Ters Trigonometrik Fonksiyonların Tanım ve Görüntü Kümesi
Bir \( f \) fonksiyonunun ters fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için \( f \)'in birebir ve örten olması gerekir, bunun sebebi \( f^{-1} \) ters fonksiyonunun fonksiyon olma koşullarının ancak \( f \)'in birebir ve örten olmasıyla sağlanabilmesidir.
Trigonometrik fonksiyonlar örten olsalar da periyodik oldukları için birebir değildirler. Nitekim trigonometrik fonksiyonların grafiklerine yatay doğru testi uygularsak tümünde doğrunun grafiği birden fazla (hatta sonsuz) noktada kestiğini, yani sonsuz sayıda açının aynı trigonometrik değere sahip olduğunu görebiliriz. Bu sebeple, her trigonometrik fonksiyonun ters fonksiyonunu tanımlayabilmek için belirli bir trigonometrik değeri sadece bir kez aldığı daha dar bir tanım kümesi seçmemiz gerekir. Ters trigonometrik fonksiyonların bu koşulu sağlayacak şekilde belirlenmiş tanım kümeleri ve bu doğrultuda oluşan görüntü kümeleri aşağıda verilmiştir.
| Fonksiyon | Tanım Kümesi | Görüntü Kümesi |
|---|---|---|
| \( \arcsin{x} \) | \( [-1, 1] \) | \( \left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right] \) |
| \( \arccos{x} \) | \( [-1, 1] \) | \( [0, \pi] \) |
| \( \arctan{x} \) | \( \mathbb{R} \) | \( \left( -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right) \) |
| \( \arccot{x} \) | \( \mathbb{R} \) | \( (0, \pi) \) |
| \( \arcsec{x} \) | \( \mathbb{R} - (-1, 1) \) | \( [0, \pi] - \left\{ \dfrac{\pi}{2} \right\} \) |
| \( \arccsc{x} \) | \( \mathbb{R} - (-1, 1) \) | \( \left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right] - \{ 0 \} \) |
Aşağıdaki sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant fonksiyon grafikleri üzerinde fonksiyonların birebir olabilmesi için seçilen tanım aralıkları mavi zemin rengi ile gösterilmiştir. Görülebileceği gibi, bu aralıklar kırmızı çizgi ile gösterilen yatay doğru testini geçmektedir.
\( f: A \to [- \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}] \) olmak üzere,
\( f(x) = \arcsin(\dfrac{3x - 2}{5}) \) fonksiyonunun tanım kümesi nedir?
Çözümü Göster