Çemberin çevresi yarıçapının \( 2\pi \) katıdır.
\( x \) derecelik bir merkez açısının gördüğü yayın uzunluğu, açının ölçüsü 360° ile oranlanarak hesaplanabilir.
Dairenin alanı yarıçapının karesinin \( \pi \) katıdır.
\( x \) derecelik bir merkez açısının oluşturduğu daire diliminin alanı, açının ölçüsü 360° ile oranlanarak hesaplanabilir.
Bu alan formülü yukarıda paylaştığımız yay uzunluğu cinsinden de yazılabilir. Bu durumda daire dilimi alan formülü, üçgen alan formülüne benzer şekilde taban (çember yayı) çarpı yükseklik (yarıçap) bölü 2 biçiminde olmaktadır.
SORU 1:
Bir dairenin yarıçapı \( \% 20 \) azaltılırsa dairenin alanı % kaç azalır?
Çözümü Göster
Dairenin yarıçapına \( r = 10 \) diyelim.
Dairenin alanı \( \pi r^2 = 100\pi \) olur.
Yarıçap \( \% 20 \) azaltılırsa yeni yarıçap \( (1 - \frac{20}{100}) \cdot 10 = 8 \) olur.
Bu durumda dairenin alanı \( \pi r^2 = 64\pi \) olur.
Buna göre dairenin yarıçapı \( \% 20 \) azaltılırsa alanı \( \frac{100\pi - 64\pi}{100\pi} = \%36 \) azalmış olur.
SORU 2:
Bir karenin ve bir dairenin alanları birbirine eşittir. Buna göre bu dairenin çevresinin karenin çevresine oranı nedir?
Çözümü Göster
Karenin bir kenar uzunluğuna \( a \) diyelim. Bu durumda karenin alanı \( a^2 \) olur.
Dairenin yarıçapına \( r \) diyelim. Bu durumda dairenin alanı \( \pi r^2 \) olur.
Kare ve dairenin alanlarını birbirine eşitleyelim.
\( a^2 = \pi r^2 \)
Her iki tarafın karekökünü alalım.
\( a = \sqrt{\pi}r \)
Karenin çevresi \( 4a \), dairenin çevresi \( 2\pi r \) olur.
Bu durumda dairenin çevresinin karenin çevresine oranı \( \frac{2\pi r}{4a} \) olur.
\( a \)'nın \( r \) cinsinden karşılığını yazalım.
\( \dfrac{2\pi r}{4a} = \dfrac{2\pi r}{4\sqrt{\pi}r} \)
\( = \dfrac{\pi}{2\sqrt{\pi}} = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2} \) bulunur.
SORU 3:
Yukarıdaki şekilde \( ABC \) ikizkenar dik üçgendir.
\( \overparen{ADC} \), \( B \) merkezli çeyrek çembere ait yaydır.
\( \overparen{AEC} \), çapı \( [AC] \) olan yarım çembere ait yaydır.
Taralı bölgenin alanı 32 birimkare olduğuna göre, \( \abs{BC} \) uzunluğu kaç birimdir?
Çözümü Göster
Şekildeki üç bölgeye \( A_1 \), \( A_2 \) ve \( A_3 \) diyelim.
\( ABC \) üçgeninin alanı: \( A_1 \)
\( B \) merkezli çeyrek çemberin alanı: \( A_1 + A_2 \)
Çapı \( [AC] \) olan yarım çemberin alanı: \( A_2 + A_3 \)
\( \abs{BC} \) uzunluğuna \( 2a \) diyelim.
\( ABC \) üçgenine Pisagor teoremini uygulayarak hipotenüs uzunluğunu bulalım.
\( \abs{AC} = \sqrt{(2a)^2 + (2a)^2} = 2\sqrt{2}a \)
\( ABC \) üçgeninin alanını bulalım.
\( A_1 = \dfrac{2a \cdot 2a}{2} = 2a^2 \)
\( B \) merkezli çeyrek çemberin alanını bulalım.
\( A_1 + A_2 = \dfrac{\pi (2a)^2}{4} = \pi a^2 \)
\( A_2 = \pi a^2 - A_1 \)
\( = \pi a^2 - 2a^2 \)
Çapı \( [AC] \) olan yarım çemberin alanını bulalım.
\( A_2 + A_3 = \dfrac{\pi (\sqrt{2}a)^2}{2} = \pi a^2 \)
\( A_3 = \pi a^2 - A_2 \)
\( = \pi a^2 - (\pi a^2 - 2a^2) \)
\( = 2a^2 \)
Bulduğumuz alan 32 birimkaredir.
\( 2a^2 = 32 \)
\( a = 4 \)
\( \abs{BC} = 2a = 8 \) birim bulunur.
SORU 4:
Osman bir kenarı 100 metre olan kare şeklindeki portakal bahçesinin çevresine tel çit örmeyi planlıyor. Bahçenin sınırları ile çit arasında belirli bir mesafe olmasını istediği için de çitin her noktada bahçeye 20 metre uzaklıkta olmasını istiyor.
Buna göre Osman'ın örmesi gereken çitin uzunluğu toplam kaç metredir? (\( \pi = 3 \) olarak alınız.)
Çözümü Göster
Osman'ın örmesi gereken çit karenin kenarları boyunca bahçeye paralel, karenin köşelerinde de çeyrek çember şeklinde olmalıdır.
Çitin kenarlara paralel olan düz kısımlarının uzunluğu karenin çevre uzunluğuna eşittir.
\( 100 \cdot 4 = 400 \) metre
Çitin köşe kısımları ise yarıçapı 20 metre olan dört çeyrek çemberin uzunluğuna eşittir.
\( 2\pi r = 2 \cdot 3 \cdot 20 = 120 \) metre
Buna göre ihtiyaç duyulan çit uzunluğu toplam \( 400 + 120 = 520 \) metredir.
SORU 5:
Yukarıdaki şekilde \( O \) merkezli ve 4 birim yarıçaplı daire ve köşeleri \( O \) noktası ve daire üzerinde iki nokta olan \( AOC \) üçgeni verilmiştir.
\( \widehat{AOC} \) açısının tümleyeni bütünleyeninin \( \frac{1}{3} \)'üne eşit olduğuna göre, \( \overparen{AC} \) yayının uzunluğu kaç birimdir?
Çözümü Göster
Ölçüleri toplamı 90° olan açılara tümler açılar, 180° olan açılara bütünler açılar denir.
\( \widehat{AOC} \) açısının ölçüsüne \( x \) diyelim.
\( x \) açısının tümleyeni \( 90 - x \), bütünleyeni \( 180 - x \) olur.
\( (180 - x) \cdot \dfrac{1}{3} = 90 - x \)
\( 180 - x = 270 - 3x \)
\( x = 45° \)
Ölçüsü \( a \) derece olan merkez açısının gördüğü yayın uzunluğu aşağıdaki formülle hesaplanır.
Yay uzunluğu \( = 2\pi r \cdot \dfrac{a}{360} \)
\( \overparen{AC} \) yayının uzunluğunu bulalım.
\( \abs{\overparen{AC}} = 2\pi r \cdot \dfrac{45}{360} \)
\( = 2\pi \cdot 4 \cdot \dfrac{1}{8} = \pi \) birim bulunur.
SORU 6:
Yukarıda \( M \) merkezli iki çember verilmiştir. \( \abs{AB} = 4 \) olduğuna göre, taralı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
Çözümü Göster
İçteki çemberin yarıçapına \( r_1 \), dıştaki çemberin yarıçapına \( r_2 \) diyelim.
\( M \) noktasından \( \abs{AB} \) kirişine bir dikme çizelim.
Bir çemberin kirişini dik kesen yarıçap kirişi ortalar.
\( \abs{AT} = \abs{TB} = 2 \)
\( MTB \) üçgeninde Pisagor teoremini uygulayalım.
\( r_1^2 + 2^2 = r_2^2 \)
\( r_2^2 - r_1^2 = 4 \)
Taralı bölgenin alanını bulmak için dıştaki çemberin alanından içteki çemberin alanını çıkaralım.
\( A = \pi r_2^2 - \pi r_1^2 \)
\( = \pi(r_2^2 - r_1^2) \)
Yukarıda bulduğumuz yarıçapların kareleri farkını yerine koyalım.
\( = 4\pi \) bulunur.
