Trigonometrik fonksiyonlar arasındaki özdeşlikleri ters trigonometrik fonksiyonlara uyarlayarak yeni özdeşlikler elde edebiliriz. Bu özdeşlikler ezberlenmesi gereken birer formül değildir, her birinin türetilme mantığının kavranması yeterlidir.
Bir fonksiyonun tersiyle bileşkesinin birim fonksiyona eşit olduğunu fonksiyonlar konusunda görmüştük.
Benzer şekilde, bir trigonometrik fonksiyonun tersi ile bileşkesi birim fonksiyonu verir.
Sinüs değeri \( x \) olan bir \( \theta \) açısı için, karşı kenarı \( x \) ve hipotenüsü \( 1 \) olan temsili bir üçgen çizerek diğer trigonometrik fonksiyonların arcsin ile bileşkesini hesaplayabiliriz. Bu üçgende Pisagor teoreminden komşu kenar uzunluğu \( \sqrt{1 - x^2} \) olmaktadır.
Kosinüs değeri \( x \) olan bir \( \theta \) açısı için, komşu kenarı \( x \) ve hipotenüsü \( 1 \) olan temsili bir üçgen çizerek diğer trigonometrik fonksiyonların arccos ile bileşkesini hesaplayabiliriz. Bu üçgende Pisagor teoreminden karşı kenar uzunluğu \( \sqrt{1 - x^2} \) olmaktadır.
Tanjant değeri \( x \) olan bir \( \theta \) açısı için, karşı kenarı \( x \) ve komşu kenarı \( 1 \) olan temsili bir üçgen çizerek diğer trigonometrik fonksiyonların arctan ile bileşkesini hesaplayabiliriz. Bu üçgende Pisagor teoreminden hipotenüs uzunluğu \( \sqrt{x^2 + 1} \) olmaktadır.
Birbirini \( 90° \)'ye tamamlayan açıların sinüs-kosinüs, tanjant-kotanjant ve sekant-kosekant değerlerinin eşit olduğunu görmüştük.
Benzer özdeşlikleri ters trigonometrik fonksiyonlar için aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
Sinüs/kosekant, kosinüs/sekant ve tanjant/kotanjant fonksiyonları (oranların sıfırdan farklı olduğu açılar için) birbirlerinin çarpmaya göre tersi oldukları için, bu fonksiyonların ters fonksiyonları arasında da aşağıdaki özdeşlikleri yazabiliriz.
SORU 1:
\( \tan(\arcsin{\dfrac{2}{3}}) \) ifadesinin eşiti kaçtır?
Çözümü Göster
\( \arcsin{\dfrac{2}{3}} = x \) diyelim.
\( \sin{x} = \dfrac{2}{3} \)
Bir açının sinüsü \( \frac{2}{3} \) ise karşı kenara 2k, hipotenüse 3k diyebiliriz, bu durumda komşu kenar Pisagor teoreminden \( \sqrt{5}k \) olur.
\( (2k)^2 + (\sqrt{5}k)^2 = (3k)^2 \)
Tanjant değerini karşı kenarın komşu kenara oranı olarak aşağıdaki gibi buluruz.
\( \tan{x} = \dfrac{2k}{\sqrt{5}k} \)
\( = \dfrac{2 \sqrt{5}}{5} \) bulunur.
SORU 2:
\( \tan(\arccos{x}) \) ifadesinin eşiti \( x \) cinsinden nedir?
Çözümü Göster
\( \arccos{x} = a \) diyelim.
\( \cos{a} = x \)
Bir \( a \) açısının kosinüsü \( x \) ise komşu kenara x, hipotenüse 1 diyebiliriz, bu durumda karşı kenar Pisagor teoreminden \( \sqrt{1 - x^2} \) olur.
\( \tan{a} = \dfrac{\sqrt{1 - x^2}}{x} \)
\( \tan(\arccos{x}) = \tan{a} = \dfrac{\sqrt{1 - x^2}}{x} \) bulunur.
SORU 3:
\( \arccot{\dfrac{4}{3}} = x \) ise \( \sin{x} - \cos{x} \) ifadesinin eşiti kaçtır?
Çözümü Göster
\( \arccot{\dfrac{4}{3}} = x \) diyelim.
Ters trigonometrik fonksiyonu normal trigonometrik fonksiyon şeklinde yazalım.
\( \cot{x} = \dfrac{4}{3} \)
Komşu kenarın karşı kenara oranı \( \frac{4}{3} \) ise bu bir 3-4-5 üçgenidir.
Buna göre \( \sin{x} = \frac{3}{5} \) ve \( \cos{x} = \frac{4}{5} \) olur.
\( \sin{x} - \cos{x} = \dfrac{3}{5} - \dfrac{4}{5} = -\dfrac{1}{5} \) bulunur.
SORU 4:
\( \cos(\dfrac{\pi}{2} + \arccot{3}) \) ifadesinin eşiti kaçtır?
Çözümü Göster
\( \arccot{3} = x \) diyelim.
Ters trigonometrik fonksiyonu normal trigonometrik fonksiyon şeklinde yazalım.
\( \cot{x} = 3 \)
\( x \) açısının kotanjantı 3 ise komşu kenara 3k, karşı kenara k diyebiliriz, bu durumda hipotenüs Pisagor teoreminden \( \sqrt{10}k \) olur.
\( k^2 + (3k)^2 = (\sqrt{10}k)^2 \)
\( \cos(\dfrac{\pi}{2} + \arccot{3}) = \cos(\dfrac{\pi}{2} + x) \)
\( = -\sin{x} \)
\( = -\dfrac{1}{\sqrt{10}} = -\dfrac{\sqrt{10}}{10} \) bulunur.
SORU 5:
\( \tan(\arcsin{1} + 2\arccos{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}) \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster
\( \arcsin{1} = x \) diyelim.
\( \sin{x} = 1 \Longrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} \) olur.
\( \arccos{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = y \) diyelim.
\( \cos{y} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Longrightarrow y = \dfrac{\pi}{6} \) olur.
\( \tan(\arcsin{1} + 2\arccos{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}) = \tan(x + 2y) \)
\( = \tan(\dfrac{\pi}{2} + 2\dfrac{\pi}{6}) \)
\( = \tan{\dfrac{5\pi}{6}} \)
Tanjant fonksiyonu II. bölgede negatiftir.
\( = -\tan{\dfrac{\pi}{6}} = -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \) bulunur.
SORU 6:
\( f(x) = 4\arccos{\dfrac{x}{3}} \) ise \( f^{-1}(\pi) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( f^{-1}(\pi) = a \) diyelim.
\( f(a) = \pi \) olur.
\( f(x) = 4\arccos{\dfrac{x}{3}} \)
\( f(a) = 4\arccos{\dfrac{a}{3}} = \pi \)
\( \arccos{\dfrac{a}{3}} = \dfrac{\pi}{4} \)
Ters trigonometrik fonksiyonu normal trigonometrik fonksiyon şeklinde yazalım.
\( \cos{\dfrac{\pi}{4}} = \dfrac{a}{3} \)
\( \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{a}{3} \)
\( a = \dfrac{3 \sqrt{2}}{2} \) olur.
SORU 7:
\( \arctan{\dfrac{1}{3}} + \arccot{2} \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster
\( \arctan{\dfrac{1}{3}} = x \) diyelim.
\( \tan{x} = \dfrac{1}{3} \) olur.
\( \arccot{2} = y \) diyelim.
\( \cot{y} = 2 \Longrightarrow \tan{y} = \dfrac{1}{2} \) olur.
\( \arctan{\dfrac{1}{3}} + \arccot{2} = a \) diyelim.
Eşit açıların trigonometrik değerleri de eşit olur.
\( \tan(\arctan{\dfrac{1}{3}} + \arccot{2}) = \tan{a} \)
\( \tan(x + y) = \tan{a} \)
Tanjant toplam formülünü kullanalım.
\( = \dfrac{\tan{x} + \tan{y}}{1 - \tan{x} \cdot \tan{y}} = \dfrac{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}} \)
\( = \dfrac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1 = \tan{a} \)
Buna göre \( a = \dfrac{\pi}{4} \) olur.
SORU 8:
\( \sin(2\arccot{\dfrac{3}{4}}) \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster
\( \arccot{\dfrac{3}{4}} = x \) diyelim.
\( \cot{x} = \dfrac{3}{4} \) olur.
\( x \) açısının kotanjantı \( \frac{3}{4} \) ise komşu kenara 3k, karşı kenara 4k diyebiliriz, bu durumda hipotenüs Pisagor teoreminden \( 5k \) olur.
\( (3k)^2 + (4k)^2 = (5k)^2 \)
\( \sin{x} = \dfrac{4}{5} \)
\( \cos{x} = \dfrac{3}{5} \)
\( \sin{(2\arccot{\dfrac{3}{4}})} = \sin(2x) = 2\sin{x}\cos{x} \)
\( = 2 \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{24}{25} \) bulunur.
SORU 9:
\( \cos{(2\arcsin{\dfrac{2}{3}})} \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster
\( \arcsin{\dfrac{2}{3}} = x \) diyelim.
\( \sin{x} = \dfrac{2}{3} \) olur.
\( \cos{(2\arcsin{\dfrac{2}{3}})} = \cos(2x) \)
Kosinüs yarım açı formülünü kullanalım.
\( = 1 - 2\sin^2{x} \)
\( = 1 - 2(\dfrac{2}{3})^2 = \dfrac{1}{9} \) bulunur.
SORU 10:
\( 6 \arccot(2x) - \pi = 0 \)
denklemini sağlayan \( x \) değeri nedir?
Çözümü Göster
\( 6\arccot(2x) = \pi \)
\( \arccot(2x) = \dfrac{\pi}{6} \)
Ters trigonometrik fonksiyonu normal trigonometrik fonksiyon şeklinde yazalım.
\( \cot{\dfrac{\pi}{6}} = 2x \)
\( \sqrt{3} = 2x \)
\( x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \) bulunur.
SORU 11:
\( \arcsin{x} = \arccot{\dfrac{2}{3}} \) ise \( x \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( \arcsin{x} = \arccot{\dfrac{2}{3}} = m \) diyelim.
\( \sin{m} = x \) ve \( \cot{m} = \dfrac{2}{3} \) olur.
\( m \) açısının kotanjantı \( \frac{2}{3} \) ise komşu kenara 2k, karşı kenara 3k diyebiliriz, bu durumda hipotenüs Pisagor teoreminden \( \sqrt{13}k \) olur.
\( (2k)^2 + (3k)^2 = (\sqrt{13}k)^2 \)
Bu kenar oranlarını kullanarak sinüs oranını aşağıdaki gibi buluruz.
\( \sin{m} = \dfrac{3}{\sqrt{13}} = \dfrac{3\sqrt{13}}{13} \)
Buna göre \( x = \sin{m} = \dfrac{3 \sqrt{13}}{13} \) bulunur.
SORU 12:
\( \sin(\arctan{4} + \arccot{4}) \) ifadesinin değeri nedir?
Çözümü Göster
\( \arctan{4} = \alpha \Longrightarrow \tan{\alpha} = 4 \)
\( \arccot{4} = \beta \Longrightarrow \cot{\beta} = 4 \)
\( \tan{\alpha} = \cot{\beta} \) olduğuna göre \( \alpha \) ve \( \beta \) tümler açılardır.
\( \alpha + \beta = \dfrac{\pi}{2} \)
\( \sin(\arctan{4} + \arccot{4}) \)
\( = \sin(\alpha + \beta) \)
\( = \sin{\frac{\pi}{2}} = 1 \) olur.
SORU 13:
\( \tan(\frac{3\pi}{2} + \arcsin{\frac{3}{5}}) \) ifadesinin değeri nedir?
Çözümü Göster
Parantez içindeki açı IV. bölgededir ve bu bölgede tanjant negatiftir.
\( \tan(\frac{3\pi}{2} + \arcsin{\frac{3}{5}}) = -\cot(\arcsin{\frac{3}{5}}) \)
\( \arcsin{\frac{3}{5}} = x \Longrightarrow \arcsin{x} = \dfrac{3}{5} \)
\( x \) açısının sinüsü \( \frac{3}{5} \) ise karşı kenara 3k, hipotenüse 5k diyebiliriz, bu durumda komşu kenar Pisagor teoreminden \( 4k \) olur.
Buna göre \( x \) açısının kotanjantı \( \frac{4}{3} \) olur.
\( = -\cot(\arcsin{\frac{3}{5}}) \)
\( = -\cot(x) = -\dfrac{4}{3} \)
SORU 14:
\( \arccot(x - 1) - \arctan(x + 2) = 0 \) denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
\( \arccot(x - 1) = \arctan(x + 2) \)
Bu eşitliğin değerine \( \beta \) diyelim.
\( \arccot(x - 1) = \arctan(x + 2) = \beta \)
\( \arccot(x - 1) = \beta \Longrightarrow \cot{\beta} = x - 1 \)
\( \arctan(x + 2) = \beta \Longrightarrow \tan{\beta} = x + 2 \)
Bir açının tanjantı ile kotanjantının çarpımı 1'dir.
\( \tan{\beta} \cdot \cot{\beta} = 1 \)
\( (x - 1)(x + 2) = 1 \)
\( x^2 + x - 3 = 0 \)
2. derece denklem kök formülü ile kökler aşağıdaki gibi bulunur.
\( x_1 = \dfrac{-1 + \sqrt{13}}{2} \)
\( x_2 = \dfrac{-1 - \sqrt{13}}{2} \)
Çözüm kümesi: \( x = \{ -\frac{\sqrt{13} + 1}{2}, \frac{\sqrt{13} - 1}{2} \} \)
SORU 15:
\( \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \arccos(-\frac{1}{2}) \) ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü Göster
\( \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = x \) diyelim.
\( \arccos(-\frac{1}{2}) = y \) diyelim.
\( \sin{x} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)
\( x = \dfrac{\pi}{3} \)
\( \cos{y} = - \dfrac{1}{2} \)
\( y = \dfrac{2\pi}{3} \)
Buna göre \( x + y = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{2\pi}{3} = \pi \) bulunur.
SORU 16:
\( 9\arccot(x - \sqrt{3}) - 3\pi = 0 \)
denklemini sağlayan \( x \) değerini bulunuz.
Çözümü Göster
\( 9\arccot(x - \sqrt{3}) = 3\pi \)
\( \arccot(x - \sqrt{3}) = \dfrac{\pi}{3} \)
Eşitliğin iki tarafının kotanjantını alalım.
\( \cot(\arccot(x - \sqrt{3})) = \cot{\dfrac{\pi}{3}} \)
Kotanjant ve ters kotanjant birbirinin tersi fonksiyonlardır.
\( x - \sqrt{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \)
\( x = \dfrac{4\sqrt{3}}{3} \) bulunur.
SORU 17:
\( \tan(\arctan{5} - \arctan{4}) \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster
Tanjant fark formülünü kullanalım.
\( \tan(x - y) = \dfrac{\tan{x} - \tan{y}}{1 + \tan{x}\tan{y}} \)
\( \tan(\arctan{5} - \arctan{4}) = \dfrac{\tan(\arctan{5}) - \tan(\arctan{4})}{1 + \tan(\arctan{5})\tan(\arctan{4})} \)
Tanjant ve ters tanjant birbirinin tersi fonksiyonlardır.
\( = \dfrac{5 - 4}{1 + 5 \cdot 4} = \dfrac{1}{21} \) bulunur.
SORU 18:
\( 3\pi - 9\arccos(x + 1) = 0 \)
denklemini sağlayan \( x \) değeri nedir?
Çözümü Göster
\( 9\arccos(x + 1) = 3\pi \)
\( \arccos(x + 1) = \dfrac{\pi}{3} \)
Eşitliğin iki tarafının kosinüsünü alalım.
\( x + 1 = \cos{\dfrac{\pi}{3}} \)
\( x + 1 = \dfrac{1}{2} \)
\( x = -\dfrac{1}{2} \) bulunur.
SORU 19:
\( 2\arccos{\dfrac{4}{5}} = \arccos{x} \)
denklemini sağlayan \( x \) değeri nedir?
Çözümü Göster
\( \arccos{\dfrac{4}{5}} = \alpha \) diyelim.
\( \cos{\alpha} = \dfrac{4}{5} \) olur.
\( 2\alpha = \arccos{x} \)
\( \cos(2\alpha) = x \)
Kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( 2\cos^2{\alpha} - 1 = x \)
\( 2(\dfrac{4}{5})^2 - 1 = x \)
\( \dfrac{32}{25} - 1 = x \)
\( x = \dfrac{7}{25} \) bulunur.
SORU 20:
\( x \gt 0 \) olmak üzere,
\( \arctan{x} + \arctan{\dfrac{1}{x}} \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster
\( \arctan{x} = \alpha \) diyelim.
\( x = \tan{\alpha} \) olur.
\( \arctan{\dfrac{1}{x}} = \beta \) diyelim.
\( \dfrac{1}{x} = \tan{\beta} \) olur.
\( \alpha \) açısı için bir dik üçgen çizelim.
Bu üçgende \( \alpha \) açısının tümler açısı olan açı için \( \frac{1}{x} \) tanjant oranı sağladığı için bu tümler açı \( \beta \) olur.
\( \alpha + \beta = \dfrac{\pi}{2} \) olarak bulunur.
SORU 21:
\( 2\arctan{\dfrac{1}{2}} - \arccos{x} = 0 \)
denklemini sağlayan \( x \) değerini bulunuz.
Çözümü Göster
\( \arctan{\dfrac{1}{2}} = y \) diyelim.
\( \tan{y} = \dfrac{1}{2} \) olur.
\( y \) açısı için bir dik üçgen çizelim ve Pisagor teoremi ile üçüncü kenarı bulalım.
\( \cos{y} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} \)
Soruda verilen eşitliği düzenleyelim.
\( 2\arctan{\dfrac{1}{2}} = \arccos{x} \)
\( 2y = \arccos{x} \)
Bu eşitlikte iki tarafın kosinüsünü alalım.
\( \cos(2y) = \cos(\arccos{x}) \)
Kosinüs ve ters kosinüs birbirinin tersi fonksiyonlardır.
\( \cos(2y) = x \)
Kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( 2\cos^2{y} - 1 = x \)
\( 2(\dfrac{2}{\sqrt{5}})^2 - 1 = x \)
\( x = \dfrac{3}{5} \) bulunur.
SORU 22:
\( \arccos{\dfrac{1}{\sqrt{5}}} + \arccos{\dfrac{1}{\sqrt{10}}} \) ifadesinin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
\( \arccos{\dfrac{1}{\sqrt{5}}} = x \) diyelim.
\( \cos{x} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \) olur.
\( \arccos{\dfrac{1}{\sqrt{10}}} = y \) diyelim.
\( \cos{y} = \dfrac{1}{\sqrt{10}} \) olur.
\( \arccos{\dfrac{1}{\sqrt{5}}} + \arccos{\dfrac{1}{\sqrt{10}}} = \alpha \) diyelim.
\( x + y = \alpha \)
Eşitliğin iki tarafının kosinüsünü alalım.
\( \cos(x + y) = \cos{\alpha} \)
Kosinüs toplam formülünü kullanalım.
\( \cos(x + y) = \cos{x}\cos{y} - \sin{x}\sin{y} \)
\( x \) ve \( y \) açıları için birer dik üçgen çizelim ve Pisagor teoremi ile üçüncü kenarları bulalım.
Üçgenleri kullanarak ihtiyacımız olan trigonometrik oranları bulalım.
\( \sin{x} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} \)
\( \sin{y} = \dfrac{3}{\sqrt{10}} \)
\( \cos(x + y) = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{10}} - \dfrac{2}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{3}{\sqrt{10}} \)
\( = \dfrac{1}{\sqrt{50}} - \dfrac{6}{\sqrt{50}} = -\dfrac{5}{\sqrt{50}} \)
\( = -\dfrac{5}{5\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \)
\( \cos{\alpha} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \)
Ters kosinüsü alınan \( \frac{1}{\sqrt{5}} \) ve \( \frac{1}{\sqrt{10}} \) değerleri pozitif olduğu için \( x \) ve \( y \) dar açılardır.
\( \dfrac{\pi}{2} \lt x + y \lt \pi \)
\( \dfrac{\pi}{2} \lt \alpha \lt \pi \)
\( \alpha = \dfrac{3\pi}{4} \) bulunur.
SORU 23:
\( \arctan{\dfrac{2}{3}} + \arctan{\dfrac{4}{5}} = \arctan{a} \)
denklemini sağlayan \( a \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( \arctan{\dfrac{2}{3}} = x \) diyelim.
\( \tan{x} = \dfrac{2}{3} \) olur.
\( \arctan{\dfrac{4}{5}} = y \) diyelim.
\( \tan{y} = \dfrac{4}{5} \) olur.
\( x + y = \arctan{a} \)
Eşitliğin iki tarafının tanjantını alalım.
\( \tan(x + y) = \tan(\arctan{a}) \)
Tanjant ve ters tanjant birbirinin tersi fonksiyonlardır.
\( \tan(x + y) = a \)
Tanjant toplam formülünü kullanalım.
\( \tan(x + y) = \dfrac{\tan{x} + \tan{y}}{1 - \tan{x}\tan{y}} \)
\( a = \dfrac{\frac{2}{3} + \frac{4}{5}}{1 - \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}} \)
\( = \dfrac{\frac{22}{15}}{\frac{7}{15}} = \dfrac{22}{7} \) bulunur.
SORU 24:
\( \arcsin{x} = \arccos(2x) \)
denklemini sağlayan \( x \) değerlerini bulunuz.
Çözümü Göster
Eşitliğin değerine \( \alpha \) diyelim.
\( \arcsin{x} = \arccos(2x) = \alpha \)
\( \sin{\alpha} = x \) olur.
\( \cos{\alpha} = 2x \) olur.
İkinci eşitlikte \( x = \sin{\alpha} \) yazalım.
\( \cos{\alpha} = 2\sin{\alpha} \)
\( \tan{\alpha} = \dfrac{1}{2} \)
\( \alpha \) açısı için bir dik üçgen çizelim.
Üçgeni kullanarak \( \sin{\alpha} \) değerini bulalım.
\( \sin{\alpha} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \)
\( \sin{\alpha} \) \( x \)'e eşittir.
Çözüm kümesi: \( x = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \)
SORU 25:
\( 2\arctan{\dfrac{3}{x}} = \arctan{\dfrac{2x}{9}} \)
denklemini sağlayan \( x \) değerlerini bulunuz.
Çözümü Göster
\( \arctan{\dfrac{3}{x}} = \alpha \) diyelim.
\( \tan{\alpha} = \dfrac{3}{x} \) olur.
\( \arctan{\dfrac{2x}{9}} = 2\alpha \)
\( \tan(2\alpha) = \dfrac{2x}{9} \) olur.
Tanjant iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \tan(2\alpha) = \dfrac{2\tan{\alpha}}{1 - \tan^2{\alpha}} \)
\( \dfrac{2x}{9} = \dfrac{2 \cdot \frac{3}{x}}{1 - (\frac{3}{x})^2} \)
\( \dfrac{2x}{9} = \dfrac{\frac{6}{x}}{\frac{x^2 - 9}{x^2}} \)
\( \dfrac{2x}{9} = \dfrac{6x}{x^2 - 9} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 2x^3 - 18x = 54x \)
\( 2x^3 - 72x = 0 \)
\( 2x(x - 6)(x + 6) = 0 \)
\( x = 0 \) değeri \( \frac{3}{x} \) ifadesini tanımsız yaptığı için geçerli bir çözüm değildir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{-6, 6\} \)
SORU 26:
\( 0 \le x \le 2\pi \) olmak üzere,
\( 2\arctan(\sin{x}) = \arctan(2\sec{x}) \)
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü Göster
\( \arctan(\sin{x}) = \alpha \) diyelim.
\( \tan{\alpha} = \sin{x} \) olur.
\( \arctan(2\sec{x}) = 2\alpha \)
\( \tan(2\alpha) = 2\sec{x} \) olur.
Tanjant iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \tan(2\alpha) = \dfrac{2\tan{\alpha}}{1 - \tan^2{\alpha}} \)
\( 2\sec{x} = \dfrac{2\sin{x}}{1 - \sin^2{x}} \)
\( \dfrac{1}{\cos{x}} = \dfrac{\sin{x}}{1 - \sin^2{x}} \)
Pisagor özdeşliğini kullanalım.
\( \dfrac{1}{\cos{x}} = \dfrac{\sin{x}}{\cos^2{x}} \)
\( \cos^2{x} = \sin{x}\cos{x} \)
\( \cos^2{x} - \sin{x}\cos{x} = 0 \)
\( \cos{x}(\cos{x} - \sin{x}) = 0 \)
Denklemin çözümü bu çarpanları sıfır yapan değerlerdir.
Çarpan 1: \( \cos{x} = 0 \)
Kosinüs fonksiyonu \( [0, 2\pi] \) aralığında 0 değerini aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( x \in \{\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\} \)
Çarpan 2: \( \cos{x} - \sin{x} = 0 \)
\( \cos{x} = \sin{x} \)
\( \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} = 1 \)
\( \tan{x} = 1 \)
Tanjant fonksiyonu \( [0, 2\pi] \) aralığında 1 değerini aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( x \in \{\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\} \)
Denklemin çözüm kümesi iki çarpanın çözüm kümelerinin birleşim kümesidir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\} \)
SORU 27:
\( \sin(\arcsin{\dfrac{3}{5}} + \arccos{x}) = 1 \)
eşitliğini sağlayan \( x \) değeri nedir?
Çözümü Göster
Sinüsü alınan ifade için genel çözümü yazalım.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( \arcsin{\dfrac{3}{5}} + \arccos{x} = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \)
Ters sinüs fonksiyonunun görüntü kümesi \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) aralığı, ters kosinüs fonksiyonunun görüntü kümesi \( [0, \pi] \) aralığıdır.
Buna göre iki fonksiyonun toplamının en geniş görüntü kümesi \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] \) olabilir, dolayısıyla \( k \) sadece 1 olabilir.
\( \arcsin{\dfrac{3}{5}} + \arccos{x} = \dfrac{\pi}{2} \)
\( \arccos{x} = \dfrac{\pi}{2} - \arcsin{\dfrac{3}{5}} \)
Eşitliğin iki tarafının kosinüsünü alalım.
\( x = \cos(\dfrac{\pi}{2} - \arcsin{\dfrac{3}{5}}) \)
Tümler açıların sinüs - kosinüs değerleri birbirine eşittir.
\( = \sin(\arcsin{\dfrac{3}{5}}) \)
Sinüs ve ters sinüs birbirinin tersi fonksiyonlardır.
\( = \dfrac{3}{5} \) bulunur.
SORU 28:
\( x \gt 0 \) olmak üzere,
\( \tan(\arctan(3x) - \arctan{2}) \) \( + \tan(\arctan{3} - \arctan(2x)) = \dfrac{3}{8} \)
eşitliğini sağlayan \( x \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( \arctan(3x) = \alpha \) diyelim.
\( \tan{\alpha} = 3x \) olur.
\( \arctan{2} = \beta \) diyelim.
\( \tan{\beta} = 2 \) olur.
\( \tan(\arctan(3x) - \arctan{2}) = \tan(\alpha - \beta) \)
Tanjant fark formülünü kullanalım.
\( \tan(\alpha - \beta) = \dfrac{\tan{\alpha} - \tan{\beta}}{1 + \tan{\alpha}\tan{\beta}} \)
\( = \dfrac{3x - 2}{1 + 6x} \)
\( \arctan{3} = \alpha \) diyelim.
\( \tan{\alpha} = 3 \) olur.
\( \arctan(2x) = \beta \) diyelim.
\( \tan{\beta} = 2x \) olur.
\( \tan(\arctan{3} - \arctan(2x)) = \tan(\alpha - \beta) \)
Tanjant fark formülünü kullanalım.
\( \tan(\alpha - \beta) = \dfrac{\tan{\alpha} - \tan{\beta}}{1 + \tan{\alpha}\tan{\beta}} \)
\( = \dfrac{3 - 2x}{1 + 6x} \)
Soruda verilen eşitlikte yerlerine yazalım.
\( \dfrac{3x - 2}{1 + 6x} + \dfrac{3 - 2x}{1 + 6x} = \dfrac{3}{8} \)
\( \dfrac{x + 1}{1 + 6x} = \dfrac{3}{8} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 8x + 8 = 3 + 18x \)
\( 10x = 5 \)
\( x = \dfrac{1}{2} \) bulunur.
SORU 29:
\( x \gt -1 \) olmak üzere,
\( \arctan{x} + \arctan{\dfrac{1 - x}{1 + x}} \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster
\( \arctan{x} = \alpha \) diyelim.
\( \tan{\alpha} = x \) olur.
\( \arctan{\dfrac{1 - x}{1 + x}} = \beta \) diyelim.
\( \tan{\beta} = \dfrac{1 - x}{1 + x} \) olur.
İşlemin sonucuna \( a \) diyelim.
\( \arctan{x} + \arctan{\dfrac{1 - x}{1 + x}} = a \)
\( \alpha + \beta = a \)
Eşitliğin iki tarafının tanjantını alalım.
\( \tan(\alpha + \beta) = \tan{a} \)
\( \tan{a} = \dfrac{\tan{\alpha} + \tan{\beta}}{1 - \tan{\alpha}\tan{\beta}} \)
Bulduğumuz değerleri yerlerine koyalım.
\( = \dfrac{x + \frac{1 - x}{1 + x}}{1 - x \cdot \frac{1 - x}{1 + x}} \)
\( = \dfrac{\frac{x + x^2 + 1 - x}{1 + x}}{\frac{1 + x - x + x^2}{1 + x}} \)
\( = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 + 1} = 1 \)
Tanjant değeri 1 olan açı ölçüsü \( \frac{\pi}{4} \)'tür.
\( a = \dfrac{\pi}{4} \) bulunur.
SORU 30:
\( \arcsin{x} + \arccos{\dfrac{4}{5}} = 2\arctan{\dfrac{4}{3}} \)
eşitliğini sağlayan \( x \) değeri nedir?
Çözümü Göster
\( \arccos{\dfrac{4}{5}} = \alpha \) diyelim.
\( \cos{\alpha} = \dfrac{4}{5} \) olur.
\( \arctan{\dfrac{4}{3}} = \beta \) diyelim.
\( \tan{\beta} = \dfrac{4}{3} \) olur.
\( \arcsin{x} + \alpha = 2\beta \)
\( \arcsin{x} = 2\beta - \alpha \)
Eşitliğin iki tarafının sinüsünü alalım.
\( x = \sin(2\beta - \alpha) \)
Sinüs fark formülünü kullanalım.
\( = \sin(2\beta)\cos{\alpha} - \cos(2\beta)\sin{\alpha} \)
Sinüs ve kosinüs iki kat açı formüllerini kullanalım.
\( = 2\sin{\beta}\cos{\beta}\cos{\alpha} - (2\cos^2{\beta} - 1)\sin{\alpha} \)
\( \alpha \) ve \( \beta \) açıları için birer dik üçgen çizelim.
\( \sin{\alpha} = \dfrac{3}{5} \)
\( \sin{\beta} = \dfrac{4}{5} \)
\( \cos{\beta} = \dfrac{3}{5} \)
Bulduğumuz değerleri yerine yazalım.
\( = 2\dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{4}{5} - (2 \cdot \dfrac{9}{25} - 1) \cdot \dfrac{3}{5} \)
\( = \dfrac{96}{125} - (\dfrac{18 - 25}{25}) \cdot \dfrac{3}{5} \)
\( = \dfrac{96}{125} + \dfrac{21}{125} \)
\( = \dfrac{117}{125} \) bulunur.
SORU 31:
\( 2\arctan{\dfrac{1 - x}{1 + x}} = \arctan{x} \)
eşitliğini sağlayan \( x \) değeri nedir?
Çözümü Göster
\( \arctan{\dfrac{1 - x}{1 + x}} = \alpha \) diyelim.
\( \tan{\alpha} = \dfrac{1 - x}{1 + x} \) olur.
\( 2\alpha = \arctan{x} \)
\( x = \tan(2\alpha) \)
Tanjant iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \tan(2\alpha) = \dfrac{2\tan{\alpha}}{1 - \tan^2{\alpha}} \)
\( x = \dfrac{2\frac{1 - x}{1 + x}}{1 - (\frac{1 - x}{1 + x})^2} \)
\( x = \dfrac{\frac{2 - 2x}{1 + x}}{1 - \frac{1 - 2x + x^2}{1 + 2x + x^2}} \)
\( x = \dfrac{\frac{2 - 2x}{1 + x}}{\frac{1 + 2x + x^2 - 1 + 2x - x^2}{1 + 2x + x^2}} \)
\( x = \dfrac{\frac{2 - 2x}{1 + x}}{\frac{4x}{(1 + x)^2}} \)
\( x = \dfrac{1 - x^2}{2x} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 2x^2 = 1 - x^2 \)
\( 3x^2 = 1 \)
\( x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \pm \dfrac{\sqrt{3}}{3} \)
\( x \)'in negatif değeri için eşitliğin sol tarafı pozitif sağ tarafı negatif olduğu için \( x = -\frac{\sqrt{3}}{3} \) geçerli bir çözüm değildir.
Çözüm kümesi: \( x = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \)
SORU 32:
\( 0 \lt x \lt \dfrac{3\pi}{2} \) olmak üzere,
\( 2\arctan{\dfrac{3}{2}} + \arctan{\dfrac{12}{5}} \)
ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster
\( \arctan{\dfrac{3}{2}} = \alpha \) diyelim.
\( \tan{\alpha} = \dfrac{3}{2} \) olur.
\( \arctan{\dfrac{12}{5}} = \beta \) diyelim.
\( \tan{\beta} = \dfrac{12}{5} \) olur.
İşlemin sonucuna \( x \) diyelim.
\( x = 2\arctan{\dfrac{3}{2}} + \arctan{\dfrac{12}{5}} \)
\( = 2\alpha + \beta \)
Eşitliğin iki tarafının kosinüsünü alalım.
\( \cos{x} = \cos(2\alpha + \beta) \)
Kosinüs toplam formülünü kullanalım.
\( \cos{x} = \cos(2\alpha)\cos{\beta} - \sin(2\alpha)\sin{\beta} \)
Sinüs ve kosinüs iki kat açı formüllerini kullanalım.
\( \cos{x} = (2\cos^2{\alpha} - 1)\cos{\beta} - 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}\sin{\beta} \)
\( \alpha \) ve \( \beta \) açıları için birer dik üçgen çizelim.
\( \sin{\alpha} = \dfrac{3}{\sqrt{13}} \)
\( \cos{\alpha} = \dfrac{2}{\sqrt{13}} \)
\( \sin{\beta} = \dfrac{12}{13} \)
\( \cos{\beta} = \dfrac{5}{13} \)
Bulduğumuz değerleri yerine yazalım.
\( \cos{x} = (2\dfrac{4}{13} - 1) \cdot \dfrac{5}{13} - 2 \cdot \dfrac{3}{\sqrt{13}} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{13}} \cdot \dfrac{12}{13} \)
\( = -\dfrac{25}{169} - \dfrac{144}{169} \)
\( \cos{x} = -1 \)
\( \arctan{x} \) fonksiyonu \( x \)'in pozitif değerlerinde pozitif, negatif değerlerinde negatif değer alır.
Soruda ters tanjantı alınan iki değer de pozitif olduğu için karşılık geldikleri açılar pozitiftir.
Buna göre \( x = \pi \) bulunur.
SORU 33:
\( \sin(2\arctan{x}) \) ifadesinin \( x \) cinsinden eşiti nedir?
Çözümü Göster
\( \arctan{x} = \alpha \) diyelim.
\( x = \tan{\alpha} \) olur.
\( \sin(2\arctan{x}) = \sin(2\alpha) \)
Sinüs iki açı formülünü kullanalım.
\( = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha} \)
\( \alpha \) açısı için bir dik üçgen çizelim.
\( \cos{\alpha} = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \)
\( \sin{\alpha} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \)
Bulduğumuz değerleri yerine yazalım.
\( = 2\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \)
\( = \dfrac{2x}{x^2 + 1} \) bulunur.
SORU 34:
\( x \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \arctan{\dfrac{x - 4}{x - 3}} + \arctan{\dfrac{x - 5}{x - 1}} = \dfrac{\pi}{4} \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
\( \arctan{\dfrac{x - 4}{x - 3}} = \alpha \) diyelim.
\( \tan{\alpha} = \dfrac{x - 4}{x - 3} \) olur.
\( \arctan{\dfrac{x - 5}{x - 1}} = \beta \) diyelim.
\( \tan{\beta} = \dfrac{x - 5}{x - 1} \) olur.
Soruda verilen eşitlikte yerine yazalım.
\( \alpha + \beta = \dfrac{\pi}{4} \)
Eşitliğin iki tarafının tanjantını alalım.
\( \tan(\alpha + \beta) = \tan{\dfrac{\pi}{4}} = 1 \)
Tanjant toplam formülünü kullanalım.
\( \dfrac{\tan{\alpha} + \tan{\beta}}{1 - \tan{\alpha}\tan{\beta}} = 1 \)
Bulduğumuz değerleri yerine yazalım.
\( \dfrac{\frac{x - 4}{x - 3} + \frac{x - 5}{x - 1}}{1 - \frac{x - 4}{x - 3} \cdot \frac{x - 5}{x - 1}} = 1 \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( \dfrac{x - 4}{x - 3} + \dfrac{x - 5}{x - 1} = 1 - \dfrac{(x - 4)(x - 5)}{(x - 3)(x - 1)} \)
\( \dfrac{x^2 - 5x + 4 + x^2 - 8x + 15}{(x - 3)(x - 1)} = \dfrac{x^2 - 4x + 3 - (x^2 - 9x + 20)}{(x - 3)(x - 1)} \)
\( \dfrac{2x^2 - 13x + 19}{(x - 3)(x - 1)} = \dfrac{5x - 17}{(x - 3)(x - 1)} \)
Çözüm kümesinin \( x = 1 \) ya da \( x = 3 \) içeremeyeceğini not ederek paydaları sadeleştirelim.
\( 2x^2 - 13x + 19 = 5x - 17 \)
\( 2x^2 - 18x + 36 = 0 \)
\( x^2 - 9x + 18 = 0 \)
\( (x - 3)(x - 6) = 0 \)
\( x = 3 \) sorudaki kesirli ifadeyi tanımsız yaptığı için geçerli bir çözüm değildir.
Çözüm kümesi: \( x = 6 \)
SORU 35:
\( 8\arctan(2x^2 - 5x + 1) + 2\pi = 0 \)
denklemini sağlayan \( x \) değerlerini bulunuz.
Çözümü Göster
Trigonometrik ifadeyi yalnız bırakalım.
\( 8\arctan(2x^2 - 5x + 1) = -2\pi \)
\( \arctan(2x^2 - 5x + 1) = -\dfrac{\pi}{4} \)
\( \tan(-\dfrac{\pi}{4}) = 2x^2 - 5x + 1 \)
\( 2x^2 - 5x + 1 = -1 \)
\( 2x^2 - 5x + 2 = 0 \)
\( (2x - 1)(x - 2) = 0 \)
Denklemin çözümü bu çarpanları sıfır yapan değerlerdir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{1}{2}, 2\} \)
SORU 36:
\( \arctan(\sqrt{5} - 2) + \arctan(\sqrt{5} + 2) \)
ifadesinin değerini bulunuz.
Çözümü Göster
\( \arctan(\sqrt{5} - 2) = x \) diyelim.
\( \tan{x} = \sqrt{5} - 2 \) olur.
\( \arctan(\sqrt{5} + 2) = y \) diyelim.
\( \tan{y} = \sqrt{5} + 2 \) olur.
İki ifadenin çarpımını alalım.
\( \tan{x} \cdot \tan{y} = (\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2) \)
\( = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 1 \)
\( \tan{x} \cdot \cot{x} = 1 \) olduğuna göre \( \tan{y} = \cot{x} \) olmalıdır.
\( \tan{y} = \cot(\frac{\pi}{2} - y) = \cot{x} \)
Buna göre \( x \) ve \( y \) tümler açılardır.
\( \arctan(\sqrt{5} - 2) + \arctan(\sqrt{5} + 2) = x + y \)
\( = \dfrac{\pi}{2} \) bulunur.
SORU 37:
\( \arccot(12x) = \arctan(3x) \)
olduğuna göre, \( x \)'in pozitif değeri nedir?
Çözümü Göster
\( \arccot(12x) = \arctan(3x) = \alpha \) diyelim.
\( \cot{\alpha} = 12x \) olur.
\( \tan{\alpha} = 3x \) olur.
Bir açının tanjant ve kotanjant değerlerinin çarpımı 1'dir.
\( \tan{\alpha} \cdot \cot{\alpha} = 36x^2 = 1 \)
\( x^2 = \dfrac{1}{36} \)
\( x = \pm \dfrac{1}{6} \)
\( x \)'in pozitif değeri \( \frac{1}{6} \) olarak bulunur.
SORU 38:
\( \tan(\arcsin(-\frac{5}{13})) + \cos(\arcsin{\frac{24}{25}}) \)
ifadesinin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
\( \arcsin(-\frac{5}{13}) = x \) diyelim.
\( \sin{x} = -\dfrac{5}{13} \) olur.
Arc sinüs fonksiyonu I. ve IV. bölgelerde tanımlı olduğu için sinüs değeri negatif olan \( x \) açısı IV. bölgededir.
\( \arcsin{\frac{24}{25}} = y \) diyelim.
\( \sin{y} = \dfrac{24}{25} \) olur.
Arc sinüs fonksiyonu I. ve IV. bölgelerde tanımlı olduğu için sinüs değeri pozitif olan \( x \) açısı I. bölgededir.
\( x \) ve \( y \) açıları için birer dik üçgen çizelim ve Pisagor teoremi ile üçüncü kenarları bulalım.
Üçgenleri kullanarak ihtiyacımız olan trigonometrik oranları bulalım.
\( \tan{x} = -\dfrac{5}{12} \)
\( \cos{y} = \dfrac{7}{25} \)
\( \tan(\arcsin(-\frac{5}{13})) + \cos(\arcsin{\frac{24}{25}}) = \sin{x} + \cos{y} \)
\( = -\dfrac{5}{12} + \dfrac{7}{25} = -\dfrac{41}{300} \) bulunur.
SORU 39:
\( \sin(\arcsin(x^2)) - \arcsin(\sin(2x)) = -\dfrac{3}{4} \)
Buna göre \( \arcsin{x} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Bir trigonometrik fonksiyonun tersi ile bileşkesi birim fonksiyonu verir.
\( \sin(\arcsin(x^2)) = x^2 \)
\( \arcsin(\sin(2x)) = 2x \)
\( x^2 - 2x = -\dfrac{3}{4} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 4x^2 - 8x = -3 \)
\( 4x^2 - 8x + 3 = 0 \)
\( (2x - 1)(2x - 3) = 0 \)
\( x = \frac{1}{2} \) ya da \( x = \frac{3}{2} \)
Ters sinüs fonksiyonunun tanım kümesi \( [-1, 1] \) aralığıdır, buna göre \( x = \frac{3}{2} \) değeri geçerli bir çözüm değildir.
\( \arcsin{\frac{1}{2}} = \dfrac{\pi}{6} \) bulunur.
SORU 40:
\( 0 \lt x \lt \frac{\pi}{2} \) olmak üzere,
\( \tan(\arcsin(\cos{x})) \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü Göster
\( \arcsin(\cos{x}) = \alpha \) diyelim.
\( \sin{\alpha} = \cos{x} \) olur.
\( \alpha \) açısı için bir dik üçgen çizelim ve Pisagor teoremi ile üçüncü kenarı bulalım.
\( \abs{AB} = \sqrt{1 - \cos^2{x}} = \sin{x} \)
Üçgeni kullanarak ihtiyacımız olan trigonometrik oranı bulalım.
\( \tan(\arcsin(\cos{x})) = \tan{\alpha} \)
\( = \dfrac{\cos{x}}{\sin{x}} \)
\( = \cot{x} \) bulunur.
SORU 41:
\( \cos(\pi - \dfrac{1}{2}\arccsc{\dfrac{13}{5}}) \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster
\( \arccsc{\dfrac{13}{5}} = x \) diyelim.
\( \csc{x} = \dfrac{13}{5} \) olur.
\( \sin{x} = \dfrac{5}{13} \)
\( x \) açısı için bir dik üçgen çizelim.
Üçgeni kullanarak \( \cos{x} \) değerini bulalım.
\( \cos{x} = \dfrac{12}{13} \)
\( \cos(\pi - \dfrac{x}{2}) = -\cos{\frac{x}{2}} \)
Kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \cos{x} = 2\cos^2{\dfrac{x}{2}} - 1 \)
\( 2\cos^2{\dfrac{x}{2}} - 1 = \dfrac{12}{13} \)
\( \cos^2{\dfrac{x}{2}} = \dfrac{25}{26} \)
\( \cos{\dfrac{x}{2}} = \dfrac{5}{\sqrt{26}} = \dfrac{5\sqrt{26}}{26} \)
\( \cos(\pi - \dfrac{x}{2}) = -\cos^2{\dfrac{x}{2}} = -\dfrac{5\sqrt{26}}{26} \) bulunur.
SORU 42:
\( \tan(\cos^{-1}(\sin(\sec^{-1}{\dfrac{13}{5}}))) \) ifadesinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
\( \tan(\cos^{-1}(\sin(\sec^{-1}{\dfrac{13}{5}}))) \)
\( \sec^{-1}{\dfrac{13}{5}} = \alpha \) diyelim.
\( = \tan(\cos^{-1}(\sin{\alpha})) \)
\( \alpha \) açısı için bir dik üçgen çizelim.
\( \sin{\alpha} = \dfrac{12}{13} \)
\( = \tan(\cos^{-1}{\dfrac{12}{13}}) \)
\( \cos^{-1}{\dfrac{12}{13}} = \beta \) diyelim.
\( = \tan{\beta} \)
\( \beta \) açısı için bir dik üçgen çizelim.
\( \tan{\beta} = \dfrac{5}{12} \) bulunur.
