Parametrik Denklem Tanımı
Bir eğriyi tanımlamak için en sık kullanılan ve kartezyen denklemi adı verilen denklem tipinde, \( x \) ve \( y \) koordinatları arasındaki matematiksel ilişki bu değişkenler arasında kurulan tek bir eşitlikle ifade edilir. Bu denklem \( y = f(x) \) formunda açık olarak verilebileceği gibi, \( F(x, y) = 0 \) formunda kapalı olarak da verilebilir. Eğrinin grafiği, verilen denklemi sağlayan tüm \( (x, y) \) noktalarından oluşur.
\( y = f(x) \) formundaki denklemlerde her \( x \) değeri için en fazla bir \( y \) değeri bulunurken, kapalı denklemlerde aynı \( x \) değerine birden fazla \( y \) değeri karşılık gelebilir.
\( y = f(x) \)
\( F(x, y) = 0 \)
Parabolün (açık) kartezyen denklemi:
\( y = 3(x - 2)^2 + 1 \)
\( x = 1 \Longrightarrow y = 4 \)
\( x = 2 \Longrightarrow y = 1 \)
\( (1, 4) \) ve \( (2, 1) \) parabol üzerinde iki noktadır.
Çemberin (kapalı) kartezyen denklemi:
\( x^2 + y^2 = 16 \)
\( x = 2 \Longrightarrow y = \pm 2\sqrt{3} \)
\( (2, 2\sqrt{3}) \) ve \( (2, -2\sqrt{3}) \) çember üzerinde iki noktadır.
Parametrik denklem adı verilen bir diğer denklem tipinde ise \( x \) ve \( y \) değişkenleri üçüncü bir değişkene bağlı fonksiyonlar ile tanımlanır. Bu tip denklemlerde bu üçüncü değişkenin her değeri için \( x \) ve \( y \) değerleri ayrı ayrı hesaplanır. Eğrinin grafiği, bu şekilde elde edilen tüm \( (x, y) \) noktalarından oluşur.
\( t \in I \subseteq \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x = x(t) \)
\( y = y(t) \)
\( t \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x(t) = t + 2 \)
\( y(t) = 3t^2 + 1 \)
\( t = -1 \) için:
\( x(-1) = -1 + 2 = 1 \)
\( y(-1) = 3(-1)^2 + 1 = 4 \)
\( t = 0 \) için:
\( x(0) = 0 + 2 = 2 \)
\( y(0) = 3(0)^2 + 1 = 1 \)
Buna göre \( (1, 4) \) ve \( (2, 1) \) eğri üzerinde iki noktadır.
Parametrik denklemlerde kullanılan bağımsız değişkenler çoğunlukla zamanı ya da açıyı temsil eder ve genellikle \( t \), \( s \) ya da \( \theta \) harfleri ile ifade edilir. Parametrik denklemlerde bu bağımsız değişkenlere parametre adı verilir.
Parametrik denklemlerin grafiklerine parametrik eğri adı verilir.
Bir parametrik denklemi oluşturan \( x(t) \) ve \( y(t) \) fonksiyonlarına koordinat fonksiyonları ya da bileşen fonksiyonları adı verilir. Koordinat fonksiyonlarının sürekli olması zorunlu değildir, ancak kalkülüste incelenen parametrik eğrilerde bu fonksiyonlar genellikle süreklidir, böylece parametre değiştikçe nokta eğri üzerinde kesintisiz bir şekilde hareket eder.
Bir parametrik denklem kısaca aşağıdaki şekilde de ifade edilebilir.
\( t \in I \subseteq \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( (x(t), y(t)) \)
Birim çemberin parametrik denklemi:
\( 0 \le t \le 2\pi \) olmak üzere,
\( (x(t), y(t)) = (\cos{t}, \sin{t}) \)
Aşağıdaki gösterim ise belirli bir \( t = t_0 \) değeri için parametrik eğri üzerindeki noktayı ifade eder.
\( (x(t_0), y(t_0)) \)
\( (x(0), y(0)) = (\cos{0}, \sin{0}) = (1, 0) \)
\( a \le t \le b \) kapalı aralığında tanımlı \( (x(t), y(t)) \) şeklindeki bir parametrik eğrinin \( t = a \) değerindeki \( (x(a), y(a)) \) noktasına eğrinin başlangıç noktası, \( t = b \) değerindeki \( (x(b), y(b)) \) noktasına eğrinin bitiş noktası denir. \( t \) değeri arttıkça eğri üzerindeki bir nokta başlangıç noktasından bitiş noktasına doğru ilerlediği için parametrik eğriler için bir hareket yönü söz konusudur.
Tanım ve Görüntü Kümesi
Bir parametrik denklemin tanım kümesi, parametresinin alabileceği değerleri içeren aralıktır. Tanım kümesi tüm reel sayılar olabileceği gibi reel sayıların herhangi bir alt kümesi olabilir.
Parametrenin tanım kümesi parametrik denklem tanımının ayrılmaz bir parçasıdır. Bununla birlikte, özellikle belirtilmediği durumlarda tanım kümesi koordinat fonksiyonlarının tanımlı olduğu en geniş aralık olarak kabul edilebilir.
Bir parametrik denklemin görüntü kümesi, koordinat fonksiyonlarının ürettiği tüm \( (x, y) \) noktalarının kümesi, dolayısıyla denklemin grafiği olan parametrik eğridir. Örneğin, \( (\cos{t}, \sin{t}) \) parametrik denkleminin görüntü kümesi birim çemberdir.
Ek olarak koordinat fonksiyonlarının da birer görüntü kümesi olduğu akılda tutulmalıdır. Örneğin, \( (\cos{t}, \sin{t}) \) parametrik denkleminde her bir koordinat fonksiyonunun görüntü kümesi \( [-1, 1] \) aralığıdır.
Parametresi tüm reel sayılarda tanımlı bir parametrik denklem için bir değer tablosu oluşturalım ve denklemin grafiğini çizelim.
Aşağıdaki parametrik denklem için bir değer tablosu oluşturup daha sonra bu değerleri kullanarak parametrik denklemin grafiğini çizelim.
\( t \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x(t) = t + 2 \)
\( y(t) = t^2 - 4t \)
Farklı \( t \) değerleri için \( x \) ve \( y \) koordinatlarını hesapladığımız bir değer tablosu oluşturalım.
| \( t \) | \( x(t) \) | \( y(t) \) | \( (x(t), y(t)) \) |
|---|---|---|---|
| \( -2 \) | \( -2 + 2 = 0 \) | \( (-2)^2 - 4(-2) = 12 \) | \( (0, 12) \) |
| \( -1 \) | \( -1 + 2 = 1 \) | \( (-1)^2 - 4(-1) = 5 \) | \( (1, 5) \) |
| \( 0 \) | \( 0 + 2 = 2 \) | \( 0^2 - 4(0) = 0 \) | \( (2, 0) \) |
| \( 1 \) | \( 1 + 2 = 3 \) | \( 1^2 - 4(1) = -3 \) | \( (3, -3) \) |
| \( 2 \) | \( 2 + 2 = 4 \) | \( 2^2 - 4(2) = -4 \) | \( (4, -4) \) |
| \( 3 \) | \( 3 + 2 = 5 \) | \( 3^2 - 4(3) = -3 \) | \( (5, -3) \) |
| \( 4 \) | \( 4 + 2 = 6 \) | \( 4^2 - 4(4) = 0 \) | \( (6, 0) \) |
| \( 5 \) | \( 5 + 2 = 7 \) | \( 5^2 - 4(5) = 5 \) | \( (7, 5) \) |
| \( 6 \) | \( 6 + 2 = 8 \) | \( 6^2 - 4(6) = 12 \) | \( (8, 12) \) |
Elde ettiğimiz \( (x, y) \) ikililerini koordinat düzleminde işaretlediğimizde aşağıdaki grafiği elde ederiz. Her noktayı oluşturan \( t \) değerleri de grafik üzerinde gösterilmiştir. Grafik üzerindeki siyah oklar artan \( t \) değerleri için eğrinin hareket yönünü göstermektedir.
Görebileceğimiz gibi parametrik eğri bir parabole aittir.
Parametresi reel sayıların bir alt kümesinde tanımlı bir parametrik denklem için bir değer tablosu oluşturalım ve denklemin grafiğini çizelim.
Aşağıdaki parametrik denklem için bir değer tablosu oluşturup daha sonra bu değerleri kullanarak parametrik denklemin grafiğini çizelim.
\( \theta \in [0, 2\pi] \) olmak üzere,
\( x(\theta) = \sin{\theta} \)
\( y(\theta) = \sin(2\theta) \)
\( \theta \) tanım aralığında sinüs değerini bildiğimiz açılar için \( x \) ve \( y \) koordinatlarını hesapladığımız bir değer tablosu oluşturalım.
| \( \theta \) | \( x(\theta) \) | \( y(\theta) \) | \( (x(\theta), y(\theta)) \) |
|---|---|---|---|
| \( 0 \) | \( \sin{0} = 0 \) | \( \sin(2 \cdot 0) = 0 \) | \( (0, 0) \) |
| \( \frac{\pi}{6} \) | \( \sin{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{2} \) | \( \sin(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) \) |
| \( \frac{\pi}{4} \) | \( \sin{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( \sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = 1 \) | \( (\frac{\sqrt{2}}{2}, 1) \) |
| \( \frac{\pi}{3} \) | \( \sin{\frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( \sin(2 \cdot \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) \) |
| \( \frac{\pi}{2} \) | \( \sin{\frac{\pi}{2}} = 1 \) | \( \sin(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = 0 \) | \( (1, 0) \) |
| \( \frac{2\pi}{3} \) | \( \sin{\frac{2\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( \sin(2 \cdot \frac{2\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}) \) |
| \( \frac{3\pi}{4} \) | \( \sin{\frac{3\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( \sin(2 \cdot \frac{3\pi}{4}) = -1 \) | \( (\frac{\sqrt{2}}{2}, -1) \) |
| \( \frac{5\pi}{6} \) | \( \sin{\frac{5\pi}{6}} = \frac{1}{2} \) | \( \sin(2 \cdot \frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}) \) |
| \( \pi \) | \( \sin{\pi} = 0 \) | \( \sin(2 \cdot \pi) = 0 \) | \( (0, 0) \) |
| \( \vdots \) | \( \vdots \) | \( \vdots \) | \( \vdots \) |
| \( 2\pi \) | \( \sin{2\pi} = 0 \) | \( \sin(2 \cdot 2\pi) = 0 \) | \( (0, 0) \) |
Elde ettiğimiz \( (x, y) \) ikililerini koordinat düzleminde işaretlediğimizde aşağıdaki grafiği elde ederiz. Her noktayı oluşturan \( \theta \) değerleri de grafik üzerinde gösterilmiştir. Grafik üzerindeki siyah oklar artan \( \theta \) değerleri için eğrinin hareket yönünü göstermektedir.
Görebileceğimiz gibi oluşan parametrik eğri dikey doğru testini geçmez, dolayısıyla bir fonksiyon grafiği değildir.
Aşağıda \( x(t) = \cos{t} \) ve \( y(t) = \sin{t} \) koordinat fonksiyonlarının ve bu fonksiyonların oluşturduğu parametrik denklemin grafikleri ayrı ayrı verilmiştir. Bu grafikler hakkında aşağıdaki yorumlar yapılabilir.
- Aynı \( t \) değeri için \( x(t) \) ve \( y(t) \) grafiklerinden elde edilen koordinatlar birlikte parametrik eğri üzerinde bir noktayı belirler.
- \( t \) parametresi arttıkça parametrik eğri üzerinde bir hareket yönü oluşur.
- \( t \) parametresinin tanım aralığı, parametrik eğrinin çizileceği aralığı da belirler.
Eğri Tipleri
Bir eğri başlangıç ve bitiş noktalarının aynı ya da farklı olmasına göre açık eğri ya da kapalı eğri olarak adlandırılır.
| Grafik | Açıklama |
|---|---|
|
Açık eğri: Başlangıç ve bitiş noktaları farklı olan eğri \( a \le t \le b \) olmak üzere, \( (x(a), y(a)) \ne (x(b), y(b)) \) Bir açık eğri kendisini kesebilir ya da kesmeyebilir. |
|
Kapalı eğri: Başlangıç ve bitiş noktaları aynı olan (çakışan) eğri \( a \le t \le b \) olmak üzere, \( (x(a), y(a)) = (x(b), y(b)) \) Bir kapalı eğri, başlangıç ve bitiş noktalarının çakışması dışında, kendisini kesebilir ya da kesmeyebilir. |
Bir eğri, başlangıç ve bitiş noktalarının çakışması dışında, farklı parametre değerlerinin aynı noktayı verip vermemesine göre basit eğri ya da basit olmayan eğri olarak adlandırılır.
| Grafik | Açıklama |
|---|---|
|
Basit eğri: Başlangıç ve bitiş noktalarının çakışması dışında her farklı parametre değeri farklı bir nokta veren eğri \( a \le t \le b \), \( a \le t_1 \lt t_2 \le b \), \( \{ t_1, t_2 \} \ne \{ a, b \} \) olmak üzere, \( (x(t_1), y(t_1)) \ne (x(t_2), y(t_2)) \) |
|
Basit olmayan eğri: Başlangıç ve bitiş noktalarının çakışması dışında iki farklı parametre değeri aynı noktayı veren eğri \( a \le t \le b \), \( a \le c \lt d \le b \), \( \{ c, d \} \ne \{ a, b \} \) olmak üzere, \( (x(c), y(c)) = (x(d), y(d)) \) olan en az bir \( \{ c, d \} \) vardır. |
\( a \le t \le b \) aralığında tanımlı bir parametrik eğri için, yukarıdaki açık/kapalı ve basit/basit olmayan eğri tipleri \( 2 \times 2 \) bir tabloda aşağıdaki şekilde özetlenebilir.
| Eğri tipi | Basit eğri | Basit olmayan eğri |
|---|---|---|
| Açık eğri | 
|
|
| Kapalı eğri | 
|
|
Parametrik Denklemlerin Avantajları
Parametrik denklemler, bazı eğrilerin ifade edilmesinde kartezyen denklemlerine göre önemli avantajlar sağlar. Öncelikle fonksiyon olma koşullarını sağlamayan yani dikey doğru testini geçmeyen eğriler parametrik denklemlerle kolayca temsil edilebilir. Aşağıda bu eğrilere iki örnek verilmiştir.
| Grafik | Açıklama |
|---|---|
|
Elips: \( 0 \le t \le 2\pi \) olmak üzere, \( x(t) = 3\cos{t} \) \( y(t) = 2\sin{t} \) |
|
Parabol: \( t \in \mathbb{R} \) olmak üzere, \( x(t) = t^2 \) \( y(t) = t \) |
Kapalı formda kartezyen denklemi olmayan ya da karmaşık olan bazı eğriler parametrik denklemlerle sade bir şekilde ifade edilebilir. Aşağıda bu eğrilere iki örnek verilmiştir.
| Grafik | Açıklama |
|---|---|
|
Spiral: \( 0 \le t \le 6\pi \) olmak üzere, \( x(t) = t\cos{t} \) \( y(t) = t\sin{t} \) |
|
Lissajous eğrisi: \( 0 \le t \le 2\pi \) olmak üzere, \( x(t) = \sin(3t) \) \( y(t) = \sin(2t) \) |
\( x \) ve \( y \) değişkenleri arasında sebepsel bir ilişki bulunmadığı ve iki değişkenin de değerini belirleyen üçüncü bir parametre bulunduğu durumlar, parametrik denklemlerle daha doğal bir şekilde modellenebilir.
| Grafik | Açıklama |
|---|---|
|
Eğik Atış: Başlangıç konumu, hızı ve açısı sırasıyla \( (x_0, y_0) \), \( v_0 \) ve \( \theta \) olan bir cismin eğik atış hareketinde zamana bağlı yatay ve düşey konumlarını veren parametrik denklemler aşağıdaki gibidir. \( x(t) = x_0 + v_0\cos{\theta}\ t \) \( y(t) = y_0 + v_0\sin{\theta}\ t - \dfrac{1}{2}gt^2 \) Bu denklemlerden \( t \) parametresi elimine edildiğinde cismin izlediği parabol elde edilir, ancak bu durumda cismin herhangi bir andaki konumunu ve yönünü veren zaman bilgisi kaybolur. |
Bir parametrik denklemde parametre sayısı birden fazla olabilir. Aşağıdaki parametrik denklem \( s \) ve \( t \) olmak üzere iki parametrelidir.
\( s, t \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x(s, t) = 3s - 2t \)
\( y(s, t) = s + t \)
\( t \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x(t) = 3at^2 + 2 \)
\( y(t) = a\left( t^2 - \dfrac{1}{3} \right) \)
\( A(5, 0) \) noktası yukarıdaki gibi tanımlı eğrinin üzerinde olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster\( A(5, 0) \) noktası verilen eğri üzerinde olduğuna göre, belirli bir \( t \) değeri için aşağıdaki iki eşitlik sağlanır.
\( x(t) = 5, \quad y(t) = 0 \)
\( x(t) = 3at^2 + 2 = 5 \)
\( t^2 = \dfrac{1}{a} \)
\( y(t) = a\left( t^2 - \dfrac{1}{3} \right) = 0 \)
\( t^2 = \dfrac{1}{3} \)
\( t^2 \) için bulduğumuz iki değeri eşitleyelim.
\( \dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{3} \)
\( a = 3 \) bulunur.