Analitik Uygulamalar
Bu bölümde analitik düzlemle ilgili diğer bazı analitik uygulamalara değineceğiz.
Noktaların Doğrusallığı
Birbirinden farklı üç noktanın doğrusal olması, bu noktalardan geçen bir doğru çizebilmemiz anlamına gelir. Üç nokta doğrusal değilse analitik düzlemde bir doğru değil, bir üçgen oluştururlar.
Verilen üç noktanın doğrusal olup olmadığını anlamak için bu noktalar içinden seçeceğimiz herhangi iki nokta ikilisini birleştiren doğru parçasının eğimini hesaplarız. Eğimler birbirine eşit ise noktalar doğrusaldır, farklı ise doğrusal değildir.
\( m_1 = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
\( m_2 = \dfrac{y_3 - y_2}{x_3 - x_2} \)
\( m_1 = m_2 \Longrightarrow \) Noktalar doğrusaldır.
\( m_1 \ne m_2 \Longrightarrow \) Noktalar doğrusal değildir.
\( A_1(-3, 8) \), \( A_2(-1, 2) \) ve \( A_3(5, -16) \) noktalarının doğrusal olup olmadığını kontrol edelim.
\( m_1 = \dfrac{2 - 8}{-1 - (-3)} = -3 \)
\( m_2 = \dfrac{-16 - 2}{5 - (-1)} = -3 \)
Noktalar doğrulsaldır.
Yukarıdaki örnekte eğimleri karşılaştırmak için \( [AB] \) ve \( [BC] \) doğru parçalarını seçtik. Bu ikisinden birinin yerine \( [AC] \) doğru parçasını seçmemiz bu üç noktanın doğrusallığını gösterme anlamında sonucu değiştirmeyecektir.
\( A(1, 3) \), \( B(-2, 2) \), \( C(-5, a + 2) \) noktaları doğrusal ise \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( A(1, 4), B(6, -2) \) ve \( C(a, 0) \) olmak üzere, \( \abs{AB} + \abs{BC} \) uzunluğu toplamının en küçük olması için \( a \) kaç olmalıdır?
Çözümü Göster
Bir Noktanın Bir Doğru Üzerindeki İzdüşümü
Bir noktanın bir doğru ya da eksen üzerindeki izdüşümü olan nokta, o doğru ya da eksen üzerinde verilen noktaya en yakın olan noktadır. Bu noktayı bulmak için verilen noktadan doğruya ya da eksene dik bir doğru çizerek bu dik doğrunun doğruyu/ekseni kestiği noktayı buluruz.
Aşağıdaki grafikte \( A \) noktasının \( x \) ekseni, \( y \) ekseni ve \( d_1 \) doğruları üzerindeki izdüşümleri sırasıyla \( A_1 \), \( A_2 \) ve \( A_3 \) noktaları olarak verilmiştir.
Bir Doğru Parçasının Bir Doğru Üzerindeki İzdüşümü
Bir doğru parçasının bir doğru ya da eksen üzerindeki izdüşümü, o doğru parçasının uç noktalarının doğru ya da eksen üzerindeki izdüşümü olan noktaları birleştiren doğru parçasıdır. Doğru parçalarının uç noktalarının izdüşümü olan noktaları yukarıdaki bölümde gösterdiğimiz şekilde bulabiliriz.
Aşağıdaki grafikte \( [AB] \) doğru parçasının \( x \) ve \( y \) eksenleri üzerindeki izdüşümleri sırasıyla \( [A_1B_1] \) ve \( [A_2B_2] \) doğru parçaları olarak verilmiştir.
Bu şekilde görebileceğimiz gibi, bir doğru parçasının \( x \) ekseni üzerindeki izdüşümünün uzunluğu doğru parçasının uç noktalarının apsis değerleri arasındaki farka eşittir. Benzer şekilde, doğru parçasının \( y \) ekseni üzerindeki izdüşümünün uzunluğu doğru parçasının uç noktalarının ordinat değerleri arasındaki farka eşittir.
\( \abs{A_1B_1} = \abs{x_2 - x_1} \)
\( \abs{A_2B_2} = \abs{y_2 - y_1} \)
Aşağıdaki grafikte \( x \) eksenini kesen bir \( [AB] \) doğru parçasının eksenler üzerindeki izdüşümü (\( [A_1B_1] \) ve \( [A_2B_2] \)) ek bir örnek olarak verilmiştir.
Bir Noktaya Eşit Uzaklıktaki Noktalar Kümesi
Analitik düzlemde bir noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesi bir çemberdir.
Aşağıdaki şekilde \( A \) noktasına \( d \) birim uzaklıktaki noktalar kümesi olan çember gösterilmiştir.
Bu konuyu daha detaylı şekilde Çemberin Analitiği bölümünde inceleyeceğiz.
İki Noktaya Eşit Uzaklıktaki Noktalar Kümesi
Analitik düzlemde iki farklı noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesi, bu iki noktayı birleştiren doğru parçasının orta noktasından geçen ve bu doğru parçasına dik doğrudur.
Aşağıdaki şekilde \( A \) ve \( B \) noktalarına eşit uzaklıktaki noktalar kümesi olan \( d \) doğrusu gösterilmiştir.
Üç Noktaya Eşit Uzaklıktaki Noktalar Kümesi
Analitik düzlemde doğrusal olmayan üç farklı noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesi bir noktadır. İki noktaya eşit uzaklıktaki noktalar kümesini bulmak için kullandığımız yöntemi bu üç noktadan herhangi iki ikilisi arasında uygularsak, elde edeceğimiz iki doğrunun kesişim noktası bize üç noktaya eşit uzaklıktaki bu noktayı verecektir. Aynı yöntemi üçüncü nokta ikilisine uygularsak elde edeceğimiz doğrunun da aynı noktayı keseceğini görebiliriz.
Aşağıdaki şekilde \( A \), \( B \) ve \( C \) noktalarına eşit uzaklıktaki \( D \) noktası gösterilmiştir.
\( A \) ve \( B \) noktalarına eşit uzaklıktaki tüm noktaları temsil eden doğruya \( d_1 \), \( A \) ve \( C \) noktalarına eşit uzaklıktaki tüm noktaları temsil eden doğruya da \( d_2 \) diyelim.
\( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularının kesişim noktası, bize \( A \), \( B \) ve \( C \) noktalarına eşit uzaklıktaki nokta olan \( D \) noktasının koordinatlarını verecektir.