Ters Trigonometrik Özdeşlikler

Trigonometrik fonksiyonlar arasındaki özdeşlikleri ters trigonometrik fonksiyonlara uyarlayarak yeni özdeşlikler elde edebiliriz. Bu özdeşlikler ezberlenmesi gereken birer formül değildir, her birinin mantığının kavranması bu fonksiyonlar arasındaki ilişkilerin pekişmesi açısından önem taşımaktadır.

Trigonometrik ve Ters Trigonometrik Fonksiyonların Bileşkesi

Bir Fonksiyonun Kendi Tersiyle Bileşkesi

Bir fonksiyonun tersiyle bileşkesinin birim fonksiyona eşit olduğunu fonksiyonlar konusunda görmüştük.

Benzer şekilde, bir trigonometrik fonksiyonun kendi ters fonksiyonu ile bileşke işlemi birim fonksiyonu verir.

Bir Fonksiyonun Arcsin ile Bileşkesi

Sinüs değeri \( x \) olan bir \( \theta \) açısını biliyorsak, karşı kenarı \( x \) ve hipotenüsü \( 1 \) olan temsili bir üçgen çizerek diğer trigonometrik fonksiyonların arcsin ile bileşkesini hesaplayabiliriz. Bu üçgende Pisagor Teoremi'nden komşu kenar uzunluğu \( \sqrt{1 - x^2} \) olmaktadır.

arcsin ile bileşke fonksiyon işlemi
\( \sin(\arcsin{x}) = x \) \( \csc(\arcsin{x}) = \dfrac{1}{x} \)
\( \cos(\arcsin{x}) = \sqrt{1 - x^2} \) \( \sec(\arcsin{x}) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)
\( \tan(\arcsin{x}) = \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \) \( \cot(\arcsin{x}) = \dfrac{\sqrt{1 - x^2}}{x} \)

Bir Fonksiyonun Arccos ile Bileşkesi

Kosinüs değeri \( x \) olan bir \( \theta \) açısını biliyorsak, komşu kenarı \( x \) ve hipotenüsü \( 1 \) olan temsili bir üçgen çizerek diğer trigonometrik fonksiyonların arccos ile bileşkesini hesaplayabiliriz. Bu üçgende Pisagor Teoremi'nden karşı kenar uzunluğu \( \sqrt{1 - x^2} \) olmaktadır.

arccos ile bileşke fonksiyon işlemi
\( \sin(\arccos{x}) = \sqrt{1 - x^2} \) \( \csc(\arccos{x}) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)
\( \cos(\arccos{x}) = x \) \( \sec(\arccos{x}) = \dfrac{1}{x} \)
\( \tan(\arccos{x}) = \dfrac{\sqrt{1 - x^2}}{x} \) \( \cot(\arccos{x}) = \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \)

Bir Fonksiyonun Arctan ile Bileşkesi

Tanjant değeri \( x \) olan bir \( \theta \) açısını biliyorsak, karşı kenarı \( x \) ve komşu kenarı \( 1 \) olan temsili bir üçgen çizerek diğer trigonometrik fonksiyonların arctan ile bileşkesini hesaplayabiliriz. Bu üçgende Pisagor Teoremi'nden hipotenüs uzunluğu \( \sqrt{x^2 + 1} \) olmaktadır.

arctan ile bileşke fonksiyon işlemi
\( \sin(\arctan{x}) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) \( \csc(\arctan{x}) = \dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} \)
\( \cos(\arctan{x}) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \) \( \sec(\arctan{x}) = \sqrt{x^2 + 1} \)
\( \tan(\arctan{x}) = x \) \( \cot(\arctan{x}) = \dfrac{1}{x} \)

Tümler Açı Formülleri

Birbirini \( 90° \)'ye tamamlayan açıların sinüs-kosinüs, tanjant-kotanjant ve sekant-kosekant değerlerinin eşit olduğunu görmüştük.

Benzer özdeşlikleri ters trigonometrik fonksiyonlar için aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

Diğer Özdeşlikler

Sinüs/kosekant, kosinüs/sekant ve tanjant/kotanjant fonksiyonları (oranların sıfırdan farklı olduğu açılar için) birbirlerinin çarpmaya göre tersi oldukları için, bu fonksiyonların ters fonksiyonları arasında da aşağıdaki özdeşlikleri yazabiliriz.

SORU:

\( \tan(\arcsin{\dfrac{2}{3}}) \) ifadesinin eşiti kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( \tan(\arccos{x}) \) ifadesinin eşiti \( x \) cinsinden nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( \arccot{\dfrac{4}{3}} = x \) ise \( \sin{x} - \cos{x} \) ifadesinin eşiti kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( \cos(\dfrac{\pi}{2} + \arccot{3}) \) ifadesinin eşiti kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( \tan(\arcsin{1} + 2\arccos{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}) \) ifadesinin eşiti nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( f(x) = 4\arccos{\dfrac{x}{3}} \) ise \( f^{-1}(\pi) \) kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( \arctan{\dfrac{1}{3}} + \arccot{2} \) ifadesinin eşiti nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( \sin(2\arccot{\dfrac{3}{4}}) \) ifadesinin eşiti nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( \cos{(2\arcsin{\dfrac{2}{3}})} \) ifadesinin eşiti nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( 6 \arccot{2x} - \pi = 0 \)

denklemini sağlayan \( x \) değeri nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( \arcsin{x} = \arccot{\dfrac{2}{3}} \) ise \( x \) kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( \sin(\arctan{4} + \arccot{4}) \) ifadesinin değeri nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( \tan(\frac{3\pi}{2} + \arcsin{\frac{3}{5}}) \) ifadesinin değeri nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( \arccot(x - 1) - \arctan(x + 2) = 0 \) denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözümü Göster


« Önceki
Ters Trigonometrik Fonksiyonların Tanım ve Görüntü Kümesi
Sonraki »
Ters Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır