Bir Sayının Çarpmaya Göre Tersi

Aritmetikte bir sayının çarpmaya göre tersini aşağıdaki şekilde tanımlamıştık:

Benzer bir tanımlamayı modüler aritmetikte aşağıdaki şekilde yapabiliriz:

Modüler aritmetikte bölme işlemini standart aritmetikte olduğu gibi \( x = \frac{1}{a} \) şeklinde yapamadığımız için, çarpmaya göre tersi bulmak için farklı yöntemler kullanmamız gerekir. Bu yöntemlerden biri, bir sayının çarpmaya göre tersini deneyerek bulmaktır.

Deneme Yöntemiyle Çarpmaya Göre Tersi Bulma

Örnek olarak 3 sayısının 7 modülünde çarpmaya göre tersini bulmaya çalışalım. Bunun için, 3'ü 7 modülündeki tüm kalanlarla sırayla çarpalım:

Sonuçlara baktığımızda \( 3 \cdot 5 \equiv 1 \pmod{7} \) olduğunu görüyoruz, dolayısıyla 3'ün 7 modülünde çarpmaya göre tersinin 5 olduğunu söyleyebiliriz.

Şimdi de 3'ü 5'in 7 modülünde denk olduğu diğer bazı sayılarla çarparak sonucun kaç olduğuna bakalım.

Görüyoruz ki, bir sayıyı belirli bir modüldeki çarpmaya göre tersinin denk olduğu diğer sayılarla çarptığımızda, yine 1 sonucunu elde ederiz.

İkinci bir örnek olarak 4 sayısının 6 modülünde çarpmaya göre tersini bulmaya çalışalım.

Sonuçlara baktığımızda, 4'ün hiçbir sayı ile çarpımının 1'e denk olmadığını görüyoruz, buna göre 4'ün 6 modülünde çarpmaya göre tersinin olmadığı sonucuna varabiliriz.

Bu doğrultuda bir sayının çarpmaya göre tersi ile ilgili şu çıkarımlarda bulunabiliriz.

  • Modüler aritmetikte bir \( a \) sayısının \( n \) modülünde çarpmaya göre tersi, o sayı ile çarpımı \( n \) modülünde 1'e denk olan sayıdır.
  • Her sayının \( n \) modülünde çarpmaya göre tersi olmayabilir.
  • Bir \( a \) sayısının \( n \) modülünde çarpmaya göre tersi varsa sadece bir tanedir.
  • \( a \) sayısının \( n \) modülünde çarpmaya göre tersi \( x \) ise \( n \) modülünde \( a \)'nın denk olduğu herhangi bir sayı ile \( x \)'in denk olduğu herhangi bir sayı çarpımı da yine 1 sonucunu verir.
  • 0 tüm modüllerde 0'a eşit olduğu ve diğer bir sayıyla çarpımı yine 0 olduğu için, hiçbir modülde çarpmaya göre tersi yoktur.

Bir Sayının Çarpmaya Göre Tersi Olma Koşulu

Kural olarak, bir \( a \) sayısının \( n \) modülünde çarpmaya göre tersi ancak ve ancak \( a \) ve \( n \) sayıları aralarında asalsa vardır. Buna göre, \( n \) modülünde sadece \( n \) ile aralarında asal olan sayıların çarpmaya göre tersi vardır, \( n \) ile aralarında asal olmayan sayıların çarpmaya göre tersi yoktur.

\( 3 \) ve \( 7 \) aralarında asal oldukları için \( 3 \)'ün \( 7 \) modülünde çarpmaya göre tersi olmalıdır, nitekim yukarıda verdiğimiz birinci örnekte \( 3 \)'ün \( 7 \) modülünde tersini \( 5 \) olarak bulmuştuk.

\( 4 \) ve \( 6 \) aralarında asal olmadığı için \( 4 \)'ün \( 6 \) modülünde çarpmaya göre tersi olmamalıdır, nitekim yukarıda verdiğimiz ikinci örnekte \( 4 \)'ün \( 6 \) modülünde tersinin olmadığını görmüştük.

Buna göre, örneğin \( 8 \) modülünde çarpmaya göre tersi olan sayıları \( 8 \) ile aralarında asal sayılar kümesi olarak aşağıdaki şekilde tanımlayabiliriz.

Aşağıdaki \( 8 \) modülü için çarpma tablosunu incelediğimizde, sadece \( 8 \) ile aralarında asal olan sayıların diğer bir sayı ile çarpımının \( 1 \) sonucunu verdiğini, diğer sayıların ise vermediğini görebiliriz.

8 modülünde sayıların çarpmaya göre tersleri
8 modülünde sayıların çarpmaya göre tersleri

Fermat'ın Küçük Teoremi

İşlem yaptığımız modül bir asal sayı ise ve \( a \) ve \( n \) sayıları aralarında asalsa, bir sayının çarpmaya göre tersini bulmakta kullanabileceğimiz yöntemlerden biri Fermat'ın Küçük Teoremi'dir.

\( a \) ve \( n \) sayıları aralarında asal ise Fermat'ın Küçük Teoremi'ni çarpmanın tersi problemine uygulayarak bir sayının \( n \) modülünde çarpmaya göre tersini aşağıdaki ifadeyle bulabiliriz.

Doğrusal Denklik

Aşağıdaki gibi bir denklemi sağlayan \( x \) değerini bulmak için, \( a \)'nın \( n \) modülündeki çarpmaya göre tersini kullanabiliriz.

Eğer \( a \) ve \( n \) sayıları aralarında asal ise yani \( a \)'nın \( n \) modülünde çarpmaya göre tersi varsa, bu doğrusal denkliğin tek çözümü vardır ve bu çözümü yukarıdaki \( x \) için denkliği çözerek bulabiliriz.


« Önceki
Modüler Aritmetikte İşlemler
Ana Sayfa »
Konu Tamamlandı!


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır