Permütasyon Yöntemleri
Karşılaşacağımız permütasyon problemlerinin çoğunda farklı dizilişleri hesaplarken dikkate almamız gereken ek koşullar verildiğini göreceğiz. Bunlara örnek olarak oluşturacağımız sayının tek ya da çift olması, belirli bir sayıdan büyük olması, dizdiğimiz nesnelerden bazılarının yan yana olması, bazı nesnelerin dizilişte aynı anda yer almaması, belirli bir oturma düzeninde iki kişinin arasına bir kişinin oturması, fotoğraf çektiren öğrencilerin bir kız bir erkek öğrenci şeklinde dizilmeleri gibi koşullar sayabiliriz.
Sayma bölümünde gördüğümüz toplama ve çarpma kurallarını bu permütasyon problemlerine doğru şekilde uygulayabilmemiz için elemanları kutulara hangi sırada yerleştirdiğimiz ve her kutuda arasından seçim yapacağımız seçenek sayısını doğru belirlememiz önem taşımaktadır. Aşağıda bu konuda karşımıza çıkabilecek dört farklı durumu inceleyeceğiz.
Durum 1: Kutuların Değer Kümeleri Eşit
Seçenek kümeleri eşit olan kutularda elemanları yerleştirmeye dilediğimiz kutudan başlayarak \( n \) elemandan herhangi birini yerleştiririz. Bir elemanı 1. kutuda kullandıktan sonra 2. kutu için elimizde \( n - 1 \) farklı seçenek kalır. İşleme bu şekilde her kutuda seçenek sayısını bir eksilterek devam ederiz.
\( A = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \) kümesinin elemanlarıyla 4 basamaklı kaç sayı oluşturulabilir?
Kutuların seçenek kümelerinin eşit olduğu durumda küme elemanlarını kutulara sırayla ve birer eksilterek yerleştirerek \( P(5, 4) \) farklı diziliş elde ederiz.
Durum 2: Kutuların Değer Kümeleri Ayrık
İki kutunun değer kümeleri ayrık kümeler ise bir kutu için yapacağımız seçim diğer kutunun seçim sayısını etkilemez, dolayısıyla bir kutuya vereceğimiz değer için diğer kutunun seçenek sayısını bir eksiltmemize gerek kalmaz. Bu kutular arasında elemanları hangi sırada yerleştirdiğimizin de bir önemi yoktur.
Melis tatilde çektiği 10 resmi çerçeveletip ailesiyle birlikte olduğu 3 resimden biri ortada, tek başına olduğu 7 resimden ikisi de bu resmin solunda ve sağında olacak şekilde masasına koymak istiyor. Melis bu çerçeveleri masasına kaç farklı şekilde dizebilir?
Ortadaki kutu ile soldaki/sağdaki kutuların seçenek kümeleri ayrık kümelerdir ve bu kutular için yapacağımız seçimler birbirini etkilemez. Ortadaki kutuya 3 resim seçeneğinden birini yerleştiririz. Soldaki ve sağdaki kutulara da normal permütasyon yöntemini uygulayarak seçenekleri birer eksilterek yerleştiririz. Dolayısıyla farklı diziliş sayısı \( 7 \cdot 3 \cdot 6 = 126 \) olur.
Durum 3: Bir Kutunun Değer Kümesi Diğerinin Alt Kümesi
Bir kutunun değer kümesi diğer bir kutunun alt kümesi olduğu durumda elemanları kutulara yerleştirme işlemine alt küme olan kutudan başlamamız gerekir, bunun sebebi alt kümeden hangi elemanı seçersek seçelim üst kümedeki seçenek sayısını yine bir eksiltecek olmamızdır. İlk adımda üst kümeden bir eleman seçmemiz durumunda ise seçeceğimiz değere göre alt kümeden seçebileceğimiz değer sayısı değişebilecektir.
\( A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \} \) kümesinin elemanlarıyla 4 basamaklı kaç çift sayı oluşturulabilir?
1., 2. ve 3. kutuların değer kümesi \( A \) kümesine eşitken 4. kutunun değer kümesi sadece çift sayılardan oluşmaktadır. 4. kutunun değer kümesi diğer kümelerin bir alt kümesi olduğu için ilk adımda 4. kutu için bir değer seçmemiz gerekir. Bu durumda 4. kutu için seçeceğimiz değer diğer kutulardaki seçenek sayısını etkilemeyecektir.
Durum 4: Kutuların Hem Ortak Hem Farklı Seçenekleri Var
İki kutunun hem ortak hem de farklı elemanları varsa bir kutu için seçeceğimiz değer diğer kutunun değer kümesini etkileyebilecektir, dolayısıyla problemi iki parçaya bölerek ve toplama kuralını kullanarak ilerlememiz gerekir.
Öncelikle bu iki kutudan dilediğimiz birini seçerek problemi (1) iki kutunun ortak elemanlarını ve (2) seçtiğimiz kutunun diğer kutudan farklı elemanlarını içerecek şekilde problemi ikiye böleriz. Problemi seçtiğimiz bu kutunun elemanlarına göre ayrık iki kümeye ayırdığımız için bu iki adımda elde edeceğimiz sonuçları toplama kuralıyla toplayarak toplam diziliş sayısına ulaşabiliriz.
\( A = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \) kümesinin elemanlarıyla 4 basamaklı kaç çift sayı oluşturulabilir?
Bu problemin öncekinden farkı verilen kümede "0" değerinin de olmasıdır. 1. kutunun seçenek kümesi \( \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \), 2. ve 3. kutunun seçenek kümesi \( A \) kümesinin tüm elemanları, 4. kutunun seçenek kümesi ise çift rakamlar, yani \( \{ 0, 2, 4, 6 \} \)'dır.
1. ve 4. kutuların hem ortak elemanları, hem de birbirinden farklı elemanları olduğunu görüyoruz. Problemi 4. kutu üzerinden ikiye bölelim.
Birinci adımda 4. kutunun 1. kutuda da bulunan elemanlarını dikkate alırız (2, 4, 6). Bu alt problem için 4. kutu 1. kutunun bir alt kümesi olduğu için elemanları 4. kutudan başlayarak kutulara dağıtırız. Sonuç olarak bu alt problem için 300 farklı sayı yazabileceğimizi görüyoruz.
İkinci adımda 4. kutunun 1. kutuda da bulunmayan elemanlarını dikkate alırız. İki kutunun seçenek kümeleri ayrık olduğu için birinde yapacağımız seçim için diğer kutudaki seçenek sayısını azaltmamıza gerek kalmaz. Bu şekilde ikinci kutu için farklı durum sayısını 120 olarak hesaplarız.
Sorunun cevabı bu iki durumun toplamı olacağı için cevabı 420 olarak buluruz.