Bu tip permütasyon problemlerinde harflerden oluşan bir kümenin elemanlarını kullanarak belirtilen koşulları sağlayan kaç farklı kelime oluşturabileceğimizi hesaplamamız istenir.
SORU:
KİTAP kelimesinin harfleriyle anlamlı ya da anlamsız 5 harfli kaç kelime yazılabilir?
Çözümü Göster
Soruda KİTAP kelimesinin harfleri dendiği için, her harften elimizde birer tane olduğunu ve bu harfleri tekrarlı kullanamayacağımızı varsayabiliriz. Elimizdeki 5 farklı harfi kullanarak, tekrarsız bir şekilde yazabileceğimiz kelime sayısını aşağıdaki şekilde hesaplayabiliriz.
SORU:
KİTAP kelimesinin harfleriyle anlamlı ya da anlamsız kaç kelime yazılabilir?
Çözümü Göster
Bu soruda 5 harfli koşulu verilmediği için 5 harfli kelimelere ek olarak 4 harfli, 3 harfli, 2 harfli ve 1 harfli kelimeleri de dahil etmemiz gerekecektir. Problemi bu şekilde 5'e bölerek her durum için yazabileceğimiz kelime sayısını aşağıdaki şekilde hesaplayabiliriz. Her durum için hesapladığımız kelime sayılarını toplarsak, yazabileceğimiz toplam kelime sayısına ulaşırız (\( = 120 + 120 + 60 + 20 + 5 = 325 \)).
SORU:
\( A = \{ a, b, c, d, e, f, g, h \} \) kümesinin elemanları ile farklı harflerden oluşan 4 harfli ve "d" ve "e" harflerinin yan yana olduğu kaç kelime yazılabilir?
Çözümü Göster
Bu sorunun en pratik çözümü permütasyonla birlikte kombinasyon kullandığımız bir çözüm olacaktır. Bizden istenen kelimelerde "d" ve "e" harflerinin mutlaka bulunacağını biliyoruz, dolayısıyla diğer 6 harften iki tane daha seçmemiz gerekecektir. 6'nın 2'li kombinasyonu olan \( C(6, 2) \) bize "d" ve "e" dışındaki 6 harften 2 harfi kaç farklı şekilde seçebileceğimizi verecektir. "d" ve "e" harflerinin yanyana olması istendiği için bu iki harfi tek bir harf gibi düşünerek kelimeyi aslında 3 harfli bir kelime gibi düşünebiliriz. 3 harfin farklı diziliş sayısı da \( 3! \) şekilde olacaktır. Son olarak, yanyana olacağını varsaydığımız "d" ve "e" harflerinin kendi aralarındaki yer değiştirmeler de farklı kelimeler üretecektir, bu iki harf de kendi aralarında \( 2! \) farklı şekilde dizilebilirler. Önce 2 harf seçme, sonra bu harfleri farklı şekillerde sıralama aşamaları sonucunda elde ettiğimiz farklı kelime sayısı \( C(6, 2) \cdot 3! \cdot 2! \) olacaktır.
SORU:
ŞİŞE kelimesinin harfleri ile anlamlı ya da anlamsız kaç kelime yazılabilir?
Çözümü Göster
Eğer ŞİŞE kelimesinin tüm harfleri birbirinden farklı olsaydı, önceki sorulara benzer şekilde \( 4! = 24 \) farklı kelime yazılabileceğini söylerdik. Ancak ŞİŞE kelimesinde "Ş" harfinin iki kez geçtiğini görüyoruz, dolayısıyla bu iki harfin aralarında yer değiştirmesi yeni bir kelime oluşturmayacaktır ve önceden oluşmuş bir kelimenin tekrarı olacaktır, bu yüzden \( 24 \) farklı yazılışı "Ş" harflerinin kendi aralarındaki farklı dizilişi oranında azaltmamız gerekecektir, bu da bize \( \dfrac{4!}{2!} = 12 \) sonucunu verecektir.
SORU:
MARMARİS kelimesinin harfleri ile anlamlı ya da anlamsız kaç kelime yazılabilir?
Çözümü Göster
MARMARİS kelimesinde "M", "A" ve "R" harflerinin ikişer kez geçtiğini görüyoruz. Her harf bir kez geçiyor olsa, 8 harfi kullanarak \( 8! \) farklı kelime oluşturabilecekken, tekrar eden 3 harfin kendi aralarında yer değiştirmesi kadar bu kelime sayısını azaltmamız gerekecek, bunu da her tekrar eden harf için ayrı ayrı ve tekrar sayısının faktöriyeli kadar yapmamız gerekecektir. Dolayısıyla sorunun cevabı \( \dfrac{8!}{2!2!2!} \) farklı kelime olacaktır.
SORU:
BİRDİRBİR kelimesinin harfleri ile anlamlı ya da anlamsız kaç kelime yazılabilir?
Çözümü Göster
BİRDİRBİR kelimesinde "B" harfinin iki kez, "İ" ve "R" harflerinin üçer kez geçtiğini görüyoruz. Bu yüzden yine 9 farklı harf kullanarak yazılabilecek \( 9! \) kelimeyi, tekrar eden her harfin tekrar sayısının faktöriyeline bölmemiz gerekecektir. Dolayısıyla sorunun cevabı \( \dfrac{9!}{2!3!3!} \) farklı kelime olacaktır.
SORU:
BİRDİRBİR kelimesinin harfleri ile anlamlı ya da anlamsız yazılabilecek kelimelerden kaçı "D" ile başlar?
Çözümü Göster
Kelimenin "D" harfi ile başlaması isteniyorsa, bu harfi kelimenin ilk harfi olarak ayırdığımızı varsayarak, geri kalan harfleri kullanarak kaç kelime yazabileceğimizi hesaplayabiliriz. Bu da "D" harfini kelimeden çıkararak BİRİRBİR kelimesinin harfleri ile yazabileceğimiz kelime sayısına eşit olacaktır, bunu da \( \dfrac{8!}{2!3!3!} \) olarak hesaplayabiliriz.
SORU:
MATİNE kelimesinin harfleri ile anlamlı ya da anlamsız yazılabilecek kelimelerden kaçında sesli harfler küçükten büyüğe alfabetik sırada olur?
Çözümü Göster
MATİNE kelimesinin harfleri ile \( 6! \) farklı kelime yazabileceğimizi önceki örneklerde gördük. Bu kelimelerde sesli harfler olan "A", "E" ve "İ" harflerinin kendi içinde \( 3! = 6 \) farklı dizilişi olacağını söyleyebiliriz, ki bu dizilişler AEİ, AİE, EAİ, EİA, İAE, İEA olacaktır. Bu 6 farklı dizilişten sadece birincisi bizden istenen alfabetik sırada olduğu için, toplam farklı kelime sayısını bu üç harfin kendi aralarındaki diziliş sayısına bölerek cevabı bulabiliriz (\( \dfrac{6!}{3!} \)).
SORU:
MATİNE kelimesinin harfleri ile anlamlı ya da anlamsız yazılabilecek kelimelerden kaçında "T" harfi "M" ve "E" harflerinin solunda yer alır?
Çözümü Göster
Bu soruda da MATİNE kelimesinin harfleri ile yazabileceğimiz \( 6! \) farklı kelime içinden kaçının bizden istenen koşulu sağladığını bulmamız gerekecektir. Önceki sorudaki gibi, "T", "M" ve "E" harflerinin aralarında kaç farklı diziliş olduğunu ve bu dizilişlerin kaçının bizden istenen koşulu sağladığına bakalım. Bu üç harf yine aralarında \( 3! = 6 \) farklı şekilde dizilebilirler (TME, TEM, MTE, MET, ETM, EMT) ve bu altı dizilişten ikisi bizden istenen koşulu sağlamaktadır (TME ve TEM), dolayısıyla yazılabilecek toplam kelime sayısını harflerin farklı diziliş adedine bölüp, bu dizilişlerden koşulu sağlayanlarla çarparak bizden istenen sonuca ulaşabiliriz, bu sonucu da \( 6! \cdot \dfrac{2}{3!} \) olarak hesaplayabiliriz.
