Kutupsal Denklemlerin İntegrali

Kartezyen denklemi verilen bir eğrinin \( x \in [a, b] \) aralığında \( x \) ekseni ile arasında kalan alanı bulurken önce aralığı alanını geometrik yöntemlerle yaklaşık olarak hesaplayabileceğimiz dikdörtgen şeklinde alt aralıklara bölmüş, daha sonra bu aralıkların Riemann toplamını almış ve aralık sayısı sonsuza giderken bu toplamın limitini almıştık.

Benzer bir yaklaşımı birkaç farkla kutupsal denklemlere de uygulayabiliriz.

Bir \( \theta \) açısının taradığı daire diliminin geometrik alanını aşağıdaki formülle bulabiliriz.

\( A = \pi r^2 \cdot \dfrac{\theta}{2\pi} = \dfrac{1}{2}r^2\theta \)

Kutupsal denklemi \( r = r(\theta) \) olan aşağıdaki gibi sürekli bir eğrinin kutup noktası ile arasında kalan alanı bulmak istiyor olalım.

Bu aralığı ölçüleri eşit \( n \) alt aralığa bölelim.

\( \Delta\theta = \dfrac{\beta - \alpha}{n} \) olmak üzere,

\( \theta_1 = \alpha \lt \theta_2 \lt \ldots \lt \theta_n = \beta \)

\( i \). alt aralığın alanını bu bölgeyi bir daire dilimi şeklinde düşünerek yaklaşık olarak hesaplayalım.

\( A_i = \dfrac{1}{2}[r(\theta_i^*)]^2\Delta\theta \)

Bu formülde \( \theta_i^* \) değeri \( [\theta_{i-1}, \theta_i] \) aralığında daire diliminin yarıçapını bulmak için herhangi bir yöntemle seçilen açı değeridir. Önceki alan hesaplamalarında \( n \) sonsuza giderken bu değerin hangi yöntemle seçildiğinin sonucu değiştirmediğini göstermiştik.

\( r(\theta_i^*) \) değeri \( i \). aralıktaki daire diliminin yarıçapıdır.

Tüm aralıklar için bu alanların toplamı Riemann toplamını verir.

\( S_n = \displaystyle\sum_{i = 1}^n {\dfrac{1}{2}[r(\theta_i^*)]^2\Delta\theta} \)

Bu Riemann toplamı hesaplamak istediğimiz alanın yaklaşık değerini verir.

\( S_n \approx A \)

Bu toplamın \( n \) sonsuza, \( \Delta\theta \) da sıfıra giderkenki limiti alanın gerçek değerini verir.

\( A = \lim_{n \to \infty} S_n \)

\( = \lim_{n \to \infty} {\displaystyle\sum_{i = 1}^n {\dfrac{1}{2}[r(\theta_i^*)]^2\Delta\theta}} \)

\( = \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} {\dfrac{1}{2}[r(\theta)]^2\Delta\theta} \)

Parametrik denklemlerin yay uzunluk formülünü hatırlayalım.

\( x = x(t), y = y(t) \) olmak üzere,

\( t_1 \le t \le t_2 \) aralığında eğrinin yay uzunluğu:

\( L = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}\ dt \)

Kutupsal denklemleri parametresi \( \theta \) olan birer parametrik denklem olarak düşünebiliriz.

\( x(\theta) = r(\theta)\cos{\theta} \)

\( y(\theta) = r(\theta)\sin{\theta} \)

Bu durumda yay uzunluk formülü aşağıdaki gibi olur.

\( \alpha \le \theta \le \beta \) aralığında eğrinin yay uzunluğu:

\( L = \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{(\frac{dx}{d\theta})^2 + (\frac{dy}{d\theta})^2}\ d\theta \)

Her iki denklemin çarpma kuralını kullanarak \( \theta \) parametresine göre türevini alalım.

\( \dfrac{dx}{d\theta} = (r(\theta)\cos{\theta})' \)

\( = \dfrac{dr}{d\theta}\cos{\theta} - r\sin{\theta} \)

\( \dfrac{dy}{d\theta} = (r(\theta)\sin{\theta})' \)

\( = \dfrac{dr}{d\theta}\sin{\theta} + r\cos{\theta} \)

Bu iki türev ifadesinin karelerinin toplamını alalım.

\( (\dfrac{dx}{d\theta})^2 + (\dfrac{dy}{d\theta})^2 = (\dfrac{dr}{d\theta})^2\cos^2{\theta} - 2\dfrac{dr}{d\theta}\cos{\theta}\ r\sin{\theta} + r^2\sin^2{\theta} + (\dfrac{dr}{d\theta})^2\sin^2{\theta} + 2\dfrac{dr}{d\theta}\sin{\theta}\ r\cos{\theta} + r^2\cos^2{\theta} \)

\( = (\dfrac{dr}{d\theta})^2(\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta}) + r^2(\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta}) \)

\( \sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1 \) özdeşliğini kullanalım.

\( = (\dfrac{dr}{d\theta})^2 + r^2 \)

Bu değeri parametrik eğri yay uzunluk formülünde yerine koyduğumuzda kutupsal eğri yay uzunluk formülünü elde ederiz.

\( L = \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2 + (\dfrac{dr}{d\theta})^2}\ d\theta \)