Çemberin bir tam çevresi \( 360° \)'lik bir yay ölçüsüne karşılık gelir. Çizilen birbirine dik iki çap, çemberi her biri \( 90° \)'lik dört eşit yaya böler.
Çemberin merkezinden çevre açının çemberi kestiği \( B \) noktasına bir doğru çizelim (mavi kesikli çizgi).
\( [OC] \) ve \( [OB] \) çemberin yarıçapıdır ve uzunlukları eşittir. Buna göre \( COB \) üçgeni bir ikizkenar üçgendir.
\( \abs{OC} = \abs{OB} \)
\( m(\widehat{BCO}) = m(\widehat{CBO}) = x \)
Bir üçgenin bir dış açısı kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
\( m(\widehat{BOA}) = x + x = 2x \)
Merkez açının gördüğü yayın ölçüsü merkez açının ölçüsüne eşittir. Buna göre \( \overparen{AB} \) yayının ölçüsü \( 2x \) olur. Dolayısıyla ölçüsü \( x \) derece olan bir çevre açının gördüğü yayın ölçüsü \( 2x \), yani çevre açının ölçüsünün iki katıdır.
Kolları çemberin merkezinin farklı taraflarında kalan çevre açı:
Çevre açının köşesinden geçen bir \( [CD] \) çapı çizelim. Bu şekilde çevre açıyı bir kolu çemberin merkezinden geçen iki çevre açıya ayırmış oluruz.
Çevre açının her iki kısmına yukarıda gösterdiğimiz "Bir kolu çemberin merkezinden geçen çevre açı" kuralını uygularsak bu çevre açı ile aynı yayı gören merkez açının ölçüsünü \( 2x + 2y \) olur. Buna göre \( \overparen{AB} \) yayının ölçüsü \( 2x + 2y \) olarak buluruz. Dolayısıyla ölçüsü \( x + y \) derece olan bir çevre açının gördüğü yayın ölçüsü \( 2x + 2y \), yani çevre açının ölçüsünün iki katıdır.
Kolları çemberin merkezinin aynı tarafında kalan çevre açı:
Çevre açının köşesine ve kollarının çemberi kestiği noktalara merkezden birer yarıçap çizelim (mavi kesikli çizgiler).
Çevre açının ölçüsüne \( x \), bu çevre açıya komşu ve bir kolu çemberin merkezinden geçen bir diğer çevre açının ölçüsüne de \( y \) diyelim.
\( [OC] \) ve \( [OB] \) çemberin yarıçapıdır ve uzunlukları eşittir. Buna göre \( COB \) üçgeni bir ikizkenar üçgendir.
\( \abs{OC} = \abs{OB} \)
\( m(\widehat{BCO}) = m(\widehat{CBO}) = x + y \)
\( [OC] \) ve \( [OA] \) çemberin yarıçapıdır ve uzunlukları eşittir. Buna göre \( COA \) üçgeni bir ikizkenar üçgendir.
\( \abs{OC} = \abs{OA} \)
\( m(\widehat{ACO}) = m(\widehat{CAO}) = y \)
\( \widehat{CKO} \) açısı \( CBK \) üçgeninin bir dış açısıdır ve kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
\( m(\widehat{CKO}) = x + x + y = 2x + y \)
\( \widehat{CKO} \) açısı aynı zamanda \( OKA \) üçgeninin bir dış açısıdır ve kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
\( m(\widehat{CKO}) = 2x + y = y + m(\widehat{KOA}) \)
\( m(\widehat{KOA}) = 2x \)
Merkez açının gördüğü yayın ölçüsü merkez açının ölçüsüne eşittir. Buna göre \( \overparen{AB} \) yayının ölçüsü \( 2x \) olur. Dolayısıyla ölçüsü \( x \) derece olan bir çevre açının gördüğü yayın ölçüsü \( 2x \), yani çevre açının ölçüsünün iki katı olur.
Çapı Gören Çevre Açı
Çap çemberi her biri \( 180° \) olan iki eşit yaya böler. Çevre açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsünün yarısı olduğu için çapı gören çevre açının ölçüsü \( 90° \)'dir.
Çapı gören çevre açı
İç Açı
İki kirişin çemberin içinde oluşturduğu açıya iç açı denir. Bir iç açı, kirişlerin kesişim noktasının iki tarafında gördüğü yayların ölçülerinin toplamının yarısına eşittir.
\( A \) ve \( B \) noktalarını birleştiren bir doğru çizelim (mavi kesikli çizgi).
Çemberin üzerindeki iki yayın uzunluklarını tanımlayalım.
\( \overparen{CB} = c \)
\( \overparen{DA} = d \)
Buna göre çizdiğimiz \( [AB] \) kirişinin oluşturduğu çevre açıların ölçüleri aşağıdaki gibi olur.
\( m(\widehat{CAB}) = \dfrac{c}{2} \)
\( m(\widehat{DBA}) = \dfrac{d}{2} \)
\( ABK \) üçgeninin iç açıları toplamı 180°'dir.
\( x + \dfrac{c}{2} + \dfrac{d}{2} = 180° \)
\( 2x + c + d = 360° \)
\( c + d = 360° - 2x \)
Çemberin yay uzunlukları toplamı 360°'dir.
\( a + b + c + d = 360° \)
\( c + d \) yerine yukarıda elde ettiğimiz eşitini yazalım.
\( a + b + 360° - 2x = 360° \)
\( a + b = 2x \)
\( x = \dfrac{a + b}{2} \)
Teğet - Kiriş Açı
Çemberin üzerinde bir noktada kesişen bir teğet ve bir kiriş arasında kalan açıya teğet - kiriş açı denir. Teğet - kiriş açının ölçüsü \( 0-90° \) arasındadır.
Teğet - kiriş açı
Teğet - kiriş açının gördüğü yayın ölçüsü, teğet - kiriş açının ölçüsünün iki katına eşittir.
Çemberin merkezinden teğet kiriş açının çemberi kestiği noktalara birer doğru çizelim (mavi kesikli çizgiler).
\( m(\widehat{AOB}) = a \) diyelim.
\( [OA] \) ve \( [OB] \) doğru parçaları yarıçaptır ve uzunlukları eşittir, dolayısıyla \( OAB \) üçgeni bir ikizkenar üçgendir.
\( \abs{OA} = \abs{OB} \)
\( m(\widehat{OAB}) = m(\widehat{OBA}) = b \)
\( OAB \) üçgeninin iç açıları toplamı 180°'dir.
\( a + 2b = 180° \)
\( a = 2(90° - b) \)
\( [OB] \perp [BC] \) olduğundan,
\( x + b = 90° \)
\( x = 90° - b \)
Bu eşitlikteki \( 90° - b \) ifadesinin eşitini yukarıda elde ettiğimiz denklemde yerine koyalım.
\( a = 2(90° - b) \)
\( a = 2x \)
Buna göre merkez açının ölçüsü \( a = 2x \)'tir, buna göre gördüğü yay uzunluğu da \( 2x \) olur. Dolayısıyla ölçüsü \( x \) olan teğet kiriş açının gördüğü yay uzunluğu \( 2x \), yani teğet kiriş açı ölçüsünün iki katı olur.
Merkezden Geçen Teğet - Kiriş Açı
Merkezden geçen teğet - kiriş açının ölçüsü \( 90° \), gördüğü yayın ölçüsü \( 180° \)'dir.
Merkezden geçen teğet - kiriş açı
\( O \) noktası çemberin merkezi olmak üzere,
\( m(\overset{\LARGE\frown}{AB}) = 180° \)
\( m(\widehat{CAB}) = 90° \)
Yukarıda bahsettiğimiz merkez, çevre ve teğet - kiriş açılar aşağıdaki şekilde birlikte gösterilmiştir.
Merkez, çevre ve teğet - kiriş açılar
\( m(\overset{\LARGE\frown}{AB}) = 2x \) ise,
Merkez açı: \( m(\widehat{AOB}) = 2x \)
Çevre açı: \( m(\widehat{ACB}) = x \)
Teğet - kiriş açı: \( m(\widehat{ABD}) = x \)
Dış Açı
Köşesi çemberin dış bölgesinde, kolları teğet veya kesen olan açıya çemberin dış açısı denir.
Bir dış açı, iki kesenin, iki teğetin ya da bir teğet ve bir kesenin çemberin dışında kesişmesiyle oluşabilir.
İki Kesenin Oluşturduğu Dış Açı
İki kesenin oluşturduğu dış açı, kesenlerin çember üzerinde aralarında kalan yayların ölçülerinin farkının yarısına eşittir.
\( \overset{\LARGE\frown}{AB} \) yayının ölçüsü merkez açı ölçüsüne eşittir.
\( m(\overset{\LARGE\frown}{AB}) = 180° - x \)
Kesişen iki teğetin kesişim noktasından çemberin merkezine çizilen doğru aynı zamanda açıortaydır.
İki teğetin kesişim noktasındaki açıortay
\( m(\widehat{BCO}) = m(\widehat{ACO}) \)
İSPATI GÖSTER
\( m(\widehat{CBO}) = m(\widehat{CAO}) = 90° \)
\( \abs{OB} = \abs{OA} = r \)
Önümüzdeki bölümde göreceğimiz üzere, bir çemberin dışında bir noktadan çembere çizilen teğetlerin uzunlukları eşittir.
\( \abs{CB} = \abs{CA} \)
\( \overset{\triangle}{CBO} \) ve \( \overset{\triangle}{CAO} \) üçgenlerinin dik açılarının iki komşu kenar uzunlukları eşit olduğu için, karşı kenar uzunluğu da eşittir ve bu iki üçgen eş üçgenlerdir, dolayısıyla tüm açıları eşittir.
\( m(\widehat{BCO}) = m(\widehat{ACO}) \)
Bir Teğet ve Bir Kesenin Oluşturduğu Dış Açı
Bir teğet ve bir kesenin kesişimiyle oluşan bir dış açının çember üzerinde oluşturduğu yayın ölçüsü aşağıdaki gibidir.
