Uzaklık Formülleri

\( \abs{AB} \) uzaklığını hesaplayalım.

\( \sqrt{(m - 1)^2 + (3 - (-3))^2} = 10 \)

\( (m - 1)^2 + 36 = 100 \)

\( (m - 1)^2 = 64 \)

\( \sqrt{(m - 1)^2} = \sqrt{64} \)

\( \abs{m - 1} = 8 \)

\( m - 1 = 8 \) ya da \( m - 1 = -8 \)

\( m = 9 \) ya da \( m = -7 \)

\( m \)'nin alabileceği değerler -7 ve 9 olur.

\( C \) noktası \( x \) ekseni üzerinde olduğuna göre koordinatları \( C(a, 0) \) şeklinde olur.

\( \abs{CA} = \abs{CB} \) olduğuna göre,

\( \sqrt{(a - 1)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{(a - (-3))^2 + (0 - 1)^2} \)

\( (a - 1)^2 + 4 = (a + 3)^2 + 1 \)

\( a^2 - 2a + 1 + 4 = a^2 + 6a + 9 + 1 \)

\( -8a = 5 \)

\( a = -\dfrac{5}{8} \)

\( C(-\frac{5}{8}, 0) \) olarak bulunur.

İki nokta arasındaki uzaklık formülünü yazalım.

\( \abs{AB} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)

\( \sqrt{41} = \sqrt{(2 - a)^2 + (-3 - 2)^2} \)

\( 41 = (2 - a)^2 + (-5)^2 \)

\( (2 - a)^2 = 16 \)

\( \sqrt{(2 - a)^2} = \sqrt{16} \)

\( \abs{2 - a} = 4 \)

Eşitliğin iki çözümü vardır.

\( 2 - a = 4 \Longrightarrow a = -2 \)

\( 2 - a = -4 \Longrightarrow a = 6 \)

Buna göre \( a \)'nın alabileceği değerlerin çarpımı \( -2 \cdot 6 = -12 \) olarak bulunur.

Bu iki nokta aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Bu üç nokta arasındaki uzaklıkları bulalım.

\( \abs{AB} = \sqrt{(-2 - (-3))^2 + (-1 - (-3))^2} \)

\( = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \)

\( \abs{BC} = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (5 - (-1))^2} \)

\( = \sqrt{3^2 + 6^2} = 3\sqrt{5} \)

\( \abs{AC} = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (5 - (-3))^2} \)

\( = \sqrt{4^2 + 8^2} = 4\sqrt{5} \)

\( [AC] \) uzunluğunun \( [AB] \) ve \( [BC] \) uzunlukları toplamına eşit olduğunu görüyoruz.

\( \abs{AC} = \abs{AB} + \abs{BC} \)

\( 4\sqrt{5} = \sqrt{5} + 3\sqrt{5} \)

Üçgen eşitsizliğine göre, bir üçgende bir kenar uzunluğu her zaman diğer iki kenar uzunlukları toplamından küçüktür. Bu eşitlik bize bu üç noktanın bir üçgen oluşturmadıklarını göstermektedir, dolayısıyla noktalar doğrusaldır.

Noktaların doğrusal olduğunu aşağıdaki şekilde de görebiliriz.

Dörtgenin köşe noktaları arasındaki uzaklıkları bulalım.

\( \abs{AB} = \sqrt{(6 - 3)^2 + (-1 - 5)^2} \)

\( = \sqrt{3^2 + (-6)^2} = \sqrt{45} \)

\( \abs{BC} = \sqrt{(2 - 6)^2 + (-3 - (-1))^2} \)

\( = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{20} \)

\( \abs{CD} = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (3 - (-3))^2} \)

\( = \sqrt{(-3)^2 + 6^2} = \sqrt{45} \)

\( \abs{DA} = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (5 - 3)^2} \)

\( = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} \)

Dörtgenin karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir, ama tüm kenar uzunlukları eşit olmadığı için şekil kare ya da eşkenar dörtgen olamaz.

Dörtgenin paralelkenar mı dikdörtgen mi olduğunu anlamak için köşegen uzunluklarını karşılaştıralım.

\( \abs{AC} = \sqrt{(2 - 3)^2 + (-3 - 5)^2} \)

\( = \sqrt{(-1)^2 + (-8)^2} = \sqrt{65} \)

\( \abs{BD} = \sqrt{(-1 - 6)^2 + (3 - (-1))^2} \)

\( = \sqrt{(-7)^2 + 4^2} = \sqrt{65} \)

Dörtgenin köşegen uzunlukları eşit olduğu için şekil bir dikdörtgendir (paralelkenarın köşegen uzunlukları birbirinden farklıdır).

Üçgenin köşe noktaları arasındaki uzaklıkları bulalım.

\( \abs{AB} = \sqrt{(-3 - (-1))^2 + (-1 - 4)^2} \)

\( = \sqrt{(-2)^2 + (-5)^2} = \sqrt{29} \)

\( \abs{BC} = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (-3 - (-1))^2} \)

\( = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{40} \)

\( \abs{CA} = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (4 - (-3))^2} \)

\( = \sqrt{(-4)^2 + 7^2} = \sqrt{65} \)

Üçgenin uzun kenarının karesi ile diğer iki kenar uzunluklarının kareleri toplamını karşılaştıralım.

\( (\abs{CA})^2 \overset{?}{=} (\abs{AB})^2 + (\abs{BC})^2 \)

\( (\sqrt{65})^2 \overset{?}{=} (\sqrt{29})^2 + (\sqrt{40})^2 \)

\( 65 \overset{?}{=} 29 + 40 \)

\( 65 \lt 69 \)

Eşitlik sağlansaydı Pisagor teoreminden üçgenin bir dik üçgen olduğu sonucuna varabilirdik. Uzun kenarın karesi diğer iki kenar uzunluklarının kareleri toplamından küçük çıktığı için karşısındaki açı 90°'den küçük olmalıdır, dolayısıyla üçgen dar açılı bir üçgendir.

Orta noktanın apsis ve ordinat değerleri verilen iki noktanın apsis ve ordinat değerlerinin aritmetik ortalamasına eşittir.

\( a = \dfrac{-2 + 4}{2} \Longrightarrow a = 1 \)

\( -2 = \dfrac{-6 + b}{2} \Longrightarrow b = 2 \)

\( a \cdot b = 1 \cdot 2 = 2 \) bulunur.

Orta noktanın apsis ve ordinat değerleri verilen \( A \) ve \( B \) noktalarının apsis ve ordinat değerlerinin aritmetik ortalamasına eşittir.

İki noktanın orta noktasına \( C \) diyelim.

\( C\left( \dfrac{t - 1 + t + 3}{2}, \dfrac{2t + 3 + 4t - 1}{2} \right) \) \( = C(t + 1, 3t + 1) \)

\( t \) cinsinden parametrik denklemi verilmiş doğrunun denklemini bulalım.

\( x = t + 1 \Longrightarrow t = x - 1 \)

Birinci denklemde bulduğumuz \( t \) değerini ikinci denklemde yerine koyalım.

\( y = 3t + 1 \Longrightarrow y = 3(x - 1) + 1 \)

\( y = 3x - 2 \) bulunur.

Noktaları analitik düzlemde işaretlediğimizde oluşan üçgenin dik kenarları eksenlere paralel olan bir dik üçgen olduğunu görürüz.

Buna göre üçgenin kenar uzunlukları aşağıdaki gibi olur.

\( \abs{AB} = \abs{10 - (-2)} = 12 \) br

\( \abs{AC} = \abs{-3 - 2} = 5 \) br

\( \abs{BC} = \sqrt{12^2 + 5^2 } = 13 \) br

Buna göre üçgenin çevresi aşağıdaki gibi bulunur.

\( Ç(ABC) = 12 + 5 + 13 = 30 \) br

Aşağıdaki şekildeki gibi \( D \) noktasından \( y \) eksenine bir dik indirerek \( DEC \) üçgenini oluşturalım.

\( \widehat{DEC} = \widehat{COB} = 90° \)

\( \widehat{EDC} = \widehat{OCB} = \alpha \)

Buna göre tüm iç açıları eşit aşağıdaki iki üçgen benzer üçgenlerdir.

\( \overset{\triangle}{DEC} \sim \overset{\triangle}{COB} \)

Pisagor teoremini kullanarak \( \abs{BC} \) uzunluğunu bulalım.

\( \abs{BC} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10 \)

Dikdörtgenin çevresi 30 birimdir.

\( 2(\abs{BC} + \abs{DC}) = 30 \)

\( \abs{DC} = 5 \) br

Benzer üçgenlerde benzer kenarların uzunlukları oranı birbirine eşittir.

\( \dfrac{5}{10} = \dfrac{a}{8} = \dfrac{b}{6} \)

\( a = 4 \) br

\( b = 3 \) br

\( D \) noktasının koordinatları aşağıdaki gibi olur.

\( D(-a, 8 + b) = D(-4, 11) \)

\( D \) noktasının koordinatları farkının mutlak değerini bulalım.

\( \abs{-4 - 11} = 15 \) bulunur.

Aşağıdaki şekildeki gibi \( D \) noktasından \( x \) eksenine bir dik indirerek \( DGA \) üçgenini oluşturalım.

\( \widehat{DGA} = \widehat{AOB} = 90° \)

\( \widehat{GAD} = \widehat{OBA} = \alpha \)

\( ABCD \) bir kare olduğu için:

\( \abs{DA} = \abs{AB} \)

Buna göre tüm iç açıları ve birer benzer kenar uzunluğu eşit aşağıdaki iki üçgen eş üçgenlerdir.

\( \overset{\triangle}{DGA} \equiv \overset{\triangle}{AOB} \)

Eş üçgenlerin benzer kenar uzunlukları birbirine eşittir.

\( \abs{AO} = \abs{DG} = 12 \)

\( \abs{GA} = \abs{GO} - \abs{AO} \)

\( = 28 - 12 = 16 \)

Pisagor teoremini kullanarak \( \abs{DA} \) uzunluğunu bulalım.

\( \abs{DA} = \sqrt{12^2 + 16^2} = 20 \)

\( \abs{DF} = \dfrac{\abs{DA}}{2} = 10 \)

Pisagor teoremini kullanarak \( \abs{EF} \) uzunluğunu bulalım.

\( \abs{EF} = \sqrt{10^2 + 10^2} = 10\sqrt{2} \)

Aşağıdaki şekildeki gibi \( C \) noktasından \( x \) eksenine bir dik indirerek \( CEB \) üçgenini oluşturalım.

\( \widehat{CEB} = \widehat{BOA} = 90° \)

\( \widehat{EBC} = \widehat{OAB} = \alpha \)

\( ABCD \) bir kare olduğu için:

\( \abs{CB} = \abs{BA} \)

Buna göre tüm iç açıları ve birer benzer kenar uzunluğu eşit aşağıdaki iki üçgen eş üçgenlerdir.

\( \overset{\triangle}{CEB} \equiv \overset{\triangle}{BOA} \)

Eş üçgenlerin benzer kenar uzunlukları birbirine eşittir.

\( \abs{CE} = \abs{BO} = 2 \)

\( \abs{EB} = \abs{OA} = 3 \)

\( C \) noktasının koordinatları aşağıdaki gibi olur.

\( C(-5, 2) \)

Buna göre \( C \) noktasının koordinatları toplamı \( -5 + 2 = -3 \) olur.

\( K \) ve \( L \) noktaları bulundukları kenarların orta noktaları olduğu için \( [KL] \) doğru parçası \( ABC \) üçgeninin orta tabanı olur.

Bir üçgende orta taban uzunluğu taban uzunluğunun yarısıdır.

\( [BC] \) taban uzunluğunu iki nokta arasındaki uzaklık formülü ile bulalım.

\( \abs{BC} = \sqrt{-1 - 11)^2 + (-8 - 8)^2} \)

\( = \sqrt{12^2 + 16^2} = 20 \)

Buna göre orta taban uzunluğu \( x = 10 \) bulunur.

Aşağıdaki şekildeki gibi \( A \) noktasından \( x \) eksenine bir dik indirelim.

\( \abs{AD} = 4 \)

Trigonometrik oranları kullanarak \( \abs{AD} \) uzunluğunu bulalım.

\( \tan{60°} = \dfrac{\abs{AD}}{\abs{OD}} \)

\( \sqrt{3} = \dfrac{\abs{AD}}{4} \)

\( \abs{AD} = 4\sqrt{3} \)

\( \abs{DB} = 5 - 4 = 1 \)

Pisagor teoremini kullanarak \( \abs{AB} \) uzunluğunu bulalım.

\( \abs{AB} = \sqrt{1^2 + (4\sqrt{3})^2} \)

\( = \sqrt{1 + 48} = 7 \) bulunur.

Belirtilen koşulu sağlayan noktaların koordinatlarına \( C(x, y) \) diyelim.

\( C \) noktasının \( A \) noktasına olan uzaklığı \( B \) noktasına olan uzaklığının 3 katıdır.

\( \abs{CA} = 3\abs{CB} \)

\( \sqrt{(x - 5)^2 + (y - (-2))^2} = 3\sqrt{(x - 1)^2 + (y - 2)^2} \)

İki tarafın karesini alalım.

\( x^2 - 10x + 25 + y^2 + 4y + 4 = 9(x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4) \)

\( x^2 - 10x + 25 + y^2 + 4y + 4 = 9x^2 - 18x + 9 + 9y^2 - 36y + 36 \)

\( 8x^2 - 8x + 8y^2 - 40y + 16 = 0 \)

Verilen koşulu sağlayan noktalar kümesi aşağıdaki denklemle ifade edilir.

\( x^2 - x + y^2 - 5y + 2 = 0 \)

Çemberin analitiği bölümünde göreceğimiz üzere, bu denklem aşağıdaki şekildeki gibi bir çember ifade eder.

Belirtilen koşulu sağlayan noktaların koordinatlarına \( C(x, y) \) diyelim.

\( C \) noktasının \( A \) noktasına ve doğruya uzaklığına \( d \) diyelim. \( d \) değerini hem \( A \) noktası hem de doğru için ayrı ayrı hesaplayalım.

\( C \) noktasının \( A \) noktasına uzaklığı:

\( d = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 4)^2} \)

\( y = 1 \) yatay bir doğru olduğu için \( C \) noktasının doğruya uzaklığı ordinat değerleri arasındaki farka eşittir.

\( d = \abs{y - 1} \)

İki uzaklık değeri birbirine eşittir.

\( \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 4)^2} = \abs{y - 1} \)

İki tarafın karesini alalım.

\( (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = (y - 1)^2 \)

\( x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16 = y^2 - 2y + 1 \)

\( x^2 - 6x + 24 = 6y \)

Verilen koşulu sağlayan noktalar kümesi aşağıdaki denklemle ifade edilir.

\( y = \dfrac{1}{6}x^2 - x + 4 \)

Elde ettiğimiz denklem aşağıdaki şekildeki gibi bir parabol ifade eder. Parabol bölümünde göreceğimiz üzere, parabol aynı zamanda bir nokta ve doğruya eşit uzaklıktaki noktalar kümesidir.