Yaş problemlerinde genellikle iki ya da daha fazla kişinin bugünkü ve gelecekteki (ya da geçmişteki) yaşları karşılaştırılır ve kişilerden birinin belirli bir zamandaki yaşını bulmamız istenir.
SORU 1:
Fatma'nın 6 yıl sonraki yaşı bugünkü yaşının 4 eksiğinin 3 katı olacaktır. Bugün göre Fatma bugün kaç yaşındadır?
Çözümü Göster
Fatma'nın bugünkü yaşına \( x \) diyelim.
Fatma'nın 6 yıl sonraki yaşı bugünkü yaşının 4 eksiğinin 3 katıdır.
\( x + 6 = 3(x - 4) \)
\( x + 6 = 3x - 12 \)
\( 2x = 18 \)
\( x = 9 \)
Buna göre Fatma bugün 9 yaşındadır.
SORU 2:
Ahmet 18, Selenay \( a \) yaşındadır. Ahmet \( 2a + 21 \) yaşına geldiğinde Selenay'ın yaşı \( a \) cinsinden kaç olur?
Çözümü Göster
Ahmet 18 yaşında olduğuna göre, \( 2a + 21 \) yaşına gelmesi için \( 2a + 21 - 18 = 2a + 3 \) yıl geçmesi gerekir.
\( 2a + 3 \) yıl geçtiğinde Selenay \( a + (2a + 3) = 3a + 3 \) yaşında olur.
SORU 3:
Burcu 16, teyzesi ise 38 yaşındadır. Burcu teyzesine "Yıl \( n \) olduğunda senin yaşın benim yaşımın tam 2 katı olacak." demiştir.
Bu konuşma 2020 yılında geçtiğine göre, \( n \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( x \) yıl sonra teyzesinin yaşının Burcu'nun yaşının 2 katı olduğunu varsayalım.
\( x \) yıl sonra Burcu \( 16 + x \), teyzesi \( 38 + x \) yaşında olur.
\( 2(16 + x) = 38 + x \)
\( 32 + 2x = 38 + x \)
\( x = 6 \)
Buna göre \( n = 2020 + 6 = 2026 \) yılında teyzesinin yaşı Burcu'nun yaşının 2 katı olur.
SORU 4:
Serdar ve Elif'in bugünkü yaşları toplamı 44'tür. Elif, Serdar'ın bugünkü yaşına geldiğinde yaşları toplamı 68 olacaktır.
Buna göre, Elif bugün kaç yaşındadır?
Çözümü Göster
Elif'in Serdar'ın yaşına gelmesi için aradan \( \frac{68 - 44}{2} = 12 \) yıl geçmesi gerekmektedir, yani Serdar Elif'ten 12 yaş büyüktür.
Elif'in bugünkü yaşına \( x \) diyelim. Serdar'ın bugünkü yaşı \( x + 12 \) olur.
\( x + (x + 12) = 44 \)
\( 2x + 12 = 44 \)
\( 2x = 32 \)
\( x = 16 \)
Buna göre Elif bugün 16 yaşındadır.
SORU 5:
Mustafa ve Erkan'ın doğum yılları toplamı 3996'ya eşittir.
2020 yılında Mustafa'nın yaşı Erkan'ın yaşının üç katı olduğuna göre, 2024 yılında yaşları toplamı kaç olur?
Çözümü Göster
2020 yılında Erkan'ın yaşına \( x \), Mustafa'nın yaşına \( 3x \) diyelim.
Buna göre doğum yılları \( 2020 - x \) ve \( 2020 - 3x \) olur.
\( 2020 - x + 2020 - 3x = 3996 \)
\( x = 11 \)
2024 yılında Mustafa \( x + 4 \), Erkan \( 3x + 4 \) yaşında olur.
2024 yılındaki yaşlarının toplamını bulalım.
\( x + 4 + 3x + 4 = 4x + 8 \)
\( = 4 \cdot 11 + 8 = 52 \) bulunur.
SORU 6:
Bugünkü yaşları toplamı 1320 olan bir grubun 12 yıl önceki yaş ortalaması 10 olduğuna göre, bu grupta kaç kişi vardır?
Çözümü Göster
Gruptaki kişi sayısına \( x \) diyelim.
Yaşlar toplamı = Kişi sayısı x Yaş ortalaması
Buna göre grubun 12 yıl önceki yaşlar toplamı \( 10x \) olur.
Bugün gruptaki herkesin yaşı 12 yıl artmış olur.
Bugünkü yaşlar toplamı = \( (10 + 12)x = 22x \)
Grubun bugünkü yaşları toplamı 1320'dir.
\( 22x = 1320 \)
\( x = 60 \) bulunur.
SORU 7:
Bir okul 2 yılda bir düzenlenen satranç turnuvasına 2020 ve 2022 yıllarında 4 kişilik bir takım gönderiyor. 2022 yılındaki takım, mezun olan bir oyuncunun yerine gelen yeni bir oyuncu dışında 2020 yılındaki takımla aynıdır.
Bu iki takımın yaş ortalamaları aynı olduğuna göre, mezun olan oyuncu ile yeni oyuncunun yaş farkı kaçtır?
Çözümü Göster
2020 yılındaki oyuncuların yaşlarına \( a, b, c, d \) diyelim.
Mezun olan oyuncunun yaşı \( a \) olsun.
2022 yılında takıma yeni katılan oyuncunun yaşına \( e \) diyelim.
Aradan geçen 2 yılda değişmeyen 3 oyuncunun yaşı 2 yaş artacaktır.
Bu durumda 2022 yılındaki oyuncuların yaşları \( b + 2 \), \( c + 2 \), \( d + 2 \) ve \( e \) olur.
İki yıl için de takımın yaş ortalamasını yazalım ve takımın yaş ortalaması aynı kaldığı için iki ortalamayı birbirine eşitleyelim.
\( \dfrac{a + b + c + d}{4} = \dfrac{b + 2 + c + 2 + d + 2 + e}{4} \)
\( a + b + c + d = b + c + d + e + 6 \)
\( a = e + 6 \)
Mezun olan oyuncu ile yeni oyuncu arasındaki yaş farkı 6'dır.
SORU 8:
Yaşları birbirinden farklı 5 kardeşin yaş ortalaması 9'dur.
Bu kardeşlerin hiçbiri 6 yaşından küçük olmadığına göre, en büyük kardeş en çok kaç yaşında olabilir?
Çözümü Göster
5 kardeşin yaş ortalaması 9 ise yaşlarının toplamı \( 5 \cdot 9 = 45 \) olur.
En büyük kardeşin yaşını en çok yapabilmek için diğer kardeşlerin yaşlarını olabildiğince küçük seçmemiz gerekir. Hiçbiri 6 yaşından küçük olmadığına göre en küçük kardeşi 6 yaşında alabiliriz.
Kardeşlerin yaşları birbirinden farklı olduğu için en büyük kardeş hariç kardeşlerin yaşlarını 6, 7, 8 ve 9 olarak alabiliriz.
Bu durumda bu dört kardeşin yaşları toplamı \( 6 + 7 + 8 + 9 = 30 \) olur.
Buna göre en büyük kardeşin yaşı en çok \( 45 - 30 = 15 \) olabilir.
SORU 9:
Bir gezi grubundaki kişilerin yaşlarıyla ilgili aşağıdakiler biliniyor.
- Grubun yaş ortalaması 24'tür.
- Yaşları 14, 10 ve 12 olan üç kişi geziye katılmaktan vazgeçince kalanların yaş ortalaması 28 oluyor.
Bu grupta geziye katılan kaç kişi vardır?
Çözümü Göster
Gruptaki toplam kişi sayısına \( x \) diyelim.
Yaşlar toplamı = Kişi sayısı x Yaş ortalaması
Buna göre gruptakilerin yaşları toplamı \( 24x \) olur.
Geziye katılmaktan vazgeçenlerin yaşları toplamı \( 14 + 10 + 12 = 36 \) olduğundan grubun yaş toplamı 36, kişi sayısı 3 azalır.
3 kişi ayrıldıktan sonraki yaş ortalaması:
\( \dfrac{24x - 36}{x - 3} = 28 \)
\( 24x - 36 = 28x - 84 \)
\( 4x = 48 \)
\( x = 12 \)
Bu 12 kişiden 3'ü geziye katılmaktan vazgeçtiği için \( 12 - 3 = 9 \) kişi geziye katılmıştır.
SORU 10:
Hasret 19 yaşındadır. Hasret annesinin bugünkü yaşına geldiğinde annesiyle Hasret'in yaşları toplamı 143 olacaktır.
Buna göre Hasret'in annesi bugün kaç yaşındadır?
Çözümü Göster
Hasret'in annesinin bugünkü yaşına \( x \) diyelim.
Hasret'in annesinin yaşına gelmesi için \( x - 19 \) yıl geçmelidir.
\( x - 19 \) yıl sonra Hasret \( x \) yaşında, annesi \( x + x - 19 = 2x - 19 \) yaşında olur.
Bu noktada ikisinin yaşları toplamı \( x + (2x - 19) = 3x - 19 \) olacaktır.
\( 3x - 19 = 143 \)
\( 3x = 162 \)
\( x = 54 \)
Buna göre Hasret'in annesi bugün 54 yaşındadır.
SORU 11:
Ahmet'in yaşının Sedef'in yaşına oranı \( \frac{4}{9} \)'dur.
14 yıl sonra Ahmet'in yaşının Sedef'in yaşına oranı \( \frac{3}{5} \) olacağına göre, Ahmet bugün kaç yaşındadır?
Çözümü Göster
Ahmet'in bugünkü yaşına \( 4x \), Sedef'in bugünkü yaşına \( 9x \) diyelim.
14 yıl sonra Ahmet \( 4x + 14 \), Sedef \( 9x + 14 \) yaşında olur.
14 yıl sonra Ahmet'in yaşının Sedef'in yaşına oranı \( \frac{3}{5} \) olur.
\( \dfrac{4x + 14}{9x + 14} = \dfrac{3}{5} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 5(4x + 14) = 3(9x + 14) \)
\( 20x + 70 = 27x + 42 \)
\( 7x = 28 \)
\( x = 4 \)
Buna göre Ahmet bugün \( 4x = 4(4) = 16 \) yaşındadır.
SORU 12:
Bir ailenin çocuğu doğduğunda anne 20 baba 24 yaşındadır. Çocuk bugünkü yaşının yarısı yaştayken annesi ile babasının yaşları oranı \( \frac{6}{7} \) idi.
Buna göre anne ile babanın bugünkü yaşları oranı kaçtır?
Çözümü Göster
Çocuğun bugünkü yaşına işlem kolaylığı açısından \( 2x \) diyelim.
Çocuk \( x \) yaşına geldiğinde anne ve babası \( x \) yıl yaşlanmıştır.
Çocuk \( x \) yaşındayken anne ile babasının yaşları oranını bulalım.
\( \dfrac{20 + x}{24 + x} = \dfrac{6}{7} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 140 + 7x = 144 + 6x \)
\( x = 4 \)
Buna göre çocuk bugün \( 2x = 2 \cdot 4 = 8 \) yaşındadır.
Bu durumda annesinin bugünkü yaşı \( 20 + 8 = 28 \), babasınınki \( 24 + 8 = 32 \)'dir.
Çocuğun annesi ile babasının bugünkü yaşları oranını bulalım.
\( \dfrac{28}{32} = \dfrac{7}{8} \) bulunur.
SORU 13:
Ece ve Yasin'in bugünkü yaşlarının oranı \( \frac{5}{6} \)'dır. 6 yıl sonra yaşlarının oranı \( \frac{17}{20} \) olacaktır.
Yasin Ece'den büyük olduğuna göre, Yasin'in 6 yıl sonraki yaşı kaçtır?
Çözümü Göster
Ece'nin yaşına \( a \), Yasin'in yaşına \( b \) diyelim.
Ece ve Yasin'in yaşları oranı \( \frac{5}{6} \)'dır.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{5}{6} = k \)
\( a = 5k, \quad b = 6k \)
6 yıl sonraki yaşlarının oranını yazalım.
\( \dfrac{5k + 6}{6k + 6} = \dfrac{17}{20} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 100k + 120 = 102k + 102 \)
\( 2k = 18 \)
\( k = 9 \)
Yasin'in bugünkü yaşını bulalım.
\( b = 6k = 54 \)
Buna göre Yasin'in 6 yıl sonraki yaşı \( 54 + 6 = 60 \) olur.
SORU 14:
2022 yılında annesinin yaşı Beril'in yaşının 4 katına eşittir. 2027 yılında ise annesinin yaşı Beril'in yaşının 3 katı olacaktır.
Buna göre hangi yılda annesinin yaşı Beril'in yaşının 3,5 katı olur?
Çözümü Göster
2022 yılında Beril'in yaşına \( x \), annesinin yaşına \( 4x \) diyelim.
2027 yılında her ikisinin de yaşı 5 yaş artacağı için yaşları \( x + 5 \) ve \( 4x + 5 \) olur.
2027 yılında annesinin yaşı Beril'in yaşının 3 katı olacaktır.
\( 4x + 5 = 3(x + 5) \)
\( 4x + 5 = 3x + 15 \)
\( x = 10 \)
Buna göre 2022 yılında Beril 10, annesi \( 4x = 40 \) yaşındadır.
Annesinin yaşının Beril'in yaşının 3,5 katı olacağı yıla 2022'den \( b \) yıl sonrası diyelim.
\( 40 + b = 3,5(10 + b) \)
\( 40 + b = 35 + 3,5b \)
\( 2,5b = 5 \)
\( b = 2 \)
Buna göre \( 2022 + 2 = 2024 \) yılında annesinin yaşı Beril'in yaşının 3,5 katı olur.
SORU 15:
18 kişinin çalıştığı bir iş yerinde çalışanların bir kısmı 24, bir kısmı 32 yaşındadır.
24 yaşındakiler 32 yaşına geldiğinde çalışanların toplam yaşı 640 olacağına göre, iş yerinde 24 yaşında olan kaç çalışan vardır? (İş yerinden ayrılan ya da yeni başlayan kişi olmadığı varsayılıyor.)
Çözümü Göster
İş yerindeki 24 yaşındaki çalışan sayısına \( x \), 32 yaşındaki çalışan sayısına \( y \) diyelim.
\( x + y = 18 \)
24 yaşındaki çalışanlar 32 yaşına geldiğinde \( 32 - 24 = 8 \) yıl geçmiş olur, bu noktada 32 yaşındaki çalışanlar \( 32 + 8 = 40 \) yaşında olurlar.
Bu noktada çalışanların toplam yaşı 640 olacaktır.
\( 32x + 40y = 640 \)
\( 4x + 5y = 80 \)
Yukarıda bulduğumuz iki denklemden birincinin taraflarını 4 ile çarpıp ikinci denklemi birinciden çıkaralım.
\( 4x + 4y = 72 \)
\( (4x + 5y) - (4x + 4y) = 80 - 72 \)
\( y = 8 \)
\( x = 10 \)
Buna göre bu iş yerinde 24 yaşındaki çalışanların sayısı 10'dur.
SORU 16:
Fatih'in yaşı iki basamaklı \( (ab) \) sayısıdır.
Ondan 27 yaş büyük olan babasının yaşı ise iki basamaklı \( (ba) \) sayısıdır.
Buna göre Fatih'in ve babasının yaşları toplamı kaç olabilir?
\( (a) 66 \quad (b) 88 \quad (c) 110 \quad (d) 121 \quad (e) 155 \)
Çözümü Göster
Babası Fatih'ten 27 yaş büyüktür.
\( (ab) + 27 = (ba) \)
Sayıların çözümlemesini yapalım.
\( 10a + b + 27 = 10b + a \)
\( 9a + 27 = 9b \)
\( a + 3 = b \)
Buna göre Fatih'in yaşında birler basamağı onlar basamağından 3 fazladır.
Fatih'in yaşının sayısal değerini onlar basamağındaki \( a \) rakamı cinsinden \( 10a + b = 10 + a + 3 = 11a + 3 \) şeklinde yazabiliriz.
Babası Fatih'ten 27 yaş büyük olduğu için ikisinin yaşları toplamı \( a \) cinsinden \( (11a + 3) + (11a + 30) = 22a + 33 \) olur.
\( a \) 1 ve 6 arasında değer alabilir, daha büyük değerlerde Fatih'in yaşının birler basamağı bir rakam olmaz.
Bu \( a \) değerleri için Fatih'in ve babasının yaşları toplamını bulalım.
\( a = 1: 22(1) + 33 = 55 \)
\( a = 2: 22(2) + 33 = 77 \)
\( a = 3: 22(3) + 33 = 99 \)
\( a = 4: 22(4) + 33 = 121 \)
\( a = 5: 22(5) + 33 = 143 \)
\( a = 6: 22(6) + 33 = 165 \)
Buna göre doğru cevap (d) seçeneğidir.
SORU 17:
Ata \( a \), Berk \( b \) yılında doğmuştur. İki kardeşin doğdukları yılların toplamı 3983'tür.
Ata 3 yıl önce, Berk 3 yıl sonra doğmuş olsaydı Ata, Berk'ten 11 yaş küçük olacaktı. Buna göre Ata hangi yılda doğmuştur?
Çözümü Göster
Verilen bilgilerden Ata'nın daha küçük olduğunu anlıyoruz, dolayısıyla Ata'nın doğum yılı daha büyük olur.
Ata 3 yıl önce, Berk 3 yıl sonra doğmuş olsaydı Ata, Berk'ten 11 yaş küçük olacaktı.
\( (a - 3) - (b + 3) = 11 \)
\( a - 3 - b - 3 = 11 \)
\( a - b = 17 \)
İki kardeşin doğdukları yılların toplamı 3983'tür.
\( a + b = 3983 \)
İki denklemi taraf tarafa toplayalım.
\( a - b + a + b = 4000 \)
\( 2a = 4000 \)
\( a = 2000 \) bulunur.
SORU 18:
Asya'nın yaşı Saadet ve Sezin yaşları toplamından \( 7m \) fazladır. \( 2m \) yıl sonra Asya'nın yaşı Saadet ve Sezin'in yaşları toplamının 2 katı olur.
Buna göre, Asya'nın şimdiki yaşı Saadet ve Sezin'in yaşları toplamının kaç katıdır?
Çözümü Göster
Saadet ve Sezin'in yaşları toplamına \( k \) diyelim. Asya'nın yaşı \( k + 7m \) olur.
\( 2m \) yıl sonra Asya \( k + 7m + 2m = k + 9m \), Saadet ve Sezin'in yaşları toplamı \( k + 2m \cdot 2 = k + 4m \) olur.
\( 2m \) yıl sonra Asya'nın yaşı Saadet ve Sezin'in yaşları toplamının 2 katı oluyor.
\( k + 9m = 2(k + 4m) \)
\( k + 9m = 2k + 8m \)
\( k = m \)
Buna göre Asya'nın bugünkü yaşı \( k + 7m = k + 7k = 8k \) olur.
Dolayısıyla Asya'nın yaşı Saadet ve Sezin'in yaşları toplamının 8 katıdır.
SORU 19:
1976 yılında doğan bir arkeolog, kazıda bulduğu bir vazonun yaşının onun doğduğu yılın rakamlarının çarpımına eşit olduğunu fark ediyor.
Bu arkeolog kazı sırasında 46 yaşında olduğuna göre, vazo hangi yılda yapılmıştır?
Çözümü Göster
Vazonun yaşı arkeoloğun doğum yılının rakamları çarpımına eşitse, vazo \( 1 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 6 = 378 \) yaşındadır.
Arkeolog kazı sırasında 46 yaşında olduğuna göre, yıl \( 1976 + 46 = 2022 \) olur.
Buna göre vazo \( 2022 - 378 = 1644 \) yılında yapılmıştır.
SORU 20:
M.Ö. \( a \) yılında inşa edilen bir tapınak M.S. \( 3a - 45 \) yılında yapılan bir savaşta yıkılmıştır.
Tapınak \( 2a + 97 \) yıl ayakta kaldığına göre, hangi yılda inşa edilmiştir?
Çözümü Göster
Tapınak M.Ö. \( a \) yılında yapıldığına göre, milada yani 0 yılına kadar \( a \) yıl, milattan sonra \( 3a - 45 \) yıl olmak üzere toplam \( a + 3a - 45 = 4a - 45 \) yıl ayakta kalmıştır.
Bu süreyi tapınağın ayakta kaldığı \( 2a + 97 \) yıla eşitleyelim.
\( 4a - 45 = 2a + 97 \)
\( 2a = 142 \)
\( a = 71 \)
Tapınak M.Ö. 71 yılında inşa edilmiştir.
SORU 21:
Üç çocuğu olan bir annenin yaşı çocuklarının yaşları toplamından 2 azdır.
32 yıl sonra çocuklarının yaşları toplamı annenin yaşının 2 katı olacağına göre, anne en küçük çocuğu dünyaya geldiğinde en az kaç yaşında olabilir? (Çocukların hepsi farklı yaşlardadır.)
Çözümü Göster
Çocukların yaşları toplamına \( x \) diyelim.
Bu durumda annenin yaşı \( x - 2 \) olur.
32 yıl sonra annenin yaşı \( (x - 2) + 32 = x + 30 \), çocuklarının yaşları toplamı ise \( x + 32 \cdot 3 = x + 96 \) olur.
32 yıl sonra çocuklarının yaşları toplamı annenin yaşının 2 katı olur.
\( x + 96 = 2(x + 30) \)
\( x + 96 = 2x + 60 \)
\( x = 36 \)
Buna göre bugün çocukların yaşları toplamı 36, annenin yaşı ise 34'tür.
En küçük çocuğu dünyaya geldiğinde annenin olabilecek en küçük yaşını bulmak için en küçük çocuğun yaşının en çok olduğu durumu dikkate almalıyız.
3 çocuğun yaşları toplamı 36 olduğuna göre, en küçük çocuk en çok 11 yaşında olabilir. Bu durumda çocukların yaşları 11, 12, 13 olur.
Bu durumda anne en küçük çocuğu dünyaya geldiğinde en az \( 34 - 11 = 23 \) yaşında olabilir.
SORU 22:
Fulya öğretmenin yaşı aynı yaştaki 4 öğrencisinden birinin yaşının 5 katıdır.
Bu 4 öğrencinin yaşları toplamı Fulya öğretmenin bugünkü yaşına eşit olduğunda Fulya öğretmen 42 yaşında olacağına göre, öğrenciler bugün kaç yaşındadır?
Çözümü Göster
Öğrencilerden birinin yaşına \( 4x \) diyelim. Bu durumda Fulya öğretmenin bugünkü yaşı \( 5 \cdot 4x = 20x \) olur.
Öğrencilerin bugünkü yaşları toplamı \( 4 \cdot 4x = 16x \)'tir.
Öğrencilerin yaşları toplamı her yıl 4 yaş artar. Buna göre öğrencilerin bugünkü yaşları toplamı olan \( 16x \)'in Fulya öğretmenin bugünkü yaşı olan \( 20x \)'e eşit olması için \( \frac{20x - 16x}{4} = x \) yıl geçmelidir.
\( x \) yıl sonra Fulya öğretmen \( 20x + x = 21x \) yaşında olur.
\( 21x = 42 \)
\( x = 2 \)
Öğrencilerin bugünkü yaşları \( 4x = 4 \cdot 2 = 8 \) olarak bulunur.
SORU 23:
Aslı, Bilal, Cenk ve Demet'ten oluşan 4 kişilik bir arkadaş grubunun yaşları ile ilgili aşağıdakiler biliniyor.
- Grubun yaş ortalaması 16'dır.
- Grubun en küçüğü olan Aslı, en büyüğü olan Demet'ten 9 yaş küçüktür.
- Bilal'le Cenk'in yaşları toplamı Demet'in yaşından 10 fazladır.
- Gruptakilerin yaşları birbirinden farklıdır.
Bu bilgilere göre Cenk en çok kaç yaşında olabilir?
Çözümü Göster
Aslı, Bilal, Cenk ve Demet'in yaşlarına sırasıyla \( a, b, c, d \) diyelim.
4 kişilik grubun yaş ortalaması 16 ise yaşları toplamı \( 16 \cdot 4 = 64 \) olur.
\( a + b + c + d = 64 \)
Aslı Demet'ten 9 yaş küçüktür.
\( a = d - 9 \)
Bilal'le Cenk'in yaşları toplamı Demet'in yaşından 10 fazladır.
\( b + c = d + 10 \)
Bulduklarımızı ilk denklemde yerine koyalım.
\( (d - 9) + (d + 10) + d = 64 \)
\( 3d + 1 = 64 \)
\( 3d = 63 \)
\( d = 21 \)
\( d \) değerini kullanarak diğer yaşları bulalım.
\( a = d - 9 = 21 - 9 = 12 \)
\( b + c = d + 10 = 21 + 10 = 31 \)
Cenk'in yaşını en çok yapmak için Bilal'in yaşını olabildiğince küçük seçmeliyiz. Grupta en küçük kişi olan Aslı 12 yaşında olduğu için Bilal en az 13 yaşında olabilir.
\( 13 + c = 31 \)
\( c = 18 \)
Buna göre Cenk en çok 18 yaşında olabilir.
SORU 24:
Anne, baba ve 3 çocuktan oluşan bir ailede anne babadan en küçük çocuğun yaşı kadar büyüktür. Bundan 4 yıl sonra annenin yaşı çocukların yaşlarının toplamına eşit olacaktır.
En büyük çocukla ortanca çocuğun yaşları toplamı 25 olduğuna göre, baba kaç yaşındadır?
Çözümü Göster
En küçük çocuğun yaşına \( a \), annenin yaşına \( b \) diyelim.
Baba anneden en küçük çocuğun yaşı kadar küçük olduğundan babanın yaşı \( b - a \) olur.
En büyük çocukla ortanca çocuğun yaşları toplamı 25 olduğuna göre, üç çocuğun yaşları toplamı \( a + 25 \) olur.
4 yıl sonra annenin yaşı çocukların yaşlarının toplamına eşit olacaktır.
\( a + 25 + 4 \cdot 3 = b + 4 \)
\( a + 37 = b + 4 \)
\( b - a = 33 \)
Buna göre baba 33 yaşındadır.
SORU 25:
Sedef'in, annesinin ve babasının yaşlarıyla ilgili aşağıdakiler biliniyor.
- Babasının yaşı Sedef'in yaşının 3 katından 1 eksiktir.
- 5 yıl sonra annesiyle Sedef'in yaşları toplamı 65 olacaktır.
- Annesi Sedef'in yaşındayken Sedef'in doğmasına 10 yıl vardı.
Buna göre Sedef'in annesi bugün kaç yaşındadır?
Çözümü Göster
Sedef'in bugünkü yaşına \( x \) diyelim.
Babasının yaşı \( 3x - 1 \) olur.
Annesiyle Sedef'in yaşları toplamı 5 yıl sonra 65 oluyorsa bugün \( 65 - 2 \cdot 5 = 55 \) olur.
Sedef bugün \( x \) yaşında olduğuna göre annesi \( 55 - x \) yaşında olur.
Annesi \( (55 - x) - x = 55 - 2x \) yıl önce Sedef'in yaşındaydı. Bu kadar yıl önce Sedef'in \( -10 \) yaşında olduğunu düşünebiliriz.
\( x - (55 - 2x) = -10 \)
\( 3x - 55 = -10 \)
\( 3x = 45 \)
\( x = 15 \)
Sedef'in annesinin bugünkü yaşı \( 55 - x = 55 - 15 = 40 \) olur.
SORU 26:
Sadi ve Cem'in yaşları toplamı 39'dur. Cem Sadi'nin bugünkü yaşındayken Sadi 6 yaşında olduğuna göre, Cem bugün kaç yaşındadır?
Çözümü Göster
"Cem Sadi'nin bugünkü yaşındayken" ifadesinden Cem'in Sadi'den büyük olduğunu anlarız. Bu yüzden Sadi'nin bugünkü yaşına \( x \), Cem'in yaşına \( x + y \) diyebiliriz.
\( x + (x + y) = 39 \)
\( 2x + y = 39 \)
Cem \( y \) yıl önce Sadi'nin yaşındaydı, o noktada Sadi de \( x - y \) yaşında idi.
\( x - y = 6 \)
Yukarıdaki iki bilinmeyenli iki denklemi çözmek için denklemleri taraf tarafa toplayalım.
\( (2x + y) + (x - y) = 39 + 6 \)
\( 3x = 45 \)
\( x = 15 \)
\( y = 9 \)
Buna göre Cem bugün \( x + y = 15 + 9 = 24 \) yaşındadır.
SORU 27:
Ablasından 12 yaş küçük olan Figen ablasının bugünkü yaşına geldiğinde üçüz çocukları oluyor.
Üçüz çocukların yaşları toplamı Figen'in ablasının bugünkü yaşına eşit olduğu zaman ablası 44 yaşında oluyor.
Verilen bilgilere göre Figen bugün kaç yaşındadır?
Çözümü Göster
Figen'in bugünkü yaşına işlem kolaylığı açısından \( 3x \) diyelim.
Ablasının bugünkü yaşı \( 3x + 12 \) olur.
Figen 12 yıl sonra ablasının bugünkü yaşına gelir. Buna göre Figen'in \( 3x + 12 \) yaşında üçüzleri olur. Ablasının o günkü yaşı da \( (3x + 12) + 12 = 3x + 24 \) olur.
Üçüzlerin yaşları toplamı her yıl 3 yaş artar, buna göre üçüzlerin yaşları toplamının Figen'in ablasının bugünkü yaşına gelmesi için \( \frac{3x + 12}{3} = x + 4 \) yıl geçmelidir.
\( x + 4 \) yıl sonra ablasının yaşı \( (3x + 24) + (x + 4) = 4x + 28 \) olur.
\( 4x + 28 = 44 \)
\( 4x = 16 \)
\( x = 4 \)
Buna göre Figen bugün \( 3x = 3(4) = 12 \) yaşındadır.
SORU 28:
Bir parkı ağaçlandırma projesi kapsamında her 3 yılda bir 10 adet ağaç dikilmektedir.
Bu parka dikilen ağaçlardan en yaşlısı bugün 20 yaşında olduğuna göre, parka dikilen tüm ağaçların yaşları toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
En yaşlı ağaç ilk dikilen ağaç olduğundan ağaç dikilmeye 20 yıl önce başlanmıştır.
İlk dikilen ağaçlar bugün 20 yaşında ise 3 yıl sonra dikilen ağaçlar bugün 17 yaşında, bir 3 yıl sonra dikilen ağaçlar bugün 14 yaşındadır. Parktaki ağaçların yaşı bu şekilde 3 çıkaramayacağımız yaşa kadar devam eder.
Her yıl 10 ağaç dikildiğinden ağaçların toplam yaşı aşağıdaki şekilde bulunur.
\( 10(20 + 17 + 14 + 11 + 8 + 5 + 2) \)
\( = 10 \cdot 77 = 770 \) bulunur.
SORU 29:
Aleyna, Barış ve Eray isimli üç arkadaşın 2010 yılındaki yaşlarının aritmetik ortalaması \( m \)'dir. Barış 2016 yılında Aleyna'nın yaşına geldiğinde Eray \( m + 10 \) yaşında oluyor.
Buna göre Barış hangi yılda \( m \) yaşında olur?
Çözümü Göster
Aleyna, Barış ve Eray'ın 2010 yılındaki yaşlarına sırasıyla \( a \), \( b \) ve \( e \) diyelim.
Üçünün 2010 yılındaki yaşlarının aritmetik ortalaması \( m \)'dir.
\( \dfrac{a + b + e}{3} = m \)
\( a + b + e = 3m \)
Barış 2016 yılında Aleyna'nın yaşına geldiğine göre \( a = b + 6 \) olur.
2016 yılında Eray \( m + 10 \) yaşında oluyor.
\( e + 6 = m + 10 \)
\( e = m + 4 \)
Bulduğumuz değerleri ilk eşitlikte yerine koyalım.
\( a + b + e = 3m \)
\( (b + 6) + b + (m + 4) = 3m \)
\( 2b + 10 = 2m \)
\( b = m - 5 \)
Barış 2010 yılında \( m - 5 \) yaşında olduğuna göre, \( 2010 + 5 = 2015 \) yılında \( m \) yaşında olur.
SORU 30:
İki kişinin doğum yılları sırasıyla \( (19ab) \) ve \( (19ba) \)'dır.
Bu kişilerin \( (20aa) \) yılında yaşları toplamının en küçük değerini alması için \( a \) ve \( b \)'nin alması gereken değerler düşünüldüğünde, \( (19bb) \) yılında doğan bir kişi \( (20aa) \) yılında kaç yaşında olur?
Çözümü Göster
\( (19ab) \) yılında doğan kişinin \( (20aa) \) yılındaki yaşını bulalım.
\( (20aa) - (19ab) = 2000 + 10a + a - (1900 + 10a + b) \)
\( = 100 + a - b \)
\( (19ba) \) yılında doğan kişinin \( (20aa) \) yılındaki yaşını bulalım.
\( (20aa) - (19ba) = 2000 + 10a + a - (1900 + 10b + a) \)
\( = 100 + 10a - 10b \)
Bu iki kişinin \( (20aa) \) yılındaki yaşları toplamını bulalım.
\( (100 + a - b) + (100 + 10a - 10b) \)
\( = 200 + 11a - 11b \)
\( a \) ve \( b \) birer rakam olmak üzere, bu toplam en küçük değerini \( a = 0 \) ve \( b = 9 \) olduğunda alır.
Buna göre \( (19bb) = 1999 \) yılında doğan bir kişi \( (20aa) = 2000 \) yılında 1 yaşında olur.
SORU 31:
Bir baba bugün, oğlunun bugünkü yaşında olduğu zaman oğlunun olduğu yaşın 3 katı yaştadır. Baba ile oğlunun bugünkü yaşlarının toplamı 95 olduğuna göre, yaşlarının farkı kaçtır?
Çözümü Göster
Babanın bugünkü yaşına \( x \), oğlunun bugünkü yaşına \( y \) diyelim.
Baba \( x - y \) yıl önce oğlunun yaşındadır.
Oğlunun \( x - y \) yıl önceki yaşını bulalım.
\( y - (x - y) = 2y - x \)
Baba bugün bulduğumuz bu yaşın 3 katı yaştadır.
\( x = 3(2y - x) \)
\( x = 6y - 3x \)
\( 4x = 6y \)
\( x = \dfrac{3y}{2} \)
Baba ile oğlunun bugünkü yaşlarının toplamı 95'tir.
\( x + y = 95 \)
Denklemde \( x \) yerine \( \frac{3y}{2} \) yazalım.
\( \dfrac{3y}{2} + y = 95 \)
\( 5y = 190 \)
\( y = 38 \)
\( x + 38 = 95 \Longrightarrow x = 57 \)
Baba ile oğlunun yaşlarının farkını bulalım.
\( x - y = 57 - 38 = 19 \) bulunur.
SORU 32:
Beste'nin ikisi kendisinden küçük ikiz erkek, ikisi kendisinden büyük ikiz kız olmak üzere 4 kardeşi vardır.
Beste ve 4 kardeşinin yaşları çarpımı 720'dir. Beste'nin küçük ikiz kardeşleri ile arasındaki yaş farkı ikiz ablaları ile arasında yaş farkından büyük olduğuna göre, 5 kardeşin yaşları toplamı nedir?
Çözümü Göster
Beste'nin kendisinden küçük olan ikiz kardeşlerinin yaşına \( a \), kendi yaşına \( b \), kendisinden büyük olan ikiz kardeşlerinin yaşına \( c \) diyelim.
\( a \lt b \lt c \)
5 kardeşten 2'si \( a \), 1'i \( b \) ve 2'si \( c \) yaşındadır.
5 kardeşin yaşları çarpımı 720'dir.
\( a \cdot a \cdot b \cdot c \cdot c = 720 \)
\( a^2 \cdot b \cdot c^2 = 720 \)
720'yi asal çarpanlarına ayıralım.
\( a^2 \cdot b \cdot c^2 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 \)
Bu eşitliği ve \( a \lt b \lt c \) eşitsizliğini sağlayan \( a, b, c \) değerlerini bulalım.
Eşitlikte \( a \) ve \( c \)'nin kuvvetleri çift olduğu için kuvveti 1 olan 5 çarpanı her durumda \( b \)'nin bir çarpanı olmalıdır.
\( a \)'nın alabileceği değerler 5'ten küçük olacak şekilde \( 1 \), \( 2 \), \( 3 \) ya da \( 2^2 = 4 \) olabilir.
Durum 1: \( a = 1 \)
\( b \) ve \( c \) için olası değerler aşağıdaki gibi olur.
\( (a, b, c) = (1, 5, 2^2 \cdot 3) = (1, 5, 12) \)
Durum 2: \( a = 2 \)
\( b \) ve \( c \) için olası değerler aşağıdaki gibi olur.
\( (a, b, c) = (2, 5, 2 \cdot 3) = (2, 5, 6) \)
Durum 3: \( a = 3 \)
Bu durumda \( a \lt b \lt c \) koşulunu sağlayan bir \( (a, b, c) \) üçlüsü yoktur.
Durum 4: \( a = 4 \)
Bu durumda \( a \lt b \lt c \) koşulunu sağlayan bir \( (a, b, c) \) üçlüsü yoktur.
Buna göre sadece \( (1, 5, 12) \) ve \( (2, 5, 6) \) üçlüleri \( a \lt b \lt c \) koşulunu sağlar.
Soruda Beste'nin kendisinden küçük ikiz erkek kardeşleri ile arasındaki yaş farkının, kendisinden büyük ikiz ablaları ile arasındaki yaş farkından büyük olduğu bilgisi verilmiş.
Buna göre Beste'nin yaşı ablalarına daha yakın olmalıdır, dolayısıyla kardeşlerin yaşları \( (a, b, c) = (2, 5, 6) \) olur.
Kardeşlerin yaşları toplamını bulalım.
\( a + a + b + c + c = 2a + b + 2c \)
\( = 2(2) + 5 + 2(6) = 21 \) bulunur.
SORU 33:
Bir gezi grubundaki 16 öğrenciden 9 öğrencinin yaşları ardışık tek sayı, 8 öğrencinin yaşları aynıdır. Tüm öğrencilerin yaşlarının aritmetik ortalaması 19 olduğuna göre, yaşları aynı olan öğrencilerin yaşı kaçtır?
Çözümü Göster
9 öğrencinin yaşları ardışık tek sayı, 8 öğrencinin yaşları ise aynıdır. Grupta toplam 16 öğrenci bulunduğu için bu iki grupta bir öğrenci ortakdır, dolayısıyla yaşları aynı olan öğrencilerin yaşı da tek sayıdır.
Yaşları ardışık tek sayı olan öğrencilerden yaşı en küçük olan öğrencinin yaşına \( a \) diyelim.
Bu durumda bu 9 öğrencinin yaşları sırasıyla aşağıdaki gibi olur.
\( a , a + 2 , \ldots , a + 16 \)
Bu 9 öğrencinin yaşları toplamını ardışık sayıların toplam formülü ile bulalım.
\( \text{Terimler toplamı} = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \) \( \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)
\( = (a + a + 16) \cdot \dfrac{9}{2} = 9a + 72 \)
Yaşları aynı olan öğrencilerin yaşı ardışık tek sayı yaşlardan birine eşittir. \( k \in [0, 7] \) aralığında bir tam sayı olmak üzere bu öğrencilerin ortak yaşına \( a + 2k \) diyelim.
Bu durumda yaşları aynı olan öğrencilerin yaşlarının toplamı, iki gruba da dahil olan bir öğrenciyi hariç tutarsak \( 7(a + 2k) = 7a + 14k \) olur.
Tüm öğrencilerin yaş ortalaması 19'dur.
\( \dfrac{9a + 72 + 7a + 14k}{16} = 19 \)
\( 16a + 14k + 72 = 304 \)
\( 16a + 14k = 232 \)
\( 8a + 7k = 116 \)
\( k \) değişkenine \( [0, 7] \) aralığında tam sayı değerler verdiğimizde \( a \) için tam ve tek sayı değer sadece \( k = 4 \) olduğunda elde edilir.
\( 8a + 7(4) = 116 \)
\( 8a = 88 \)
\( a = 11 \)
Yaşları aynı olan öğrencilerin yaşını bulalım.
\( a + 2k = 11 + 2(4) = 19 \) bulunur.