Ters Trigonometrik Fonksiyonların Tanım ve Görüntü Kümesi

Bir \( f \) fonksiyonunun ters fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için \( f \) birebir ve örten olmalıdır. Trigonometrik fonksiyonlar ise periyodik oldukları için birebir değildirler, nitekim yatay doğru testinde doğruların grafikleri birden fazla (hatta sonsuz) noktada kestiğini, yani sonsuz sayıda açının aynı trigonometrik değere sahip olduğunu görebiliriz.

Bu sebeple, her trigonometrik fonksiyonun ters fonksiyonunu tanımlayabilmemiz için fonksiyonun belirli bir trigonometrik değeri sadece bir kez aldığı daha dar bir tanım kümesi seçmemiz gerekir. Ters trigonometrik fonksiyonlar bu koşulu sağlayacak şekilde belirlenmiş tanım ve görüntü kümeleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Fonksiyon	Tanım Kümesi	Görüntü Kümesi
\( \arcsin{x} \)	\( [-1, 1] \)	\( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \)
\( \arccos{x} \)	\( [-1, 1] \)	\( [0, \pi] \)
\( \arctan{x} \)	\( \mathbb{R} \)	\( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \)
\( \arccot{x} \)	\( \mathbb{R} \)	\( (0, \pi) \)
\( \arcsec{x} \)	\( \mathbb{R} - (-1, 1) \)	\( [0, \pi] - \{ \frac{\pi}{2} \} \)
\( \arccsc{x} \)	\( \mathbb{R} - (-1, 1) \)	\( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] - \{ 0 \} \)

Aşağıdaki sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant fonksiyon grafikleri üzerinde fonksiyonların birebir olabilmesi için seçilen tanım aralıkları mavi renk ile gösterilmiştir. Görülebileceği gibi, bu aralıklar kırmızı kesikli çizgi ile gösterilen yatay doğru testini geçmektedir.