Riccati Denklemleri
Aşağıdaki formda olan ya da bu formda yazılabilen birinci mertebeden denklemlere Riccati denklemi denir.
\( \dfrac{dy}{dx} = p(x)y^2 + q(x)y + r(x) \)
\( \dfrac{dy}{dx} = y^2 + xy - 1 \)
\( \dfrac{dy}{dt} = 3e^{-t}y^2 + 2y - 4e^t \)
Riccati denklemleri \( y^2 \) terimi içerdiği için lineer olmayan denklemlerdir.
Aşağıdaki üç özel durumda, verilen denklem Riccati denklemleri için paylaşacağımız çözüm yöntemine ek olarak ilgili denklem tipinin çözüm yöntemi ile de çözülebilir.
Özel Durum 1: \( p(x) = 0 \) olduğu durumda denklem birinci mertebeden lineer bir denkleme dönüşür ve bu denklemler için paylaştığımız yöntemle çözülebilir.
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{x}y + x \)
\( \dfrac{dy}{dx} - \dfrac{1}{x}y = x \)
Özel Durum 2: \( r(x) = 0 \) olduğu durumda denklem \( n = 2 \) olan bir Bernoulli denklemine dönüşür ve bu denklemler için paylaştığımız yöntemle çözülebilir.
\( \dfrac{dy}{dx} = xy^2 + 2y \)
\( \dfrac{dy}{dx} - 2y = xy^2 \)
Özel Durum 3: \( p(x), q(x), r(x) \) fonksiyonlarının üçü de sabit fonksiyon olduğu durumda denklem ayrılabilir bir denkleme dönüşür ve bu denklemler için paylaştığımız yöntemle çözülebilir.
\( \dfrac{dy}{dx} = y^2 - 4y - 5 \)
Bu üç özel durum dışında, Riccati denkleminin genel çözümünü bulmak için denklemin \( y_1 \) şeklinde bir özel çözümü bilinmelidir. Böyle bir çözüm biliniyorsa \( y = y_1 + \frac{1}{u} \) şeklinde değişken değiştirildiğinde denklem birinci mertebeden lineer bir denkleme dönüşür.
Riccati denkleminin genel formunu yazalım.
\( \dfrac{dy}{dx} = p(x)y^2 + q(x)y + r(x) \)
Denklemin \( y_1 \) olarak bir çözümünü biliyor olalım.
Bir \( u \) değişkeni ve denklemin genel çözümünü temsil eden \( y \) değişkeni tanımlayalım.
\( y = y_1 + \dfrac{1}{u} \)
\( \dfrac{dy}{dx} \) türevini bulalım.
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy_1}{dx} - \dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} \)
Bulduğumuz \( y \) ve \( \frac{dy}{dx} \) ifadelerini denklemde yerine yazarak değişken değiştirme uygulayalım.
\( \dfrac{dy_1}{dx} - \dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} = p(x)(y_1 + \dfrac{1}{u})^2 + q(x)(y_1 + \dfrac{1}{u}) + r(x) \)
\( \dfrac{dy_1}{dx} - \dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} = p(x)(y_1^2 + 2y_1\dfrac{1}{u} + \dfrac{1}{u^2}) + q(x)(y_1 + \dfrac{1}{u}) + r(x) \)
\( \dfrac{dy_1}{dx} - \dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} = p(x)y_1^2 + 2p(x)y_1\dfrac{1}{u} + p(x)\dfrac{1}{u^2} + q(x)y_1 + q(x)\dfrac{1}{u} + r(x) \)
\( y_1 \) denklemin bir çözümü olduğu için orijinal denklemde yerine konduğunda denklemi sağlar.
\( \dfrac{dy_1}{dx} = p(x)y_1^2 + q(x)y_1 + r(x) \)
Bu eşitliği yukarıda bulduğumuz eşitlikten taraf tarafa çıkaralım.
\( -\dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} = 2p(x)y_1\dfrac{1}{u} + p(x)\dfrac{1}{u^2} + q(x)\dfrac{1}{u} \)
Eşitliğin taraflarını \( -u^2 \) ile çarpalım.
\( \dfrac{du}{dx} = -2p(x)y_1u - p(x) - q(x)u \)
Eşitliği düzenleyelim.
\( \dfrac{du}{dx} + (2p(x)y_1 + q(x))u = -p(x) \)
Elde ettiğimiz denklemi aşağıdaki formda yazdığımızda birinci mertebeden bir lineer denklem olduğunu görebiliriz.
\( \dfrac{du}{dx} + A(x)u = B(x) \)
Alternatif olarak, \( y = y_1 + u \) şeklinde de değişken değiştirilebilir ve bu durumda denklem bir Bernoulli denklemine dönüşür. Biz genellikle daha hızlı bir çözüm sağladığı için birinci yöntemi (lineer denklem) tercih edeceğiz.
Riccati denkleminin genel formunu yazalım.
\( \dfrac{dy}{dx} = p(x)y^2 + q(x)y + r(x) \)
Denklemin \( y_1 \) olarak bir çözümünü biliyor olalım.
Bir \( u \) değişkeni ve denklemin genel çözümünü temsil eden \( y \) değişkeni tanımlayalım.
\( y = y_1 + u \)
\( \dfrac{dy}{dx} \) türevini bulalım.
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy_1}{dx} + \dfrac{du}{dx} \)
Bulduğumuz \( y \) ve \( \frac{dy}{dx} \) ifadelerini denklemde yerine yazarak değişken değiştirme uygulayalım.
\( \dfrac{dy_1}{dx} + \dfrac{du}{dx} = p(x)(y_1 + u)^2 + q(x)(y_1 + u) + r(x) \)
\( \dfrac{dy_1}{dx} + \dfrac{du}{dx} = p(x)(y_1^2 + 2y_1u + u^2) + q(x)(y_1 + u) + r(x) \)
\( \dfrac{dy_1}{dx} + \dfrac{du}{dx} = p(x)y_1^2 + 2p(x)y_1u + p(x)u^2 + q(x)y_1 + q(x)u + r(x) \)
\( y_1 \) denklemin bir çözümü olduğu için orijinal denklemde yerine konduğunda denklemi sağlar.
\( \dfrac{dy_1}{dx} = p(x)y_1^2 + q(x)y_1 + r(x) \)
Bu eşitliği yukarıda bulduğumuz eşitlikten taraf tarafa çıkaralım.
\( \dfrac{du}{dx} = 2p(x)y_1u + p(x)u^2 + q(x)u \)
Eşitliği düzenleyelim.
\( \dfrac{du}{dx} - (2p(x)y_1 + q(x))u = p(x)u^2 \)
Elde ettiğimiz denklemi aşağıdaki formda yazdığımızda \( n = 2 \) olan bir Bernoulli denklemi olduğunu görebiliriz.
\( \dfrac{du}{dx} + A(x)u = B(x)u^2 \)
Riccati denklemleri aşağıdaki yöntemle çözülür.
Adım 1: Denklemin formu
Verilen denklem aşağıdaki forma getirilir.
\( \dfrac{dy}{dx} = p(x)y^2 + q(x)y + r(x) \)
Denklem bu formda değilse ve bu forma getirilemiyorsa bir Riccati denklemi değildir, bu durumda denklemi çözmek için farklı bir yöntem kullanılmalıdır.
Ayrıca bu yöntemi kullanabilmek için denklemin \( y_1 = y_1(x) \) şeklinde bir özel çözümü biliniyor olmalıdır.
Adım 2: Değişken değiştirme
Bir \( u \) değişkeni ve denklemin genel çözümünü temsil eden \( y \) değişkeni aşağıdaki şekilde tanımlanır.
\( y = y_1 + \dfrac{1}{u} \)
\( y \) değişkeninin türevi alınır.
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy_1}{dx} - \dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} \)
Bulduğumuz \( y \) ve \( \frac{dy}{dx} \) ifadeleri denklemde yerine yazılarak değişken değiştirme uygulanır.
Adım 3: Lineer denklemin çözümü
Değişken değiştirme sonucunda elde edilen birinci mertebeden lineer denklem çözülür.
Adım 4: Genel çözümün bulunması
\( u \) değişkeni cinsinden bulunan çözüm aşağıdaki eşitlikte yerine konarak \( y \) değişkeni için genel çözüm bulunur.
\( y = y_1 + \dfrac{1}{u} \)
Adım 5: Başlangıç koşulları
Denklem için başlangıç koşulları verildiyse genel çözümde yerine konarak keyfi sabitler ve denklemin özel çözümü bulunur.
Riccati denklemlerinin çözümünü bir örnek üzerinde gösterelim.
\( \dfrac{dy}{dx} = y^2 - (2x - 1)y + x^2 - x + 1 \)
denkleminin bir çözümü \( y_1 = x \) olduğuna göre, denklemin genel çözümünü bulalım.
Verilen denklem bir Riccati denklemidir.
Bir \( u \) değişkeni ve denklemin genel çözümünü temsil eden \( y \) değişkeni tanımlayalım.
\( y = y_1 + \dfrac{1}{u} \)
\( y_1 = x \) denklemin bir çözümü olarak veriliyor.
\( y = x + \dfrac{1}{u} \)
\( y \) değişkeninin türevini alalım.
\( \dfrac{dy}{dx} = 1 - \dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} \)
Bulduğumuz \( y \) ve \( \frac{dy}{dx} \) ifadelerini denklemde yerine yazalım.
\( 1 - \dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} = \left( x + \dfrac{1}{u} \right)^2 - (2x - 1)\left( x + \dfrac{1}{u} \right) + x^2 - x + 1 \)
\( 1 - \dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} = x^2 + \dfrac{2x}{u} + \dfrac{1}{u^2} - 2x^2 - \dfrac{2x}{u} + x + \dfrac{1}{u} + x^2 - x + 1 \)
Denklemin iki tarafındaki benzer terimler sadeleşir.
\( -\dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{u^2} + \dfrac{1}{u} \)
Eşitliğin taraflarını \( -u^2 \) ile çarpalım ve denklemi düzenleyelim.
\( \dfrac{du}{dx} + u = -1 \)
Elde ettiğimiz denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.
Denklemin integral çarpanını bulalım.
\( \mu(x) = e^{\int {1\ dx}} \)
\( = e^x \)
Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.
\( e^x\dfrac{du}{dx} + e^xu = -e^x \)
Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(x)u \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.
\( \dfrac{d}{dx}(e^xu) = -e^x \)
Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.
\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{dx}(e^xu)\ dx} = \displaystyle\int {-e^x\ dx} \)
\( e^xu = -e^x + C \)
\( u = Ce^{-x} - 1 \)
Denklemin \( y \) değişkeni için genel çözümünü bulalım.
\( y = y_1 + \dfrac{1}{u} \)
Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y = x + \dfrac{1}{Ce^{-x} - 1} \)
\( y' = 3e^{-2x}y^2 + 3y - 4e^{2x} \)
\( y(0) = 0 \)
denkleminin bir çözümü \( y_1 = e^{2x} \) olduğuna göre, denklemin verilen başlangıç değeri için çözümünü bulunuz.
Çözümü Göster\( \dfrac{dy}{dx} = 3e^{-2x}y^2 + 3y - 4e^{2x} \)
Verilen denklem bir Riccati denklemidir.
Bir \( u \) değişkeni ve denklemin genel çözümünü temsil eden \( y \) değişkeni tanımlayalım.
\( y = y_1 + \dfrac{1}{u} \)
\( y_1 = e^{2x} \) denklemin bir çözümü olarak veriliyor.
\( y = e^{2x} + \dfrac{1}{u} \)
\( y \) değişkeninin türevini alalım.
\( \dfrac{dy}{dx} = 2e^{2x} - \dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} \)
Bulduğumuz \( y \) ve \( \frac{dy}{dx} \) ifadelerini denklemde yerine yazalım.
\( 2e^{2x} - \dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} = 3e^{-2x}\left( e^{2x} + \dfrac{1}{u} \right)^2 + 3\left( e^{2x} + \dfrac{1}{u} \right) - 4e^{2x} \)
\( 2e^{2x} - \dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} = 3e^{2x} + \dfrac{6}{u} + \dfrac{3e^{-2x}}{u^2} + 3e^{2x} + \dfrac{3}{u} - 4e^{2x} \)
Denklemin iki tarafındaki benzer terimler sadeleşir.
\( -\dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} = \dfrac{3e^{-2x}}{u^2} + \dfrac{9}{u} \)
Eşitliğin taraflarını \( -u^2 \) ile çarpalım ve denklemi düzenleyelim.
\( \dfrac{du}{dx} + 9u = -3e^{-2x} \)
Elde ettiğimiz denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.
Denklemin integral çarpanını bulalım.
\( \mu(x) = e^{\int {9\ dx}} \)
\( = e^{9x} \)
Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.
\( e^{9x}\dfrac{du}{dx} + 9ue^{9x} = -3e^{7x} \)
Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(x)u \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.
\( \dfrac{d}{dx}(ue^{9x}) = -3e^{7x} \)
Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.
\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{dx}(ue^{9x})\ dx} = \displaystyle\int {-3e^{7x}\ dx} \)
\( ue^{9x} = -\dfrac{3}{7}e^{7x} + C_1 \)
\( u = C_1e^{-9x} - \dfrac{3}{7}e^{-2x} \)
Denklemin \( y \) değişkeni için genel çözümünü bulalım.
\( y = y_1 + \dfrac{1}{u} \)
Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y = e^{2x} + \dfrac{7}{Ce^{-9x} - 3e^{-2x}} \)
\( y(0) = 0 \) başlangıç değerini denklemde yerine koyalım.
\( 0 = e^{2(0)} + \dfrac{7}{Ce^{-9(0)} - 3e^{-2(0)}} \)
\( 0 = 1 + \dfrac{7}{C - 3} \)
\( C = -4 \)
Denklemin verilen başlangıç değeri için çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y = e^{2x} + \dfrac{7}{-4e^{-9x} - 3e^{-2x}} \)
\( = e^{2x} - \dfrac{7}{4e^{-9x} + 3e^{-2x}} \)
\( x \gt 0 \) olmak üzere,
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{8}{x^3} - 3xy^2 \)
denkleminin bir çözümü \( y_1 = \dfrac{2}{x^2} \) olduğuna göre, denklemin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem bir Riccati denklemidir.
Bir \( u \) değişkeni ve denklemin genel çözümünü temsil eden \( y \) değişkeni tanımlayalım.
\( y = y_1 + \dfrac{1}{u} \)
\( y_1 = \dfrac{2}{x^2} \) denklemin bir çözümü olarak veriliyor.
\( y = \dfrac{2}{x^2} + \dfrac{1}{u} \)
\( y \) değişkeninin türevini alalım.
\( \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{4}{x^3} - \dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} \)
Bulduğumuz \( y \) ve \( \frac{dy}{dx} \) ifadelerini denklemde yerine yazalım.
\( -\dfrac{4}{x^3} - \dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} = \dfrac{8}{x^3} - 3x\left( \dfrac{2}{x^2} + \dfrac{1}{u} \right)^2 \)
\( -\dfrac{4}{x^3} - \dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} = \dfrac{8}{x^3} - \dfrac{12}{x^3} - \dfrac{12}{xu} - \dfrac{3x}{u^2} \)
Denklemin iki tarafındaki benzer terimler sadeleşir.
\( -\dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} = -\dfrac{12}{xu} - \dfrac{3x}{u^2} \)
Eşitliğin taraflarını \( -u^2 \) ile çarpalım ve denklemi düzenleyelim.
\( \dfrac{du}{dx} - \dfrac{12}{x}u = 3x \)
Elde ettiğimiz denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.
Denklemin integral çarpanını bulalım.
\( \mu(x) = e^{\int {-\frac{12}{x}\ dx}} \)
\( = e^{-12\ln{\abs{x}}} \)
\( = e^{\ln{\abs{x}^{-12}}} \)
\( = \dfrac{1}{x^{12}} \)
Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.
\( \dfrac{1}{x^{12}}\dfrac{du}{dx} - \dfrac{12}{x^{13}}u = \dfrac{3}{x^{11}} \)
Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(x)u \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.
\( \dfrac{d}{dx}\left( u\dfrac{1}{x^{12}} \right) = \dfrac{3}{x^{11}} \)
Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.
\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{dx}\left( u\dfrac{1}{x^{12}} \right)\ dx} = \displaystyle\int {\dfrac{3}{x^{11}}\ dx} \)
\( u\dfrac{1}{x^{12}} = -\dfrac{3}{10x^{10}} + C_1 \)
\( u = -\dfrac{3x^2}{10} + C_1x^{12} \)
\( u = -\dfrac{3x^2 + Cx^{12}}{10} \)
Denklemin \( y \) değişkeni için genel çözümünü bulalım.
\( y = y_1 + \dfrac{1}{u} \)
Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y = \dfrac{2}{x^2} - \dfrac{10}{3x^2 + Cx^{12}} \)
\( \dfrac{dx}{dt} = x^2 - (10t - 1)x + 25t^2 - 5t + 5 \)
denkleminin bir çözümü \( x_1 = 5t \) olduğuna göre, denklemin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem bir Riccati denklemidir.
Bir \( u \) değişkeni ve denklemin genel çözümünü temsil eden \( x \) değişkeni tanımlayalım.
\( x = x_1 + \dfrac{1}{u} \)
\( x_1 = 5t \) denklemin bir çözümü olarak veriliyor.
\( x = 5t + \dfrac{1}{u} \)
\( x \) değişkeninin türevini alalım.
\( \dfrac{dx}{dt} = 5 - \dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dt} \)
Bulduğumuz \( x \) ve \( \frac{dx}{dt} \) ifadelerini denklemde yerine yazalım.
\( 5 - \dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dt} = \left( 5t + \dfrac{1}{u} \right)^2 - (10t - 1)\left( 5t + \dfrac{1}{u} \right) + 25t^2 - 5t + 5 \)
\( 5 - \dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dt} = 25t^2 + \dfrac{10t}{u} + \dfrac{1}{u^2} - 50t^2 - \dfrac{10t}{u} + 5t + \dfrac{1}{u} + 25t^2 - 5t + 5 \)
Denklemin iki tarafındaki benzer terimler sadeleşir.
\( -\dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dt} = \dfrac{1}{u^2} + \dfrac{1}{u} \)
Eşitliğin taraflarını \( -u^2 \) ile çarpalım ve denklemi düzenleyelim.
\( \dfrac{du}{dt} + u = -1 \)
Elde ettiğimiz denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.
Denklemin integral çarpanını bulalım.
\( \mu(t) = e^{\int {1\ dt}} \)
\( = e^t \)
Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.
\( e^t\dfrac{du}{dt} + ue^t = -e^t \)
Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(t)u \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.
\( \dfrac{d}{dt}(ue^t) = -e^t \)
Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.
\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{dt}(ue^t)\ dt} = \displaystyle\int {-e^t\ dt} \)
\( ue^t = -e^t + C \)
\( u = Ce^{-t} - 1 \)
Denklemin \( x \) değişkeni için genel çözümünü bulalım.
\( x = x_1 + \dfrac{1}{u} \)
Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( x = 5t - \dfrac{1}{Ce^{-t} - 1} \)
\( y' = 3e^{-2x}y^2 + 3y - 4e^{2x} \)
\( y(0) = 0 \)
denkleminin bir çözümü \( y_1 = e^{2x} \) olduğuna göre, denklemin verilen başlangıç değeri için çözümünü bulunuz.
Çözümü Göster\( \dfrac{dy}{dx} = 3e^{-2x}y^2 + 3y - 4e^{2x} \)
Verilen denklem bir Riccati denklemidir.
Bir \( u \) değişkeni ve denklemin genel çözümünü temsil eden \( y \) değişkeni tanımlayalım.
\( y = y_1 + \dfrac{1}{u} \)
\( y_1 = e^{2x} \) denklemin bir çözümü olarak veriliyor.
\( y = e^{2x} + \dfrac{1}{u} \)
\( y \) değişkeninin türevini alalım.
\( \dfrac{dy}{dx} = 2e^{2x} - \dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} \)
Bulduğumuz \( y \) ve \( \frac{dy}{dx} \) ifadelerini denklemde yerine yazalım.
\( 2e^{2x} - \dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} = 3e^{-2x}\left( e^{2x} + \dfrac{1}{u} \right)^2 + 3\left( e^{2x} + \dfrac{1}{u} \right) - 4e^{2x} \)
\( 2e^{2x} - \dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} = 3e^{2x} + \dfrac{6}{u} + \dfrac{3e^{-2x}}{u^2} + 3e^{2x} + \dfrac{3}{u} - 4e^{2x} \)
Denklemin iki tarafındaki benzer terimler sadeleşir.
\( -\dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} = \dfrac{3e^{-2x}}{u^2} + \dfrac{9}{u} \)
Eşitliğin taraflarını \( -u^2 \) ile çarpalım ve denklemi düzenleyelim.
\( \dfrac{du}{dx} + 9u = -3e^{-2x} \)
Elde ettiğimiz denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.
Denklemin integral çarpanını bulalım.
\( \mu(x) = e^{\int {9\ dx}} \)
\( = e^{9x} \)
Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.
\( e^{9x}\dfrac{du}{dx} + 9ue^{9x} = -3e^{7x} \)
Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(x)u \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.
\( \dfrac{d}{dx}(ue^{9x}) = -3e^{7x} \)
Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.
\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{dx}(ue^{9x})\ dx} = \displaystyle\int {-3e^{7x}\ dx} \)
\( ue^{9x} = -\dfrac{3}{7}e^{7x} + C_1 \)
\( u = C_1e^{-9x} - \dfrac{3}{7}e^{-2x} \)
Denklemin \( y \) değişkeni için genel çözümünü bulalım.
\( y = y_1 + \dfrac{1}{u} \)
Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y = e^{2x} + \dfrac{7}{Ce^{-9x} - 3e^{-2x}} \)
\( y(0) = 0 \) başlangıç değerini denklemde yerine koyalım.
\( 0 = e^{2(0)} + \dfrac{7}{Ce^{-9(0)} - 3e^{-2(0)}} \)
\( 0 = 1 + \dfrac{7}{C - 3} \)
\( C = -4 \)
Denklemin verilen başlangıç değeri için çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y = e^{2x} + \dfrac{7}{-4e^{-9x} - 3e^{-2x}} \)
\( = e^{2x} - \dfrac{7}{4e^{-9x} + 3e^{-2x}} \)
\( x \gt 0 \) olmak üzere,
\( y' = 9x^3 - \dfrac{1}{x}y^2 + \dfrac{2}{x}y \)
\( y(1) = 4 \)
denkleminin bir çözümü \( y_1 = 3x^2 \) olduğuna göre, denklemin verilen başlangıç değeri için çözümünü bulunuz.
Çözümü Göster\( \dfrac{dy}{dx} = 9x^3 - \dfrac{1}{x}y^2 + \dfrac{2}{x}y \)
Verilen denklem bir Riccati denklemidir.
Bir \( u \) değişkeni ve denklemin genel çözümünü temsil eden \( y \) değişkeni tanımlayalım.
\( y = y_1 + \dfrac{1}{u} \)
\( y_1 = 3x^2 \) denklemin bir çözümü olarak veriliyor.
\( y = 3x^2 + \dfrac{1}{u} \)
\( y \) değişkeninin türevini alalım.
\( \dfrac{dy}{dx} = 6x - \dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} \)
Bulduğumuz \( y \) ve \( \frac{dy}{dx} \) ifadelerini denklemde yerine yazalım.
\( 6x - \dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} = 9x^3 - \dfrac{1}{x}\left( 3x^2 + \dfrac{1}{u} \right)^2 + \dfrac{2}{x}\left( 3x^2 + \dfrac{1}{u} \right) \)
\( 6x - \dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} = 9x^3 - 9x^3 - \dfrac{6x}{u} - \dfrac{1}{xu^2} + 6x + \dfrac{2}{xu} \)
Denklemin iki tarafındaki benzer terimler sadeleşir.
\( -\dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} = -\dfrac{6x}{u} - \dfrac{1}{xu^2} + \dfrac{2}{xu} \)
Eşitliğin taraflarını \( -u^2 \) ile çarpalım ve denklemi düzenleyelim.
\( \dfrac{du}{dx} + \left( \dfrac{2}{x} - 6x \right)u = \dfrac{1}{x} \)
Elde ettiğimiz denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.
Denklemin integral çarpanını bulalım.
\( \mu(x) = e^{\int {\left( \frac{2}{x} - 6x \right)\ dx}} \)
\( = e^{2\ln{\abs{x}} - 3x^2} \)
\( = e^{\ln{\abs{x}^2} - 3x^2} \)
\( = x^2e^{-3x^2} \)
Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.
\( x^2e^{-3x^2}\dfrac{du}{dx} + (2xe^{-3x^2} - 6x^3e^{-3x^2})u = xe^{-3x^2} \)
Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(x)u \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.
\( \dfrac{d}{dx}(ux^2e^{-3x^2}) = xe^{-3x^2} \)
Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.
\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{dx}(ux^2e^{-3x^2})\ dx} = \displaystyle\int {xe^{-3x^2}\ dx} \)
\( ux^2e^{-3x^2} = -\dfrac{1}{6}e^{-3x^2} + C_1 \)
\( u = \dfrac{Ce^{3x^2} - 1}{6x^2} \)
Denklemin \( y \) değişkeni için genel çözümünü bulalım.
\( y = y_1 + \dfrac{1}{u} \)
Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y = 3x^2 + \dfrac{6x^2}{Ce^{3x^2} - 1} \)
\( y(1) = 4 \) başlangıç değerini denklemde yerine koyalım.
\( 4 = 3(1)^2 + \dfrac{6(1)^2}{Ce^{3(1)^2} - 1} \)
\( 4 = 3 + \dfrac{6}{Ce^3 - 1} \)
\( C = 7e^{-3} \)
Denklemin verilen başlangıç değeri için çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y = 3x^2 + \dfrac{6x^2}{7e^{3(x^2 - 1)} - 1} \)
\( x \gt 0, A \gt 0 \) olmak üzere,
\( \dfrac{dy}{dx} - 4x = \dfrac{2}{x}y - \dfrac{1}{x^3}y^2 \)
\( y(\sqrt{2}) = \dfrac{12}{5} \)
denkleminin bir çözümü \( y_1 = Ax^2 \) olduğuna göre, denklemin verilen başlangıç değeri için çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterDenklemi düzenleyelim.
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2}{x}y - \dfrac{1}{x^3}y^2 + 4x \)
Buna göre verilen denklem bir Riccati denklemidir.
\( y_1 = Ax^2 \) denklemin bir çözümü olduğuna göre denklemi sağlar.
\( 2Ax = \dfrac{2}{x}(Ax^2) - \dfrac{1}{x^3}(Ax^2)^2 + 4x \)
\( 2Ax = 2Ax - A^2x + 4x \)
\( (A^2 - 4)x = 0 \)
\( A^2 = 4 \)
\( A \gt 0 \) olarak veriliyor.
\( A = 2 \)
Bir \( u \) değişkeni ve denklemin genel çözümünü temsil eden \( y \) değişkeni tanımlayalım.
\( y = y_1 + \dfrac{1}{u} \)
\( y_1 = Ax^2 = 2x^2 \) denklemin bir çözümü olarak veriliyor.
\( y = 2x^2 + \dfrac{1}{u} \)
\( y \) değişkeninin türevini alalım.
\( \dfrac{dy}{dx} = 4x - \dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} \)
Bulduğumuz \( y \) ve \( \frac{dy}{dx} \) ifadelerini denklemde yerine yazalım.
\( 4x - \dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} = \dfrac{2}{x}\left( 2x^2 + \dfrac{1}{u} \right) - \dfrac{1}{x^3}\left( 2x^2 + \dfrac{1}{u} \right)^2 + 4x \)
\( 4x - \dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} = 4x + \dfrac{2}{xu} - 4x - \dfrac{4}{xu} - \dfrac{1}{x^3u^2} + 4x \)
Denklemin iki tarafındaki benzer terimler sadeleşir.
\( -\dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} = -\dfrac{2}{xu} - \dfrac{1}{x^3u^2} \)
Eşitliğin taraflarını \( -u^2 \) ile çarpalım ve denklemi düzenleyelim.
\( \dfrac{du}{dx} - \dfrac{2}{x}u = \dfrac{1}{x^3} \)
Elde ettiğimiz denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.
Denklemin integral çarpanını bulalım.
\( \mu(x) = e^{\int {-\frac{2}{x}\ dx}} \)
\( = e^{-2\ln{\abs{x}}} \)
\( = e^{\ln{\abs{x}^{-2}}} \)
\( = \dfrac{1}{x^2} \)
Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.
\( \dfrac{1}{x^2}\dfrac{du}{dx} - \dfrac{2}{x^3}u = \dfrac{1}{x^5} \)
Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(x)u \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.
\( \dfrac{d}{dx}\left( u\dfrac{1}{x^2} \right) = \dfrac{1}{x^5} \)
Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.
\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{dx}\left( u\dfrac{1}{x^2} \right)\ dx} = \displaystyle\int {\dfrac{1}{x^5}\ dx} \)
\( u\dfrac{1}{x^2} = -\dfrac{1}{4x^4} + C_1 \)
\( u = -\dfrac{1}{4x^2} + C_1x^2 \)
\( u = -\dfrac{1 + Cx^4}{4x^2} \)
Denklemin \( y \) değişkeni için genel çözümünü bulalım.
\( y = y_1 + \dfrac{1}{u} \)
Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y = 2x^2 - \dfrac{4x^2}{1 + Cx^4} \)
\( y(\sqrt{2}) = \dfrac{12}{5} \) başlangıç değerini denklemde yerine koyalım.
\( \dfrac{12}{5} = 2(\sqrt{2})^2 - \dfrac{4(\sqrt{2})^2}{1 + C(\sqrt{2})^4} \)
\( \dfrac{12}{5} = 4 - \dfrac{8}{1 + 4C} \)
\( C = 1 \)
Denklemin verilen başlangıç değeri için çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y = 2x^2 - \dfrac{4x^2}{1 + x^4} \)
\( \dfrac{dy}{dx} = 2 + 2x^2y - xy^2 \)
denkleminin bir çözümü \( y_1 = 2x \) olduğuna göre, denklemin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem bir Riccati denklemidir.
Bir \( u \) değişkeni ve denklemin genel çözümünü temsil eden \( y \) değişkeni tanımlayalım.
\( y = y_1 + \dfrac{1}{u} \)
\( y_1 = 2x \) denklemin bir çözümü olarak veriliyor.
\( y = 2x + \dfrac{1}{u} \)
\( y \) değişkeninin türevini alalım.
\( \dfrac{dy}{dx} = 2 - \dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} \)
Bulduğumuz \( y \) ve \( \frac{dy}{dx} \) ifadelerini denklemde yerine yazalım.
\( 2 - \dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} = 2 + 2x^2\left( 2x + \dfrac{1}{u} \right) - x\left( 2x + \dfrac{1}{u} \right)^2 \)
\( 2 - \dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} = 2 + 4x^3 + \dfrac{2x^2}{u} - 4x^3 - \dfrac{4x^2}{u} - \dfrac{x}{u^2} \)
Denklemin iki tarafındaki benzer terimler sadeleşir.
\( -\dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} = -\dfrac{2x^2}{u} - \dfrac{x}{u^2} \)
Eşitliğin taraflarını \( -u^2 \) ile çarpalım ve denklemi düzenleyelim.
\( \dfrac{du}{dx} - 2x^2u = x \)
Elde ettiğimiz denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.
Denklemin integral çarpanını bulalım.
\( \mu(x) = e^{\int {-2x^2\ dx}} \)
\( = e^{-\frac{2x^3}{3}} \)
Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.
\( e^{-\frac{2x^3}{3}}\dfrac{du}{dx} - 2x^2ue^{-\frac{2x^3}{3}} = xe^{-\frac{2x^3}{3}} \)
Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(x)u \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.
\( \dfrac{d}{dx}(ue^{-\frac{2x^3}{3}}) = xe^{-\frac{2x^3}{3}} \)
Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.
\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{dx}(ue^{-\frac{2x^3}{3}})\ dx} = \displaystyle\int {xe^{-\frac{2x^3}{3}}\ dx} \)
\( ue^{-\frac{2x^3}{3}} + C_1 = \displaystyle\int {xe^{-\frac{2x^3}{3}}\ dx} \)
Eşitliğin sağ tarafındaki ifadenin integrali analitik yöntemlerle alınamayacağı için ifadeyi olduğu gibi bırakalım.
\( u = e^{\frac{2x^3}{3}}\left( \displaystyle\int {xe^{-\frac{2x^3}{3}}\ dx} + C \right) \)
Denklemin \( y \) değişkeni için genel çözümünü bulalım.
\( y = y_1 + \dfrac{1}{u} \)
Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y = 2x + \dfrac{1}{e^{\frac{2x^3}{3}}\left( \displaystyle\int {xe^{-\frac{2x^3}{3}}\ dx} + C \right)} \)
\( x \gt 0 \) olmak üzere,
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y^2}{x} - \dfrac{y}{x^2} - \dfrac{1}{x} \)
denkleminin bir çözümü \( y_1 = \dfrac{A}{x} + B \) olduğuna göre, denklemin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem bir Riccati denklemidir.
\( y_1 = \dfrac{A}{x} + B \) denklemin bir çözümü olduğuna göre denklemi sağlar.
\( -\dfrac{A}{x^2} = \dfrac{1}{x}\left( \dfrac{A}{x} + B \right)^2 - \dfrac{1}{x^2}\left( \dfrac{A}{x} + B \right) - \dfrac{1}{x} \)
\( -\dfrac{A}{x^2} = \dfrac{A^2}{x^3} + \dfrac{2AB}{x^2} + \dfrac{B^2}{x} - \dfrac{A}{x^3} - \dfrac{B}{x^2} - \dfrac{1}{x} \)
\( -A\dfrac{1}{x^2} = A(A - 1)\dfrac{1}{x^3} + B(2A - 1)\dfrac{1}{x^2} + (B^2 - 1)\dfrac{1}{x} \)
Bu eşitliğin her \( x \) için sağlanması için üsleri aynı terimlerin katsayıları eşit olmalıdır.
\( A(A - 1) = 0 \)
\( A = 0 \) ya da \( A = 1 \)
\( B^2 - 1 = 0 \)
\( B = 1 \) ya da \( B = -1 \)
\( B(2A - 1) = -A \)
Yukarıdaki olası değerleri bu denklemde yerine koyduğumuzda \( A \) ve \( B \) katsayıları aşağıdaki gibi bulunur.
\( A = 1, \quad B = -1 \)
\( y_1 = \dfrac{A}{x} + B = \dfrac{1}{x} - 1 \)
Bir \( u \) değişkeni ve denklemin genel çözümünü temsil eden \( y \) değişkeni tanımlayalım.
\( y = y_1 + \dfrac{1}{u} \)
\( y_1 = \dfrac{1}{x} - 1 \) denklemin bir çözümü olarak veriliyor.
\( y = \dfrac{1}{x} - 1 + \dfrac{1}{u} \)
\( y \) değişkeninin türevini alalım.
\( \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} \)
Bulduğumuz \( y \) ve \( \frac{dy}{dx} \) ifadelerini denklemde yerine yazalım.
\( -\dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{x}\left( \dfrac{1}{x} - 1 + \dfrac{1}{u} \right)^2 - \dfrac{1}{x^2}\left( \dfrac{1}{x} - 1 + \dfrac{1}{u} \right) - \dfrac{1}{x} \)
Parantezlerin açılımını yapıp sadeleştirmeleri yaptığımızda aşağıdaki eşitliği elde ederiz.
\( -\dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{xu^2} + \dfrac{1}{x^2u} - \dfrac{2}{xu} \)
Eşitliğin taraflarını \( -u^2 \) ile çarpalım ve denklemi düzenleyelim.
\( \dfrac{du}{dx} + \left( \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{2}{x} \right)u = -\dfrac{1}{x} \)
Elde ettiğimiz denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.
Denklemin integral çarpanını bulalım.
\( \mu(x) = e^{\int {\left( \frac{1}{x^2} - \frac{2}{x} \right)\ dx}} \)
\( = e^{-\frac{1}{x} - 2\ln{\abs{x}}} \)
\( = e^{-\frac{1}{x} - \ln{\abs{x}^2}} \)
\( = x^2e^{-\frac{1}{x}} \)
Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.
\( x^2e^{-\frac{1}{x}}\dfrac{du}{dx} + \left( e^{-\frac{1}{x}} - 2xe^{-\frac{1}{x}} \right)u = -xe^{-\frac{1}{x}} \)
Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(x)u \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.
\( \dfrac{d}{dx}(ux^2e^{-\frac{1}{x}}) = -xe^{-\frac{1}{x}} \)
Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.
\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{dx}(ux^2e^{-\frac{1}{x}})\ dx} = \displaystyle\int {-xe^{-\frac{1}{x}}\ dx} \)
\( ux^2e^{-\frac{1}{x}} + C_1 = -\displaystyle\int {xe^{-\frac{1}{x}}\ dx} \)
Eşitliğin sağ tarafındaki ifadenin integrali analitik yöntemlerle alınamayacağı için ifadeyi olduğu gibi bırakalım.
\( u = x^{-2}e^{\frac{1}{x}}(C - \displaystyle\int {xe^{-\frac{1}{x}}\ dx}) \)
Denklemin \( y \) değişkeni için genel çözümünü bulalım.
\( y = y_1 + \dfrac{1}{u} \)
Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y = \dfrac{1}{x} - 1 + \dfrac{x^2e^{-\frac{1}{x}}}{C - \displaystyle\int {xe^{-\frac{1}{x}}\ dx}} \)
\( \dfrac{dy}{dx} = 2(1 + x^2\cos{x})y - 2\cos{x} - \sin{x} - x^2\cos^2{x} - x^2y^2 \)
denkleminin bir çözümü \( y_1 = \cos{x} \) olduğuna göre, denklemin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem bir Riccati denklemidir.
Bir \( u \) değişkeni ve denklemin genel çözümünü temsil eden \( y \) değişkeni tanımlayalım.
\( y = y_1 + \dfrac{1}{u} \)
\( y_1 = \cos{x} \) denklemin bir çözümü olarak veriliyor.
\( y = \cos{x} + \dfrac{1}{u} \)
\( y \) değişkeninin türevini alalım.
\( \dfrac{dy}{dx} = -\sin{x} - \dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} \)
Bulduğumuz \( y \) ve \( \frac{dy}{dx} \) ifadelerini denklemde yerine yazalım.
\( -\sin{x} - \dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} = 2(1 + x^2\cos{x})\left( \cos{x} + \dfrac{1}{u} \right) - 2\cos{x} - \sin{x} - x^2\cos^2{x} - x^2\left( \cos{x} + \dfrac{1}{u} \right)^2 \)
Parantezlerin açılımını yapıp sadeleştirmeleri yaptığımızda aşağıdaki eşitliği elde ederiz.
\( -\dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{dx} = \dfrac{2}{u} - \dfrac{x^2}{u^2} \)
Eşitliğin taraflarını \( -u^2 \) ile çarpalım ve denklemi düzenleyelim.
\( \dfrac{du}{dx} + 2u = x^2 \)
Elde ettiğimiz denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.
Denklemin integral çarpanını bulalım.
\( \mu(x) = e^{\int {2\ dx}} \)
\( = e^{2x} \)
Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.
\( e^{2x}\dfrac{du}{dx} + 2ue^{2x} = x^2e^{2x} \)
Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(x)u \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.
\( \dfrac{d}{dx}(ue^{2x}) = x^2e^{2x} \)
Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.
\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{dx}(ue^{2x})\ dx} = \displaystyle\int {x^2e^{2x}\ dx} \)
\( ue^{2x} + C_2 = \displaystyle\int {x^2e^{2x}\ dx} \)
Eşitliğin sağ tarafındaki ifadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = x^2 \)
\( dv = e^{2x}\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = 2x\ dx \)
\( v = \dfrac{1}{2}e^{2x} \)
Bu ifadeleri \( \int {u\ dv} = uv - \int {v\ du} \) kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( ue^{2x} + C_2 = \dfrac{x^2e^{2x}}{2} - \displaystyle\int {xe^{2x}\ dx} \)
Eşitliğin sağ tarafındaki ifadenin integralini almak için tekrar kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = x \)
\( dv = e^{2x}\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = dx \)
\( v = \dfrac{1}{2}e^{2x} \)
Bu ifadeleri \( \int {u\ dv} = uv - \int {v\ du} \) kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( ue^{2x} + C_2 = \dfrac{x^2e^{2x}}{2} - \dfrac{xe^{2x}}{2} + \displaystyle\int {\dfrac{1}{2}e^{2x}\ dx} \)
\( ue^{2x} = \dfrac{x^2e^{2x}}{2} - \dfrac{xe^{2x}}{2} + \dfrac{e^{2x}}{4} + C_1 \)
\( u = \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{4} + C_1 e^{-2x} \)
\( u = \dfrac{2x^2 - 2x + 1 + Ce^{-2x}}{4} \)
Denklemin \( y \) değişkeni için genel çözümünü bulalım.
\( y = y_1 + \dfrac{1}{u} \)
Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y = \cos{x} + \dfrac{4}{2x^2 - 2x + 1 + Ce^{-2x}} \)