Sayı ve kesir problemleri; verilen bir metni anlamamız, bir ya da daha fazla değişken tanımlamamız, bu değişkenler arasında verilen ilişkileri birer denkleme (ya da bazı durumlarda eşitsizliğe) dönüştürmemiz ve bu denklemleri çözmemiz beklenen en temel problemlerdir.
SORU 1:
Bir sayının 6 katının 5 eksiği aynı sayının 4 katının 7 fazlasına eşittir. Buna göre bu sayı kaçtır?
Doğan'ın oyuncak araba ve askerlerinin toplam sayısı 90'dır. Doğan oyuncak arabalarından ikisini kaybedince kalan arabaların sayısı askerlerin sayısının 3 katı oluyor.
Buna göre, Doğan'ın başlangıçta kaç oyuncak arabası vardır?
Kahve içmeye giden bir grup arkadaş gelen hesabı kişi sayısına böldüklerinde kişi başına 12 TL düşmektedir, ancak 4 kişinin yanında para olmadığı için kalanlar hesabı aralarında bölüşüyorlar.
Ödeme yapanlar ödemeleri gerekenden 6'şar TL fazla ödediklerine göre, bu grupta kaç kişi vardır?
Bir şirkette çalışan kadınların sayısı erkeklerin sayısından 6 fazladır. Kadın çalışanların yarısı, erkek çalışanların 3'te birinin 7 fazlası zam alacaktır.
Zam alacak olan toplam çalışan sayısı 30 olduğuna göre, şirkette kaç kadın çalışan vardır?
Ayşe bir kitabı her gün 25 sayfa okuyarak \( n \) günde bitirebiliyor. Ayşe bu kitabı 1. gün 1 sayfa, 2. gün 2 sayfa, 3. gün 3 sayfa şeklinde devam ederek okuduğunda ise \( n \) günde bitiriyor.
Ayşe her gün 25 sayfa okuyarak kitabı \( n \) günde bitiriyorsa kitap \( 25n \) sayfadır.
Ayşe aynı kitabı 1. gün 1 sayfa, 2. gün 2 sayfa şeklinde devam ederek \( n \) günde bitiriyorsa kitabın sayfa sayısı \( 1 + 2 + 3 + \ldots + n \) olur.
Bir düğündeki davetliler masalara dörderli oturduklarında 23 kişi ayakta kalıyor. Davetliler masalara beşerli otursalardı 2 masa boş kalacak ve bir masada 4 kişi oturacaktı.
Davetlilier masalara dörderli oturduklarında \( x \) masada toplam \( 4x \) kişi oturur, ayaktaki 23 kişi ile birlikte toplam davetli sayısı \( 4x + 23 \) olur.
Davetlilier masalara beşerli oturduklarında \( x - 3 \) tam dolu masada toplam \( 5(x - 3) \) kişi ve tam dolmayan 1 masada 4 kişi oturur, bu durumda toplam davetli sayısı \( 5(x - 3) + 4 \) kişi olur.
Davetli sayısı her iki durumda birbirine eşittir.
\( 4x + 23 = 5(x - 3) + 4 \)
\( 4x + 23 = 5x - 15 + 4 \)
\( x = 34 \)
Bulduğumuz \( x \) değerini davetli sayısı ifadelerinden birinde yerine koyup toplam davetli sayısını bulalım.
Sercan'ın odasındaki kavanozda 25 kuruşluk, 50 kuruşluk ve 1 TL'lik madeni paralardan oluşan 320 TL vardır. 25 kuruşların toplam değeri, 50 kuruş ve 1 TL'lerin toplam değerine eşittir. 1 TL'lerin sayısı ise 50 kuruşların sayısının yarısıdır.
Öğrenci 63 puan aldığına göre \( \frac{63}{2} = 31,5 \) neti vardır.
Boş soru sayısı 6 olduğuna göre cevaplanan soru sayısı \( 50 - 6 = 44 \)'tür.
Öğrencinin yanlış cevapladığı soru sayısına \( 4x \) diyelim.
Cevaplanan 44 sorudan \( 4x \) soru yanlış ise yanlışlar \( \frac{4x}{4} = x \) tane doğruyu götürür, sonuç olarak net sayısı \( 44 - 4x - x = 44 - 5x \) olur.
\( 44 - 5x = 31,5 \)
\( 5x = 12,5 \)
\( x = 2,5 \)
Buna göre yanlış cevap sayısı \( 4x = 4(2,5) = 10 \) olarak bulunur.
İnerken ise 2., 4., 6., ... , 42. basamaklara, yani \( \frac{42}{2} = 21 \) basamağa basmıştır.
Hande'nin hem inerken hem çıkarken bastığı basamaklar 6'nın katı olanlardır, buna göre 6., 12., 18., ... , 42. basamaklara, yani \( \frac{42}{6} = 7 \) basamağa hem inerken hem çıkarken basmıştır.
Bu durumda Hande 7 basamağa hem inerken hem çıkarken bastığı için toplamda \( 14 + 21 - 7 = 28 \) farklı basamağa basmıştır.
Buna göre \( 42 - 28 = 14 \) basamağa hiç ayak basmamıştır.
3. bardak tam dolduktan sonra tüm bardaklardaki portakal suyu miktarı eşit oluyorsa toplam portakal suyu miktarına \( 3x \) diyebiliriz.
Tüm portakal suyu başlangıçta 1. bardağı tamamen doldurduğuna göre 1. bardağın hacmi \( 3x \) olur.
İkinci adımda 2. bardak tam doluyken 3. bardağa \( x \) kadar portakal suyu aktarıldıktan sonra 2. bardakta \( x \) kadar portakal suyu kaldığına göre, 2. bardağın hacmi \( 2x \) olur.
Bu durumda bardakların toplam hacmi \( x + 2x + 3x = 6x \), dolayısıyla 3. bardağın hacminin 6 katı olur.
Bir okul 2 yılda bir düzenlenen satranç turnuvasına 2020 ve 2022 yıllarında 4 kişilik bir takım gönderiyor. 2022 yılındaki takım, mezun olan bir oyuncunun yerine gelen yeni bir oyuncu dışında 2020 yılındaki takımla aynıdır.
Bu iki takımın yaş ortalamaları aynı olduğuna göre, mezun olan oyuncu ile yeni oyuncunun yaş farkı kaçtır?
Bir kırtasiye haftanın ilk günü elindeki defterlerin \( \frac{1}{8} \)'ini, ikinci günü kalan defterlerin \( \frac{4}{7} \)'sini satmıştır. Geriye kalan defterleri ise üçüncü gün satmıştır. Üçüncü gün defterlerden kazandığı para 330 TL ise sattığı tüm defterlerden toplam kaç TL para kazanmıştır?
Telin uzunluğuna bölme kolaylığı açısından \( 40x \) cm diyelim.
Telin önce sol ucundan \( 40x \cdot \frac{1}{4} = 10x \) cm kesiliyor. Bu işlem sonucunda telin uzunluğu \( 40x - 10x = 30x \) cm olur.
Daha sonra kalan telin sağ ucundan \( 30x \cdot \frac{1}{5} = 6x \) cm kesiliyor.
Telin orta noktası sol ucundan \( 10x \) cm kesilince sağ tarafa \( \frac{10x}{2} = 5x \) cm, sağ ucundan \( 6x \) cm kesilince sol tarafa \( \frac{6x}{2} = 3x \) cm kayar.
Sonuç olarak telin orta noktası \( 5x - 3x = 2x \) kadar sağ tarafa kayar.
\( 2x = 8 \)
\( x = 4 \)
Telin başlangıçtaki uzunluğu \( 40x = 40 \cdot 4 = 160 \) cm olarak bulunur.
Bir okulda bağış toplama etkinliği yapılıyor. Bu okuldan mezun olan 24 öğrenci okula eşit miktarlarda bağış yapmak istiyor. Etkinlikte öğretmenler mezunların yapacağı toplam bağışın \( \frac{5}{3} \) katı, bir veli de öğretmenlerin yapacağı toplam bağışın \( \frac{7}{5} \) katı bağış yapacağını açıklıyor.
Toplanmak istenen bağış tutarı 228.000 TL olduğuna göre, her bir mezun kaç TL bağış yapmalıdır?
Her bir mezunun yapacağı bağış miktarına \( x \) diyelim.
24 mezunun her biri \( x \) TL bağış yaparsa tüm mezunlar toplamda \( 24x \) TL bağış yapar.
Öğretmenler mezunların \( \frac{5}{3} \) katı bağış yapacağına göre, toplam \( 24x \cdot \frac{5}{3} = 40x \) TL bağış yapar.
Bir veli öğretmenlerin yapacağı bağış miktarının \( \frac{7}{5} \) katı bağış yapacağına göre, toplam \( 40x \cdot \frac{7}{5} = 56x \) TL bağış yapar.
Toplam bağış miktarını bulalım.
\( 24x + 40x + 56x = 228000 \)
\( 120x = 228000 \)
\( x = 1900 \)
Hedeflenen tutarın toplanabilmesi için 24 mezunun her biri 1900 TL bağış yapmalıdır.
En çok oyuncunun belirli bir puanı alması için, diğer puanları en az sayıda, yani dörder oyuncu almalıdır.
5 farklı puandan herhangi birini (örneğin 15) en çok oyuncunun aldığı puan olarak seçelim ve diğer 4 puanın her birini dörder oyuncunun aldığını varsayalım.
Buna göre toplamda \( 4 \cdot 4 = 16 \) oyuncu diğer dört puanı almış olur.
Bu durumda seçtiğimiz puanı alan oyuncu sayısı en çok \( 100 - 16 = 84 \) olabilir.
Ayaz, Bade ve Ceyda birlikte yemek yiyorlar. Hesap geldiğinde Ayaz ve Bade ayrı ayrı \( x \) TL, Ceyda ise Ayaz ve Bade'nin ödediğinden daha fazla olmak üzere \( y \) TL ödüyor.
Sonrasında hesabı eşit paylaşmaya karar verdiklerine göre, Ayaz Ceyda'ya ödemesi gereken tutar \( x \) ve \( y \) cinsinden nedir?
Ahu, Beril, Cemil ve Deren gittikleri restoranda 270 liralık hesabı bölüşüyorlar.
Beril diğerlerinin ödediği tutarın \( \frac{1}{5} \)'ini, Cemil diğerlerinin ödediği tutarın \( \frac{1}{2} \)'sini, Deren ise diğerlerinin ödediği tutarın \( \frac{1}{4} \)'ünü ödediğine göre, Ahu ne kadar ödemiştir?
Efe, Ata, Berke ve Ceren birlikte misket oyunu oynayacaklardır.
Efe'nin hiç misketi olmadığından Ata kendi misketlerinin \( \frac{1}{3} \)'ünü, Berke \( \frac{3}{8} \)'ini, Ceren de \( \frac{2}{7} \)'sini Efe'ye veriyor.
3 arkadaşın Efe'ye verdiği misket sayıları birbirine eşit olduğuna göre, son durumda Efe'nin misketlerinin sayısının toplam misket sayısına oranı kaç olur?
Tamamen su dolu olan bir varilin toplam ağırlığı \( x \) kg'dır. İçindeki suyun \( \frac{2}{3} \)'ü kullanıldığında varilin toplam ağırlığı \( y \) kg olmaktadır.
Buna göre boş varilin ağırlığı \( x \) ve \( y \) cinsinden nedir?
Bir yemekhane sırasındaki öğrencilerden Emre baştan \( a \)., Sıla sondan \( (a + 7) \). sırada yer almaktadır. Emre ile Sıla arasında 11 öğrenci vardır.
Emre Sıla'dan daha önde olduğuna ve sırada toplam 56 öğrenci bulunduğuna göre, Emre sondan kaçıncı sıradadır?
(a) En az bir siyah top çektiğimizden emin olmak için siyah toptan önce diğer renklerdeki tüm topları çekeceğimiz en kötü senaryo varsayılmalıdır. Buna göre ilk 9 çekilişte 3 mor ve 6 sarı topu çektikten sonra çekeceğimiz topun kesinlikle siyah olacağından emin olabiliriz.
Buna göre en az bir siyah top çektiğimizden emin olmak için en az \( 3 + 6 + 1 = 10 \) top çekilmelidir.
(b) Her renkten en az bir top çektiğimizden emin olmak için önce en çok sayıda top olan renkleri çekeceğimizi varsaymamız gerekir. Buna göre ilk 10 çekilişte 10 siyah top, sonraki 6 çekilişte 6 sarı top çektikten sonra çekeceğimiz topun mor olacağından ve tüm renklerden en az bir top çektiğimizden emin olabiliriz.
Buna göre her renkten en az bir top çektiğimizden emin olmak için en az \( 10 + 6 + 1 = 17 \) top çekilmelidir.
Başlangıçta her birinde 300'er adet misket olan 5 arkadaş bir oyun oynayacaktır. Bu oyuna göre her turda herkes birbirine belli miktarda misket verecek ve ilk kişinin misketi bittiği turda en fazla miskete sahip olan kişi oyunu kazanacaktır.
Her turda verilecek misket sayıları aşağıda verilmiştir.
1. kişi 2. kişiye her tur 15 misket,
3. kişi 1. kişiye her tur 14 misket,
2. kişi 5. kişiye her tur 21 misket,
4. kişi 1. kişiye her tur 25 misket,
5. kişi 3. kişiye her tur 29 misket,
2. kişi 4. kişiye her tur 24 misket,
5. kişi 4. kişiye her tur 18 misket verecektir.
Buna göre oyunun kaç turda bittiğini ve oyunu kazanan kişiyi bulunuz.
Bir kişinin misketinin bitmesi için oynanması gereken tur sayısına \( k \) diyelim ve \( k \) tur sonunda herkesin elinde kalan misket sayısını bulalım.
1. kişinin \( k \) tur sonunda elinde kalan misket sayısı:
\( = 300 + 14k + 25k - 15k = 300 + 24k \)
2. kişinin \( k \) tur sonunda elinde kalan misket sayısı:
\( = 300 + 15k - 21k - 24k = 300 - 30k \)
3. kişinin \( k \) tur sonunda elinde kalan misket sayısı:
\( = 300 + 29k - 14k = 300 + 15k \)
4. kişinin \( k \) tur sonunda elinde kalan misket sayısı:
\( = 300 + 24k + 18k - 25k = 300 + 17k \)
5. kişinin \( k \) tur sonunda elinde kalan misket sayısı:
\( = 300 + 21k - 29k - 18k = 300 - 26k \)
\( k \) tur sonunda misketi biten ilk kişi, her turda misket sayısı en çok azalan 2. kişi olur.
\( k \) tur sonunda oyunu kazanan kişi, her turda misket sayısı en çok artan 1. kişi olur.
2. kişinin misketlerinin bittiği tur sayısını bulalım.
\( 300 - 30k = 0 \)
\( k = 10 \)
Buna göre oyun 10 turda bitmiştir ve oyunu 1. kişi kazanmıştır.
Her bir mumun boyuna işlem kolaylığı açısından \( 28x \) cm diyelim (sayının hem 4'e hem 7'ye tam bölünmesi için).
7 saatte tamamen yanan mum saatte \( 4x \) cm, 4 saatte tamamen yanan mum saatte \( 7x \) cm yanar.
Mumlardan birinin boyunun diğerinin üç katı olduğu süreye \( t \) diyelim. 4 saatte tamamen yanan mum daha hızlı yandığı için boyu diğerinin 3 katı olan mum 7 saatte yanandır.
Mumlar yakıldıktan \( t \) saat sonraki mumların boyları arasındaki ilişkiyi yazalım.
Saatleri yanlış ayarlanmış olan Ada, Beril, Cem ve Derya gün içinde süreleri aynı olan 3 toplantıya girecektir.
Bu 4 arkadaş iş yerine geldiklerinde elektronik saat 10:00'ı gösterirken Ada'nın saati 10:05'i, Beril'in saati 09:57'yi, Cem'in saati 10:02'yi ve Derya'nın saati 09:58'i gösteriyor.
İlk toplantı Cem'in saatine göre 11:03'te başlıyor ve Ada'nın saatine göre 12:28'de bitiyor.
Son toplantı Derya'nın saatine 15:40'ta başladığına göre Beril'in saatine göre kaçta biter?
Ali gece yarısı saat 00:00'da, doğru olduğunu bildiği cep telefonunun saatine göre kol saatini ayarlıyor, gece uyandığında cep telefonu 02:30'u gösterirken kol saatinin 02:39'u gösterdiğini görüyor.
Ali sabah uyandığında kol saati 08:50'yi gösteriyorsa saat gerçekte kaçtır?
Ceren bir sayıya 3 ekleyip \( \frac{2}{5} \) ile çarpması gerekirken, sayıdan 3 çıkarıp \( \frac{2}{5} \)'e bölmüştür. Bulduğu sayı bulması gereken sayının 5 katı ise başlangıçtaki sayı kaçtır?
10'dan 19'a kadar olan sayılarda onlar basamağında 10 tane, birler basamağında 5 tane olmak üzere toplam 15 tane tek rakam vardır.
20'den 29'a kadar olan sayılarda tümü birler basamağında olmak üzere toplam 5 tane tek rakam vardır.
30'dan 39'a kadar olan sayılarda onlar basamağında 10 tane, birler basamağında 5 tane olmak üzere toplam 15 tane tek rakam vardır.
\( \vdots \)
90'dan 99'a kadar olan sayılarda onlar basamağında 10 tane, birler basamağında 5 tane olmak üzere toplam 15 tane tek rakam vardır.
Buna göre 1, 3, 5, 7 ve 9 ile başlayan iki basamaklı sayılarda 15'er adet tek rakam, 2, 4, 6 ve 8 ile başlayan iki basamaklı sayılarda ise 5'er adet tek rakam kullanılır.
Toplam tek rakam sayısı \( 5 \cdot 15 + 4 \cdot 5 = 95 \) olarak bulunur.
Fahrenheit (F) ve derece (C) cinsinden sıcaklıklar arasında aşağıdaki ilişki vardır.
\( F = \dfrac{9}{5}C + 32 \)
Hissedilen sıcaklığın gerçek sıcaklıktan 5°C yüksek olduğu bir günde hissedilen sıcaklıkla gerçek sıcaklığın toplamı 145 Fahrenheit olduğuna göre, bu günde hissedilen sıcaklık kaç °C'dir?
Fatih elindeki parayı yaşları birbirinden farklı 5 yeğenine dağıtmak istiyor.
İlk olarak elindeki paranın yarısına 800 TL ekleyerek bu parayı en büyük yeğenine veriyor. Daha sonra aynı işlemi her bir yeğeni için uygulayarak elindeki tüm parayı yeğenlerine dağıtıyor.
Buna göre Fatih ortanca yeğenine kaç lira vermiştir?
Soruda en hafif filin tek olduğu bilgisi verilmediği için en hafif fille aynı kiloda başka filler de olduğunu düşünebiliriz.
Fil sayısının en büyük değerini bulmak için en ağır fil dışındaki filleri en hafif kiloda almalıyız.
Toplam fil sayısına \( n \) diyelim.
\( 6450 + 4850(n - 1) = 84000 \)
\( 6450 + 4850n - 4850 = 84000 \)
\( 4850n = 82400 \)
\( n = \dfrac{82400}{4850} \approxeq 16,98 \)
Buna göre \( n \) sayısının alabileceği en büyük değer 16 olur. Fil sayısının 17 olması durumunda en ağır fil dışındaki tüm filler en hafif fille aynı ağırlıkta olsa bile geminin yük kapasitesi aşılacaktır.
Kare şeklindeki bir zemin özdeş kare fayanslarla kaplanacaktır.
Karenin en dıştaki kenarları ve köşegenleri döşenirken 81 tane fayans kullanıldığına göre, zeminin tamamen kaplanması için kaç tane daha fayansa ihtiyaç vardır?
Karenin bir kenarında kullanılan fayans sayısına \( x \) diyelim.
Kenarların köşeleri ortak olduğundan diğer kenarlara sırayla \( x - 1, x - 1, x - 2 \) tane fayans döşenir.
Buna göre, en dış kenarlara toplam \( 4x - 4 \) tane fayans döşenmiştir.
Köşegenlerlere döşenen fayans sayısı \( x \)'in tek ya da çift olmasına göre iki şekilde olabilir.
Kenarlar döşendikten sonra iki köşegene döşenen fayans sayısı:
\( = \begin{cases}
2(x - 2) & x \text{ çift ise} \\
2(x - 2) - 1 & x \text{ tek ise}
\end{cases} \)
Not: Bu denklemler 3x3 ve 4x4 karelerde değer verilerek kontrol edilebilir. \( x \)'in tek olduğu durumda 1 çıkarmamızın sebebi karenin en ortasında iki köşegenin kesişiminde bir fayansın ortak olmasıdır.
\( x \) çift sayı ise toplam döşenen fayans sayısı \( 4x - 4 + 2(x - 2) = 6x - 8 \) olur.
\( 6x - 8 = 81 \)
\( 6x = 89 \)
\( x \) tam sayı çıkmadığı için \( x \) çift sayı olamaz.
\( x \) tek sayı ise toplam döşenen fayans sayısı \( 4x - 4 + 2(x - 2) - 1 = 6x - 9 \) olur.
\( 6x - 9 = 81 \)
\( x = 15 \)
\( x \) tam ve tek sayı çıktığından \( x = 15 \) doğru cevaptır.
Buna göre daha döşenmesi gereken fayans sayısı \( 15^2 - 81 = 144 \) olarak bulunur.
3 aşamadan oluşan bir yarışmada 2. aşamada elenen yarışmacılara 10'ar altın, 3. aşamada elenen yarışmacılara 15'er altın, tüm aşamaları başarıyla tamamlayan yarışmacılara 30'ar altın verilirken 1. aşamada elenen yarışmacılara ödül verilmemektedir.
Yarışmacıların \( \% 20\)'si ilk aşamada elenmiş, \( \%30 \)'u 2. aşamayı geçmiş, \( \%10 \)'u ise 3. aşamayı tamamlayarak büyük ödülü kazanmıştır. Buna göre tüm yarışmada yarışmacı başına düşen ortalama altın sayısı kaçtır?
3. aşamayı geçen yarışmacılar aynı zamanda 1 ve 2. aşamaları, 2. aşamayı geçen yarışmacılar da aynı zamanda 1. aşamayı geçmiştir. Bu yarışmacılar aşamayı geçen yarışmacı sayısına dahil edilirken o aşamanın sonucunda dağıtılan ödüle dahil edilmezler.
Toplam yarışmacı sayısına işlem kolaylığı açısından \( 100x \) diyelim.
Özetlemek gerekirse, 1. aşamada elenen yarışmacılar ödül kazanmazken, 2. aşamada elenen yarışmacılar 10 altın, 3. aşamada elenen yarışmacılar 15 altın, 3. aşamayı tamamlayan yarışmacılar ise 30 altın kazanmaktadır.
\( 20x \) yarışmacı 1. aşamada eleniyor ve bir ödül kazanamıyor.
\( 10x \) yarışmacı 3. aşamayı tamamlayarak 30 altın kazanıyor.
Buna göre 2. aşamayı geçen \( 30x \) yarışmacıdan \( 30x - 10x = 20x \)'i 3. aşamada elendiği için 20 altın kazanır.
Geriye kalan \( 100x - 20x - 20x - 10x = 50x \) yarışmacı ise 2. aşamada elenen ve 10 altın kazanan yarışmacılardır.
