Kutupsal Denklem Tanımı
Bir kartezyen denkleminde \( x \) değişkeninin belirli bir değeri için \( y \) değişkeninin değeri hesaplanır, daha sonra elde edilen \( (x, y) \) ikilisi denklemin grafiğinde bir nokta olarak işaretlenir.
Bir kutupsal denklemde ise \( \theta \) değişkeninin belirli bir değeri için \( r \) değişkeninin değeri hesaplanır, daha sonra elde edilen \( (r, \theta) \) ikilisi denklemin grafiğinde bir nokta olarak işaretlenir.
\( r = r(\theta) \)
\( r(\theta) = 1 + 2\sin{\theta} \) olmak üzere,
\( r(0) = 1 + 2\sin{0} = 1 \)
\( r(\frac{\pi}{6}) = 1 + 2\sin{\frac{\pi}{6}} = 2 \)
\( r(\frac{3\pi}{2}) = 1 + 2\sin{\frac{3\pi}{2}} = -1 \)
\( (1, 0) \), \( (2, \frac{\pi}{6}) \) ve \( (-1, \frac{3\pi}{2}) \) kutupsal eğri üzerinde üç noktadır.
\( (x, y) \) şeklindeki kartezyen koordinatlarında bağımsız değişken olan \( x \) değişkeni sıralı ikilinin ilk bileşeni iken \( (r, \theta) \) şeklindeki kutupsal koordinatlarda bağımsız değişken olan \( \theta \) değişkeni sıralı ikilinin ikinci bileşenidir.
Özellikle belirli bir noktayı referans alan ya da bir nokta etrafında simetrik olan eğriler kutupsal koordinat sistemi ve denklemlerle daha kolay modellebilir.
Aşağıdaki kutupsal denklem için bir değer tablosu oluşturup daha sonra bu değerleri kullanarak kutupsal denklemin grafiğini çizelim.
\( \theta \in [0, \pi) \) olmak üzere,
\( r(\theta) = \sin(3\theta) \)
Farklı \( \theta \) değerleri için kutupsal koordinat değerlerini hesapladığımız bir değer tablosu oluşturalım.
| \( \theta \) | \( r(\theta) = \sin(3\theta) \) | \( (r(\theta), \theta) \) |
|---|---|---|
| \( 0 \) | \( \sin(3(0)) = 0 \) | \( (0, 0) \) |
| \( \frac{\pi}{12} \) | \( \sin(3(\frac{\pi}{12})) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\pi}{12}) \) |
| \( \frac{\pi}{6} \) | \( \sin(3(\frac{\pi}{6})) = 1 \) | \( (1, \frac{\pi}{6}) \) |
| \( \frac{\pi}{4} \) | \( \sin(3(\frac{\pi}{4})) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\pi}{4}) \) |
| \( \frac{\pi}{3} \) | \( \sin(3(\frac{\pi}{3})) = 0 \) | \( (0, \frac{\pi}{3}) \) |
| \( \frac{5\pi}{12} \) | \( \sin(3(\frac{5\pi}{12})) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{5\pi}{12}) \) |
| \( \frac{\pi}{2} \) | \( \sin(3(\frac{\pi}{2})) = -1 \) | \( (-1, \frac{\pi}{2}) \) |
| \( \frac{7\pi}{12} \) | \( \sin(3(\frac{7\pi}{12})) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7\pi}{12}) \) |
| \( \frac{2\pi}{3} \) | \( \sin(3(\frac{2\pi}{3})) = 0 \) | \( (0, \frac{2\pi}{3}) \) |
| \( \frac{3\pi}{4} \) | \( \sin(3(\frac{3\pi}{4})) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{3\pi}{4}) \) |
| \( \frac{5\pi}{6} \) | \( \sin(3(\frac{5\pi}{6})) = 1 \) | \( (1, \frac{5\pi}{6}) \) |
| \( \frac{11\pi}{12} \) | \( \sin(3(\frac{11\pi}{12})) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{11\pi}{12}) \) |
Elde ettiğimiz \( (r(\theta), \theta) \) ikililerini koordinat düzleminde işaretlediğimizde aşağıdaki grafiği elde ederiz.
