Analitik Geometri Formülleri

Analitik düzlemdeki farklı uygulamalar için kullanabileceğimiz bazı formüller aşağıdaki gibidir.

Bir Doğru Parçasını Belirli bir Oranda İçten Bölen Noktanın Koordinatları

İki noktayı birleştiren doğru parçasını belirli bir oranda içten bölen noktanın koordinatlarını aşağıdaki şekilde bulabiliriz.

Bir doğru parçasını belirli bir oranda içten bölen nokta

\( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktaları birleştiren doğru parçasını \( \dfrac{\abs{CA}}{\abs{CB}} = k \) oranında içten bölen \( C(x_0, y_0) \) noktasının koordinatları:

\( x_0 = \dfrac{x_1 + kx_2}{1 + k} \)

\( y_0 = \dfrac{y_1 + ky_2}{1 + k} \)

ÖRNEK:

\( A(-1, 1) \) ve \( B(11, 9) \) noktalarını birleştiren doğru parçasını \( \dfrac{\abs{CA}}{\abs{CB}} = 3 \) oranında bölen \( C(x_0, y_0) \) noktasının koordinatları:

\( x_0 = \dfrac{-1 + 3 \cdot 11}{1 + 3} = 8 \)

\( y_0 = \dfrac{1 + 3 \cdot 9}{1 + 3} = 7 \)

İSPATI GÖSTER

Ayrıca, \( C \) noktasının eksenler üzerindeki izdüşümleri de \( A \) ve \( B \) noktalarının izdüşümlerini içten aynı oranda böler.

Bir Doğru Parçasını Belirli bir Oranda Dıştan Bölen Noktanın Koordinatları

İki noktayı birleştiren doğru parçasını belirli bir oranda dıştan bölen noktanın koordinatlarını aşağıdaki şekilde bulabiliriz.

\( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktaları birleştiren doğru parçasını \( \dfrac{\abs{CA}}{\abs{CB}} = k \) oranında dıştan bölen \( C(x_0, y_0) \) noktasının koordinatları:

\( x_0 = \dfrac{x_1 - kx_2}{1 - k} \)

\( y_0 = \dfrac{y_1 - ky_2}{1 - k} \)

ÖRNEK:

\( A(-1, 1) \) ve \( B(8, 7) \) noktalarını birleştiren doğru parçasını \( \dfrac{\abs{CA}}{\abs{CB}} = 4 \) oranında bölen \( C(x_0, y_0) \) noktasının koordinatları:

\( x_0 = \dfrac{-1 - 4 \cdot 8}{1 - 4} = 11 \)

\( y_0 = \dfrac{1 - 4 \cdot 7}{1 - 4} = 9 \)

İSPATI GÖSTER

Ayrıca, \( C \) noktasının eksenler üzerindeki izdüşümleri de \( A \) ve \( B \) noktalarının izdüşümlerini dıştan aynı oranda böler.

Üç Noktanın (Üçgenin) Ağırlık Merkezinin Koordinatları

Doğrusal olmayan üç noktanın oluşturduğu üçgenin ağırlık merkezi (kenarortayların kesişim noktası) olan noktanın apsis ve ordinat değerleri, verilen üç noktanın apsis ve ordinat değerlerinin toplamının üçte birine (aritmetik ortalamasına) eşittir.

Üç noktanın oluşturduğu üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları

\( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \) ve \( C(x_3, y_3) \) noktalarının oluşturduğu üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları:

\( x_0 = \dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3} \)

\( y_0 = \dfrac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \)

ÖRNEK:

\( A(2, 3) \), \( B(7, -2) \) ve \( C(6, 11) \) noktalarının oluşturduğu üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları:

\( x_0 = \dfrac{2 + 7 + 6}{3} = 5 \)

\( y_0 = \dfrac{3 + (-2) + 11}{3} = 4 \)

İSPATI GÖSTER

Paralelkenarın Köşe Noktaları

Bir paralelkenarın karşılıklı köşelerinin koordinatları toplamı birbirine eşittir. Bu özellik aynı zamanda birer paralelkenar olan dikdörtgen, kare ve eşkenar dörtgen için de geçerlidir.

Paralelkenarın köşelerinin koordinatları

\( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), \( C(x_3, y_3) \) ve \( D(x_4, y_4) \) noktalarının oluşturduğu paralelkenarın köşe noktalarının koordinatları arasındaki ilişki:

\( x_1 + x_3 = x_2 + x_4 \)

\( y_1 + y_3 = y_2 + y_4 \)

ÖRNEK:

\( ABCD \) paralelkenarının köşeleri \( A(3, -2) \), \( B(6, b) \), \( C(8, -3) \) ve \( D(a, -4) \) noktaları ise,

\( 3 + 8 = 6 + a \Longrightarrow a = 5 \)

\( -2 + (-3) = b + (-4) \Longrightarrow b = -1 \)

İSPATI GÖSTER

Üçgenin Alanı

Doğrusal olmayan üç noktanın oluşturduğu üçgenin alanı aşağıdaki formülle hesaplanır.

\( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \) ve \( C(x_3, y_3) \) noktalarının oluşturduğu üçgenin alanı:

\( A(ABC) = \begin{bmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ x_3 & y_3 \\ x_1 & y_1 \end{bmatrix} \)

\( = \dfrac{1}{2} \abs{(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1) - (x_2y_1 + x_3y_2 + x_1y_3)} \)

İSPATI GÖSTER

Üçgeni içine alan aşağıdaki gibi bir \( ADEF \) dikdörtgeni çizelim.

Üç noktanın oluşturduğu üçgenin alanı (ispat)

Üçgenin ve dikdörtgenin köşelerinin koordinatları ve köşe noktaları arası uzaklıklar şekilde belirtildiği gibi olur.

Dikdörtgenin içinde oluşan dört üçgenin alanlarına \( A \), \( A_1 \), \( A_2 \) ve \( A_3 \) diyelim.

Alanını bulmak istediğimiz üçgenin alanını dikdörtgenin alanından diğer üç üçgenin alanını çıkarak bulabiliriz.

\( A(\overset{\triangle}{ACB}) = A(ADEF) - A(\overset{\triangle}{ABF}) - A(\overset{\triangle}{ADC}) - A(\overset{\triangle}{CEB}) \)

\( A = A(ADEF) - A_1 - A_2 - A_3 \)

İlk önce dikdörtgenin alanını hesaplayalım.

\( A(ADEF) = \abs{x_3 - x_1}\abs{y_2 - y_1} \)

Üçgenlerin alanlarını hesaplayalım.

\( A_1 = \frac{1}{2}\abs{x_2 - x_1}\abs{y_2 - y_1} \)

\( A_2 = \frac{1}{2}\abs{x_3 - x_1}\abs{y_3 - y_1} \)

\( A_3 = \frac{1}{2}\abs{x_3 - x_2}\abs{y_2 - y_3} \)

Mutlak değerli ifadelerle işlem yapabilmek için üçgenin köşelerinin apsisleri ve ordinatları arasındaki eşitsizliği belirleyelim.

\( x_1 \le x_2 \le x_3 \)

\( y_1 \le y_3 \le y_2 \)

Yukarıda verdiğimiz alan formüllerini mutlak değerden çıkarıp çarpımı içeri dağıtarak yazalım.

\( A(ADEF) = x_3y_2 - x_3y_1 - x_1y_2 + x_1y_1 \)

\( A_1 = \frac{1}{2}(x_2y_2 - x_2y_1 - x_1y_2 + x_1y_1) \)

\( A_2 = \frac{1}{2}(x_3y_3 - x_3y_1 - x_1y_3 + x_1y_1) \)

\( A_3 = \frac{1}{2}(x_3y_2 - x_3y_3 - x_2y_2 + x_2y_3) \)

Yukarıdaki üçgenin alanı işlemini yapalım.

\( A = A(ADEF) - A_1 - A_2 - A_3 \)

\( A = (x_3y_2 - x_3y_1 - x_1y_2 + x_1y_1) \) \( - \frac{1}{2}(x_2y_2 - x_2y_1 - x_1y_2 + x_1y_1) \) \( - \frac{1}{2}(x_3y_3 - x_3y_1 - x_1y_3 + x_1y_1) \) \( - \frac{1}{2}(x_3y_2 - x_3y_3 - x_2y_2 + x_2y_3) \)

Bu işlemdeki sadeleştirmeleri yaparsak aşağıdaki formülü elde ederiz.

\( = \dfrac{1}{2} [(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1) - (x_2y_1 + x_3y_2 + x_1y_3)] \)

İspatı yapabilmek için koordinatların apsisleri ve ordinatları arasındaki eşitsizliği belirlemiştik, formülün her zaman geçerli olması için sonucu tekrar mutlak değer içerisine alırsak üçgen alan formülünü elde ederiz.

\( = \dfrac{1}{2} \abs{(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1) - (x_2y_1 + x_3y_2 + x_1y_3)} \)