Aşağıdaki formdaki birinci mertebeden diferansiyel denklemlere lineer katsayılı denklem denir. Bu denklemlerin özelliği \( dx \) ve \( dy \) diferansiyellerinin katsayılarının \( x \) ve \( y \) değişkenlerine bağlı birer lineer fonksiyon olmasıdır.
\( a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2 \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( (a_1x + b_1y + c_1)\ dx + (a_2x + b_2y + c_2)\ dy = 0 \)
\( (3x + 4y + 1)\ dx + (2x - y + 14)\ dy = 0 \)
\( dx \) ve \( dy \) diferansiyellerinin katsayılarını aşağıdaki şekilde birer doğru olarak tanımlayalım.
\( L_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0 \)
\( L_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0 \)
Lineer katsayılı denklemlerin çözümü bu iki doğrunun birbirine göre durumuna göre iki şekilde olabilir.
Eğimleri farklı olan \( L_1 \) ve \( L_2 \) doğruları için birbirine denk olan aşağıdaki iki koşul sağlanır.
\( \dfrac{a_1}{b_1} \ne \dfrac{a_2}{b_2} \)
\( a_1b_2 - a_2b_1 \ne 0 \)
\( (3x + 4y + 1)\ dx + (2x - y + 14)\ dy = 0 \)
\( a_1b_2 - a_2b_1 = 3(-1) - 2(4) \)
\( = -3 - 8 \ne 0 \)
Buna göre denklemin katsayılarının temsil ettiği doğruların eğimleri farklıdır.
Eğimleri farklı olan iki doğru tek bir noktada kesişir. Bu noktanın koordinatlarına \( (h, k) \) dersek aşağıdaki dönüşüm sonrasında denklemin katsayılarındaki sabit terimler yok olur ve denklem \( u \) ve \( v \) değişkenlerine bağlı bir homojen denkleme dönüşür ve homojen denklemler için paylaştığımız yöntemle çözülebilir.
\( u = x - h \)
\( \Longrightarrow x = u + h \)
\( \Longrightarrow dx = du \)
\( v = y - k \)
\( \Longrightarrow y = v + k \)
\( \Longrightarrow dy = dv \)
Katsayıların karşılık geldiği doğruların tek bir noktada kesiştiği lineer katsayılı denklemlerin çözümünü bir örnek üzerinde gösterelim.
\( (3x + 2y - 4)\ dx + (2x - 3y - 7)\ dy = 0 \)
denkleminin genel çözümünü bulalım.
Verilen denklem birinci mertebeden lineer katsayılı bir diferansiyel denklemdir.
\( L_1 \) ve \( L_2 \) doğrularını aşağıdaki gibi tanımlayalım.
\( L_1: 3x + 2y - 4 = 0 \)
\( L_2: 2x - 3y - 7 = 0 \)
Doğruların birbirine göre durumunu bulalım.
\( a_1b_2 - a_2b_1 = 3(-3) - 2(2) \)
\( = -9 - 4 \ne 0 \)
Buna göre doğruların eğimi farklıdır, dolayısıyla tek bir noktada kesişirler.
İki doğru denklemini ortak çözdüğümüzde kesişim noktalarını \( (h, k) = (2, -1) \) olarak buluruz.
Aşağıdaki şekilde \( u \) ve \( v \) değişkenleri tanımlayalım.
\( u = x - h = x - 2 \)
\( \Longrightarrow x = u + 2 \)
\( \Longrightarrow dx = du \)
\( v = y - k = y + 1 \)
\( \Longrightarrow y = v - 1 \)
\( \Longrightarrow dy = dv \)
Denklemdeki \( x \) ve \( y \) ifadeleri yerine \( u \) ve \( v \) karşılıklarını yazarak değişken değiştirme uygulayalım.
\( (3(u + 2) + 2(v - 1) - 4)\ dv + (2(u + 2) - 3(v - 1) - 7)\ du = 0 \)
\( (3u + 2v)\ du + (2u - 3v)\ dv = 0 \)
Elde ettiğimiz denklemde lineer katsayılar sabit terim içermez, dolayısıyla denklem homojen bir denklemdir.
\( \dfrac{dv}{du} = -\dfrac{3u + 2v}{2u - 3v} \)
Homojen denklemler için paylaştığımız çözüm yöntemini kullanarak denklemi çözelim.
Aşağıdaki şekilde bir \( z \) değişkeni tanımlayalım.
\( z = \dfrac{v}{u} \)
\( v = uz \)
\( \dfrac{dv}{du} = \dfrac{d(uz)}{du} = z + u\dfrac{dz}{du} \)
Denklemdeki \( v \) ifadeleri yerine \( z \) karşılıklarını yazarak değişken değiştirme uygulayalım.
\( z + u\dfrac{dz}{du} = -\dfrac{3u + 2(uz)}{2u - 3(uz)} \)
\( z + u\dfrac{dz}{du} = -\dfrac{3 + 2z}{2 - 3z} \)
\( u\dfrac{dz}{du} = -\dfrac{3 + 2z}{2 - 3z} - z \)
\( u\dfrac{dz}{du} = -\dfrac{3 + 2z + 2z - 3z^2}{2 - 3z} \)
\( u\dfrac{dz}{du} = -\dfrac{3z^2 - 4z - 3}{3z - 2} \)
\( \dfrac{3z - 2}{3z^2 - 4z - 3}\dfrac{dz}{du} = -\dfrac{1}{u} \)
\( u \) ve \( z \) değişkenlerine bağlı ifadeleri birbirinden ayırarak denklemi \( h(z)\frac{dz}{du} = f(u) \) formunda yazabildiğimiz için denklem ayrılabilirdir.
\( \dfrac{3z - 2}{3z^2 - 4z - 3}\ dz = -\dfrac{1}{u}\ du \)
Denklemin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.
\( \displaystyle\int {\dfrac{3z - 2}{3z^2 - 4z - 3}\ dz} = \displaystyle\int {-\dfrac{1}{u}\ du} \)
\( \dfrac{1}{2}\ln{\abs{3z^2 - 4z - 3}} = -\ln{\abs{u}} + C_1 \)
\( \ln{\abs{3z^2 - 4z - 3}} = -2\ln{\abs{u}} + C_2 \)
\( \ln{\abs{3z^2 - 4z - 3}} = \ln(C_3\abs{u}^{-2}) \)
Logaritmaları eşit olan iki ifade birbirine eşittir.
\( \abs{3z^2 - 4z - 3} = C_3\abs{u}^{-2} \)
Bir ifadenin çift sayı kuvveti her zaman pozitiftir.
\( 3z^2 - 4z - 3 = C_3u^{-2} \)
\( u^2(3z^2 - 4z - 3) = C_3 \)
\( z \) değişkeni cinsinden bulduğumuz genel çözümü \( y \) değişkeni cinsinden yazalım.
\( u^2 \left( 3\left( \dfrac{v}{u} \right)^2 - 4 \left( \dfrac{v}{u} \right) - 3 \right) = C_3 \)
\( u^2 \left( \dfrac{3v^2}{u^2} - \dfrac{4v}{u} - 3 \right) = C_3 \)
\( 3v^2 - 4uv - 3u^2 = C_3 \)
\( u \) ve \( v \) değişkenleri cinsinden bulduğumuz genel çözümü \( x \) ve \( y \) değişkenleri cinsinden yazalım.
\( 3(y + 1)^2 - 4(x - 2)(y + 1) - 3(x - 2)^2 = C_3 \)
\( 3y^2 + 6y + 3 - 4xy - 4x + 8y + 8 - 3x^2 + 12x - 12 = C_3 \)
\( 3y^2 - 3x^2 - 4xy + 14y + 8x - 1 = C_3 \)
Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( 3y^2 - 3x^2 - 4xy + 14y + 8x = C \)
\( L_1 \) ve \( L_2 \) doğrularının eğimleri farklı ve sabit terimleri sıfır ise doğruların kesişim noktası \( (h, k) = (0, 0) \) olur. Bu durumda verilen lineer katsayılı denklem olduğu şekliyle bir homojen denklemdir ve herhangi bir dönüşüme gerek kalmadan homojen denklemler için paylaştığımız yöntemle çözülebilir.
\( (3x + 4y)\ dx + (2x - y)\ dy = 0 \)
Bu denklem bir homojen denklemdir ve herhangi bir dönüşüme gerek kalmadan homojen denklemler için paylaştığımız yöntemle çözülebilir.
Eğimleri aynı olan \( L_1 \) ve \( L_2 \) doğruları için birbirine denk olan aşağıdaki iki koşul sağlanır.
\( \dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2} \)
\( a_1b_2 - a_2b_1 = 0 \)
\( (5x - 3y + 1)\ dx + (10x - 6y - 5)\ dy = 0 \)
\( a_1b_2 - a_2b_1 = 5(-6) - 10(-3) \)
\( = -30 - (-30) \ne 0 \)
Buna göre denklemin katsayılarının temsil ettiği doğruların eğimleri aynıdır.
Eğimleri aynı olan doğrular birbirine paraleldir (ya da çakışıktır). Aşağıdaki dönüşüm sonrasında lineer katsayılı denklem \( z \) ve \( x \) değişkenlerine bağlı bir ayrılabilir denkleme dönüşür ve ayrılabilir denklemler için paylaştığımız yöntemle çözülebilir.
\( z = a_1x + b_1y \)
\( \Longrightarrow y = \dfrac{z}{b_1} - \dfrac{a_1x}{b_1} \)
\( \Longrightarrow dy = \dfrac{dz}{b_1} - \dfrac{a_1\ dx}{b_1} \)
Katsayıların karşılık geldiği doğruların birbirine paralel olduğu lineer katsayılı denklemlerin çözümünü bir örnek üzerinde gösterelim.
\( (4x - 2y - 3)\ dx + (8x - 4y - 1)\ dy = 0 \)
denkleminin genel çözümünü bulalım.
Verilen denklem birinci mertebeden lineer katsayılı bir diferansiyel denklemdir.
\( L_1 \) ve \( L_2 \) doğrularını aşağıdaki gibi tanımlayalım.
\( L_1: 4x - 2y - 3 = 0 \)
\( L_2: 8x - 4y - 1 = 0 \)
Doğruların birbirine göre durumunu bulalım.
\( a_1b_2 - a_2b_1 = 4(-4) - 8(-2) \)
\( = -16 + 16 = 0 \)
Buna göre doğrular birbirine paraleldir.
Aşağıdaki şekilde bir \( z \) değişkeni tanımlayalım.
\( z = a_1x + b_1y = 4x - 2y \)
\( \Longrightarrow y = 2x - \dfrac{z}{2} \)
\( \Longrightarrow dy = 2\ dx - \dfrac{dz}{2} \)
Denklemdeki \( x \) ve \( y \) ifadeleri yerine \( z \) karşılıklarını yazarak değişken değiştirme uygulayalım.
\( (4x - 2y - 3)\ dx + (2(4x - 2y) - 1)\ dy = 0 \)
\( (z - 3)\ dx + (2z - 1)(2\ dx - \dfrac{dz}{2}) = 0 \)
\( 2(z - 3)\ dx + (2z - 1)(4\ dx - dz) = 0 \)
\( 2z\ dx - 6\ dx + 8z\ dx - 2z\ dz - 4\ dx + \ dz = 0 \)
\( (10z - 10)\ dx - (2z - 1)\ dz = 0 \)
\( \dfrac{2z - 1}{10z - 10}\dfrac{dz}{dx} = 1 \)
\( x \) ve \( z \) değişkenlerine bağlı ifadeleri birbirinden ayırarak denklemi \( h(z)\frac{dz}{dx} = f(x) \) formunda yazabildiğimiz için denklem ayrılabilirdir.
\( \dfrac{2z - 1}{10z - 10}\ dz = dx \)
Denklemin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.
\( \displaystyle\int {\dfrac{2z - 1}{10z - 10}\ dz} = \displaystyle\int {dx} \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{2z - 2 + 1}{10z - 10}\ dz} = \displaystyle\int {dx} \)
\( \displaystyle\int {\left( \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{10(z - 1)} \right) \ dz} = \displaystyle\int {dx} \)
\( \dfrac{z}{5} + \dfrac{1}{10}\ln{\abs{z - 1}} = x + C_1 \)
\( 2z + \ln{\abs{z - 1}} = 10x + C \)
\( z \) değişkeni cinsinden bulduğumuz genel çözümü \( x \) ve \( y \) değişkenleri cinsinden yazalım.
\( 2(4x - 2y) + \ln{\abs{(4x - 2y) - 1}} = 10x + C \)
Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( \ln{\abs{4x - 2y - 1}} = 2x + 4y = C \)