Ters Trigonometrik Fonksiyonların Tanım ve Görüntü Kümesi
Bir \( f \) fonksiyonunun ters fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için \( f \) birebir ve örten olmalıdır. Trigonometrik fonksiyonlar ise periyodik oldukları için birebir değildirler, nitekim yatay doğru testinde doğruların grafikleri birden fazla (hatta sonsuz) noktada kestiğini, yani sonsuz sayıda açının aynı trigonometrik değere sahip olduğunu görebiliriz.
Bu sebeple, her trigonometrik fonksiyonun ters fonksiyonunu tanımlayabilmemiz için fonksiyonun belirli bir trigonometrik değeri sadece bir kez aldığı daha dar bir tanım kümesi seçmemiz gerekir. Ters trigonometrik fonksiyonlar bu koşulu sağlayacak şekilde belirlenmiş tanım ve görüntü kümeleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.
| Fonksiyon | Tanım Kümesi | Görüntü Kümesi |
|---|---|---|
| \( \arcsin{x} \) | \( [-1, 1] \) | \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) |
| \( \arccos{x} \) | \( [-1, 1] \) | \( [0, \pi] \) |
| \( \arctan{x} \) | \( \mathbb{R} \) | \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \) |
| \( \arccot{x} \) | \( \mathbb{R} \) | \( (0, \pi) \) |
| \( \arcsec{x} \) | \( \mathbb{R} - (-1, 1) \) | \( [0, \pi] - \{ \frac{\pi}{2} \} \) |
| \( \arccsc{x} \) | \( \mathbb{R} - (-1, 1) \) | \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] - \{ 0 \} \) |
Aşağıdaki sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant fonksiyon grafikleri üzerinde fonksiyonların birebir olabilmesi için seçilen tanım aralıkları mavi renk ile gösterilmiştir. Görülebileceği gibi, bu aralıklar kırmızı kesikli çizgi ile gösterilen yatay doğru testini geçmektedir.
\( f: A \to [- \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}] \) olmak üzere,
\( f(x) = \arcsin(\dfrac{3x - 2}{5}) \) fonksiyonunun tanım kümesi nedir?
Bizden istenen \( f \) fonksiyonunda \( x \)'in alabileceği değer aralığıdır.
\( \arcsin(\dfrac{3x - 2}{5}) = a \) diyelim.
\( \sin{a} = \dfrac{3x - 2}{5} \) olur.
Sinüs fonksiyonu \( [-1, 1] \) aralığında değer alabilir.
\( -1 \le \sin{a} \le 1 \)
\( -1 \le \dfrac{3x - 2}{5} \le 1 \)
\( -5 \le 3x - 2 \le 5 \)
\( -3 \le 3x \le 7 \)
\( -1 \le x \le \dfrac{7}{3} \) olur.
O halde \( f \) fonksiyonunun tanım kümesi \( [-1, \dfrac{7}{3}] \) olur.
\( f(x) = \arccos{\dfrac{x^2 - 5}{4}} \)
olduğuna göre, \( f \) fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.
Ters kosinüs fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlıdır.
\( \arccos: [-1, 1] \to \mathbb{R} \)
\( -1 \le \dfrac{x^2 - 5}{4} \le 1 \)
Eşitsizliği çözerek \( x \)'in tanım aralığını bulalım.
\( -4 \le x^2 - 5 \le 4 \)
\( 1 \le x^2 \le 9 \)
Eşitsizliğin taraflarının karekökünü alalım.
\( \sqrt{1} \le \sqrt{x^2} \le \sqrt{9} \)
\( 1 \le \abs{x} \le 3 \)
\( -3 \le x \le -1 \) ya da \( 1 \le x \le 3 \)
Tanım kümesi: \( x \in [-3, -1] \cup [1, 3] \)
\( f(x) = \arccos{\dfrac{2x - 5}{3}} \)
fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.
Ters kosinüs fonksiyonunun tanım kümesi \( [-1, 1] \) aralığıdır.
\( -1 \le \dfrac{2x - 5}{3} \le 1 \)
Eşitsizliğin taraflarını 3 ile çarpalım.
\( -3 \le 2x - 5 \le 3 \)
Tüm taraflara 5 ekleyelim.
\( 2 \le 2x \le 8 \)
Tüm tarafları 2'ye bölelim.
\( 1 \le x \le 4 \)
Tanım kümesi: \( x \in [1, 4] \)
\( a = \arcsin{\dfrac{2}{5}} \)
\( b = \arctan{\dfrac{4}{3}} \)
\( c = \arccos(-\dfrac{8}{9}) \)
Yukarıdaki ifadeleri değerlerine göre büyükten küçüğe doğru sıralayın.
\( a \) değer aralığını bulalım.
\( \arcsin{\dfrac{2}{5}} = x \) diyelim.
\( \sin{x} = \dfrac{2}{5} \) olur.
\( \sin{30°} = \dfrac{1}{2} \) olduğunu biliyoruz.
\( \dfrac{2}{5} \lt \dfrac{1}{2} \)
\( a \in (0°, 30°) \)
\( b \) değer aralığını bulalım.
\( \arctan{\dfrac{4}{3}} = y \) diyelim.
\( \tan{y} = \dfrac{4}{3} \) olur.
\( \tan{45°} = 1 \) olduğunu biliyoruz.
\( \dfrac{4}{3} \gt 1 \)
\( b \in (45°, 90°) \)
\( c \) değer aralığını bulalım.
\( \arccos(-\dfrac{8}{9}) = z \) diyelim.
\( \cos{z} = -\dfrac{8}{9} \) olur.
\( c \in (90°, 180°) \)
İfadelerin büyükten küçüğe sıralaması aşağıdaki gibi olur.
\( c \gt b \gt a \)