Analitik Uygulamalar

Bu bölümde analitik düzlemle ilgili diğer bazı analitik uygulamalara değineceğiz.

Noktaların Doğrusallığı

Birbirinden farklı üç noktanın doğrusal olması, bu noktalardan geçen bir doğru çizebilmemiz anlamına gelir. Üç nokta doğrusal değilse analitik düzlemde bir doğru değil, bir üçgen oluştururlar.

Doğrusallık
Doğrusallık

Verilen üç noktanın doğrusal olup olmadığını anlamak için bu noktalar içinden seçeceğimiz herhangi iki nokta ikilisini birleştiren doğru parçasının eğimini hesaplarız. Eğimler birbirine eşit ise noktalar doğrusaldır, farklı ise doğrusal değildir.

Yukarıdaki örnekte eğimleri karşılaştırmak için \( [AB] \) ve \( [BC] \) doğru parçalarını seçtik. Bu ikisinden birinin yerine \( [AC] \) doğru parçasını seçmemiz bu üç noktanın doğrusallığını gösterme anlamında sonucu değiştirmeyecektir.

SORU:

\( A(1, 3) \), \( B(-2, 2) \), \( C(-5, a + 2) \) noktaları doğrusal ise \( a \) kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( A(1, 4), B(6, -2) \) ve \( C(a, 0) \) olmak üzere, \( \abs{AB} + \abs{BC} \) uzunluğu toplamının en küçük olması için \( a \) kaç olmalıdır?

Çözümü Göster

Bir Noktanın Bir Doğru Üzerindeki İzdüşümü

Bir noktanın bir doğru ya da eksen üzerindeki izdüşümü olan nokta, o doğru ya da eksen üzerinde verilen noktaya en yakın olan noktadır. Bu noktayı bulmak için verilen noktadan doğruya ya da eksene dik bir doğru çizerek bu dik doğrunun doğruyu/ekseni kestiği noktayı buluruz.

Aşağıdaki grafikte \( A \) noktasının \( x \) ekseni, \( y \) ekseni ve \( d_1 \) doğruları üzerindeki izdüşümleri sırasıyla \( A_1 \), \( A_2 \) ve \( A_3 \) noktaları olarak verilmiştir.

Bir noktanın bir doğru üzerindeki izdüşümü
Bir noktanın bir doğru üzerindeki izdüşümü

Bir Doğru Parçasının Bir Doğru Üzerindeki İzdüşümü

Bir doğru parçasının bir doğru ya da eksen üzerindeki izdüşümü, o doğru parçasının uç noktalarının doğru ya da eksen üzerindeki izdüşümü olan noktaları birleştiren doğru parçasıdır. Doğru parçalarının uç noktalarının izdüşümü olan noktaları yukarıdaki bölümde gösterdiğimiz şekilde bulabiliriz.

Aşağıdaki grafikte \( [AB] \) doğru parçasının \( x \) ve \( y \) eksenleri üzerindeki izdüşümleri sırasıyla \( [A_1B_1] \) ve \( [A_2B_2] \) doğru parçaları olarak verilmiştir.

Bir doğru parçasının eksenler üzerindeki izdüşümü
Bir doğru parçasının eksenler üzerindeki izdüşümü

Bu şekilde görebileceğimiz gibi, bir doğru parçasının \( x \) ekseni üzerindeki izdüşümünün uzunluğu doğru parçasının uç noktalarının apsis değerleri arasındaki farka eşittir. Benzer şekilde, doğru parçasının \( y \) ekseni üzerindeki izdüşümünün uzunluğu doğru parçasının uç noktalarının ordinat değerleri arasındaki farka eşittir.

Aşağıdaki grafikte \( x \) eksenini kesen bir \( [AB] \) doğru parçasının eksenler üzerindeki izdüşümü (\( [A_1B_1] \) ve \( [A_2B_2] \)) ek bir örnek olarak verilmiştir.

Eksenleri kesen bir doğru parçasının eksenler üzerindeki izdüşümü
Eksenleri kesen bir doğru parçasının eksenler üzerindeki izdüşümü

Bir Noktaya Eşit Uzaklıktaki Noktalar Kümesi

Analitik düzlemde bir noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesi bir çemberdir.

Aşağıdaki şekilde \( A \) noktasına \( d \) birim uzaklıktaki noktalar kümesi olan çember gösterilmiştir.

Bir noktaya eşit uzaklıktaki noktalar
Bir noktaya eşit uzaklıktaki noktalar

Bu konuyu daha detaylı şekilde Çemberin Analitiği bölümünde inceleyeceğiz.

İki Noktaya Eşit Uzaklıktaki Noktalar Kümesi

Analitik düzlemde iki farklı noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesi, bu iki noktayı birleştiren doğru parçasının orta noktasından geçen ve bu doğru parçasına dik doğrudur.

Aşağıdaki şekilde \( A \) ve \( B \) noktalarına eşit uzaklıktaki noktalar kümesi olan \( d \) doğrusu gösterilmiştir.

İki noktaya eşit uzaklıktaki noktalar
İki noktaya eşit uzaklıktaki noktalar

Üç Noktaya Eşit Uzaklıktaki Noktalar Kümesi

Analitik düzlemde doğrusal olmayan üç farklı noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesi bir noktadır. İki noktaya eşit uzaklıktaki noktalar kümesini bulmak için kullandığımız yöntemi bu üç noktadan herhangi iki ikilisi arasında uygularsak, elde edeceğimiz iki doğrunun kesişim noktası bize üç noktaya eşit uzaklıktaki bu noktayı verecektir. Aynı yöntemi üçüncü nokta ikilisine uygularsak elde edeceğimiz doğrunun da aynı noktayı keseceğini görebiliriz.

Aşağıdaki şekilde \( A \), \( B \) ve \( C \) noktalarına eşit uzaklıktaki \( D \) noktası gösterilmiştir.

Üç noktaya eşit uzaklıktaki nokta
Üç noktaya eşit uzaklıktaki nokta

« Önceki
Analitik Geometri Formülleri
Sonraki »
Analitik Düzlemde Simetri


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır