Bu tip permütasyon problemlerinde bir gruptaki kişileri belirtilen koşulları sağlayacak şekilde kaç farklı oturma düzeni oluşturabileceğimizi hesaplamamız istenir.
SORU:
3 kız ve 4 erkek öğrenci bir sırada oturacaklardır. Aşağıdaki her bir düzene göre kaç farklı şekilde oturabilirler?
Karışık şekilde
Kızlar yan yana olacak şekilde
Bir erkek bir kız oturacak şekilde
Çözümü Göster
Karışık şekilde:
Önceki tekrarsız diziliş sorularına benzer şekilde 7 öğrenci \( 7! \) farklı şekilde oturabilirler.
Kızlar yan yana olacak şekilde:
Önce kızları tek bir grup olarak düşünerek 1 kız ve 4 erkek öğrencinin farklı dizilişini \( 5! \) olarak buluruz. Yan yana oturan kızların kendi aralarındaki farklı dizilişleri \( 3! \) olduğu için toplamda oluşan farklı oturma düzeni \( 5! \cdot 3! \) olur.
Bir kız bir erkek oturacak şekilde:
Grupta 4 erkek ve 3 kız öğrenci olduğu için, bir erkek bir kız oturabilmeleri için sıranın iki ucunda birer erkek öğrenci olması gerekir. Buna göre, 1. sıraya 4 erkek öğrenciden biri oturabilir, 2. sıraya 3 kız öğrenciden biri oturabilir. Sonraki sıralara sırasıyla bir erkek öğrenci bir kız öğrenci seçenek sayıları birer azalarak oturabilirler. Her kutu için seçenek sayılarını çarpma kuralı ile çarparak toplam oturma düzeni sayısını \( 144 \) olarak buluruz.
SORU:
2 doktor, 4 mühendis ve 5 öğretmen, aynı meslekten olanlar yanyana olmak koşuluyla bir sırada kaç farklı şekilde oturabilirler?
Çözümü Göster
Her meslek grubunu birer grup olarak düşünürsek, gruplar \( 3! \) farklı şekilde sıralanabilirler. Her meslek grubu da kendi içinde sırasıyla \( 2! \), \( 4! \) ve \( 5! \) farklı şekilde sıralanabilirler. Toplam farklı oturma düzeni sayısı buna göre \( 3! \cdot 2! \cdot 4! \cdot 5! \) olur.
SORU:
Bir anne ve baba ve 4 çocuğu birlikte fotoğraf çektireceklerdir. Aşağıdaki her bir düzene göre kaç farklı şekilde dizilebilirler?
Anne ve baba sıranın iki ucunda ayrı ayrı
Anne ve baba sıranın başında ya da sonunda, yan yana
Anne ve baba yan yana
Anne ve babanın arasında en az bir çocuk
Anne ve babanın arasında tek çocuk
Çözümü Göster
Anne ve baba sıranın iki ucunda ayrı ayrı:
Anne ve babanın arasında olacak çocuklar \( 4! \) farklı şekilde dizilebilirler. Anne ve baba da aralarında \( 2! \) farklı şekilde dizilebilirler (anne sol başta, baba sağ başta, ya da tersi). Buna göre toplam farklı diziliş sayısı \( 4! \cdot 2! \) olacaktır.
Anne ve baba sıranın başında ya da sonunda, yan yana:
Çocuklar yine \( 4! \) farklı şekilde dizilebilirler. Anne ve baba sol başta \( 2! \) ya da sağ başta \( 2! \) farklı şekilde dizilebilirler. Buna göre toplam farklı diziliş sayısı \( 4! \cdot 2! \cdot 2 \) olacaktır.
Anne ve baba yan yana:
Bu durumda anne/baba birlikte olmak koşuluyla çocuklarla karışık dizilebilirler. Anne ve babayı tek bir kişi olarak düşünürsek tüm aile \( 5! \) farklı şekilde dizilebilir. Anne ve baba da kendi aralarındaki \( 2! \) farklı şekilde dizilebileceği için toplam farklı diziliş sayısı \( 5! \cdot 2! \) olacaktır.
Anne ve babanın arasında en az bir çocuk:
İstenen diziliş sayısını çıkarma kuralı ile tüm dizilişlerden anne ve babanın yan yana olduğu dizilişleri çıkararak bulabiliriz. Hiçbir koşul olmadan tüm farklı dizilişler \( 6! \) kadardır. Anne ve babanın yan yana olduğu dizilişleri de önceki soruda \( 5! \cdot 2! \) olarak hesaplamıştık, buna göre istenen diziliş sayısı \( 6! - 5! \cdot 2! \) olmaktadır.
Anne ve babanın arasında tek çocuk:
Bu soruda anne, baba ve bir çocuğu tek bir grup olarak düşünebiliriz. Öncelikle anne ve babanın arasında olacak çocuğu 4 çocuk arasından kombinasyon kullanarak \( C(4, 1) \) farklı şekilde seçebiliriz. Diğer 3 çocuk ve anne/baba/1 çocuktan oluşan 3'lü grup \( 4! \) farklı şekilde dizilebilirler. Anne babanın kendi aralarındaki farklı diziliş sayısı da \( 2! \) kadardır. Buna göre toplam farklı diziliş sayısı \( C(4, 1) \cdot 4! \cdot 2! \) olmaktadır.
SORU:
Karşılıklı üçer kişinin oturabildiği pencere kenarındaki dikdörtgen bir yemek masasına anne, baba ve dört çocuktan oluşan bir aile oturacaktır.
Buna göre aile masaya kaç farklı şekilde oturabilir?
Çözümü Göster
Pencere dikdörtgen masanın iki tarafını birbirinden ayırdetmemizi sağlayan bir referans noktası olduğu için bu masayı doğrusal bir oturma düzeni olarak düşünebiliriz.
Buna göre 6 kişi masaya \( 6! \) farklı şekilde oturulabilir.
SORU:
Anne ve baba yan yana olacak şekilde kaç farklı oturma düzeni vardır?
Çözümü Göster
Anne/baba yan yana olacak şekilde masanın her tarafına iki farklı şekilde olmak üzere iki tarafına 4 farklı şekilde oturabilir ve her oturma düzeninde aralarında \( 2! \) farklı şekilde yer değiştirebilirler.
4 çocuk kalan yerlere \( 4! \) farklı şekilde oturabilir.
Buna göre aile masaya \( 4 \cdot 2! \cdot 4! \) farklı şekilde oturulabilir.
SORU:
Anne ve baba karşı karşıya gelecek şekilde kaç farklı oturma düzeni vardır?
Çözümü Göster
Karşılıklı üçer sandalye olduğu için anne/baba bu sandalyelere 3 farklı şekilde oturabilir ve her oturma düzeninde aralarında \( 2! \) farklı şekilde yer değiştirebilirler.
4 çocuk kalan yerlere \( 4! \) farklı şekilde oturabilir.
Buna göre aile masaya \( 3 \cdot 2! \cdot 4! \) farklı şekilde oturulabilir.
SORU:
Anne ve babanın arasına bir kişi gelecek şekilde kaç farklı oturma düzeni vardır?
Çözümü Göster
Aralarına bir çocuk alacakları için anne/babanın masanın herhangi bir tarafında uçlarda oturması gerekecektir. Buna göre anne/baba masanın 2 tarafından birini seçebilir ve her oturma düzeninde aralarında \( 2! \) farklı şekilde yer değiştirebilirler.
4 çocuk kalan yerlere \( 4! \) farklı şekilde oturabilir.
Buna göre aile masaya \( 2 \cdot 2! \cdot 4! \) farklı şekilde oturulabilir.
SORU:
Anne ve babanın arasına en küçük çocuk gelecek şekilde kaç farklı oturma düzeni vardır?
Çözümü Göster
Aralarına bir çocuk alacakları için anne/babanın masanın herhangi tarafında uçlarda oturması gerekecektir. Buna göre anne/baba masanın 2 tarafından birini seçebilir ve her oturma düzeninde aralarında \( 2! \) farklı şekilde yer değiştirebilirler.
En küçük çocuk anne/baba arasına oturacağı için bu çocuk için tek bir oturma düzeni vardır.
Kalan 3 çocuk masanın karşısına \( 3! \) farklı şekilde oturabilir.
Buna göre aile masaya \( 2 \cdot 2! \cdot 3! \) farklı şekilde oturulabilir.
SORU:
Çocuklar yan yana gelmeyecek şekilde kaç farklı oturma düzeni vardır?
Çözümü Göster
Çocukların yan yana gelmemesi için anne/babanın masanın iki tarafından birinde ortada oturması gerekecektir. Buna göre anne/baba masanın 2 tarafından birini seçebilir ve her oturma düzeninde aralarında \( 2! \) farklı şekilde yer değiştirebilirler.
4 çocuk kalan yerlere \( 4! \) farklı şekilde oturabilir.
Buna göre aile masaya \( 2 \cdot 4! \) farklı şekilde oturulabilir.
