Kutupsal Denklemlerde Simetri
Kutupsal eğriler sıklıkla bir eksene ya da orijine göre simetrik olabilmektedir. Kutupsal denklemlerin grafiklerini çizerken bu simetrileri belirlemek önem taşır.
Kutupsal eğrilerin üç farklı simetrisi olabilir.
Kutup Eksenine Göre Simetri
Bir kutupsal denklemde \( (r, \theta) \) yerine \( (r, -\theta) \) ya da \( (-r, \pi - \theta) \) yazıldığında eşitlik sağlanmaya devam ediyorsa bu eğri kutup eksenine (\( x \) eksenine) göre simetriktir.
Sadece kosinüs fonksiyonu içeren \( a + b\cos(k\theta) \) formundaki denklemler bu koşulu sağladıkları için kutup eksenine göre simetriktir.
\( \theta = \frac{\pi}{2} \) Doğrusuna Göre Simetri
Bir kutupsal denklemde \( (r, \theta) \) yerine \( (r, \pi - \theta) \) ya da \( (-r, -\theta) \) yazıldığında eşitlik sağlanmaya devam ediyorsa bu eğri \( \theta = \frac{\pi}{2} \) doğrusuna (\( y \) eksenine) göre simetriktir.
\( k \) tek sayı olmak üzere, sadece sinüs fonksiyonu içeren \( a + b\sin(k\theta) \) formundaki denklemler bu koşulu sağladıkları için \( \theta = \frac{\pi}{2} \) doğrusuna göre simetriktir.
Kutup Noktasına Göre Simetri
Bir kutupsal denklemde \( (r, \theta) \) yerine \( (r, \theta + \pi) \) ya da \( (-r, \theta) \) yazıldığında eşitlik sağlanmaya devam ediyorsa bu eğri kutup noktasına (orijine) göre simetriktir.
Bir kutupsal denklem, yukarıdaki koşulların sağlanmadığı durumlarda da belirtilen simetrileri içerebilir.
Yukarıda grafiğini çizdiğimiz kutupsal eğrinin eksenlere ve orijine göre simetri durumunu inceleyelim.
\( r(\theta) = \sin(3\theta) \)
Kutup eksenine göre simetri
\( (r, \theta) \longmapsto (r, -\theta) \) kontrolü:
\( \quad r \stackrel{?}{=} \sin(3(-\theta)) \)
\( \quad r \stackrel{?}{=} -\sin(3\theta) \)
\( \quad r \ne -r \)
\( (r, \theta) \longmapsto (-r, \pi - \theta) \) kontrolü:
\( \quad -r \stackrel{?}{=} \sin(3(\pi - \theta)) \)
\( \quad -r \stackrel{?}{=} \sin(3\pi - 3\theta) \)
\( \quad -r \stackrel{?}{=} \sin(3\theta) \)
\( \quad -r \ne r \)
İki koşul da sağlanmadığı için eğrinin kutup eksenine göre simetrik olduğunu söyleyemeyiz.
\( \theta = \frac{\pi}{2} \) doğrusuna göre simetri
\( (r, \theta) \longmapsto (r, \pi - \theta) \) kontrolü:
\( \quad r \stackrel{?}{=} \sin(3(\pi - \theta)) \)
\( \quad r \stackrel{?}{=} \sin(3\pi - 3\theta) \)
\( \quad r \stackrel{?}{=} \sin(3\theta) \)
\( \quad r = r \)
Birinci koşul sağlandığı için eğri \( \theta = \frac{\pi}{2} \) doğrusuna göre simetriktir.
Kutup noktasına göre simetri
\( (r, \theta) \longmapsto (r, \theta + \pi) \) kontrolü:
\( \quad r \stackrel{?}{=} \sin(3(\theta + \pi)) \)
\( \quad r \stackrel{?}{=} \sin(3\theta + 3\pi) \)
\( \quad r \stackrel{?}{=} -\sin(3\theta) \)
\( \quad r \ne -r \)
\( (r, \theta) \longmapsto (-r, \theta) \) kontrolü:
\( \quad -r \stackrel{?}{=} \sin(3\theta) \)
\( \quad -r \ne r \)
İki koşul da sağlanmadığı için eğrinin kutup noktasına göre simetrik olduğunu söyleyemeyiz.
Yukarıdaki örnekte çizdiğimiz grafiği incelediğimizde eğrinin gerçekten de \( \theta = \frac{\pi}{2} \) doğrusuna göre simetrik olduğunu görebiliriz.
Yukarıda detaylandırdığımız simetri tipleri aşağıdaki tabloda özetlenmiştir.
| Simetri Tipi | Dönüşüm |
|---|---|
Kutup eksenine göre |
\( (r, \theta) \mapsto (r, -\theta) \) \( (r, \theta) \mapsto (-r, \pi - \theta) \) |
\( \theta = \frac{\pi}{2} \) doğrusuna göre |
\( (r, \theta) \mapsto (r, \pi - \theta) \) \( (r, \theta) \mapsto (-r, -\theta) \) |
Kutup noktasına göre |
\( (r, \theta) \mapsto (r, \theta + \pi) \) \( (r, \theta) \mapsto (-r, \theta) \) |