Düzleme Uzaklık

\( N \) düzlemi üzerinde \( A \) noktasına en yakın olan noktaya \( D \) diyelim.

\( D \) noktasından \( A \) noktasına çizeceğimiz \( \vec{DA} \) vektörü \( N \) düzlemine dik ve \( \vec{n} \) vektörüne paraleldir.

\( A \) noktasının \( N \) düzlemine en yakın uzaklığı \( \vec{DA} \) vektörünün normuna eşittir.

\( d = \norm{\vec{DA}} \)

\( N \) düzlemi üzerindeki \( P_0 \) noktasından \( A \) noktasına bir vektör tanımlayalım.

\( \vec{P_0A} = A - P_0 \)

\( \vec{P_0A} \) ve \( \vec{DA} \) vektörleri arasındaki dar açıya \( \theta \) diyelim.

\( d \) uzunluğunu \( \vec{P_0A} \) vektörünün normu ve \( \theta \) açısı cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( d = \norm{\vec{P_0A}}\cos{\theta} \)

Bu eşitliğin sağ tarafını \( \vec{n} \) vektörünün normu ile çarpıp bölelim.

\( = \dfrac{\norm{\vec{P_0A}}\norm{\vec{n}}\cos{\theta}}{\norm{\vec{n}}} \)

Eşitliğin sağ tarafının payı \( \vec{P_0A} \) ve \( \vec{n} \) vektörlerinin nokta çarpımına eşittir.

\( = \dfrac{\vec{P_0A} \cdot \vec{n}}{\norm{\vec{n}}} \)

Formüldeki vektörlerin yönüne göre nokta çarpımının sonucu negatif olabileceği için ifadenin mutlak değerini alalım.

\( = \dfrac{\abs{\vec{P_0A} \cdot \vec{n}}}{\norm{\vec{n}}} \)

Yukarıda bulduğumuz \( A(x_1, y_1, z_1) \) noktası ile \( P_0(x_0, y_0, z_0) \) noktasından geçen ve \( \vec{n} = (a, b, c) \) vektörüne dik olan düzlem arasındaki uzaklık formülünü yazalım.

\( d = \dfrac{\abs{\vec{P_0A} \cdot \vec{n}}}{\norm{\vec{n}}} \)

Formüldeki vektörlerin koordinatlarını yazalım.

\( = \dfrac{\abs{(x_1 - x_0, y_1 - y_0, z_1 - z_0) \cdot (a, b, c)}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \)

Paydaki iki vektör arasındaki nokta çarpım işlemini yapalım.

\( = \dfrac{\abs{a(x_1 - x_0) + b(y_1 - y_0) + c(z_1 - z_0)}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \)

Parantezleri genişletelim.

\( = \dfrac{\abs{ax_1 - ax_0 + by_1 - by_0 + cz_1 - cz_0}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \)

Terimleri düzenleyelim.

\( = \dfrac{\abs{ax_1 + by_1 + cz_1 - (ax_0 + by_0 + cz_0}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \)

Payda parantez içindeki \( (x_0, y_0, z_0) \) koordinatları \( N \) düzlemi üzerindeki \( P_0 \) noktasının koordinatlarıdır, dolayısıyla bu koordinatları düzlemin genel denkleminde yerine koyduğumuzda düzlem denklemini sağlar.

\( ax + by + cz + d = 0 \)

\( ax_0 + by_0 + cz_0 + d = 0 \)

\( ax_0 + by_0 + cz_0 = -d \)

Bu ifadenin değerini uzaklık formülünde yerine koyduğumuzda \( A \) noktasının \( N \) düzlemine olan uzaklığının ikinci formülünü elde ederiz.

\( = \dfrac{\abs{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \)

Genel denklemleri sırasıyla \( ax + by + cz + d_1 = 0 \) ve \( ax + by + cz + d_2 = 0 \) olan birbirine paralel \( N_1 \) ve \( N_2 \) düzlemleri arasındaki uzaklık formülünü bulalım.

\( N_1 \) düzlemi üzerinde herhangi bir \( A \) noktası seçelim.

\( A(x_1, y_1, z_1) \)

Bu noktanın \( N_2 \) düzlemine uzaklığını bir noktanın düzleme olan uzaklığı formülü ile bulabiliriz.

\( d = \dfrac{\abs{ax_1 + by_1 + cz_1 + d_2}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \)

Paydaki \( (x_a, y_a, z_a) \) koordinatları \( N_1 \) düzlemi üzerindeki \( A \) noktasının koordinatlarıdır, dolayısıyla bu koordinatları \( N_1 \) düzleminin genel denkleminde yerine koyduğumuzda düzlem denklemini sağlar.

\( ax + by + cz + d_1 = 0 \)

\( ax_1 + by_1 + cz_1 + d_1 = 0 \)

\( ax_1 + by_1 + cz_1 = -d_1 \)

Bu ifadenin değerini uzaklık formülünde yerine koyduğumuzda birbirine paralel \( N_1 \) ve \( N_2 \) düzlemleri arasındaki uzaklık formülünü elde ederiz.

\( = \dfrac{\abs{-d_1 + d_2}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \)

\( = \dfrac{\abs{d_1 - d_2}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \)