
\( = \displaystyle\int_0^{2\pi} \sqrt{t^2\sin^2{t} + t^2\cos^2{t}}\ dt \)
\( = \displaystyle\int_0^{2\pi} \sqrt{t^2(\sin^2{t} + \cos^2{t})}\ dt \)
\( = \displaystyle\int_0^{2\pi} t\ dt \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \left( \dfrac{t^2}{2} \right)\Bigg|_0^{2\pi} \)
\( = \dfrac{(2\pi)^2}{2} - \dfrac{0^2}{2} \)
\( = 2\pi^2 \) bulunur.
Yüzey Alanı
Bir parametrik eğrinin \( [t_1, t_2] \) aralığında \( x \) ekseni ile arasında kalan bölgenin \( x \) ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan dönel cismin yanal yüzey alanı aşağıdaki formülle bulunur.
\( y(t) \ge 0 \) olmak üzere,
\( t_1 \le t \le t_2 \) aralığındaki yüzey alanı:
\( A = 2\pi \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} y(t)\sqrt{\left( \dfrac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \dfrac{dy}{dt} \right)^2}\ dt \)
Döndürme \( y \) ekseni etrafında olduğunda oluşan dönel cismin yanal yüzey alanı aşağıdaki formülle bulunur.
\( x(t) \ge 0 \) olmak üzere,
\( t_1 \le t \le t_2 \) aralığındaki yüzey alanı:
\( A = 2\pi \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} x(t)\sqrt{\left( \dfrac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \dfrac{dy}{dt} \right)^2}\ dt \)
Hacim
Bir parametrik eğrinin \( [t_1, t_2] \) aralığında \( x \) ekseni ile arasında kalan bölgenin \( x \) ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan dönel cismin hacmi aşağıdaki formülle bulunur.
\( x(t) \) integral aralığında monoton artan ve \( y(t) \ge 0 \) olmak üzere,
\( t_1 \le t \le t_2 \) aralığındaki hacmi:
\( V = \pi \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} [y(t)]^2x'(t)\ dt \)
Döndürme \( y \) ekseni etrafında olduğunda oluşan dönel cismin hacmi aşağıdaki formülle bulunur.
\( y(t) \) integral aralığında monoton artan ve \( x(t) \ge 0 \) olmak üzere,
\( t_1 \le t \le t_2 \) aralığındaki hacmi:
\( V = \pi \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} [x(t)]^2y'(t)\ dt \)
Aşağıda parametrik denklemi ve grafiği verilen eğri ile \( x \) ekseni ile arasında kalan taralı bölgenin alanını bulunuz.
\( 0 \le t \le 2\pi \) olmak üzere,
\( x(t) = 2t^2 \)
\( y(t) = 1 + \cos{t} \)
Önce eğrinin \( x \) eksenini hangi \( t \) değerinde kestiğini bulalım.
Eğrinin \( x \) eksenini kestiği noktalarda ordinat sıfır olur.
\( y(t) = 0 \)
\( 1 + \cos{t} = 0 \)
\( \cos{t} = -1 \)
\( t = \pi \)
Eğrinin \( y \) eksenini hangi \( t \) değerinde kestiğini bulalım.
Eğrinin \( y \) eksenini kestiği noktalarda apsis sıfır olur.
\( x(t) = 2t^2 = 0 \)
\( t = 0 \)
Buna göre taralı alan eğrinin \( t = 0 \) ve \( t = \pi \) değerleri arasındaki bölgeye karşılık gelir.
Parametrik denklemlerin alan formülünü yazalım.
\( x = x(t), y = y(t) \) olmak üzere,
\( 0 \le t \le \pi \) aralığındaki alan:
\( A = \displaystyle\int_0^{\pi} y(t)x'(t)\ dt \)
\( x'(t) = 4t \)
\( = \displaystyle\int_0^{\pi} (1 + \cos{t}) \cdot 4t\ dt \)
\( = \displaystyle\int_0^{\pi} 4t(1 + \cos{t})\ dt \)
Kısmi integral alma yöntemini kullanalım
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = 4t \)
\( dv = (1 + \cos{t})\ dt \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = 4\ dt \)
\( v = t + \sin{t} \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = u\ v - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( \displaystyle\int_0^{\pi} 4t(1 + \cos{t})\ dt = [4t(t + \sin{t})]|_0^{\pi} - \displaystyle\int_0^{\pi} 4(t + \sin{t})\ dt \)
\( = (4t^2 + 4t\sin{t})|_0^{\pi} - \displaystyle\int_0^{\pi} (4t + 4\sin{t})\ dt \)
Son terimin integralini alalım.
\( = (4t^2 + 4t\sin{t})|_0^{\pi} - (2t^2 - 4\cos{t})|_0^{\pi} \)
\( = [(4\pi^2 + 4\pi\sin{\pi}) - (4(0)^2 + 4(0)\sin{0})] - [(2\pi^2 - 4\cos{\pi}) - (2(0)^2 - 4\cos{0})] \)
\( = [(4\pi^2 + 0) - 0] - [(2\pi^2 + 4) - (0 - 4)] \)
\( = 2\pi^2 - 8 \) bulunur.
Aşağıda parametrik denklemi ve grafiği verilen eğrinin altında kalan taralı bölgenin alanını bulunuz.
\( t \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x(t) = 4 - 2t \)
\( y(t) = t(t + 3) \)
Önce eğrinin \( x \) eksenini kestiği noktaları bulalım.
Eğrinin \( x \) eksenini kestiği noktalarda ordinat sıfır olur.
\( y(t) = 0 \)
\( t(t - 3) = 0 \)
\( t = 0 \) ya da \( t = -3 \)
\( t = 0 \) için:
\( x(0) = 4 - 2(0) = 4 \)
\( t = -3 \) için:
\( x(-3) = 4 - 2(-3) = 10 \)
Buna göre eğri \( x \) eksenini \( A(4, 0) \) ve \( B(10, 0) \) noktalarında keser.
Eğrinin hangi \( t \) değerinde \( y \) eksenini kestiğini bulalım.
Eğrinin \( y \) eksenini kestiği noktalarda apsis sıfır olur.
\( x(t) = 0 \)
\( 4 - 2t = 0 \)
\( t = 2 \)
Buna göre taralı alan \( t = 2 \) ve \( t = 0 \) değerleri arasında oluşan eğrinin altında kalan alana karşılık gelir.
Parametrik denklemlerin alan formülünü yazalım.
\( x = x(t), y = y(t) \) olmak üzere,
\( A = \displaystyle\int_2^0 y(t)x'(t)\ dt \)
\( x'(t) = -2 \)
\( = \displaystyle\int_2^0 (t(t + 3)(-2))\ dt \)
\( = -\displaystyle\int_2^0 (2t^2 + 6t)\ dt \)
Sınırların yer değiştirmesi kuralını uygulayalım.
\( = \displaystyle\int_0^2 (2t^2 + 6t)\ dt \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \left( \dfrac{2t^3}{3} + 3t^2 \right)\Bigg|_0^2 \)
\( = \left( \dfrac{2(2)^3}{3} + 3(2)^2 \right) - \left( \dfrac{2(0)^3}{3} + 3(0)^2 \right) \)
\( = \left( \dfrac{16}{3} + 12 \right) - 0 = \dfrac{52}{3} \) bulunur.
Aşağıda parametrik denklemi ve grafiği verilen eğri ile \( x \) ekseni arasında kalan taralı alanın \( x \) ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmini bulunuz.
\( t \ge 0 \) olmak üzere,
\( x(t) = t^2 \)
\( y(t) = 4t - t^2 \)
Önce eğrinin \( x \) eksenini kestiği noktaları bulalım.
Eğrinin \( x \) eksenini kestiği noktalarda ordinat sıfır olur.
\( y(t) = 0 \)
\( 4t - t^2 = 0 \)
\( t(4 - t) = 0 \)
\( t = 0 \) ya da \( t = 4 \)
\( t = 0 \) için:
\( x(0) = 0^2 = 0 \)
\( t = 4 \) için:
\( x(1) = 4^2 = 16 \)
Buna göre eğri \( x \) eksenini \( O(0, 0) \) ve \( A(16, 0) \) noktalarında keser.
Buna göre taralı alan \( t = 0 \) ve \( t = 4 \) değerleri arasında oluşan eğrinin altında kalan alana karşılık gelir.
Parametrik denklemlerin hacim formülünü yazalım.
\( x = x(t), y = y(t) \) olmak üzere,
\( 0 \le t \le 4 \) aralığında \( x \) ekseni etrafında döndürülen cismin hacmi:
\( V = \pi\displaystyle\int_0^4 [y(t)]^2x'(t)\ dt \)
\( x'(t) = 2t \)
\( = \pi\displaystyle\int_0^4 (4t - t^2)^2 \cdot 2t\ dt \)
\( = \pi\displaystyle\int_0^4 (16t^2 - 8t^3 + t^4) \cdot 2t\ dt \)
\( = \pi\displaystyle\int_0^4 (32t^3 - 16t^4 + 2t^5)\ dt \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \pi\left( 8t^4 - \dfrac{16t^5}{5} + \dfrac{t^6}{3} \right)\Bigg|_0^4 \)
\( = \pi\left[ \left( 8(4)^4 - \dfrac{16(4)^5}{5} + \dfrac{4^6}{3} \right) - \left( 8(0)^4 - \dfrac{16(0)^5}{5} + \dfrac{0^6}{3} \right) \right] \)
\( = \pi\left[ \left( 2048 - \dfrac{16384}{5} + \dfrac{4096}{3} \right) - 0 \right] \)
\( = \dfrac{2048\pi}{15} \) bulunur.
Aşağıda parametrik denklemi ve grafiği verilen eğrinin \( y \) ekseni ile arasında kalan taralı bölgenin alanını bulunuz.
\( -\pi \le t \le \pi \) olmak üzere,
\( x(t) = 2\sin{t} \)
\( y(t) = t^2 \)
Önce eğrinin \( y \) eksenini kestiği noktaları bulalım.
Eğrinin \( y \) eksenini kestiği noktalarda apsis sıfır olur.
\( x(t) = 2\sin{t} = 0 \)
\( t \in \{-\pi, 0, \pi\} \)
\( y(-\pi) = \pi^2 \)
\( y(0) = 0^2 = 0 \)
\( y(\pi) = \pi^2 \)
Buna göre eğri \( y \) eksenini \( t = -\pi \) değerinde \( (0, \pi^2) \) noktasında, \( t = 0 \) değerinde \( (0, 0) \) noktasında ve \( t = \pi \) değerinde \( (0, \pi^2) \) noktasında keser.
Eğrinin yönünü bulmak için \( t \)'ye ara değerler verelim.
\( x\left( -\dfrac{\pi}{2} \right) = 2\sin{-\dfrac{\pi}{2}} = -2 \)
\( y\left( -\dfrac{\pi}{2} \right) = \left( -\dfrac{\pi}{2} \right)^2 = \dfrac{\pi^2}{4} \)
\( x\left( \dfrac{\pi}{2} \right) = 2\sin{\dfrac{\pi}{2}} = 2 \)
\( y\left( \dfrac{\pi}{2} \right) = \left( \dfrac{\pi}{2} \right)^2 = \dfrac{\pi^2}{4} \)
Buna göre istenen alan eğrinin \( t \in [0, \pi] \) aralığında \( y \) ekseni ile arasında kalan alanın 2 katıdır.
Parametrik denklemlerin \( y \) ekseni için alan formülünü yazalım.
\( x = x(t), y = y(t) \) olmak üzere,
\( 0 \le t \le \pi \) aralığındaki alan:
\( A = 2\displaystyle\int_0^{\pi} x(t)y'(t)\ dt \)
\( y'(t) = 2t \)
\( = 2\displaystyle\int_0^{\pi} 2\sin{t} \cdot 2t\ dt \)
\( = 8\displaystyle\int_0^{\pi} t\sin{t}\ dt \)
Kısmi integral alma yöntemini kullanalım
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = t \)
\( dv = \sin{t}\ dt \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = dt \)
\( v = -\cos{t} \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = u\ v - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( 8\displaystyle\int_0^{\pi} t\sin{t}\ dt = 8(-t\cos{t})|_0^{\pi} - 8\displaystyle\int_0^{\pi} -\cos{t}\ dt \)
\( = -8(t\cos{t})|_0^{\pi} + 8\displaystyle\int_0^{\pi} \cos{t}\ dt \)
Son terimin integralini alalım.
\( = -8(t\cos{t})|_0^{\pi} + 8(\sin{t})|_0^{\pi} \)
\( = -8(\pi\cos{\pi} - 0\cos{0}) + 8(\sin{\pi} - \sin{0}) \)
\( = -8(\pi(-1) - 0) + 8(0 - 0) \)
\( = 8\pi \) bulunur.
Aşağıda parametrik denklemi ve grafiği verilen eğrinin eksenlerle arasında kalan taralı alanı bulunuz.
\( t \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x(t) = t^2 + 2t \)
\( y(t) = t^3 - 16t \)
Önce eğrinin \( y \) eksenini kestiği noktaları bulalım.
Eğrinin \( y \) eksenini kestiği noktalarda apsis sıfır olur.
\( x(t) = 0 \)
\( t(t + 2) = 0 \)
\( t = 0 \) ya da \( t = -2 \)
\( y(0) = 0^3 - 16(0) = 0 \)
\( y(-2) = (-2)^3 - 16(-2) = 24 \)
Buna göre eğri \( y \) eksenini \( t = 0 \) değerinde \( (0, 0) \) noktasında ve \( t = -2 \) değerinde \( (0, 24) \) noktasında keser.
Eğrinin \( x \) eksenini kestiği noktaları bulalım.
Eğrinin \( x \) eksenini kestiği noktalarda ordinat sıfır olur.
\( y(t) = 0 \)
\( t^3 - 16t = 0 \)
\( t(t - 4)(t + 4) = 0 \)
\( t = 0 \), \( t = 4 \) ya da \( t = -4 \)
\( x(0) = 0^2 + 2(0) = 0 \)
\( x(4) = 4^2 + 2(4) = 24 \)
\( x(-4) = (-4)^2 + 2(-4) = 8 \)
Buna göre eğri \( x \) eksenini \( t = 0 \) değerinde \( (0, 0) \) noktasında, \( t = 4 \) değerinde \( (24, 0) \) noktasında ve \( t = -4 \) değerinde \( (8, 0) \) noktasında keser.
Parametrik denklemlerin alan formülünü yazalım.
Taralı alan \( t = -2 \) ve \( t = -4 \) aralığındaki bölgeye karşılık gelir.
\( x = x(t), y = y(t) \) olmak üzere,
\( -4 \le t \le -2 \) aralığındaki alan:
\( A = \displaystyle\int_{-4}^{-2} y(t)x'(t)\ dt \)
\( x'(t) = 2t + 2 \)
\( = \displaystyle\int_{-2}^{-4} (t^3 - 16t)(2t + 2)\ dt \)
\( = \displaystyle\int_{-2}^{-4} (2t^4 + 2t^3 - 32t^2 - 32t)\ dt \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \left( \dfrac{2t^5}{5} + \dfrac{t^4}{2} - \dfrac{32t^3}{3} - 16t^2 \right)\Bigg|_{-2}^{-4} \)
\( = \left( \dfrac{2(-4)^5}{5} + \dfrac{(-4)^4}{2} - \dfrac{32(-4)^3}{3} - 16(-4)^2 \right) - \left( \dfrac{2(-2)^5}{5} + \dfrac{(-2)^4}{2} - \dfrac{32(-2)^3}{3} - 16(-2)^2 \right) \)
\( = \left( \dfrac{-2048}{5} + 128 - \dfrac{-2048}{3} - 256 \right) - \left( \dfrac{-64}{5} + 8 - \dfrac{-256}{3} - 64 \right) \)
\( = \left( \dfrac{-2048}{5} + 128 - \dfrac{-2048}{3} - 256 \right) - \left( \dfrac{-64}{5} + 8 - \dfrac{-256}{3} - 64 \right) \)
\( = \dfrac{2176}{15} - \dfrac{248}{15} \)
\( = \dfrac{1928}{15} \) bulunur.
Aşağıda parametrik denklemi ve grafiği verilen eğri ile \( x = 11 \) doğrusu arasında kalan bölgenin alanını bulunuz.
\( t \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x(t) = t^2 + 2 \)
\( y(t) = 3t + 3 \)
Önce eğrinin \( x \) eksenini kestiği noktayı bulalım.
Eğrinin \( x \) eksenini kestiği noktalarda ordinat sıfır olur.
\( y(t) = 3t + 3 = 0 \)
\( t = -1 \)
\( x(-1) = (-1)^2 + 2 = 3 \)
Buna göre eğri \( x \) eksenini \( t = -1 \) değerinde \( A(3, 0) \) noktasında keser.
Eğrinin \( x = 11 \) doğrusunu kestiği noktaları bulalım.
\( x(t) = t^2 + 2 = 11 \)
\( t = \pm 3 \)
\( y(3) = 3(3) + 3 = 12 \)
\( y(-3) = 3(-3) + 3 = -6 \)
Buna göre eğri \( x = 11 \) doğrusunu \( t = 3 \) değerinde \( B(11, 12) \) ve \( t = -3 \) değerinde \( C(11, -6) \) noktalarında keser.
Parametrik denklemlerin alan formülünü yazalım.
Taralı alanı \( A_1 \) ve \( A_2 \) olmak üzere iki bölgeye ayıralım.
Önce \( A_1 \) alanını bulalım.
\( -1 \le t \le 3 \) aralığındaki alan:
\( A_1 = \displaystyle\int_{-1}^3 y(t)x'(t)\ dt \)
\( x'(t) = 2t \)
\( = \displaystyle\int_{-1}^{3} (3t + 3) \cdot 2t\ dt \)
\( = \displaystyle\int_{-1}^{3} (6t^2 + 6t)\ dt \)
İfadenin integralini alalım.
\( = (2t^3 + 3t^2)|_{-1}^3 \)
\( = (2(3)^3 + 3(3)^2) - (2(-1)^3 + 3(-1)^2) \)
\( = (54 + 27) - (-2 + 3) = 80 \)
\( A_2 \) alanını bulalım.
Bir fonksiyonun değerinin negatif olduğu (\( f(x) \lt 0 \)), yani grafiğinin \( x \) ekseninin altında kaldığı bir aralıktaki belirli integrali negatif işaretlidir. Alan pozitif bir büyüklük olduğu için, bu aralıkta fonksiyon grafiği ile \( x \) ekseni arasında kalan alan bu negatif integral değerinin ters işaretlisine eşittir.
\( A_2 = -\displaystyle\int_{-1}^{-3} (6t^2 + 6t)\ dt \)
İfadenin integralini alalım.
\( = -(2t^3 + 3t^2)|_{-1}^{-3} \)
\( = -[(2(-3)^3 + 3(-3)^2) - (2(-1)^3 + 3(-1)^2)] \)
\( = -[(-54 + 27) - (-2 + 3)] = 28 \)
Toplam alan bulduğumuz iki alanın toplamına eşittir.
\( A = A_1 + A_2 \)
\( = 80 + 28 = 108 \) olarak bulunur.
Aşağıda parametrik denklemi ve grafiği verilen eğri ile \( y \) ekseni arasında kalan alanın \( y \) ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmini bulunuz.
\( 0 \le t \le 2\pi \) olmak üzere,
\( x(t) = 2\sin{t} \)
\( y(t) = t^2 \)
Önce eğrinin \( y \) eksenini kestiği noktaları bulalım.
Eğrinin \( y \) eksenini kestiği noktalarda apsis sıfır olur.
\( x(t) = 2\sin{t} = 0 \)
\( t \in \{-\pi, 0, \pi\} \)
\( y(-\pi) = \pi^2 \)
\( y(0) = 0^2 = 0 \)
\( y(\pi) = \pi^2 \)
Buna göre eğri \( y \) eksenini \( t = -\pi \) değerinde \( (0, \pi^2) \) noktasında, \( t = 0 \) değerinde \( (0, 0) \) noktasında ve \( t = \pi \) değerinde tekrar \( (0, \pi^2) \) noktasında keser.
Eğrinin yönünü bulmak için \( t \)'ye ara değerler verelim.
\( x\left( -\dfrac{\pi}{2} \right) = 2\sin\left( -\dfrac{\pi}{2} \right) = -2 \)
\( y\left(-\dfrac{\pi}{2} \right) = \left( -\dfrac{\pi}{2} \right)^2 = \dfrac{\pi^2}{4} \)
\( x\left( \dfrac{\pi}{2} \right) = 2\sin{\dfrac{\pi}{2}} = 2 \)
\( y\left( \dfrac{\pi}{2} \right) = \left( \dfrac{\pi}{2} \right)^2 = \dfrac{\pi^2}{4} \)
Buna göre istenen hacim eğrinin \( t \in [0, \pi] \) aralığında \( y \) ekseni ile arasında kalan alanın \( y \) ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile elde edilir.
Parametrik denklemlerin \( y \) ekseni için hacim formülünü yazalım.
\( V = \pi\displaystyle\int_0^{\pi} [x(t)]^2 \cdot y'(t)\ dt \)
\( y'(t) = 2t \)
\( = \pi\displaystyle\int_0^{\pi} (2\sin{t})^2 \cdot 2t\ dt \)
\( = 8\pi\displaystyle\int_0^{\pi} t\sin^2{t}\ dt \)
Kosinüs iki kat açı özdeşliğini kullanalım.
\( \cos(2t) = 1 - 2\sin^2{t} \)
\( \sin^2{t} = \dfrac{1 - \cos(2t)}{2} \)
\( = 8\pi\displaystyle\int_0^{\pi} t\left( \dfrac{1 - \cos(2t)}{2} \right)\ dt \)
\( = 4\pi\displaystyle\int_0^{\pi} t\ dt - 4\pi\displaystyle\int_0^{\pi} t\cos(2t)\ dt \)
Birinci terimin integralini alalım.
\( = 4\pi\left( \dfrac{t^2}{2} \right)\Bigg|_0^{\pi} - 4\pi\displaystyle\int_0^{\pi} t\cos(2t)\ dt \)
\( = 4\pi\left( \dfrac{\pi^2}{2} - \dfrac{0^2}{2} \right) - 4\pi\displaystyle\int_0^{\pi} t\cos(2t)\ dt \)
\( = 2\pi^3 - 4\pi\displaystyle\int_0^{\pi} t\cos(2t)\ dt \)
İkinci terimin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = t \)
\( dv = \cos(2t)\ dt \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = dt \)
\( v = \dfrac{\sin(2t)}{2} \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = u\ v - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( = 2\pi^3 - 4\pi \left[ \left( t \cdot \dfrac{\sin(2t)}{2} \right)\Bigg|_0^{\pi} - \displaystyle\int_0^{\pi} \dfrac{1}{2} \cdot \sin(2t)\ dt \right] \)
Son terimin integralini alalım.
\( = 2\pi^3 - 4\pi \left[ \left( t \cdot \dfrac{\sin(2t)}{2} \right)\Bigg|_0^{\pi} - \left( -\dfrac{\cos(2t)}{4} \right)\Bigg|_0^{\pi} \right] \)
\( = 2\pi^3 - 4\pi \left[ \left( \pi \cdot \dfrac{\sin(2\pi)}{2} - 0 \cdot \dfrac{\sin{0}}{2} \right) + \left( \dfrac{\cos(2\pi)}{4} - \dfrac{\cos{0}}{4} \right) \right] \)
\( = 2\pi^3 - 4\pi \left[ \left( \pi \cdot \dfrac{0}{2} - 0 \cdot \dfrac{0}{2} \right) + \left( \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} \right) \right] \)
\( = 2\pi^3 \) bulunur.