Birinci Mertebeden Lineer Denklemler

(a) seçeneği:

\( \dfrac{dy}{dx} + 5y = 2 \)

\( p(x) = 5, \quad q(x) = 2 \)

Denklemin integral çarpanını bulalım.

\( \mu(x) = e^{\int {5\ dx}} \)

\( = e^{5x} \)

(b) seçeneği:

\( \dfrac{dy}{dx} + 3x^2y = \dfrac{2}{x} \)

\( p(x) = 3x^2, \quad q(x) = \dfrac{2}{x} \)

Denklemin integral çarpanını bulalım.

\( \mu(x) = e^{\int {3x^2\ dx}} \)

\( = e^{x^3} \)

(c) seçeneği:

\( \dfrac{dy}{dx} - \dfrac{2}{x}y = e^{3x} \)

\( p(x) = -\dfrac{2}{x}, \quad q(x) = e^{3x} \)

Denklemin integral çarpanını bulalım.

\( \mu(x) = e^{\int {-\frac{2}{x}\ dx}} \)

\( = e^{-2\ln{\abs{x}}} \)

\( = e^{\ln{\abs{x}^{-2}}} \)

\( = \abs{x}^{-2} \)

\( = \dfrac{1}{x^2} \)

Verilen denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.

\( p(x) = 1, \quad q(x) = 1 \)

Denklemin integral çarpanını bulalım.

\( \mu(x) = e^{\int {1\ dx}} \)

\( = e^x \)

Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.

\( e^x\dfrac{dy}{dx} + e^xy = e^x \)

Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(x)y \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.

\( \dfrac{d}{dx}(e^xy) = e^x \)

Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{dx}(e^xy)\ dx} = \displaystyle\int {e^x\ dx} \)

\( e^xy = e^x + C \)

Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( y = 1 + Ce^{-x} \)

---

Denklemi düzenleyelim.

\( \dfrac{dy}{dx} = 1 - y \)

\( \dfrac{dy}{dx} = f(x, y) \) formundaki bir denklemde eşitliğin sağ tarafını sıfır yapan \( y \) değerleri denklemin birer sabit çözümüdür.

Buna göre \( y = 1 \) denklemin bir sabit çözümüdür.

Denklemin \( y = 1 \) sabit çözümü genel çözümde \( C = 0 \) vererek elde edilebildiği için genel çözüme dahil edilebilir.

Verilen denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.

\( p(x) = -3, \quad q(x) = e^{2x} \)

Denklemin integral çarpanını bulalım.

\( \mu(x) = e^{\int {-3\ dx}} \)

\( = e^{-3x} \)

Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.

\( e^{-3x}\dfrac{dy}{dx} - 3e^{-3x}y = e^{-3x}e^{2x} \)

Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(x)y \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.

\( \dfrac{d}{dx}(e^{-3x}y) = e^{-x} \)

Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{dx}(e^{-3x}y)\ dx} = \displaystyle\int {e^{-x}\ dx} \)

\( e^{-3x}y = -e^{-x} + C \)

Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( y = Ce^{3x} - e^{2x} \)

Verilen denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.

\( p(x) = 2x, \quad q(x) = 6x \)

Denklemin integral çarpanını bulalım.

\( \mu(x) = e^{\int {2x\ dx}} \)

\( = e^{x^2} \)

Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.

\( e^{x^2}\dfrac{dz}{dx} + 2xe^{x^2}z = 6xe^{x^2} \)

Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(x)z \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.

\( \dfrac{d}{dx}(e^{x^2}z) = 6xe^{x^2} \)

Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{dx}(e^{x^2}z)\ dx} = \displaystyle\int {6xe^{x^2}\ dx} \)

\( e^{x^2}z = 3e^{x^2} + C \)

Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( z = 3 + Ce^{-x^2} \)

---

Denklemi düzenleyelim.

\( \dfrac{dz}{dx} = x(6 - 2z) \)

\( \dfrac{dz}{dx} = f(x, z) \) formundaki bir denklemde eşitliğin sağ tarafını sıfır yapan \( z \) değerleri denklemin birer sabit çözümüdür.

Buna göre \( z = 3 \) denklemin bir sabit çözümüdür.

Denklemin \( z = 3 \) sabit çözümü genel çözümde \( C = 0 \) vererek elde edilebildiği için genel çözüme dahil edilebilir.

Denklemi düzenleyelim.

\( \theta\dfrac{dy}{d\theta} + y = \cos{\theta} \)

\( \dfrac{dy}{d\theta} + \dfrac{1}{\theta}y = \dfrac{\cos{\theta}}{\theta} \)

Verilen denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.

\( p(\theta) = \dfrac{1}{\theta}, \quad q(\theta) = \dfrac{\cos{\theta}}{\theta} \)

Denklemin integral çarpanını bulalım.

\( \mu(\theta) = e^{\int {\frac{1}{\theta}\ d\theta}} \)

\( = e^{\ln{\abs{\theta}}} \)

\( = \abs{\theta} \)

İntegral çarpanı denklemdeki tüm terimlerle çarpıldığı için önündeki işaretin pozitif ya da negatif olması çözümü değiştirmez, bu yüzden mutlak değer çarpandan kaldırılabilir.

\( = \theta \)

Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.

\( \theta\dfrac{dy}{d\theta} + \theta\dfrac{1}{\theta}y = \theta\dfrac{\cos{\theta}}{\theta} \)

\( \theta\dfrac{dy}{d\theta} + y = \cos{\theta} \)

Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(\theta)y \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.

\( \dfrac{d}{d\theta}(\theta y) = \cos{\theta} \)

Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{d\theta}(\theta y)\ d\theta} = \displaystyle\int {\cos{\theta}\ d\theta} \)

\( \theta y = \sin{\theta} + C \)

Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( y = \dfrac{\sin{\theta}}{\theta} + \dfrac{C}{\theta} \)

\( y(\pi) = 1 \) başlangıç değerini denklemde yerine koyalım.

\( 1 = \dfrac{\sin{\pi}}{\pi} + \dfrac{C}{\pi} \)

\( 1 = 0 + \dfrac{C}{\pi} \)

\( C = \pi \)

Denklemin verilen başlangıç değeri için çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( y = \dfrac{\sin{\theta}}{\theta} + \dfrac{\pi}{\theta} \)

Verilen denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.

\( p(x) = \dfrac{1}{x}, \quad q(x) = \dfrac{12x^2 + 4}{3x^4 + 2x^2 - 5} \)

Denklemin integral çarpanını bulalım.

\( \mu(x) = e^{\int {\frac{1}{x}\ dx}} \)

\( = e^{\ln{\abs{x}}} \)

\( = \abs{x} \)

İntegral çarpanı denklemdeki tüm terimlerle çarpıldığı için önündeki işaretin pozitif ya da negatif olması çözümü değiştirmez, bu yüzden mutlak değer çarpandan kaldırılabilir.

\( = x \)

Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.

\( x\dfrac{dy}{dx} + x\dfrac{1}{x}y = x\dfrac{12x^2 + 4}{3x^4 + 2x^2 - 5} \)

\( x\dfrac{dy}{dx} + y = \dfrac{12x^3 + 4x}{3x^4 + 2x^2 - 5} \)

Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(x)y \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.

\( \dfrac{d}{dx}(xy) = \dfrac{12x^3 + 4x}{3x^4 + 2x^2 - 5} \)

Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{dx}(xy)\ dx} = \displaystyle\int {\dfrac{12x^3 + 4x}{3x^4 + 2x^2 - 5}\ dx} \)

\( xy = \ln{\abs{3x^4 + 2x^2 - 5}} + C \)

\( C = \ln{A} \) yazalım.

\( xy = \ln{\abs{3x^4 + 2x^2 - 5}} + \ln{A} \)

\( xy = \ln(A\abs{3x^4 + 2x^2 - 5}) \)

Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( y = \dfrac{\ln(A\abs{3x^4 + 2x^2 - 5})}{x} \)

\( y(2) = 0 \) başlangıç değerini denklemde yerine koyalım.

\( 0 = \dfrac{\ln(A\abs{3(2)^4 + 2(2)^2 - 5})}{2} \)

\( 0 = \dfrac{\ln(A\abs{51})}{2} \)

\( A = \dfrac{1}{51} \)

Denklemin verilen başlangıç değeri için çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( y = \dfrac{\ln\left( \dfrac{1}{51}\abs{3x^4 + 2x^2 - 5} \right)}{x} \)

Denklemi düzenleyelim.

\( \dfrac{dy}{dx} - \dfrac{2}{x}y = 8x^2 - 7 + \dfrac{6}{x} \)

Verilen denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.

\( p(x) = -\dfrac{2}{x}, \quad q(x) = 8x^2 - 7 + \dfrac{6}{x} \)

Denklemin integral çarpanını bulalım.

\( \mu(x) = e^{\int {-\frac{2}{x}\ dx}} \)

\( = e^{-2\ln{\abs{x}}} \)

\( = e^{\ln{\abs{x}^{-2}}} \)

\( = \abs{x}^{-2} \)

İntegral çarpanı denklemdeki tüm terimlerle çarpıldığı için önündeki işaretin pozitif ya da negatif olması çözümü değiştirmez, bu yüzden mutlak değer çarpandan kaldırılabilir.

\( = \dfrac{1}{x^2} \)

Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.

\( \dfrac{1}{x^2}\dfrac{dy}{dx} - \dfrac{2}{x^3}y = \dfrac{1}{x^2}\left( 8x^2 - 7 + \dfrac{6}{x} \right) \)

\(\dfrac{1}{x^2} \dfrac{dy}{dx} - \dfrac{2}{x^3}y = 8 - \dfrac{7}{x^2} + \dfrac{6}{x^3} \)

Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(x)y \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.

\( \dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{1}{x^2}y \right) = 8 - \dfrac{7}{x^2} + \dfrac{6}{x^3} \)

Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{1}{x^2}y \right)\ dx} = \displaystyle\int {\left( 8 - \dfrac{7}{x^2} + \dfrac{6}{x^3} \right)\ dx} \)

\( \dfrac{1}{x^2}y = 8x + \dfrac{7}{x} - \dfrac{3}{x^2} + C \)

Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( y = 8x^3 + Cx^2 + 7x - 3 \)

\( y(1) = 1 \) başlangıç değerini denklemde yerine koyalım.

\( 1 = 8(1)^3 + C(1)^2 + 7(1) - 3 \)

\( 1 = 8 + C + 7 - 3 \)

\( C = -11 \)

Denklemin verilen başlangıç değeri için çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( y = 8x^3 - 11x^2 + 7x - 3 \)

Verilen denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.

\( p(y) = -\dfrac{3}{y}, \quad q(y) = y^3\cos{y} \)

Denklemin integral çarpanını bulalım.

\( \mu(y) = e^{\int {-\frac{3}{y}\ dy}} \)

\( = e^{-3\ln{\abs{y}}} \)

\( = e^{\ln{\abs{y}^{-3}}} \)

\( = \abs{y}^{-3} \)

İntegral çarpanı denklemdeki tüm terimlerle çarpıldığı için önündeki işaretin pozitif ya da negatif olması çözümü değiştirmez, bu yüzden mutlak değer çarpandan kaldırılabilir.

\( = \dfrac{1}{y^3} \)

Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.

\( \dfrac{1}{y^3}\dfrac{dz}{dy} - \dfrac{3}{y^4}z = \cos{y} \)

Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(y)z \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.

\( \dfrac{d}{dy}\left( \dfrac{z}{y^3} \right) = \cos{y} \)

Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{dy}\left( \dfrac{z}{y^3} \right)\ dy} = \displaystyle\int {\cos{y}\ dy} \)

\( \dfrac{z}{y^3} = \sin{y} + C \)

Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( z = y^3\sin{y} + Cy^3 \)

Denklemi düzenleyelim.

\( \dfrac{dy}{dx} + \dfrac{1}{x}y = \dfrac{1}{2}e^{-x^2} \)

Verilen denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.

\( p(x) = \dfrac{1}{x}, \quad q(x) = \dfrac{1}{2}e^{-x^2} \)

Denklemin integral çarpanını bulalım.

\( \mu(x) = e^{\int {\frac{1}{x}\ dx}} \)

\( = e^{\ln{\abs{x}}} \)

\( = \abs{x} \)

İntegral çarpanı denklemdeki tüm terimlerle çarpıldığı için önündeki işaretin pozitif ya da negatif olması çözümü değiştirmez, bu yüzden mutlak değer çarpandan kaldırılabilir.

\( = x \)

Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.

\( x\dfrac{dy}{dx} + y = \dfrac{1}{2}xe^{-x^2} \)

Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(x)y \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.

\( \dfrac{d}{dx}(xy) = \dfrac{1}{2}xe^{-x^2} \)

Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{dx}(xy)\ dx} = \displaystyle\int {\dfrac{1}{2}xe^{-x^2}\ dx} \)

\( xy = -\dfrac{1}{4}e^{-x^2} + C \)

Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( y = \dfrac{C}{x} - \dfrac{e^{-x^2}}{4x} \)

Denklemi düzenleyelim.

\( \dfrac{dy}{dx} + \dfrac{6x}{3x^2 + 5}y = 8x - 6 \)

Verilen denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.

\( p(x) = \dfrac{6x}{3x^2 + 5}, \quad q(x) = 8x - 6 \)

Denklemin integral çarpanını bulalım.

\( \mu(x) = e^{\int {\frac{6x}{3x^2 + 5}\ dx}} \)

\( = e^{\ln{\abs{3x^2 + 5}}} \)

\( = \abs{3x^2 + 5} \)

İntegral çarpanı denklemdeki tüm terimlerle çarpıldığı için önündeki işaretin pozitif ya da negatif olması çözümü değiştirmez, bu yüzden mutlak değer çarpandan kaldırılabilir.

\( = 3x^2 + 5 \)

Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.

\( (3x^2 + 5)\dfrac{dy}{dx} + (3x^2 + 5)\dfrac{6xy}{3x^2 + 5} = (3x^2 + 5)(8x - 6) \)

\( (3x^2 + 5)\dfrac{dy}{dx} + 6xy = 24x^3 - 18x^2 + 40x - 30 \)

Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(x)y \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.

\( \dfrac{d}{dx}((3x^2 + 5)y) = 12x^3 - 18x^2 + 40x - 30 \)

Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{dx}((3x^2 + 5)y)\ dx} = \displaystyle\int {(12x^3 - 18x^2 + 40x - 30)\ dx} \)

\( (3x^2 + 5)y = 3x^4 - 6x^3 + 20x^2 - 30x + C \)

\( y = \dfrac{3x^4 - 6x^3 + 20x^2 - 30x + C}{3x^2 + 5} \)

Eşitliğin sağ tarafında payı paydaya polinom bölmesi ile bölelim.

Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( y = x^2 - 2x + 5 - \dfrac{45x - C}{3x^2 + 5} \)

\( y(0) = 0 \) başlangıç değerini denklemde yerine koyalım.

\( 0 = 0^2 - 2(0) + 5 - \dfrac{45(0) - C}{3(0)^2 + 5} \)

\( 0 = 5 + \dfrac{-C}{5} \)

\( C = 25 \)

Denklemin verilen başlangıç değeri için çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( y = x^2 - 2x + 5 - \dfrac{45x - 25}{3x^2 + 5} \)

Denklemi düzenleyelim.

\( \dfrac{dx}{dt} = 5t^2 + 4x + \dfrac{2x}{t} \)

\( \dfrac{dx}{dt} - \left( \dfrac{2}{t} + 4 \right)x = 5t^2 \)

Verilen denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.

\( p(t) = -\dfrac{2}{t} - 4, \quad q(t) = 5t^2 \)

Denklemin integral çarpanını bulalım.

\( \mu(t) = e^{\int {\left( -\frac{2}{t} - 4 \right)\ dt}} \)

\( = e^{-2\ln{\abs{t}} - 4t} \)

\( = e^{\ln{\abs{t}^{-2}} - 4t} \)

\( = \abs{t}^{-2}e^{-4t} \)

\( = \dfrac{1}{t^2e^{4t}} \)

Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.

\( \dfrac{1}{t^2e^{4t}}\dfrac{dx}{dt} - \dfrac{1}{t^2e^{4t}}\left( \dfrac{2}{t} + 4 \right)x = \dfrac{1}{t^2e^{4t}}5t^2 \)

\( \dfrac{1}{t^2e^{4t}}\dfrac{dx}{dt} - \left( \dfrac{2}{t^3e^{4t}} + \dfrac{4}{t^2e^{4t}} \right)x = \dfrac{5}{e^{4t}} \)

Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(t)x \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.

\( \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{1}{t^2e^{4t}}x \right) = \dfrac{5}{e^{4t}} \)

Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{1}{t^2e^{4t}}x \right)\ dt} = \displaystyle\int {\dfrac{5}{e^{4t}}\ dt} \)

\( \dfrac{1}{t^2e^{4t}}x = -\dfrac{5}{4e^{4t}} + C \)

Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( x = Ct^2e^{4t} - \dfrac{5t^2}{4} \)

Denklemi düzenleyelim.

\( \dfrac{dy}{dx} + \dfrac{3}{x}y = 12\sqrt{x^4 - 2} \)

Verilen denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.

\( p(x) = \dfrac{3}{x}, \quad q(x) = 12\sqrt{x^4 - 2} \)

Denklemin integral çarpanını bulalım.

\( \mu(x) = e^{\int {\frac{3}{x}\ dx}} \)

\( = e^{3\ln{\abs{x}}} \)

\( = e^{\ln{\abs{x}^3}} \)

\( = \abs{x}^3 \)

İntegral çarpanı denklemdeki tüm terimlerle çarpıldığı için önündeki işaretin pozitif ya da negatif olması çözümü değiştirmez, bu yüzden mutlak değer çarpandan kaldırılabilir.

\( = x^3 \)

Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.

\( x^3\dfrac{dy}{dx} + x^3\dfrac{3}{x}y = 12x^3\sqrt{x^4 - 2} \)

\( x^3\dfrac{dy}{dx} + 3x^2y = 12x^3\sqrt{x^4 - 2} \)

Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(x)y \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.

\( \dfrac{d}{dx}(x^3y) = 12x^3\sqrt{x^4 - 2} \)

Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{dx}(x^3y)\ dx} = \displaystyle\int {12x^3\sqrt{x^4 - 2}\ dx} \)

\( x^3y + C_1 = 3\displaystyle\int {4x^3\sqrt{x^4 - 2}\ dx} \)

\( x^3y = \dfrac{3\sqrt{(x^4 - 2)^3}}{\frac{3}{2}} + C \)

\( x^3y = 2\sqrt{(x^4 - 2)^3} + C \)

Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( y = \dfrac{2\sqrt{(x^4 - 2)^3}}{x^3} + \dfrac{C}{x^3} \)

Denklemi düzenleyelim.

\( \dfrac{dy}{dx} + \dfrac{3}{x}y = \dfrac{\ln{x}}{x^2} \)

Verilen denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.

\( p(x) = \dfrac{3}{x}, \quad q(x) = \dfrac{\ln{x}}{x^2} \)

Denklemin integral çarpanını bulalım.

\( \mu(x) = e^{\int {\frac{3}{x}\ dx}} \)

\( = e^{3\ln{\abs{x}}} \)

\( = e^{\ln{\abs{x}^3}} \)

\( = \abs{x}^3 \)

İntegral çarpanı denklemdeki tüm terimlerle çarpıldığı için önündeki işaretin pozitif ya da negatif olması çözümü değiştirmez, bu yüzden mutlak değer çarpandan kaldırılabilir.

\( = x^3 \)

Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.

\( x^3\dfrac{dy}{dx} + x^3\dfrac{3}{x}y = x^3\dfrac{\ln{x}}{x^2} \)

\( x^3\dfrac{dy}{dx} + 3x^2y = x\ln{x} \)

Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(x)y \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.

\( \dfrac{d}{dx}(x^3y) = x\ln{x} \)

Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{dx}(x^3y)\ dx} = \displaystyle\int {x\ln{x}\ dx} \)

\( x^3y + C_1 = \displaystyle\int {x\ln{x}\ dx} \)

Eşitliğin sağ tarafındaki ifadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.

\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.

\( u = \ln{x} \)

\( dv = x\ dx \)

Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.

\( du = \dfrac{1}{x}\ dx \)

\( v = \dfrac{x^2}{2} \)

Bu ifadeleri \( \int {u\ dv} = uv - \int {v\ du} \) kısmi integral formülünde yerine koyalım.

\( x^3y + C_1 = \dfrac{x^2\ln{x}}{2} - \displaystyle\int {\dfrac{x}{2}\ dx} \)

\( x^3y = \dfrac{x^2\ln{x}}{2} - \dfrac{x^2}{4} + C \)

Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( y = \dfrac{\ln{x}}{2x} - \dfrac{1}{4x} + \dfrac{C}{x^3} \)

Denklemi düzenleyelim.

\( \dfrac{dy}{dt} + e^ty = 3e^{t} \)

Verilen denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.

\( p(t) = e^t, \quad q(t) = 3e^{t} \)

Denklemin integral çarpanını bulalım.

\( \mu(t) = e^{\int {e^t\ dt}} \)

\( = e^{e^t} \)

Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.

\( e^{e^t}\dfrac{dy}{dt} + e^{e^t}e^ty = 3e^{t}e^{e^t} \)

Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(t)y \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.

\( \dfrac{d}{dt}(e^{e^t}y) = 3e^{t}e^{e^t} \)

Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{dt}(e^{e^t}y)\ dt} = \displaystyle\int {3e^{t}e^{e^t}\ dt} \)

\( e^{e^t}y + C_1 = \displaystyle\int {3e^{t}e^{e^t}\ dt} \)

Eşitliğin sağ tarafındaki integrali \( u = e^{e^t} \) ve \( du = e^{e^t}e^t\ dx \) şeklinde değişken değiştirerek alabiliriz.

\( e^{e^t}y = 3e^{e^t} + C \)

Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( y = 3 + Ce^{-e^t} \)

\( y(0) = 0 \) başlangıç değerini denklemde yerine koyalım.

\( 0 = 3 + Ce^{-e^{0}} \)

\( C = -3e \)

Denklemin verilen başlangıç değeri için çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( y = 3 - 3e^{-e^t + 1} \)

Denklemi düzenleyelim.

\( 2x\dfrac{dy}{dx} - 2y = x\ln{x} \)

\( \dfrac{dy}{dx} - \dfrac{1}{x}y = \dfrac{\ln{x}}{2} \)

Verilen denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.

\( p(x) = -\dfrac{1}{x}, \quad q(x) = \dfrac{\ln{x}}{2} \)

Denklemin integral çarpanını bulalım.

\( \mu(x) = e^{\int {-\frac{1}{x}\ dx}} \)

\( = e^{-\ln{\abs{x}}} \)

\( = e^{\ln{\abs{x}^{-1}}} \)

\( = \abs{x}^{-1} \)

İntegral çarpanı denklemdeki tüm terimlerle çarpıldığı için önündeki işaretin pozitif ya da negatif olması çözümü değiştirmez, bu yüzden mutlak değer çarpandan kaldırılabilir.

\( = \dfrac{1}{x} \)

Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.

\( \dfrac{1}{x}\dfrac{dy}{dx} - \dfrac{1}{x^2}y = \dfrac{\ln{x}}{2x} \)

Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(x)y \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.

\( \dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{y}{x} \right) = \dfrac{\ln{x}}{2x} \)

Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{y}{x} \right)\ dx} = \displaystyle\int {\dfrac{\ln{x}}{2x}\ dx} \)

\( \dfrac{y}{x} = \dfrac{(\ln{x})^2}{4} + C \)

Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( y = \dfrac{x(\ln{x})^2}{4} + Cx \)

Denklemi düzenleyelim.

\( \dfrac{dy}{dx} + \dfrac{x^2 + 2x}{x^2}y = \dfrac{6}{x^2} \)

\( \dfrac{dy}{dx} + \dfrac{x + 2}{x}y = \dfrac{6}{x^2} \)

Verilen denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.

\( p(x) = \dfrac{x + 2}{x}, \quad q(x) = \dfrac{6}{x^2} \)

Denklemin integral çarpanını bulalım.

\( \mu(x) = e^{\int {\frac{x + 2}{x}\ dx}} \)

\( = e^{\int {\left( 1 + \frac{2}{x} \right)\ dx}} \)

\( = e^{x + 2\ln{\abs{x}}} \)

\( = e^{x + \ln{\abs{x}^2}} \)

\( = \abs{x}^2e^x \)

\( = x^2e^x \)

Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.

\( x^2e^x\dfrac{dy}{dx} + x^2e^x\dfrac{x + 2}{x}y = x^2e^x\dfrac{6}{x^2} \)

\( x^2e^x\dfrac{dy}{dx} + xe^x(x + 2)y = 6e^x \)

\( x^2e^x\dfrac{dy}{dx} + (x^2e^x + 2xe^x)y = 6e^x \)

Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(x)y \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.

\( \dfrac{d}{dx}(x^2e^xy) = 6e^x \)

Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{dx}(x^2e^xy)\ dx} = \displaystyle\int {6e^x\ dx} \)

\( x^2e^xy = 6e^x + C \)

Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( y = \dfrac{6}{x^2} + \dfrac{C}{x^2e^x} \)

\( y(1) = 1 \) başlangıç değerini denklemde yerine koyalım.

\( 1 = \dfrac{6}{1^2} + \dfrac{C}{1^2e^1} \)

\( 1 = 6 + \dfrac{C}{e} \)

\( C = -5e \)

Denklemin verilen başlangıç değeri için çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( y = \dfrac{6}{x^2} - \dfrac{5e}{x^2e^x} \)

Bulduğumuz özel çözüm için \( y(2) \) değerini bulalım.

\( y(2) = \dfrac{6}{2^2} - \dfrac{5e}{2^2e^2} \)

\( = \dfrac{3}{2} - \dfrac{5}{4e} \) bulunur.

Denklemi düzenleyelim.

\( \dfrac{dv}{dt} - v\cot{t} = 3e^{3t}\sin{t} \)

Verilen denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.

\( p(t) = -\cot{t}, \quad q(t) = 3e^{3t}\sin{t} \)

Denklemin integral çarpanını bulalım.

\( \mu(t) = e^{\int {-\cot{t}\ dt}} \)

\( = e^{-\ln{\abs{\sin{t}}}} \)

\( = e^{\ln{\abs{\sin{t}}^{-1}}} \)

\( = \abs{\sin{t}}^{-1} \)

İntegral çarpanı denklemdeki tüm terimlerle çarpıldığı için önündeki işaretin pozitif ya da negatif olması çözümü değiştirmez, bu yüzden mutlak değer çarpandan kaldırılabilir.

\( = \csc{t} \)

Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.

\( \dfrac{dv}{dt}\csc{t} - v\cot{t}\csc{t} = 3e^{3t}\sin{t}\csc{t} \)

\( \dfrac{dv}{dt}\csc{t} - v\cot{t}\csc{t} = 3e^{3t} \)

Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(t)v \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.

\( \dfrac{d}{dt}(v\csc{t}) = 3e^{3t} \)

Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{dt}(v\csc{t})\ dt} = \displaystyle\int {3e^{3t}\ dt} \)

\( v\csc{t} = e^{3t} + C \)

Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( v = e^{3t}\sin{t} + C\sin{t} \)

Denklemi düzenleyelim.

\( \dfrac{dy}{dx} + y\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} = \dfrac{1}{\cos{x}} \)

\( \dfrac{dy}{dx} + y\tan{x} = \sec{x} \)

Verilen denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.

\( p(x) = \tan{x}, \quad q(x) = \sec{x} \)

Denklemin integral çarpanını bulalım.

\( \mu(x) = e^{\int {\tan{x}\ dx}} \)

\( = e^{-\ln{\abs{\cos{x}}}} \)

\( = e^{\ln{\abs{\cos{x}}^{-1}}} \)

\( = \abs{\cos{x}}^{-1} \)

İntegral çarpanı denklemdeki tüm terimlerle çarpıldığı için önündeki işaretin pozitif ya da negatif olması çözümü değiştirmez, bu yüzden mutlak değer çarpandan kaldırılabilir.

\( = (\cos{x})^{-1} \)

\( = \sec{x} \)

Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.

\( \dfrac{dy}{dx}\sec{x} + y\tan{x}\sec{x} = \sec^2{x} \)

Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(x)y \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.

\( \dfrac{d}{dx}(y\sec{x}) = \sec^2{x} \)

Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{dx}(y\sec{x})\ dx} = \displaystyle\int {\sec^2{x}\ dx} \)

\( y\sec{x} = \tan{x} + C \)

\( y = \dfrac{\tan{x}}{\sec{x}} + \dfrac{C}{\sec{x}} \)

Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( y = \sin{x} + C\cos{x} \)

Verilen denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.

\( p(t) = -\tan{t}, \quad q(t) = 3\sec^3{t} \)

Denklemin integral çarpanını bulalım.

\( \mu(t) = e^{\int {-\tan{t}\ dt}} \)

\( = e^{\ln{\abs{\cos{t}}}} \)

\( = \abs{\cos{t}} \)

İntegral çarpanı denklemdeki tüm terimlerle çarpıldığı için önündeki işaretin pozitif ya da negatif olması çözümü değiştirmez, bu yüzden mutlak değer çarpandan kaldırılabilir.

\( = \cos{t} \)

Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.

\( \dfrac{dy}{dt}\cos{t} - y\tan{t}\cos{t} = 3\sec^3{t}\cos{t} \)

\( \dfrac{dy}{dt}\cos{t} - y\sin{t} = 3\sec^2{t} \)

Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(t)y \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.

\( \dfrac{d}{dt}(y\cos{t}) = 3\sec^2{t} \)

Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{dt}(y\cos{t})\ dt} = \displaystyle\int {3\sec^2{t}\ dt} \)

\( y\cos{t} = 3\tan{t} + C \)

Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( y = 3\tan{t}\sec{t} + C\sec{t} \)

Denklemi düzenleyelim.

\( \dfrac{dr}{d\theta} + \dfrac{1}{\cot{\theta}}r = \dfrac{\cos^2{\theta}}{\cot{\theta}} \)

\( \dfrac{dr}{d\theta} + r\tan{\theta} = \cos{\theta}\sin{\theta} \)

Verilen denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.

\( p(\theta) = \tan{\theta}, \quad q(\theta) = \cos{\theta}\sin{\theta} \)

Denklemin integral çarpanını bulalım.

\( \mu(\theta) = e^{\int {\tan{\theta}\ d\theta}} \)

\( = e^{-\ln{\abs{\cos{\theta}}}} \)

\( = e^{\ln{\abs{\cos{\theta}}^{-1}}} \)

\( = \abs{\cos{\theta}}^{-1} \)

İntegral çarpanı denklemdeki tüm terimlerle çarpıldığı için önündeki işaretin pozitif ya da negatif olması çözümü değiştirmez, bu yüzden mutlak değer çarpandan kaldırılabilir.

\( = (\cos{\theta})^{-1} \)

\( = \sec{\theta} \)

Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.

\( \dfrac{dr}{d\theta}\sec{\theta} + r\tan{\theta}\sec{\theta} = \cos{\theta}\sin{\theta}\sec{\theta} \)

\( \dfrac{dr}{d\theta}\sec{\theta} + r\tan{\theta}\sec{\theta} = \sin{\theta} \)

Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(\theta)r \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.

\( \dfrac{d}{d\theta}(r\sec{\theta}) = \sin{\theta} \)

Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{d\theta}(r\sec{\theta})\ d\theta} = \displaystyle\int {\sin{\theta}\ d\theta} \)

\( r\sec{\theta} = -\cos{\theta} + C \)

Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( r = C\cos{\theta} - \cos^2{\theta} \)

Denklemi düzenleyelim.

\( \dfrac{dy}{dx}\cos{x} + y\sin{x} = 2\cos{x}\sin(2x) \)

\( \dfrac{dy}{dx} + y\tan{x} = 2\sin(2x) \)

Verilen denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.

\( p(x) = \tan{x}, \quad q(x) = 2\sin(2x) \)

Denklemin integral çarpanını bulalım.

\( \mu(x) = e^{\int {\tan{x}\ dx}} \)

\( = e^{-\ln{\abs{\cos{x}}}} \)

\( = e^{\ln{\abs{\cos{x}}^{-1}}} \)

\( = \abs{\cos{x}}^{-1} \)

İntegral çarpanı denklemdeki tüm terimlerle çarpıldığı için önündeki işaretin pozitif ya da negatif olması çözümü değiştirmez, bu yüzden mutlak değer çarpandan kaldırılabilir.

\( = (\cos{x})^{-1} \)

\( = \sec{x} \)

Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.

\( \dfrac{dy}{dx}\sec{x} + y\tan{x}\sec{x} = 2\sin(2x)\sec{x} \)

Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.

\( \dfrac{dy}{dx}\sec{x} + y\tan{x}\sec{x} = 4\sin{x}\cos{x}\sec{x} \)

\( \dfrac{dy}{dx}\sec{x} + y\tan{x}\sec{x} = 4\sin{x} \)

Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(x)y \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.

\( \dfrac{d}{dx}(y\sec{x}) = 4\sin{x} \)

Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{dx}(y\sec{x})\ dx} = \displaystyle\int {4\sin{x}\ dx} \)

\( y\sec{x} = -4\cos{x} + C \)

Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( y = C\cos{x} - 4\cos^2{x} \)

\( y\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = 3 \) başlangıç değerini denklemde yerine koyalım.

\( 3 = C\cos{\dfrac{\pi}{6}} - 4\cos^2{\dfrac{\pi}{6}} \)

\( 3 = \dfrac{C\sqrt{3}}{2} - 4\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 \)

\( 3 = \dfrac{C\sqrt{3}}{2} - 3 \)

\( C = 4\sqrt{3} \)

Denklemin verilen başlangıç değeri için çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( y = 4\sqrt{3}\cos{x} - 4\cos^2{x} \)

Verilen denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.

\( p(x) = 3\cot{x}, \quad q(x) = \sin(2x) \)

Denklemin integral çarpanını bulalım.

\( \mu(x) = e^{\int {3\cot{x}\ dx}} \)

\( = e^{3\ln{\abs{\sin{x}}}} \)

\( = e^{\ln{\abs{\sin{x}}^3}} \)

\( = \abs{\sin{x}}^3 \)

İntegral çarpanı denklemdeki tüm terimlerle çarpıldığı için önündeki işaretin pozitif ya da negatif olması çözümü değiştirmez, bu yüzden mutlak değer çarpandan kaldırılabilir.

\( = \sin^3{x} \)

Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.

\( \dfrac{dy}{dx}\sin^3{x} + 3y\cot{x}\sin^3{x} = \sin(2x)\sin^3{x} \)

\( \dfrac{dy}{dx}\sin^3{x} + 3y\cos{x}\sin^2{x} = \sin(2x)\sin^3{x} \)

Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(x)y \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.

\( \dfrac{d}{dx}(y\sin^3{x}) = \sin(2x)\sin^3{x} \)

Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{dx}(y\sin^3{x})\ dx} = \displaystyle\int {\sin(2x)\sin^3{x}\ dx} \)

\( y\sin^3{x} + C_1 = \displaystyle\int {\sin(2x)\sin^3{x}\ dx} \)

Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.

\( y\sin^3{x} + C_1 = \displaystyle\int {2\cos{x}\sin^4{x}\ dx} \)

\( y\sin^3{x} = \dfrac{2}{5}\sin^5{x} + C \)

Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( y = \dfrac{2}{5}\sin^2{x} + C\csc^3{x} \)

Bir eğrinin herhangi bir noktasındaki eğim eğrinin birinci türevine eşittir ve \( \frac{dy}{dx} \) ile ifade edilir.

Bir eğrinin herhangi bir noktasının koordinatları \( (x, y) \) olduğu için, bu noktayı orijin ile birleştiren doğru parçasının eğimi aşağıdaki formülle bulunabilir.

\( \dfrac{y - 0}{x - 0} = \dfrac{y}{x} \)

Buna göre verilen bilgileri bir denklem olarak aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{x} + 3 \)

\( \dfrac{dy}{dx} - \dfrac{1}{x}y = 3 \)

Verilen denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.

\( p(x) = \dfrac{1}{x}, \quad q(x) = 3 \)

Denklemin integral çarpanını bulalım.

\( \mu(x) = e^{\int {\frac{1}{x}\ dx}} \)

\( = e^{\ln{\abs{x}}} \)

\( = \abs{x} \)

İntegral çarpanı denklemdeki tüm terimlerle çarpıldığı için önündeki işaretin pozitif ya da negatif olması çözümü değiştirmez, bu yüzden mutlak değer çarpandan kaldırılabilir.

\( = x \)

Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.

\( x\dfrac{dy}{dx} - x\dfrac{y}{x} = 3x \)

\( x\dfrac{dy}{dx} - y = 3x \)

Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(x)y \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.

\( \dfrac{d}{dx}(xy) = 3x \)

Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{dx}(xy)\ dx} = \displaystyle\int {3x\ dx} \)

\( xy = \dfrac{3}{2}x^2 + C \)

Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( y = \dfrac{3}{2}x + \dfrac{C}{x} \)

\( y(2) = 1 \) başlangıç değerini denklemde yerine koyalım.

\( 1 = \dfrac{3}{2}(2) + \dfrac{C}{2} \)

\( C = -4 \)

Eğrinin denklemi aşağıdaki gibi bulunur.

\( y = \dfrac{3}{2}x - \dfrac{4}{x} \)

Denklemi düzenleyelim.

\( (x + 2)\dfrac{dy}{dx} - 2y = 3x^2 + 6 \)

\( \dfrac{dy}{dx} - \dfrac{2}{x + 2}y = \dfrac{3x^2 + 6x}{x + 2} \)

\( \dfrac{dy}{dx} - \dfrac{2}{x + 2}y = 3x \)

Verilen denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.

\( p(x) = -\dfrac{2}{x + 2}, \quad q(x) = 3x \)

Denklemin integral çarpanını bulalım.

\( \mu(x) = e^{\int {-\frac{2}{x + 2}\ dx}} \)

\( = e^{-2\ln{\abs{x + 2}}} \)

\( = e^{\ln{\abs{x + 2}^{-2}}} \)

\( = \abs{x + 2}^{-2} \)

İntegral çarpanı denklemdeki tüm terimlerle çarpıldığı için önündeki işaretin pozitif ya da negatif olması çözümü değiştirmez, bu yüzden mutlak değer çarpandan kaldırılabilir.

\( = \dfrac{1}{(x + 2)^2} \)

Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.

\( \dfrac{1}{(x + 2)^2}\dfrac{dy}{dx} - \dfrac{2}{(x + 2)^3}y = \dfrac{3x}{(x + 2)^2} \)

Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(x)y \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.

\( \dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{y}{(x + 2)^2} \right) = \dfrac{3x}{(x + 2)^2} \)

Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{y}{(x + 2)^2} \right)\ dx} = \displaystyle\int {\dfrac{3x}{(x + 2)^2}\ dx} \)

\( \dfrac{y}{(x + 2)^2} + C_1 = \displaystyle\int {\dfrac{3x}{(x + 2)^2}\ dx} \)

Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.

\( u = x + 2 \)

\( \Longrightarrow x = u - 2 \)

\( \Longrightarrow du = dx \)

\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.

\( \dfrac{y}{u^2} + C_1 = \displaystyle\int {\dfrac{3u - 6}{u^2}\ du} \)

\( \dfrac{y}{u^2} + C_1 = \displaystyle\int {\left( \dfrac{3}{u} - \dfrac{6}{u^2} \right)\ du} \)

\( \dfrac{y}{u^2} = 3\ln{\abs{u}} + \dfrac{6}{u} + C \)

\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.

\( \dfrac{y}{(x + 2)^2} = 3\ln{\abs{x + 2}} + \dfrac{6}{x + 2} + C \)

Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( y = 3(x + 2)^2\ln{\abs{x + 2}} + 6(x + 2) + C(x + 2)^2 \)

\( y(-1) = 0 \) başlangıç değerini denklemde yerine koyalım.

\( 0 = 3(-1 + 2)^2\ln{\abs{-1 + 2}} + 6(-1 + 2) + C(-1 + 2)^2 \)

\( 0 = 3\ln{\abs{1}} + 6 + C \)

\( C = -6 \)

Denklemin verilen başlangıç değeri için çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( y = 3(x + 2)^2\ln{\abs{x + 2}} + 6(x + 2) - 6(x + 2)^2 \)

Denklemi düzenleyelim.

\( x\dfrac{dy}{dx} + (2 - x)y = 7x \)

\( \dfrac{dy}{dx} + \dfrac{2 - x}{x}y = 7 \)

Verilen denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.

\( p(x) = \dfrac{2 - x}{x}, \quad q(x) = 7 \)

Denklemin integral çarpanını bulalım.

\( \mu(x) = e^{\int {\frac{2 - x}{x}\ dx}} \)

\( = e^{2\ln{\abs{x}} - x} \)

\( = e^{\ln{\abs{x}^2} - x} \)

\( = \abs{x}^2e^{-x} \)

\( = x^2e^{-x} \)

Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.

\( x^2e^{-x}\dfrac{dy}{dx} + x^2e^{-x}\dfrac{2 - x}{x}y = 7x^2e^{-x} \)

\( x^2e^{-x}\dfrac{dy}{dx} + (2xe^{-x} - x^2e^{-x})y = 7x^2e^{-x} \)

Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(x)y \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.

\( \dfrac{d}{dx}(x^2e^{-x}y) = 7x^2e^{-x} \)

Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{dx}(x^2e^{-x}y)\ dx} = \displaystyle\int {7x^2e^{-x}\ dx} \)

\( x^2e^{-x}y + C_1 = \displaystyle\int {7x^2e^{-x}\ dx} \)

Eşitliğin sağ tarafındaki ifadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.

\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.

\( u = 7x^2 \)

\( dv = e^{-x}\ dx \)

Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.

\( du = 14x\ dx \)

\( v = -e^{-x} \)

Bu ifadeleri \( \int {u\ dv} = uv - \int {v\ du} \) kısmi integral formülünde yerine koyalım.

\( x^2e^{-x}y + C_1 = -7x^2e^{-x} + \displaystyle\int {14xe^{-x}\ dx} \)

Eşitliğin sağ tarafındaki ifadenin integralini almak için tekrar kısmi integral alma yöntemini kullanalım.

\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.

\( u = 14x \)

\( dv = e^{-x}\ dx \)

Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.

\( du = 14\ dx \)

\( v = -e^{-x} \)

Bu ifadeleri \( \int {u\ dv} = uv - \int {v\ du} \) kısmi integral formülünde yerine koyalım.

\( x^2e^{-x}y + C_1 = -7x^2e^{-x} + (-14xe^{-x} - \displaystyle\int {-14e^{-x}\ dx}) \)

\( x^2e^{-x}y = -7x^2e^{-x} - 14xe^{-x} - 14e^{-x} + C \)

Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( y = -7 - \dfrac{14}{x} - \dfrac{14}{x^2} + \dfrac{Ce^{x}}{x^2} \)

Denklemi düzenleyelim.

\( \dfrac{dy}{dx} + \dfrac{1}{\sin(2x)}y = \sqrt{\tan{x}} \)

Verilen denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.

\( p(x) = -\dfrac{1}{\sin(2x)}, \quad q(x) = \sqrt{\tan{x}} \)

Denklemin integral çarpanını bulalım.

\( \mu(x) = e^{\int {-\frac{1}{\sin(2x)}\ dx}} \)

\( = e^{\int {-\csc(2x)\ dx}} \)

\( = e^{\frac{1}{2}\ln{\abs{\csc(2x) + \cot(2x)}}} \)

\( = e^{\ln{\sqrt{\abs{\csc(2x) + \cot(2x)}}}} \)

\( = \sqrt{\abs{\csc(2x) + \cot(2x)}} \)

\( = \sqrt{\abs{\dfrac{1}{\sin(2x)} + \dfrac{\cos(2x)}{\sin(2x)}}} \)

\( = \sqrt{\abs{\dfrac{1 + (2\cos^2{x} - 1)}{2\sin{x}\cos{x}}}} \)

\( = \sqrt{\abs{\dfrac{2\cos^2{x}}{2\sin{x}\cos{x}}}} \)

\( = \sqrt{\abs{\dfrac{\cos{x}}{\sin{x}}}} \)

\( = \sqrt{\abs{\cot{x}}} \)

\( 0 \le x \le \dfrac{\pi}{2} \) olarak veriliyor.

\( = \sqrt{\cot{x}} \)

Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.

\( \dfrac{dy}{dx}\sqrt{\cot{x}} + \dfrac{y}{\sin(2x)}\sqrt{\cot{x}} = \sqrt{\tan{x}}\sqrt{\cot{x}} \)

\( \dfrac{dy}{dx}\sqrt{\cot{x}} + y\dfrac{\sqrt{\cot{x}}}{\sin(2x)} = \sqrt{\tan{x}\cot{x}} \)

\( \dfrac{dy}{dx}\sqrt{\cot{x}} + y\dfrac{\sqrt{\cot{x}}}{\sin(2x)} = 1 \)

Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(x)y \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.

\( \dfrac{d}{dx}(y\sqrt{\cot{x}}) = 1 \)

Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{dx}(y\sqrt{\cot{x}})\ dx} = \displaystyle\int {1\ dx} \)

\( y\sqrt{\cot{x}} = x + C \)

\( \dfrac{y}{\sqrt{\tan{x}}} = x + C \)

Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( y = x\sqrt{\tan{x}} + C\sqrt{\tan{x}} \)

Denklemi düzenleyelim.

\( \dfrac{dx}{dt} = \dfrac{x}{2x - t} \)

Eşitliğin taraflarının çarpmaya göre tersini alalım.

\( \dfrac{dt}{dx} = \dfrac{2x - t}{x} \)

\( \dfrac{dt}{dx} = 2 - \dfrac{t}{x} \)

\( \dfrac{dt}{dx} + \dfrac{1}{x}t = 2 \)

Verilen denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.

\( p(x) = \dfrac{1}{x}, \quad q(x) = 2 \)

Denklemin integral çarpanını bulalım.

\( \mu(x) = e^{\int {\frac{1}{x}\ dx}} \)

\( = e^{\ln{\abs{x}}} \)

\( = \abs{x} \)

İntegral çarpanı denklemdeki tüm terimlerle çarpıldığı için önündeki işaretin pozitif ya da negatif olması çözümü değiştirmez, bu yüzden mutlak değer çarpandan kaldırılabilir.

\( = x \)

Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.

\( x\dfrac{dt}{dx} + t = 2x \)

Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(x)t \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.

\( \dfrac{d}{dx}(tx) = 2x \)

Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{dx}(tx)\ dx} = \displaystyle\int {2x\ dx} \)

\( tx = x^2 + C \)

Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( t = x + \dfrac{C}{x} \)

\( x(0) = 1 \) başlangıç değerini denklemde yerine koyalım.

\( 0 = 1 + \dfrac{C}{1} \)

\( C = -1 \)

Denklemin çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( t = x - \dfrac{1}{x} \)

Eşitliğin taraflarının çarpmaya göre tersini alalım.

\( \dfrac{dx}{dy} = 5x + 3y \)

\( \dfrac{dx}{dy} - 5x = 3y \)

Verilen denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.

\( p(y) = -5, \quad q(y) = 3y \)

Denklemin integral çarpanını bulalım.

\( \mu(y) = e^{\int {-5\ dy}} \)

\( = e^{-5y} \)

Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.

\( \dfrac{dx}{dy}e^{-5y} - 5xe^{-5y} = 3ye^{-5y} \)

Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(y)x \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.

\( \dfrac{d}{dy}(xe^{-5y}) = 3ye^{-5y} \)

Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{dy}(xe^{-5y})\ dy} = \displaystyle\int {3ye^{-5y}\ dy} \)

\( xe^{-5y} + C_1 = \displaystyle\int {3ye^{-5y}\ dy} \)

Eşitliğin sağ tarafındaki ifadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.

\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.

\( u = 3y \)

\( dv = e^{-5y}\ dy \)

Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.

\( du = 3\ dy \)

\( v = -\dfrac{1}{5}e^{-5y} \)

Bu ifadeleri \( \int {u\ dv} = uv - \int {v\ du} \) kısmi integral formülünde yerine koyalım.

\( xe^{-5y} + C_1 = -\dfrac{3}{5}ye^{-5y} + \displaystyle\int {\dfrac{3}{5}e^{-5y}\ dy} \)

\( xe^{-5y} = -\dfrac{3}{5}ye^{-5y} - \dfrac{3}{25}e^{-5y} + C \)

Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( x = Ce^{5y} - \dfrac{3}{5}y - \dfrac{3}{25} \)

Denklemi düzenleyelim.

\( \dfrac{dy}{dx} + y = \cos{x} \)

Verilen denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.

\( p(x) = 1, \quad q(x) = \cos{x} \)

Denklemin integral çarpanını bulalım.

\( \mu(x) = e^{\int {1\ dx}} \)

\( = e^x \)

Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.

\( e^x\dfrac{dy}{dx} + e^xy = e^x\cos{x} \)

Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(x)y \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.

\( \dfrac{d}{dx}(e^xy) = e^x\cos{x} \)

Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{dx}(e^xy)\ dx} = \displaystyle\int {e^x\cos{x}\ dx} \)

\( e^xy + C_1 = \displaystyle\int {e^x\cos{x}\ dx} \)

Eşitliğin sağ tarafındaki ifadenin integrali iki kez kısmi integral alma yöntemi kullanılarak alınır. Bu integral işleminin detaylı adımları için kısmi integral alma yöntemi sayfasındaki ilgili örneği inceleyebilirsiniz.

\( e^xy = \dfrac{e^x\cos{x} + e^x\sin{x}}{2} + C \)

Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( y = \dfrac{\cos{x} + \sin{x}}{2} + Ce^{-x} \)

Denklemi düzenleyelim.

\( x\dfrac{dy}{dx} - y = \dfrac{2}{x} + 1 \)

\( \dfrac{dy}{dx} - \dfrac{1}{x}y = \dfrac{2}{x^2} + \dfrac{1}{x} \)

Verilen denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.

\( p(x) = -\dfrac{1}{x}, \quad q(x) = \dfrac{2}{x^2} + \dfrac{1}{x} \)

Denklemin integral çarpanını bulalım.

\( \mu(x) = e^{\int {-\frac{1}{x}\ dx}} \)

\( = e^{-\ln{\abs{x}}} \)

\( = e^{\ln{\abs{x}^{-1}}} \)

\( = \abs{x}^{-1} \)

İntegral çarpanı denklemdeki tüm terimlerle çarpıldığı için önündeki işaretin pozitif ya da negatif olması çözümü değiştirmez, bu yüzden mutlak değer çarpandan kaldırılabilir.

\( = \dfrac{1}{x} \)

Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.

\( \dfrac{1}{x}\dfrac{dy}{dx} - \dfrac{1}{x^2}y = \dfrac{1}{x}\left( \dfrac{2}{x^2} + \dfrac{1}{x} \right) \)

\( \dfrac{1}{x}\dfrac{dy}{dx} - \dfrac{1}{x^2}y = \dfrac{2}{x^3} + \dfrac{1}{x^2} \)

Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(x)y \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.

\( \dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{y}{x} \right) = \dfrac{2}{x^3} + \dfrac{1}{x^2} \)

Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{y}{x} \right)\ dx} = \displaystyle\int {\left( \dfrac{2}{x^3} + \dfrac{1}{x^2} \right)\ dx} \)

\( \dfrac{y}{x} = -\dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{x} + C \)

Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( y = Cx - \dfrac{1}{x} - 1 \)

\( y = -1 \) doğrusu \( y \) fonksiyonunun bir asimptotu olduğuna göre, fonksiyonun \( x \) pozitif sonsuza giderkenki limiti \( -1 \) değerine eşittir.

\( \lim\limits_{x \to \infty} (Cx - \dfrac{1}{x} - 1) = -1 \)

\( \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{Cx^2 - 1 - x}{x}} = -1 \)

Bu limitin tanımlı olması için paydaki ifade \( -1 - x \) olmalı, dolayısıyla \( C = 0 \) olmalıdır.

Denklemin çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( y = -\dfrac{1}{x} - 1 \)

Eşitliğin sol tarafındaki ifadenin türev çarpma kuralı ile açılımını yazalım.

\( 2xy + (x^2 + 3)\dfrac{dy}{dx} = 2x^5 + 12x^3 + 18x - 2xy \)

Denklemi düzenleyelim.

\( (x^2 + 3)\dfrac{dy}{dx} + 4xy = 2x(x^2 + 3)^2 \)

\( \dfrac{dy}{dx} + \dfrac{4x}{x^2 + 3}y = 2x(x^2 + 3) \)

Verilen denklem birinci mertebeden bir lineer denklemdir.

\( p(x) = \dfrac{4x}{x^2 + 3}, \quad q(x) = 2x(x^2 + 3) \)

Denklemin integral çarpanını bulalım.

\( \mu(x) = e^{\int {\frac{4x}{x^2 + 3}\ dx}} \)

\( = e^{2\ln{\abs{x^2 + 3}}} \)

\( = e^{\ln{\abs{x^2 + 3}}^2} \)

\( = \abs{x^2 + 3}^2 \)

\( = (x^2 + 3)^2 \)

Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.

\( (x^2 + 3)^2\dfrac{dy}{dx} + 4x(x^2 + 3)y = 2x(x^2 + 3)^3 \)

Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(x)y \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.

\( \dfrac{d}{dx}((x^2 + 3)^2y) = 2x(x^2 + 3)^3 \)

Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.

\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{dx}((x^2 + 3)^2y)\ dx} = \displaystyle\int {2x(x^2 + 3)^3\ dx} \)

Eşitliğin sağ tarafındaki integrali \( u = x^2 + 3 \) ve \( du = 2x\ dx \) şeklinde değişken değiştirerek alabiliriz.

\( (x^2 + 3)^2y = \dfrac{(x^2 + 3)^4}{4} + C \)

Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( y = \dfrac{(x^2 + 3)^2}{4} + \dfrac{C}{(x^2 + 3)^2} \)

\( y(0) = 0 \) başlangıç değerini denklemde yerine koyalım.

\( 0 = \dfrac{(0^2 + 3)^2}{4} + \dfrac{C}{(0^2 + 3)^2} \)

\( 0 = \dfrac{9}{4} + \dfrac{C}{9} \)

\( C = -\dfrac{81}{4} \)

Denklemin verilen başlangıç değeri için çözümü aşağıdaki gibi bulunur.

\( y = \dfrac{(x^2 + 3)^2}{4} - \dfrac{81}{4(x^2 + 3)^2} \)