Aşağıdaki nokta ve doğruların birleşimi uzayda tek bir düzlem belirtir.
Bir \( N \) düzleminin denklemini bulmak için, önce bu düzlem üzerinde bir \( P_0 \) noktası ve düzleme dik bir \( \vec{n} \) vektörü tanımlayalım.
\( P_0(x_0, y_0, z_0) \)
\( \vec{n} = (a, b, c) \)
Bir düzleme dik olan bu \( \vec{n} \) vektörüne normal vektörü denir. Bir düzlemin normal vektörü o düzlem üzerinde bulunan tüm doğrulara diktir.
\( N \) düzlemi üzerindeki herhangi bir noktayı temsil eden bir \( P \) noktası seçelim. \( P_0 \) ve \( P \) noktaları için konum vektörleri sırasıyla \( \vec{r_0} \) ve \( \vec{r} \) olsun.
\( P(x, y, z) \)
\( \vec{r_0} = (x_0, y_0, z_0) \)
\( \vec{r} = (x, y, z) \)
\( P \) noktasını \( \vec{r} \) ve \( \vec{r_0} \) vektörlerinin farkı şeklinde yazabiliriz.
\( \vec{P_0P} = \vec{r} - \vec{r_0} \)
\( \vec{P_0P} \) vektörü \( N \) düzlemi üzerindeki tüm \( P \) noktaları için \( \vec{n} \) vektörüne dik olacağı için, bu iki vektörün nokta çarpımı her zaman sıfıra eşit olur. Bu çarpım aynı zamanda düzlemin vektör denklemini verir.
\( \vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{r_0}) = 0 \)
\( (a, b, c) \cdot (x - x_0, y - y_0, z - z_0) = 0 \)
\( P_0(4, -5, 6) \) noktasından geçen ve \( \vec{n} = (2, -3, 1) \) vektörüne dik olan düzlemin vektör denklemi:
\( (2, -3, 1) \cdot (x - 4, y + 5, z - 6) = 0 \)
Düzlemin vektör denklemindeki nokta çarpım işlemi yapıldığında düzlemin standart denklemi elde edilir.
\( P_0(x_0, y_0, z_0) \) noktasından geçen ve \( \vec{n} = (a, b, c) \) vektörüne dik olan düzlemin standart denklemi:
\( a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 \)
\( P_0(4, -5, 6) \) noktasından geçen ve \( \vec{n} = (2, -3, 1) \) vektörüne dik olan düzlemin standart denklemi:
\( 2(x - 4) - 3(y + 5) + (z - 6) = 0 \)
Düzlemin standart denklemindeki parantezler genişletildiğinde ise düzlemin genel denklemi elde edilir.
\( P_0(x_0, y_0, z_0) \) noktasından geçen ve \( \vec{n} = (a, b, c) \) vektörüne dik olan düzlemin genel denklemi:
\( ax + by + cz + d = 0 \)
\( d = -ax_0 - by_0 - cz_0 \)
\( P_0(4, -5, 6) \) noktasından geçen ve \( \vec{n} = (2, -3, 1) \) vektörüne dik olan düzlemin genel denklemi:
\( d = -2(4) - (-3)(-5) - 1(6) = -29 \)
\( 2x - 3y + z - 29 = 0 \)
\( 4x + y - 4z + 13 = 0 \) düzlemine ait normal vektörü:
\( \vec{n} = (4, 1, -4) \)
Bir düzlemin birim normal vektörü, doğrultusu normal vektör ile aynı ve normu 1 olan vektördür. Birim normal vektör \( \hat{n} \) ile gösterilir.
\( \hat{n} = \dfrac{\vec{n}}{\norm{\vec{n}}} \)
\( \vec{n} = (2, -2, 1) \) normal vektörünün birim normal vektörü:
\( \norm{\vec{n}} = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3 \)
\( \hat{n} = \dfrac{(2, -2, 1)}{3} \)
\( = (\dfrac{2}{3}, -\dfrac{2}{3}, \dfrac{1}{3}) \)
Düzlem denklemi alternatif olarak düzlemin \( \hat{n} \) birim normal vektörü ve orijine olan dik uzaklığı cinsinden de ifade edilebilir.
\( \hat{n} \) birim normal vektörüne dik ve orijine uzaklığı \( d \) olan düzlemin normal formdaki denklemi:
\( \vec{r} \cdot \hat{n} = d \)
Normal vektörü \( \vec{n} = (\sqrt{2}, \sqrt{2}, 0) \) ve orijine dik uzaklığı \( d = 5 \) olan düzlemin normal formdaki denklemi:
\( \norm{\vec{n}} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 + 0^2} = 2 \)
\( \hat{n} = \dfrac{1}{2}(\sqrt{2}, \sqrt{2}, 0) \)
\( = (\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, 0) \)
\( \vec{r} \cdot (\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, 0) = 5 \)
Orijinden geçmeyen ve herhangi bir eksene paralel olmayan, dolayısıyla üç ekseni de kesen bir düzlemin denklemi eksenleri kestiği noktaların koordinatları cinsinden aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
\( A(a, 0, 0) \), \( B(0, b, 0) \) ve \( C(0, 0, c) \) düzlemin eksenleri kestiği noktalar olmak üzere:
\( \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1 \)
Eksenleri \( A(16, 0, 0) \), \( B(0, 2, 0) \) ve \( C(0, 0, -8) \) noktalarında kesen düzlemin denklemi:
\( \dfrac{x}{16} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{-6} = 1 \)
Doğrusal olmayan üç noktası bilinen düzlemin denklemi aşağıdaki yöntemle bulunabilir.
\( P_1(-1, 2, -2) \), \( P_2(2, 3, -4) \) ve \( P_3(0, 4, 0) \) noktalarından geçen düzlemin denklemini bulalım.
\( \vec{P_1P_2} \) ve \( \vec{P_1P_3} \) vektörlerini bulalım.
\( \vec{P_1P_2} = (2 - (-1), 3 - 2, -4 - (-2)) \)
\( = (3, 1, -2) \)
\( \vec{P_1P_3} = (0 - (-1), 4 - 2, 0 - (-2)) \)
\( = (-1, 2, 2) \)
\( \vec{P_1P_2} \) ve \( \vec{P_1P_3} \) vektörlerinin vektörel çarpımı düzlemin normal vektörünü verir.
\( \vec{n} = \vec{P_1P_2} \times \vec{P_1P_3} \)
\( = (3, 1, -2) \times (-1, 2, 2) \)
\( = (1(2) - 2(-2), (-1)(-2) - 3(2), 3(2) - (-1)1) \)
\( = (6, -4, 7) \)
\( P_1 \) noktasından geçen ve \( \vec{n} \) vektörüne dik olan düzlemin denklemi:
\( 6(x + 1) - 4(y - 2) + 7(z + 2) = 0 \)
\( xy \), \( xz \) ve \( yz \) koordinat düzlemlerinin denklemleri aşağıdaki gibidir.
\( xy \) düzlemi:
\( z = 0 \)
\( xz \) düzlemi:
\( y = 0 \)
\( yz \) düzlemi:
\( x = 0 \)
Bir düzlem paralel olmadığı bir koordinat düzlemini bir doğru boyunca keser. Aşağıdaki şekilde \( N \) düzleminin sırasıyla \( xy \), \( xz \) ve \( yz \) düzlemleri ile kesişimi olan \( d_1 \), \( d_2 \) ve \( d_3 \) doğruları gösterilmiştir.
Bir düzlemin \( xy \) koordinat düzlemi ile kesişiminin oluşturduğu doğrunun denklemini bulmak için düzlem denkleminde \( z = 0 \) yazılır. Düzlemin diğer koordinat düzlemleri ile kesişimi de benzer şekilde bulunur.
\( N: 2x + 3y - 4z = 12 \) düzleminin her bir koordinat düzlemi ile kesişiminin oluşturduğu doğru denklemleri:
\( xy \) düzlemi ile kesişim:
\( 2x + 3y = 12, \quad z = 0 \)
\( xz \) düzlemi ile kesişim:
\( 2x - 4z = 12, \quad y = 0 \)
\( yz \) düzlemi ile kesişim:
\( 3y - 4z = 12, \quad x = 0 \)
Bir düzlem paralel olmadığı bir koordinat eksenini tek bir noktada keser. Aşağıdaki şekilde \( N \) düzleminin sırasıyla \( x \), \( y \) ve \( z \) eksenleri ile kesişimi olan \( A \), \( B \) ve \( C \) noktaları gösterilmiştir.
Bir düzlemin \( x \) koordinat ekseni ile kesişimi olan noktayı bulmak için düzlem denkleminde \( y = z = 0 \) yazılır. Düzlemin diğer koordinat eksenleri ile kesişimi de benzer şekilde bulunur.
\( N: 2x + 3y - 4z = 12 \) düzleminin her bir koordinat ekseni ile kesişimi olan noktalar:
\( x \) ekseni ile kesişim:
\( y = z = 0, \quad x = 6 \)
\( A(6, 0, 0) \)
\( y \) ekseni ile kesişim:
\( x = z = 0, \quad y = 4 \)
\( B(0, 4, 0) \)
\( z \) ekseni ile kesişim:
\( x = y = 0, \quad z = -3 \)
\( C(0, 0, -3) \)
Uzayda bir noktanın bir düzleme göre konumu üç şekilde olabilir.
\( P_1(x_1, y_1, z_1) \) noktasının \( ax + by + cz + d = 0 \) düzlemine göre konumu üç şekilde olabilir.
\( P_1(1, 2, 2) \) noktasının \( 3x - y + 4z - 12 = 0 \) düzlemine göre konumu:
Noktanın koordinatlarını düzlem denkleminde yerine koyalım.
\( 3(1) - 2 + 4(2) - 12 = -3 \lt 0 \)
Buna göre \( P_1 \) noktası düzleme göre normal vektörünün ters yönündeki taraftadır.
Orijin noktasının \( 2x + 4y - 3z + 3 = 0 \) düzlemine göre konumu:
Noktanın koordinatlarını düzlem denkleminde yerine koyalım.
\( 2(0) + 4(0) - 3(0) + 3 = 3 \gt 0 \)
Buna göre orijin noktası düzleme göre normal vektörünün yönündeki taraftadır.
Bunun bir uygulaması olarak iki noktanın bir düzleme göre konumu iki şekilde olabilir.
\( P_1 \) nokta ve \( P_2 \) noktalarının \( ax + by + cz + d = 0 \) düzlemine göre konumu iki şekilde olabilir.
Noktaların koordinatları \( ax + by + cz + d \) ifadesinde yerine konduğunda elde edilen değerlerin;
\( P_1(4, 2, 2) \) ve \( P_2(2, -2, 3) \) noktalarının \( 2x - 3y + z - 12 = 0 \) düzlemine göre konumu:
\( P_1 \) noktasının koordinatlarını düzlem denkleminde yerine koyalım.
\( 2(4) - 3(2) + 2 - 6 = -2 \lt 0 \)
\( P_2 \) noktasının koordinatlarını düzlem denkleminde yerine koyalım.
\( 2(2) - 3(-2) + (-3) - 6 = 1 \gt 0 \)
Buna göre \( P_1 \) ve \( P_2 \) noktaları düzlemin farklı taraflarındadır.