Birden büyük bir \( n \) tam sayısı \( a \) ve \( b \) tam sayılarının farkını tam bölüyorsa \( a \) ve \( b \) sayıları \( n \) modülünde birbirine denktir (kongrüenttir).
\( a, b, n \in \mathbb{Z}, \quad n \gt 1 \) olmak üzere,
\( n \mid (a - b) \) ise,
\( a \) ve \( b \), \( n \) modülünde denktir.
\( a \) ve \( b \) sayılarının \( n \) modülünde denkliğine denklik modülü denir ve "\( a \equiv b \pmod{n} \)" şeklinde gösterilir. Bu gösterimde "\( (\bmod{n}) \)" ifadesi \( b \) sayısına değil, \( a \equiv b \) denkliğine işaret etmektedir.
\( n \mid (a - b) \Longleftrightarrow a \equiv b \pmod{n} \)
\( a \) ve \( b \) sayılarının \( n \) modülünde denk olması, bu iki sayının \( n \) modülünde kalanlarının eşit olduğu anlamına gelir. Aşağıda göreceğimiz üzere, denklik modülü bir bağıntıdır.
Denklik modülü ve önceki bölümde tanımladığımız mod işleminin ikisi de "mod" ifadesini içerdiği için, aralarındaki farkı vurgulamamız faydalı olacaktır.
Mod işlemi bir sayının belirli bir modüle bölümünden kalanı verir ve toplama/çarpma gibi bir işlemdir. İki sayı için örnek bir mod işlemi aşağıdaki gibidir:
\( 32 \bmod{10} = 2 \)
\( 52 \bmod{10} = 2 \)
Denklik modülü iki sayının belirli bir modülde "denk" (\( \equiv \)) olduğunu, yani sayıların modüle bölümünden kalanların "eşit" (\( = \)) olduğunu belirtir. 32 ve 52 sayılarının 10'a bölümü aynı kalanı verdiği için, bu iki sayının 10 modülündeki denkliğini aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz:
\( 32 \equiv 52 \pmod{10} \)
Denklik modülü ve mod işlemi arasındaki matematiksel ilişkiyi aşağıdaki şekilde kurabiliriz.
\( a \equiv b \pmod{n} \) ise,
\( (a \bmod{n}) = (b \bmod{n}) \)
Yukarıdaki iki ifadede denklik ve eşitlik sembollerinin kullanımına dikkat etmemiz önemlidir. Birinci satırda iki sayı eşit değildir, \( n \) modülünde denktir. İkinci satırda ise iki sayının \( n \) modülünde kalanları birbirine eşittir (aynı sayıdır).
Denklik modülü önceki bölümde gördüğümüz dairesel sayı doğrusu üzerinde iki sayının çakıştığını (aynı noktaya karşılık geldiğini) göstermektedir. Bir dairesel sayı doğrusu üzerinde bir tam çember etrafındaki nokta sayısı kullanılan sistemin modülüne, yani \( n \) değerine karşılık gelir.
Önceki bölümde kullandığımız haftanın günleri örneğinde (\( n = 7 \)), bir yılın 16. ve 65. günlerinin aynı günlere denk geldiğini yukarıdaki denklik ifadesi ile gösterebiliriz.
İki gün arasındaki fark \( = 65 - 16 = 49 \)
\( 7 \), iki günün farkı olan \( 49 \)'u böler.
\( 7 \mid (63 - 14) \)
Bu yüzden \( 7 \) modülünde aşağıdaki denkliği yazabiliriz.
\( 16 \equiv 65 \pmod{7} \)
\( a \) ve \( b \) sayıları \( n \) modülünde denk değilse aralarındaki ilişki aşağıdaki şekilde gösterilir.
\( a \not\equiv b \pmod{n} \)
\( 45 \equiv 87 \pmod{10} \)
\( n \) sayısının \( (a - b) \) farkının bir böleni olması, aynı zamanda bu farkın \( n \)'nin bir tam sayı katı olması anlamına gelir.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( a \equiv b \pmod{n} \) ise,
\( a - b = k \cdot n \)
\( a = b + k \cdot n \)
\( 84 \equiv 21 \pmod{7} \) olduğuna göre,
\( 84 = 21 + 9 \cdot 7 \)
Aşağıda farklı modüllerdeki bazı sayıların denklik durumları verilmiştir.
| Denklik | Eşitlik | Açıklama |
|---|---|---|
| \( 14 \equiv 0 \pmod{7} \) | \( 14 - 0 = 2 \cdot 7 \) | İki sayının farkı 7'nin bir katı olduğu için sayılar denktir. |
| \( 3 \equiv 38 \pmod{5} \) | \( 3 - 38 = (-7) \cdot 5 \) | İki sayının farkı 5'in bir katı olduğu için sayılar denktir. |
| \( 49 \equiv -11 \pmod{12} \) | \( 49 - (-11) = 5 \cdot 12 \) | İki sayının farkı 12'nin bir katı olduğu için sayılar denktir. |
| \( 20 \not\equiv 32 \pmod{10} \) | \( 20 - 32 \ne k \cdot 10 \) | İki sayının farkı 10'un bir katı olmadığı için sayılar denk değildir. |
İki sayının denkliği belirli bir modül için geçerlidir. İki sayı bir modülde denk olup diğer bir modülde denk olmayabilir.
\( 3 \equiv 8 \pmod{5} \)
\( 3 \not\equiv 8 \pmod{4} \)
Bir \( a \) tam sayısının önceki bölümde gördüğümüz \( n \) modülünde mod işlem sonucuna \( a \)'nın \( n \) modülündeki kalanı denir. Bir modülde kalan değeri her zaman sıfıra eşit ya da daha büyük ve modülden küçüktür.
\( r \in \mathbb{Z}, \quad 0 \le r \lt n \)
\( r = a \bmod{n} \)
\( 3 = 43 \bmod{10} \)
\( 12 = 112 \bmod{25} \)
Yukarıda yaptığımız \( n \) modülünde denklik tanımını kalan kavramı üzerinden de yapabiliriz. Buna göre, bir \( n \) modülünde kalanı aynı olan tüm sayılar birbirine denktir. Örnek olarak, aşağıdaki sayıların \( 10 \) modülünde kalanları 2 olduğu için tümü \( 10 \) modülünde birbirine denktir.
\( -8 \equiv 2 \equiv 12 \equiv 22 \pmod{10} \)
\( n \) modülünde birbirine denk olan, yani kalanları aynı olan tüm tam sayıların kümesine o sayının \( n \) modülündeki denklik sınıfı denir. Bir \( a \) sayısının \( n \) modülündeki denklik sınıfını yukarıda yaptığımız tanımlar doğrultusunda aşağıdaki şekillerde yazabiliriz.
\( \overline{a} = \{ b \in \mathbb{Z}: b \equiv a \pmod{n} \} \)
\( \overline{a} = \{ b \in \mathbb{Z}: n \mid (b - a) \} \)
\( \overline{a} = \{ b \in \mathbb{Z}: b - a = k \cdot n, k \in \mathbb{Z} \} \)
Bir tam sayının \( n \) sayısına bölümünden kalan \( n \) farklı değer alabileceği için (\( 0, 1, \ldots, (n - 1) \)), bir \( n \) modülünün \( n \) farklı denklik sınıfı vardır.
\( \overline{0} = \{ b \in \mathbb{Z}: b \equiv 0 \pmod{n} \} \)
\( \overline{1} = \{ b \in \mathbb{Z}: b \equiv 1 \pmod{n} \} \)
\( \overline{2} = \{ b \in \mathbb{Z}: b \equiv 2 \pmod{n} \} \)
\( \vdots \)
\( \overline{n - 1} = \{ b \in \mathbb{Z}: b \equiv (n - 1) \pmod{n} \} \)
\( n \) modülünün tüm denklik sınıflarının kümesi \( \mathbb{Z}_n \) ile gösterilir.
\( \mathbb{Z}_n = \{ \overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \ldots, \overline{n - 1} \} \)
Haftanın günleri örneğini kullanırsak, \( 7 \) modülü için denklik sınıfları aşağıdaki gibidir.
\( \overline{0} = \{ \ldots, -14, -7, 0, 7, 14, \ldots \} \)
\( \overline{1} = \{ \ldots, -13, -6, 1, 8, 15, \ldots \} \)
\( \overline{2} = \{ \ldots, -12, -5, 2, 9, 16, \ldots \} \)
\( \overline{3} = \{ \ldots, -11, -4, 3, 10, 17, \ldots \} \)
\( \overline{4} = \{ \ldots, -10, -3, 4, 11, 18, \ldots \} \)
\( \overline{5} = \{ \ldots, -9, -2, 5, 12, 19, \ldots \} \)
\( \overline{6} = \{ \ldots, -8, -1, 6, 13, 20, \ldots \} \)
\( 7 \) modülünün tüm denklik sınıflarının kümesi (\( \mathbb{Z}_7 \)) aşağıdaki gibidir.
\( \mathbb{Z}_7 = \{ \overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}, \overline{5}, \overline{6} \} \)
Yukarıda tanımını verdiğimiz denklik modülü tam sayılar kümesi üzerinde ve arasında denklik ilişkisi kurduğumuz iki sayı arasında bir bağıntıdır.
\( a, b, n \in \mathbb{Z}, \quad n \gt 1 \) olmak üzere,
\( \beta = \{ (a, b): n \mid (a - b) \} \)
Bu bağıntı yansıma, simetri ve geçişme özelliklerini gösterdiği için aynı zamanda bir denklik bağıntısıdır, dolayısıyla bu bağıntının elemanı olan tüm \( (a, b) \) sıralı ikilileri için \( a \) ve \( b \)'nin denk olduğunu söyleriz ve bu denkliği \( a \equiv b \pmod{n} \) şeklinde gösteririz.
Denklik bağıntısı hakkında daha fazla bilgi ve örnekler için Bağıntı Özellikleri sayfasını inceleyebilirsiniz.
Bir bağıntının üzerinde tanımlı olduğu kümenin her \( a \) elemanı için \( (a, a) \) sıralı ikilisi bağıntıda tanımlı ise bu bağıntının yansıma özeliği vardır.
Tam sayılar kümesindeki her sayı herhangi bir modülde kendisine denk olduğu için bu bağıntının yansıma özelliği vardır.
Bir bağıntıdaki her \( (a, b) \) sıralı ikilisi için \( (b, a) \) sıralı ikilisi de bağıntıda tanımlı ise bu bağıntının simetri özelliği vardır.
İki sayının denkliğinde sayıların yeri değiştirilirse denklik bozulmaz, yani \( (a, b) \) sıralı ikilisi bağıntıda tanımlı ise simetriği olan \( (b, a) \) da tanımlıdır. Bu yüzden bu bağıntının simetri özelliği vardır.
Bir bağıntıdaki her \( (a, b) \) ve \( (b, c) \) sıralı ikilileri için, \( (a, c) \) sıralı ikilisi de bağıntıda tanımlı ise bu bağıntının geçişme özelliği vardır.
Bir \( a \) sayısı \( b \) sayısı ile denk ise bu modülde aynı denklik sınıfındadırlar. Aynı şekilde, \( b \) sayısı \( c \) sayısı ile denk ise bu iki sayı da aynı denklik sınıfındadırlar. Dolayısıyla \( a \) ve \( c \) sayıları da aynı denklik sınıfındadırlar ve denktirler. Bu yüzden bu bağıntının geçişme özelliği vardır.
\( a \equiv b \pmod{n} \) ve \( b \equiv c \pmod{n} \Longrightarrow a \equiv c \pmod{n} \)