\( \overset{\triangle}{ADC} \) ve \( \overset{\triangle}{AEB} \) üçgenlerinin tüm açıları eşit olduğu için benzer üçgenlerdir, buna göre temel orantı teoremini kullanarak bu iki üçgenin kenar uzunluk oranları arasında aşağıdaki orantıyı kurabiliriz.
\( \overset{\triangle}{ADB} \) ve \( \overset{\triangle}{AEC} \) üçgenlerinin tüm açıları eşit olduğu için benzer üçgenlerdir, buna göre temel orantı teoremini kullanarak bu iki üçgenin kenar uzunluk oranları arasında aşağıdaki orantıyı kurabiliriz.
Ayrıca, \( C \) noktasının eksenler üzerindeki izdüşümleri de \( A \) ve \( B \) noktalarının izdüşümlerini dıştan aynı oranda böler.
Üç Noktanın (Üçgenin) Ağırlık Merkezinin Koordinatları
Doğrusal olmayan üç noktanın oluşturduğu üçgenin ağırlık merkezi (kenarortayların kesişim noktası) olan noktanın apsis ve ordinat değerleri, verilen üç noktanın apsis ve ordinat değerlerinin toplamının üçte birine (aritmetik ortalamasına) eşittir.
Üç noktanın oluşturduğu üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları
\( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \) ve \( C(x_3, y_3) \) noktalarının oluşturduğu üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları:
\( x_0 = \dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3} \)
\( y_0 = \dfrac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \)
ÖRNEK:
\( A(2, 3) \), \( B(7, -2) \) ve \( C(6, 11) \) noktalarının oluşturduğu üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları:
\( x_0 = \dfrac{2 + 7 + 6}{3} = 5 \)
\( y_0 = \dfrac{3 + (-2) + 11}{3} = 4 \)
İSPATI GÖSTER
Bir üçgenin ağırlık merkezi aynı zamanda üçgenin kenarortaylarının kesişim noktasıdır, dolayısıyla \( G \) noktasından geçen \( [CD] \) kenarortayı aynı zamanda \( [AB] \) kenarının orta noktasıdır. Buna göre, \( D \) noktasının koordinatları iki noktanın orta nokta formülünden aşağıdaki gibi olacaktır.
\( x_4 = \dfrac{x_1 + x_2}{2} \)
\( y_4 = \dfrac{y_1 + y_2}{2} \)
\( G \) noktası üçgenin ağırlık merkezi olduğu için, \( [CD] \) kenarortayını \( 2:1 \) oranında keser. Buna göre, \( G \) noktasının koordinatları iki noktayı belirli bir oranda içten bölme formülünden aşağıdaki gibi olacaktır.
Bir paralelkenarın karşılıklı köşelerinin koordinatları toplamı birbirine eşittir. Bu özellik aynı zamanda birer paralelkenar olan dikdörtgen, kare ve eşkenar dörtgen için de geçerlidir.
Paralelkenarın köşelerinin koordinatları
\( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), \( C(x_3, y_3) \) ve \( D(x_4, y_4) \) noktalarının oluşturduğu paralelkenarın köşe noktalarının koordinatları arasındaki ilişki:
\( x_1 + x_3 = x_2 + x_4 \)
\( y_1 + y_3 = y_2 + y_4 \)
ÖRNEK:
\( ABCD \) paralelkenarının köşeleri \( A(3, -2) \), \( B(6, b) \), \( C(8, -3) \) ve \( D(a, -4) \) noktaları ise,
\( 3 + 8 = 6 + a \Longrightarrow a = 5 \)
\( -2 + (-3) = b + (-4) \Longrightarrow b = -1 \)
İSPATI GÖSTER
Paralelkenarların bir özelliği olarak, paralelkenarın köşegenleri birbirini ortalar. Bu yüzden, köşegenlerin kesişim noktası olan \( K \) noktasının koordinatlarını karşılıklı iki köşenin koordinatları cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
İspatı yapabilmek için koordinatların apsisleri ve ordinatları arasındaki eşitsizliği belirlemiştik, formülün her zaman geçerli olması için sonucu tekrar mutlak değer içerisine alırsak üçgen alan formülünü elde ederiz.