Modüler Aritmetikte İşlemler

Modüler aritmetikte sayılar arasında toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerini standart aritmetiğe benzer şekilde yapabiliriz, aradaki temel fark elde ettiğimiz işlem sonucunu \( n \) modülündeki kalanına çevirmektir.

Toplama İşlemi

İki sayının \( n \) modülünde toplamının sonucu, sayıların aritmetik toplamının \( n \) modülünde kalanına eşittir.

Toplama İşlem Tablosu

İki sayının belirli bir modüldeki tüm kalanlarının aralarındaki toplama işlemlerinin sonucunu bir tablo halinde gösterebiliriz. Bu tabloda satır ve sütun başlıkları toplama işleminin terimleri, ilgili satır ve sütunun kesişimindeki hücredeki sayı da işlem sonucudur. Aşağıda \( 7 \) modülü için toplama işlem tablosu verilmiştir.

7 modülünde toplama işlem tablosu
7 modülünde toplama işlem tablosu

Yukarıdaki tabloya göre \( 7 \) modülünde bir toplama işlemi aşağıdaki gibidir.

Toplama İşlem Özellikleri

Toplama işleminin modüler aritmetikte değişme özelliği vardır.

Toplama işleminin modüler aritmetikte birleşme özelliği vardır.

Bir Sayının Toplamaya Göre Tersi

Bir \( a \) sayısının \( n \) modülünde toplamaya göre tersi aşağıdaki koşulu sağlayan \( b \) sayısıdır.

Toplama İşlem Kuralları

Bir denkliğin iki tarafını aynı tam sayı ile toplamamız denkliği bozmaz.

İki denkliği taraf tarafa toplamamız denkliği bozmaz.

Çıkarma İşlemi

İki sayı arasında \( n \) modülünde çıkarma işleminin sonucu, sayıların aritmetik farkının \( n \) modülünde kalanına eşittir.

Çıkarma İşlem Özellikleri

Çıkarma işleminin modüler aritmetikte değişme özelliği yoktur.

Çıkarma İşlem Kuralları

Bir denkliğin iki tarafından aynı tam sayıyı çıkarmamız denkliği bozmaz.

İki denkliği taraf tarafa çıkarmamız denkliği bozmaz.

Çarpma İşlemi

İki sayının \( n \) modülünde çarpımının sonucu, sayıların aritmetik çarpımının \( n \) modülünde kalanına eşittir.

Çarpma İşlem Tablosu

İki sayının belirli bir modüldeki tüm kalanlarının aralarındaki çarpma işlemlerinin sonucunu bir tablo halinde gösterebiliriz. Bu tabloda satır ve sütun başlıkları çarpma işleminin terimleri, ilgili satır ve sütunun kesişimindeki hücredeki sayı da işlem sonucudur. Aşağıda \( 7 \) modülü için çarpma işlem tablosu verilmiştir.

7 modülünde çarpma işlem tablosu
7 modülünde çarpma işlem tablosu

Yukarıdaki tabloya göre \( 7 \) modülünde bir çarpma işlemi aşağıdaki gibidir.

Çarpma İşlem Özellikleri

Çarpma işleminin modüler aritmetikte değişme özelliği vardır.

Çarpma işleminin modüler aritmetikte birleşme özelliği vardır.

Çarpma İşlem Kuralları

Bir denkliğin iki tarafını aynı tam sayı ile çarpmamız denkliği bozmaz.

İki denkliği taraf tarafa çarpmamız denkliği bozmaz.

Bölme İşlemi

Modüler aritmetikte bir denkliğin iki tarafını bir sayıya, sadece bu sayı işlemin modülü ile aralarında asal ise bölebiliriz.

Üs İşlemi

Bir denkliğin iki tarafının aynı pozitif tam sayı kuvvetini almamız denkliği bozmaz.

Üs işleminin tekrarlı çarpma olduğunu düşünürsek, bu kuralın iki denkliğin taraf tarafa çarpımı kuralının bir uzantısı olduğunu görebiliriz.


« Önceki
Modüler Aritmetik Tanımı
Sonraki »
Bir Sayının Çarpmaya Göre Tersi


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır