Sabit Katsayılı Homojen Denklemler
Aşağıdaki formda bulunan denklemlere \( n \). mertebeden sabit katsayılı homojen lineer denklem denir.
\( a_n, \ldots, a_0 \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( a_ny^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \ldots + a_1y' + a_0y = 0 \)
\( L[y] = 0 \)
\( y'' - 7y' + 12y = 0 \)
\( 2y''' - 9y'' + 7y' + 6y = 0 \)
Bu denklemler;
- \( y \) fonksiyonunun en yüksek \( n \). mertebeden türevini içerdiği için \( n \). mertebedendir.
- \( y \) ve türevlerinin katsayıları birer reel sayı olduğu için sabit katsayılıdır.
- Eşitliğin sağ tarafı sıfır olduğu için homojendir.
- \( y \) fonksiyonunun ve türevlerinin sadece birinci kuvvetlerini içerdiği ve çarpımlarını içermediği için lineerdir.
Bu formdaki denklemlerin çözümündeki temel yaklaşım, \( y = e^{\lambda x} \) ifadesinin denklemin bir çözümü olduğu kabulüdür. Bu varsayımla ifadenin \( n \). mertebeye kadarki türevlerini bulalım.
\( y = e^{\lambda x} \)
\( y' = \lambda e^{\lambda x} \)
\( y'' = \lambda^2e^{\lambda x} \)
\( \vdots \)
\( y^{(n)} = \lambda^ne^{\lambda x} \)
\( y \) değişkenini ve türevlerini orijinal denklemde yerine koyalım.
\( a_ny^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \ldots + a_1y' + a_0y = 0 \)
\( a_n\lambda^ne^{\lambda x} + a_{n-1}\lambda^{n-1}e^{\lambda x} + \ldots + a_1\lambda e^{\lambda x} + a_0e^{\lambda x} = 0 \)
Tüm terimleri \( e^{\lambda x} \) parantezine alalım.
\( e^{\lambda x}(a_n\lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \ldots + a_1\lambda + a_0) = 0 \)
\( e^{\lambda x} \) üstel ifadesi tüm reel sayılarda pozitiftir, dolayısıyla hiçbir \( x \) değeri için sıfır olamaz.
\( a_n\lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \ldots + a_1\lambda + a_0 = 0 \)
Elde ettiğimiz bu \( n \). dereceden polinoma karakteristik polinom, bu polinomun sıfır eşit olduğu denkleme karakteristik denklem denir.
\( y'' - 8y' + 15y = 0 \)
denkleminin karakteristik denklemi:
\( \lambda^2 - 8\lambda + 15 = 0 \)
\( 2y''' - 9y'' + 7y' + 6y = 0 \)
denkleminin karakteristik denklemi:
\( 2\lambda^3 - 9\lambda^2 + 7\lambda + 6 = 0 \)
Aşağıda detaylarını paylaşacağımız yöntemle, elimizdeki diferansiyel denklemin çözümü bu denklemin karşılık geldiği karakteristik denklemin çözümüne indirgenmiş olur.
Polinomun Kökleri
Bir karakteristik denklemin köklerini bulabilmek için öncelikle karakteristik polinomu çarpanlarına ayırmamız gerekir. Bu noktada reel katsayılı polinom denklemlerinin kökleri ve bulunma yöntemleri konusunda bazı hatırlatmalar faydalı olacaktır.
- \( n \). dereceden bir polinomun, çok katlı köklerin tekrar sayısı da dahil edildiğinde toplam \( n \) kökü vardır.
- \( a, b, c \) reel sayılar olmak üzere, her polinom \( ax + b \) formunda birinci dereceden ve \( ax^2 + bx + c \) formunda ikinci dereceden polinomların çarpımı şeklinde yazılabilir.
- Deltası (diskriminantı) sıfır ya da sıfırdan büyük olan ikinci dereceden her çarpan, birinci dereceden iki polinomun çarpımı şeklinde yazılabilir.
- Birinci dereceden her çarpan için polinomun reel sayı bir kökü vardır.
- Deltası sıfırdan küçük olan ikinci dereceden her çarpan için polinomun birbirinin eşleniği olan iki karmaşık sayı kökü vardır.
Buna göre, üçüncü ya da daha yüksek dereceden bir polinom çarpanlarına ayrılamadığı durumda bunun mümkün olmadığı düşünülmemeli, her polinomun mutlaka birinci ve ikinci dereceden çarpanlarına, deltası sıfır ya da sıfırdan büyük olan ikinci dereceden her çarpanın da tekrar birinci dereceden çarpanlarına ayrılabileceği unutulmamalıdır.
Üçüncü ve daha yüksek dereceden bir polinomu çarpanlarına ayırmak için aşağıdaki yöntemler kullanılır.
- Sabit terim içermeyen her polinom \( x \) parantezine alınabilir.
- İnceleme yöntemi ile \( 1, 2, -1, -2 \) gibi bir \( x = a \) değeri polinomu sıfır yapıyorsa, çarpan teoremine göre \( x - a \) polinomun bir çarpanıdır. Bu durumda eldeki polinom \( x - a \) ifadesine polinom bölmesi ile bölünür ve çarpanlarına ayrılmak istenen polinomun derecesi düşürülür.
- Bunun dışında polinomlar özdeşlikler ve çarpanlara ayırma bölümünde incelediğimiz yöntemler kullanılarak çarpanlarına ayrılabilir.
İkinci dereceden bir polinom ise ikinci dereceden denklemleri çarpanlara ayırma bölümünde incelediğimiz yöntemler ve ikinci dereceden denklemlerin deltası bölümünde incelediğimiz kök bulma formülü ile çarpanlarına ayrılabilir.
Çözüm Tipleri
Karakteristik denklem tüm çarpanlarına ayrıldığında her bir çarpanı sıfır yapan reel ya da karmaşık sayı değer denklemin bir köküdür. Her bir kökün tipine göre diferansiyel denklemin çözümleri aşağıdaki şekilde belirlenir.
Tek Katlı Reel Kökler
Karakteristik denklemin reel ve tek katlı her kökü için çözüm aşağıdaki şekilde oluşur.
Karakteristik denklemin \( \lambda = r \) şeklindeki her tek katlı reel sayı kökü için,
aşağıdaki terim diferansiyel denklemin bir temel çözümü olur.
\( e^{rx} \)
\( y'' - y' - 6y = 0 \)
Karakteristik denklem:
\( \lambda^2 - \lambda - 6 = 0 \)
\( (\lambda + 2)(\lambda - 3) = 0 \)
Karakteristik denklemin kökleri:
\( -2, 3 \)
Denklemin temel çözüm kümesi:
\( \{ e^{-2x}, e^{3x} \} \)
Denklemin genel çözümü:
\( y(x) = C_1e^{-2x} + C_2e^{3x} \)
Karakteristik denklemin tek katlı bir kökünün \( \lambda = 0 \) olduğu durumda, \( \lambda = 0 \) yazıldığında elde edilen \( e^{0x} = 1 \) çözümü denklemin bir temel çözümü olur.
\( 2y''' - 3y'' - 2y' = 0 \)
Karakteristik denklem:
\( 2\lambda^3 - 3\lambda^2 - 2\lambda = 0 \)
\( \lambda(2\lambda + 1)(\lambda - 2) = 0 \)
Karakteristik denklemin kökleri:
\( 0, -\frac{1}{2}, 2 \)
Denklemin temel çözüm kümesi:
\( \{ 1, e^{-\frac{1}{2}x}, e^{2x} \} \)
Denklemin genel çözümü:
\( y(x) = C_1 + C_2e^{-\frac{1}{2}x} + C_3e^{2x} \)
Çok Katlı Reel Kökler
Karakteristik denklemin reel ve çok katlı her kökü için çözüm aşağıdaki şekilde oluşur.
Karakteristik denklemin \( \lambda = r \) şeklindeki her \( k \) katlı reel sayı kökü için,
aşağıdaki \( k \) terim diferansiyel denklemin birer temel çözümü olur.
\( e^{\lambda x}, xe^{\lambda x}, x^2e^{\lambda x}, \cdots, x^{k-1}e^{\lambda x} \)
\( y'' + 8y' + 16y = 0 \)
Karakteristik denklem:
\( \lambda^2 + 8\lambda + 16 = 0 \)
\( (\lambda + 4)^2 = 0 \)
Karakteristik denklemin kökleri:
\( -4, -4 \)
Denklemin temel çözüm kümesi:
\( \{ e^{-4x}, xe^{-4x} \} \)
Denklemin genel çözümü:
\( y(x) = C_1e^{-4x} + C_2xe^{-4x} \)
\( y'''(x) - 9y''(x) + 27y'(x) - 27y(x) = 0 \)
Karakteristik denklem:
\( \lambda^3 - 9\lambda^2 + 27\lambda - 27 = 0 \)
\( (\lambda - 3)^3 = 0 \)
Karakteristik denklemin kökleri:
\( 3, 3, 3 \)
Denklemin temel çözüm kümesi:
\( \{ e^{3x}, xe^{3x}, x^2e^{3x} \} \)
Denklemin genel çözümü:
\( y(x) = C_1e^{3x} + C_2xe^{3x} + C_3x^2e^{3x} \)
Karakteristik denklemin çok katlı bir kökünün \( \lambda = 0 \) olduğu durumda, \( \lambda = 0 \) yazıldığında elde edilen \( 1, x, \ldots, x^{k-1} \) çözümleri denklemin birer temel çözümü olur.
Tek Katlı Karmaşık Kökler
Karakteristik denklemin tek katlı ve karmaşık birbirinin eşleniği her kök ikilisi için çözüm aşağıdaki şekilde oluşur.
Karakteristik denklemin \( \lambda = a \pm bi \) şeklindeki her tek katlı karmaşık sayı kökü için,
aşağıdaki iki terim diferansiyel denklemin birer temel çözümü olur.
\( e^{ax}\cos(bx), e^{ax}\sin(bx) \)
\( y'' - 10y + 29 = 0 \)
Karakteristik denklem:
\( \lambda^2 - 10\lambda + 29 = 0 \)
Karakteristik denklemin kökleri:
\( 5 - 2i, 5 + 2i \)
Denklemin temel çözüm kümesi:
\( \{ e^{5x}\cos(2x), e^{5x}\sin(2x) \} \)
Denklemin genel çözümü:
\( y(x) = C_1e^{5x}\cos(2x) + C_2e^{5x}\sin(2x) \)
Karakteristik denklemin tek katlı bir kökünün \( \lambda = \pm bi \) olduğu durumda, \( a = 0 \) yazıldığında elde edilen \( \cos(bx), \sin(bx) \) çözümleri denklemin birer temel çözümü olur.
\( y'' + 16 = 0 \)
Karakteristik denklem:
\( \lambda^2 + 16 = 0 \)
Karakteristik denklemin kökleri:
\( -4i, 4i \)
Denklemin temel çözüm kümesi:
\( \{ \cos(4x), \sin(4x) \} \)
Denklemin genel çözümü:
\( y(x) = C_1\cos(4x) + C_2\sin(4x) \)
Çok Katlı Karmaşık Kökler
Karakteristik denklemin çok katlı ve karmaşık birbirinin eşleniği her kök ikilisi için çözüm aşağıdaki şekilde oluşur.
Karakteristik denklemin \( \lambda = (a \pm bi)^k \) şeklindeki her \( k \) katlı karmaşık sayı kökü için,
aşağıdaki \( 2k \) terim diferansiyel denklemin birer temel çözümü olur.
\( e^{ax}\cos(bx), e^{ax}\sin(bx) \)
\( xe^{ax}\cos(bx), xe^{ax}\sin(bx) \)
\( x^2e^{ax}\cos(bx), x^2e^{ax}\sin(bx) \)
\( \vdots \)
\( x^{k-1}e^{ax}\cos(bx), x^{k-1}e^{ax}\sin(bx) \)
\( y^{(4)} - 12y''' + 62y'' - 156 y' + 169 = 0 \)
Karakteristik denklem:
\( \lambda^4 - 12\lambda^3 + 62\lambda^2 - 156\lambda + 169 = 0 \)
\( (\lambda^2 - 6\lambda + 13)^2 = 0 \)
Karakteristik denklemin kökleri:
\( 3 - 2i, 3 + 2i, 3 - 2i, 3 + 2i \)
Denklemin temel çözümleri:
\( \{ e^{3x}\cos(2x), e^{3x}\cos(2x), xe^{3x}\cos(2x), xe^{3x}\cos(2x) \} \)
Denklemin genel çözümü:
\( y(x) = C_1e^{3x}\cos(2x) + C_2e^{3x}\cos(2x) + C_3xe^{3x}\cos(2x) + C_4xe^{3x}\cos(2x) \)
\( n \). mertebeden bir karakteristik polinomun reel ya da karmaşık toplam \( n \) kökü vardır ve yukarıdaki yöntemle toplam \( n \) temel çözüm oluşur. Bu \( n \) temel çözüm lineer bağımsız çözümlerdir ve lineer kombinasyonları denklemin genel çözümünü oluşturur.
Sabit katsayılı homojen lineer denklemler aşağıdaki yöntemle çözülür.
Adım 1: Denklem formu
Verilen denklemin sabit katsayılı homojen lineer bir denklem olduğu kontrol edilir.
\( a_n, \ldots, a_0 \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( a_ny^{(n)}(x) + a_{n-1}y^{(n-1)}(x) + \ldots + a_1y'(x) + a_0y(x) = 0 \)
Adım 2: Karakteristik denklem
Denklemin karakteristik denklemi yazılır. Daha sonra karakteristik denklem yukarıda paylaştığımız yöntemlerle çarpanlarına ayrılır ve denklemin kökleri bulunur.
Adım 3: Genel çözümün bulunması
Karakteristik denklemin her bir kökü için yukarıda paylaştığımız terim(ler) temel çözüme dahil edilir.
Temel çözümlerin bir lineer kombinasyonu olarak denklemin genel çözümü oluşturulur.
Adım 4: Başlangıç koşulları
Denklem için başlangıç koşulları verildiyse genel çözümde yerine konarak keyfi sabitler ve denklemin özel çözümü bulunur.
Sabit katsayılı homojen denklemlerin çözümünü bir örnek üzerinde gösterelim.
\( y^{(4)} - 7y''' + 31y'' - 25y' = 0 \)
denkleminin genel çözümünü bulalım.
Verilen denklem sabit katsayılı homojen bir lineer denklemdir.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( \lambda^4 - 7\lambda^3 + 31\lambda^2 - 25\lambda = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( \lambda \)'nın denklemin bir çarpanı olduğunu görebiliriz.
\( \lambda(\lambda^3 - 7\lambda^2 + 31\lambda - 25) = 0 \)
Üçüncü dereceden ifadeyi incelediğimizde \( \lambda = 1 \) değerinin ifadeyi sıfır yaptığını, dolayısıyla \( \lambda - 1 \) ifadesinin denklemin bir çarpanı olduğunu görebiliriz.
Üçüncü dereceden ifadeyi polinom bölmesi ile \( \lambda - 1 \) ifadesine bölelim.
\( \lambda(\lambda - 1)(\lambda^2 - 6\lambda + 25) = 0 \)
İkinci dereceden ifadenin köklerini bulmak için kök bulma formülünü kullanalım.
\( \lambda_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
\( = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(25)}}{2(1)} \)
\( = 3 \pm 4i \)
Karakteristik denklemin her bir kökü için aşağıdaki temel çözümler oluşur.
- \( \lambda = 0 \) kökü için: \( 1 \)
- \( \lambda = 1 \) kökü için: \( e^x \)
- \( \lambda = 3 \pm 4i \) kökleri için: \( e^{3x}\cos(4x), e^{3x}\sin(4x) \)
Denklemin temel çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
\( \{ 1, e^x, e^{3x}\cos(4x), e^{3x}\sin(4x) \} \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y(x) = C_1 + C_2e^x + C_3e^{3x}\cos(4x) + C_4e^{3x}\sin(4x) \)
\( y'' - 4y' - 45y = 0 \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen bir lineer denklemdir.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( \lambda^2 - 4\lambda - 45 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( (\lambda + 5)(\lambda - 9) = 0 \)
Karakteristik denklemin her bir kökü için aşağıdaki temel çözümler oluşur.
- \( \lambda = -5 \) kökü için: \( e^{-5x} \)
- \( \lambda = 9 \) kökü için: \( e^{9x} \)
Denklemin temel çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
\( \{ e^{-5x}, e^{9x} \} \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y(x) = C_1e^{-5x} + C_2e^{9x} \)
\( y'' + 3y' = 0 \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen bir lineer denklemdir.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( \lambda^2 + 3\lambda = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( \lambda(\lambda + 3) = 0 \)
Karakteristik denklemin her bir kökü için aşağıdaki temel çözümler oluşur.
- \( \lambda = 0 \) kökü için: \( e^{0x} = 1 \)
- \( \lambda = -3 \) kökü için: \( e^{-3x} \)
Denklemin temel çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
\( \{ 1, e^{-3x} \} \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y(x) = C_1 + C_2e^{-3x} \)
\( \dfrac{d^2y}{dx^2} - 16y = 0 \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen bir lineer denklemdir.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( \lambda^2 - 16 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( (\lambda - 4)(\lambda + 4) = 0 \)
Karakteristik denklemin her bir kökü için aşağıdaki temel çözümler oluşur.
- \( \lambda = 4 \) kökü için: \( e^{4x} \)
- \( \lambda = -4 \) kökü için: \( e^{-4x} \)
Denklemin temel çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
\( \{ e^{4x}, e^{-4x} \} \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y(x) = C_1e^{4x} + C_2e^{-4x} \)
\( 9\dfrac{d^2x}{dt^2} - 16x = 0 \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen bir lineer denklemdir.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( 9\lambda^2 - 16 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( (3\lambda - 4)(3\lambda + 4) = 0 \)
Karakteristik denklemin her bir kökü için aşağıdaki temel çözümler oluşur.
- \( \lambda = \frac{4}{3} \) kökü için: \( e^{\frac{4}{3}t} \)
- \( \lambda = -\frac{4}{3} \) kökü için: \( e^{-\frac{4}{3}t} \)
Denklemin temel çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
\( \{ e^{\frac{4}{3}t}, e^{-\frac{4}{3}t} \} \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( x(t) = C_1e^{\frac{4}{3}t} + C_2e^{-\frac{4}{3}t} \)
\( 2\dfrac{d^2y}{dx^2} + 3\dfrac{dy}{dx} - 5y = 0 \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen bir lineer denklemdir.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( 2\lambda^2 + 3\lambda - 5 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( (2\lambda + 5)(\lambda - 1) = 0 \)
Karakteristik denklemin her bir kökü için aşağıdaki temel çözümler oluşur.
- \( \lambda = -\frac{5}{2} \) kökü için: \( e^{-\frac{5}{2}x} \)
- \( \lambda = 1 \) kökü için: \( e^x \)
Denklemin temel çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
\( \{ e^{-\frac{5}{2}x}, e^x \} \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y(x) = C_1e^{-\frac{5}{2}x} + C_2e^x \)
\( 6y'' - y' - 12y = 0 \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen bir lineer denklemdir.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( 6\lambda^2 - \lambda - 12 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( (3\lambda + 4)(2\lambda - 3) = 0 \)
Karakteristik denklemin her bir kökü için aşağıdaki temel çözümler oluşur.
- \( \lambda = -\frac{4}{3} \) kökü için: \( e^{-\frac{4}{3}x} \)
- \( \lambda = \frac{3}{2} \) kökü için: \( e^{\frac{3}{2}x} \)
Denklemin temel çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
\( \{ e^{-\frac{4}{3}x}, e^{\frac{3}{2}x} \} \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y(x) = C_1e^{-\frac{4}{3}x} + C_2e^{\frac{3}{2}x} \)
\( y'' + 14y' + 49y = 0 \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen bir lineer denklemdir.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( \lambda^2 + 14\lambda + 49 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( (\lambda + 7)^2 = 0 \)
Karakteristik denklemin her bir kökü için aşağıdaki temel çözümler oluşur.
- \( \lambda = -7 \) kökleri için: \( e^{-7x}, xe^{-7x} \)
Denklemin temel çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
\( \{ e^{-7x}, xe^{-7x} \} \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y(x) = C_1e^{-7x} + C_2xe^{-7x} \)
\( y'' + 9y = 0 \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen bir lineer denklemdir.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( \lambda^2 + 9 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( (\lambda - 3i)(\lambda + 3i) = 0 \)
Karakteristik denklemin her bir kökü için aşağıdaki temel çözümler oluşur.
- \( \lambda = \pm 3i \) kökleri için: \( \cos(3x), \sin(3x) \)
Denklemin temel çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
\( \{ \cos(3x), \sin(3x) \} \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y(x) = C_1\cos(3x) + C_2\sin(3x) \)
\( 4y'' - 3y = 0 \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen bir lineer denklemdir.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( 4\lambda^2 - 3 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( (2\lambda - \sqrt{3})(2\lambda + \sqrt{3}) = 0 \)
Karakteristik denklemin her bir kökü için aşağıdaki temel çözümler oluşur.
- \( \lambda = \frac{\sqrt{3}}{2} \) kökü için: \( e^{\frac{\sqrt{3}}{2}x} \)
- \( \lambda = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) kökü için: \( e^{-\frac{\sqrt{3}}{2}x} \)
Denklemin temel çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
\( \{ e^{\frac{\sqrt{3}}{2}x}, e^{-\frac{\sqrt{3}}{2}x} \} \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y(x) = C_1e^{\frac{\sqrt{3}}{2}x} + C_2e^{-\frac{\sqrt{3}}{2}x} \)
\( \dfrac{d^2y}{dt^2} - 6\dfrac{dy}{dt} + 2y = 0 \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen bir lineer denklemdir.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( \lambda^2 - 6\lambda + 2 = 0 \)
İkinci dereceden ifadenin köklerini bulmak için kök bulma formülünü kullanalım.
\( \lambda_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
\( = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} \)
\( = 3 \pm \sqrt{7} \)
Karakteristik denklemin her bir kökü için aşağıdaki temel çözümler oluşur.
- \( \lambda = 3 - \sqrt{7} \) kökü için: \( e^{(3 - \sqrt{7})t} \)
- \( \lambda = 3 + \sqrt{7} \) kökü için: \( e^{(3 + \sqrt{7})t} \)
Denklemin temel çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
\( \{ e^{(3 - \sqrt{7})t}, e^{(3 + \sqrt{7})t} \} \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y(t) = C_1e^{(3 - \sqrt{7})t} + C_2e^{(3 + \sqrt{7})t} \)
\( z''(x) - 6z'(x) + 34z(x) = 0 \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen bir lineer denklemdir.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( \lambda^2 - 6\lambda + 34 = 0 \)
İkinci dereceden ifadenin köklerini bulmak için kök bulma formülünü kullanalım.
\( \lambda_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
\( = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(34)}}{2(1)} \)
\( = 3 \pm 5i \)
Karakteristik denklemin her bir kökü için aşağıdaki temel çözümler oluşur.
- \( \lambda = 3 \pm 5i \) kökleri için: \( e^{3x}\cos(5x), e^{3x}\sin(5x) \)
Denklemin temel çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
\( \{ e^{3x}\cos(5x), e^{3x}\sin(5x) \} \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( z(x) = C_1e^{3x}\cos(5x) + C_2e^{3x}\sin(5x) \)
\( \dfrac{d^2y}{dx^2} + 10\dfrac{dy}{dx} + 28y = 0 \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen bir lineer denklemdir.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( \lambda^2 + 10\lambda + 28 = 0 \)
İkinci dereceden ifadenin köklerini bulmak için kök bulma formülünü kullanalım.
\( \lambda_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
\( = \dfrac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4(1)(28)}}{2(1)} \)
\( = -5 \pm \sqrt{3}i \)
Karakteristik denklemin her bir kökü için aşağıdaki temel çözümler oluşur.
- \( \lambda = -5 \pm \sqrt{3}i \) kökleri için: \( e^{-5x}\cos(\sqrt{3}x), e^{-5x}\sin(\sqrt{3}x) \)
Denklemin temel çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
\( \{ e^{-5x}\cos(\sqrt{3}x), e^{-5x}\sin(\sqrt{3}x) \} \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y(x) = C_1e^{-5x}\cos(\sqrt{3}x) + C_2e^{-5x}\sin(\sqrt{3}x) \)
\( y''' - 6y'' + 9y' = 0 \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen bir lineer denklemdir.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( \lambda^3 - 6\lambda^2 + 9\lambda = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( \lambda \)'nın denklemin bir çarpanı olduğunu görebiliriz.
\( \lambda(\lambda^2 - 6\lambda + 9\lambda) = 0 \)
İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( \lambda(\lambda - 3)^2 = 0 \)
Karakteristik denklemin her bir kökü için aşağıdaki temel çözümler oluşur.
- \( \lambda = 0 \) kökü için: \( e^{0x} = 1 \)
- \( \lambda = 3 \) kökleri için: \( e^{3x}, xe^{3x} \)
Denklemin temel çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
\( \{ 1, e^{3x}, xe^{3x} \} \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y(x) = C_1 + C_2e^{3x} + C_3xe^{3x} \)
\( 4y''' - 3y' = 0 \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen bir lineer denklemdir.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( 4\lambda^3 - 3\lambda = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( \lambda \)'nın denklemin bir çarpanı olduğunu görebiliriz.
\( \lambda(4\lambda^2 - 3) = 0 \)
İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( \lambda(2\lambda - \sqrt{3})(2\lambda + \sqrt{3}) = 0 \)
Karakteristik denklemin her bir kökü için aşağıdaki temel çözümler oluşur.
- \( \lambda = 0 \) kökü için: \( e^{0x} = 1 \)
- \( \lambda = \frac{\sqrt{3}}{2} \) kökü için: \( e^{\frac{\sqrt{3}}{2}x} \)
- \( \lambda = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) kökü için: \( e^{-\frac{\sqrt{3}}{2}x} \)
Denklemin temel çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
\( \{ 1, e^{\frac{\sqrt{3}}{2}x}, e^{-\frac{\sqrt{3}}{2}x} \} \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y(x) = C_1 + C_2e^{\frac{\sqrt{3}}{2}x} + C_3e^{-\frac{\sqrt{3}}{2}x} \)
\( \dfrac{d^2y}{dt^2} - 10\dfrac{dy}{dt} + 24y = 0 \)
\( y(0) = 3, \quad y'(0) = 2 \)
denkleminin verilen başlangıç değerleri için çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen bir lineer denklemdir.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( \lambda^2 - 10\lambda + 24 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( (\lambda - 4)(\lambda - 6) = 0 \)
Karakteristik denklemin her bir kökü için aşağıdaki temel çözümler oluşur.
- \( \lambda = 4 \) kökü için: \( e^{4t} \)
- \( \lambda = 6 \) kökü için: \( e^{6t} \)
Denklemin temel çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
\( \{ e^{4t}, e^{6t} \} \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y(t) = C_1e^{4t} + C_2e^{6t} \)
\( y(0) = 3, y'(0) = 2 \) başlangıç değerlerini denklemde yerine koyalım.
\( y'(t) = 4C_1e^{4t} + 6C_2e^{6t} \)
\( \begin{cases} 3 = C_1e^{4(0)} + C_2e^{6(0)} \\ 2 = 4C_1e^{4(0)} + 6C_2e^{6(0)} \end{cases} \)
\( \begin{cases} 3 = C_1 + C_2 \\ 2 = 4C_1 + 6C_2 \end{cases} \)
\( C_1 = 8, \quad C_2 = -5 \)
Denklemin verilen başlangıç değerleri için çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y(t) = 8e^{4t} - 5e^{6t} \)
\( y''' - 4y' = 0 \)
\( y(0) = 0, \quad y'(0) = 1, \quad y''(0) = 6 \)
denkleminin verilen başlangıç değerleri için çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen bir lineer denklemdir.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( \lambda^3 - 4\lambda = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( \lambda \)'nın denklemin bir çarpanı olduğunu görebiliriz.
\( \lambda(\lambda^2 - 4) = 0 \)
İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( \lambda(\lambda - 2)(\lambda + 2) = 0 \)
Karakteristik denklemin her bir kökü için aşağıdaki temel çözümler oluşur.
- \( \lambda = 0 \) kökü için: \( e^{0x} = 1 \)
- \( \lambda = 2 \) kökü için: \( e^{2x} \)
- \( \lambda = -2 \) kökü için: \( e^{-2x} \)
Denklemin temel çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
\( \{ 1, e^{2x}, e^{-2x} \} \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y(x) = C_1 + C_2e^{2x} + C_3e^{-2x} \)
\( y(0) = 0, y'(0) = 1, y'' = 6 \) başlangıç değerlerini denklemde yerine koyalım.
\( y'(x) = 2C_2e^{2x} - 2C_3e^{-2x} \)
\( y''(x) = 4C_2e^{2x} + 4C_3e^{-2x} \)
\( \begin{cases} 0 = C_1 + C_2e^{2(0)} + C_3e^{-2(0)} \\ 1 = 2C_2e^{2(0)} - 2C_3e^{-2(0)} \\ 4 = 4C_2e^{2(0)} + 4C_3e^{-2(0)} \end{cases} \)
\( \begin{cases} 0 = C_1 + C_2 + C_3 \\ 1 = 2C_2 - 2C_3 \\ 6 = 4C_2 + 4C_3 \end{cases} \)
\( C_1 = -\dfrac{3}{2}, \quad C_2 = 1, \quad C_3 = \dfrac{1}{2} \)
Denklemin verilen başlangıç değerleri için çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y(x) = -\dfrac{3}{2} + e^{2x} + \dfrac{1}{2}e^{-2x} \)
\( y''' - 2y'' - 11y' + 12y = 0 \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen bir lineer denklemdir.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( \lambda^3 - 2\lambda^2 - 11\lambda + 12 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
Üçüncü dereceden ifadeyi incelediğimizde \( \lambda = 1 \) değerinin ifadeyi sıfır yaptığını, dolayısıyla \( \lambda - 1 \) ifadesinin denklemin bir çarpanı olduğunu görebiliriz.
Üçüncü dereceden ifadeyi polinom bölmesi ile \( \lambda - 1 \) ifadesine bölelim.
\( (\lambda - 1)(\lambda^2 - \lambda - 12) = 0 \)
İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( (\lambda - 1)(\lambda + 3)(\lambda - 4) = 0 \)
Karakteristik denklemin her bir kökü için aşağıdaki temel çözümler oluşur.
- \( \lambda = 1 \) kökü için: \( e^x \)
- \( \lambda = -3 \) kökü için: \( e^{-3x} \)
- \( \lambda = 4 \) kökü için: \( e^{4x} \)
Denklemin temel çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
\( \{ e^x, e^{-3x}, e^{4x} \} \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y(x) = C_1e^x + C_2e^{-3x} + C_3e^{4x} \)
\( 2\dfrac{d^3z}{dt^3} - 3\dfrac{d^2z}{dt^2} - 8\dfrac{dz}{dt} - 3z = 0 \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen bir lineer denklemdir.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( 2\lambda^3 - 3\lambda^2 - 8\lambda - 3 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
Üçüncü dereceden ifadeyi incelediğimizde \( \lambda = -1 \) değerinin ifadeyi sıfır yaptığını, dolayısıyla \( \lambda + 1 \) ifadesinin denklemin bir çarpanı olduğunu görebiliriz.
Üçüncü dereceden ifadeyi polinom bölmesi ile \( \lambda + 1 \) ifadesine bölelim.
\( (\lambda + 1)(2\lambda^2 - 5\lambda - 3) = 0 \)
İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( (\lambda + 1)(2\lambda + 1)(\lambda - 3) = 0 \)
Karakteristik denklemin her bir kökü için aşağıdaki temel çözümler oluşur.
- \( \lambda = -1 \) kökü için: \( e^{-t} \)
- \( \lambda = -\frac{1}{2} \) kökü için: \( e^{-\frac{1}{2}t} \)
- \( \lambda = 3 \) kökü için: \( e^{3t} \)
Denklemin temel çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
\( \{ e^{-t}, e^{-\frac{1}{2}t}, e^{3t} \} \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( z(t) = C_1e^{-t} + C_2e^{-\frac{1}{2}t} + C_3e^{3t} \)
\( 8y''' - 12y'' + 6y' - y = 0 \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen bir lineer denklemdir.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( 8\lambda^3 - 12\lambda^2 + 6\lambda - 1 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( (2\lambda)^3 - 3(2\lambda)^2 + 3(2\lambda) - 1 = 0 \)
Üçüncü dereceden ifade \( (2\lambda - 1)^3 \) ifadesinin binom açılımıdır.
\( (2\lambda - 1)^3 = 0 \)
Karakteristik denklemin her bir kökü için aşağıdaki temel çözümler oluşur.
- \( \lambda = \frac{1}{2} \) kökleri için: \( e^{\frac{1}{2}x}, xe^{\frac{1}{2}}, x^2e^{\frac{1}{2}x} \)
Denklemin temel çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
\( \{ e^{\frac{1}{2}x}, xe^{\frac{1}{2}}, x^2e^{\frac{1}{2}x} \} \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y(x) = C_1e^{\frac{1}{2}x} + C_2xe^{\frac{1}{2}} + C_3x^2e^{\frac{1}{2}x} \)
\( y''' + y' - 10y = 0 \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen bir lineer denklemdir.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( \lambda^3 + \lambda - 10 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
Üçüncü dereceden ifadeyi incelediğimizde \( \lambda = 2 \) değerinin ifadeyi sıfır yaptığını, dolayısıyla \( \lambda - 2 \) ifadesinin denklemin bir çarpanı olduğunu görebiliriz.
Üçüncü dereceden ifadeyi polinom bölmesi ile \( \lambda - 2 \) ifadesine bölelim.
\( (\lambda - 2)(\lambda^2 + 2\lambda + 5) = 0 \)
İkinci dereceden ifadenin köklerini bulmak için kök bulma formülünü kullanalım.
\( \lambda_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
\( = \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(5)}}{2(1)} \)
\( = -1 \pm 2i \)
Karakteristik denklemin her bir kökü için aşağıdaki temel çözümler oluşur.
- \( \lambda = 2 \) kökü için: \( e^{2x} \)
- \( \lambda = -1 \pm 2i \) kökleri için: \( e^{-x}\cos(2x), e^{-x}\sin(2x) \)
Denklemin temel çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
\( \{ e^{2x}, e^{-x}\cos(2x), e^{-x}\sin(2x) \} \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y(x) = C_1e^{2x} + C_2e^{-x}\cos(2x) + C_3e^{-x}\sin(2x) \)
\( \dfrac{d^4y}{dt^4} + 2\dfrac{d^3y}{dt^3} - 2\dfrac{dy}{dt} - y = 0 \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen bir lineer denklemdir.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( \lambda^4 + 2\lambda^3 - 2\lambda - 1 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
Dördüncü dereceden ifadeyi incelediğimizde \( \lambda = 1 \) değerinin ifadeyi sıfır yaptığını, dolayısıyla \( \lambda - 1 \) ifadesinin denklemin bir çarpanı olduğunu görebiliriz.
Dördüncü dereceden ifadeyi polinom bölmesi ile \( \lambda - 1 \) ifadesine bölelim.
\( (\lambda - 1)(\lambda^3 + 3\lambda^2 + 3\lambda + 1) = 0 \)
Üçüncü dereceden ifade \( (\lambda + 1)^3 \) ifadesinin binom açılımıdır.
\( (\lambda - 1)(\lambda + 1)^3 = 0 \)
Karakteristik denklemin her bir kökü için aşağıdaki temel çözümler oluşur.
- \( \lambda = 1 \) kökü için: \( e^t \)
- \( \lambda = -1 \) kökleri için: \( e^{-t}, te^{-t}, t^2e^{-t} \)
Denklemin temel çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
\( \{ e^t, e^{-t}, te^{-t}, t^2e^{-t} \} \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y(t) = C_1e^t + C_2e^{-t} + C_3te^{-t} + C_4t^2e^{-t} \)
\( y^{(4)} + 12y''' + 54y'' + 108y' + 81y = 0 \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen bir lineer denklemdir.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( \lambda^4 + 12\lambda^3 + 54\lambda^2 + 108\lambda + 81 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( \lambda^4 + 4\lambda^3(3) + 6\lambda^2(3)^2 + 4\lambda(3)^3 + 3^4 = 0 \)
Dördüncü dereceden ifade \( (\lambda + 3)^4 \) ifadesinin binom açılımıdır.
\( (\lambda + 3)^4 = 0 \)
Karakteristik denklemin her bir kökü için aşağıdaki temel çözümler oluşur.
- \( \lambda = -3 \) kökleri için: \( e^{-3x}, xe^{-3x}, x^2e^{-3x}, x^3e^{-3x} \)
Denklemin temel çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
\( \{ e^{-3x}, xe^{-3x}, x^2e^{-3x}, x^3e^{-3x} \} \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y(x) = C_1e^{-3x} + C_2xe^{-3x} + C_3x^2e^{-3x} + C_4x^3e^{-3x} \)
\( 4y^{(4)} - 8y''' - y'' + 2y' = 0 \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen bir lineer denklemdir.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( 4\lambda^4 - 8\lambda^3 - \lambda^2 + 2\lambda = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( \lambda \)'nın denklemin bir çarpanı olduğunu görebiliriz.
\( \lambda(4\lambda^3 - 8\lambda^2 - \lambda + 2) = 0 \)
Üçüncü dereceden ifadeyi incelediğimizde \( \lambda = 2 \) değerinin ifadeyi sıfır yaptığını, dolayısıyla \( \lambda - 2 \) ifadesinin denklemin bir çarpanı olduğunu görebiliriz.
Üçüncü dereceden ifadeyi polinom bölmesi ile \( \lambda - 2 \) ifadesine bölelim.
\( \lambda(\lambda - 2)(4\lambda^2 - 1) = 0 \)
İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( \lambda(\lambda - 2)(2\lambda - 1)(2\lambda + 1) = 0 \)
Karakteristik denklemin her bir kökü için aşağıdaki temel çözümler oluşur.
- \( \lambda = 0 \) kökü için: \( e^{0x} = 1 \)
- \( \lambda = 2 \) kökü için: \( e^{2x} \)
- \( \lambda = \frac{1}{2} \) kökü için: \( e^{\frac{1}{2}x} \)
- \( \lambda = -\frac{1}{2} \) kökü için: \( e^{-\frac{1}{2}x} \)
Denklemin temel çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
\( \{ 1, e^{2x}, e^{\frac{1}{2}x}, e^{-\frac{1}{2}x} \} \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y(x) = C_1 + C_2e^{2x} + C_3e^{\frac{1}{2}x} + C_4e^{-\frac{1}{2}x} \)
\( \dfrac{d^4z}{dx^4} + 8\dfrac{d^2z}{dx^2} + 16z = 0 \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen bir lineer denklemdir.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( \lambda^4 + 8\lambda^2 + 16 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( (\lambda^2)^2 + 2\lambda^2(4) + 4^2 = 0 \)
Dördüncü dereceden ifade \( (\lambda^2 + 4)^2 \) ifadesinin binom açılımıdır.
\( (\lambda^2 + 4)^2 = 0 \)
Karakteristik denklemin her bir kökü için aşağıdaki temel çözümler oluşur.
- \( \lambda = \pm 2i \) kökleri için: \( \cos(2x), \sin(2x), x\cos(2x), x\sin(2x) \)
Denklemin temel çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
\( \{ \cos(2x), \sin(2x), x\cos(2x), x\sin(2x) \} \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( z(x) = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) + C_3x\cos(2x) + C_4x\sin(2x) \)
\( y^{(4)} - y''' - 21y'' + 25y' + 20y = 0 \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen bir lineer denklemdir.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( \lambda^4 - \lambda^3 - 21\lambda^2 + 25\lambda + 20 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
Dördüncü dereceden ifadeyi incelediğimizde \( \lambda = 1 \) değerinin ifadeyi sıfır yaptığını, dolayısıyla \( \lambda - 1 \) ifadesinin denklemin bir çarpanı olduğunu görebiliriz.
Dördüncü dereceden ifadeyi polinom bölmesi ile \( \lambda - 1 \) ifadesine bölelim.
\( (\lambda - 1)(\lambda^3 - 21\lambda - 20) = 0 \)
Üçüncü dereceden ifadeyi incelediğimizde \( \lambda = -1 \) değerinin ifadeyi sıfır yaptığını, dolayısıyla \( \lambda + 1 \) ifadesinin denklemin bir çarpanı olduğunu görebiliriz.
Üçüncü dereceden ifadeyi polinom bölmesi ile \( \lambda + 1 \) ifadesine bölelim.
\( (\lambda - 1)(\lambda + 1)(\lambda^2 - \lambda - 20 ) = 0 \)
İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( (\lambda - 1)(\lambda + 1)(\lambda + 4)(\lambda - 5) = 0 \)
Karakteristik denklemin her bir kökü için aşağıdaki temel çözümler oluşur.
- \( \lambda = 1 \) kökü için: \( e^x \)
- \( \lambda = -1 \) kökü için: \( e^{-x} \)
- \( \lambda = -4 \) kökü için: \( e^{-4x} \)
- \( \lambda = 5 \) kökü için: \( e^{5x} \)
Denklemin temel çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
\( \{ e^x, e^{-x}, e^{-4x}, e^{5x} \} \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y(x) = C_1e^x + C_2e^{-x} + C_3e^{-4x} + C_4e^{5x} \)
\( y^{(4)} - 12y''' + 62y'' - 156y' + 169y = 0 \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen bir lineer denklemdir.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( \lambda^4 - 12\lambda^3 + 62\lambda^2 - 156\lambda + 169 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
Dördüncü dereceden ifade \( (\lambda^2 - 6\lambda + 13)^2 \) ifadesinin açılımıdır.
\( (\lambda^2 - 6\lambda + 13)^2 = 0 \)
İkinci dereceden ifadenin köklerini bulmak için kök bulma formülünü kullanalım.
\( \lambda_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
\( = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(13)}}{2(1)} \)
\( = 3 \pm 2i \)
Karakteristik denklemin her bir kökü için aşağıdaki temel çözümler oluşur.
- \( \lambda = 3 \pm 2i \) kökleri için: \( e^{3x}\cos(2x), e^{3x}\sin(2x), xe^{3x}\cos(2x), xe^{3x}\sin(2x) \)
Denklemin temel çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
\( \{ e^{3x}\cos(2x), e^{3x}\sin(2x), xe^{3x}\cos(2x), xe^{3x}\sin(2x) \} \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y(x) = C_1e^{3x}\cos(2x) + C_2e^{3x}\sin(2x) + C_3xe^{3x}\cos(2x) + C_4xe^{3x}\sin(2x) \)
\( y^{(4)} - 2y'' + y = 0 \)
\( y(0) = 5, \quad y'(0) = 7, \quad y''(0) = 5, \quad y'''(0) = 3 \)
denkleminin verilen başlangıç değerleri için çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen bir lineer denklemdir.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( \lambda^4 - 2\lambda^2 + 1 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
Dördüncü dereceden ifade \( (\lambda^2 - 1)^2 \) ifadesinin açılımıdır.
\( (\lambda^2 - 1)^2 = 0 \)
İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( (\lambda - 1)^2(\lambda + 1)^2 = 0 \)
Karakteristik denklemin her bir kökü için aşağıdaki temel çözümler oluşur.
- \( \lambda = 1 \) kökleri için: \( e^x, xe^x \)
- \( \lambda = -1 \) kökleri için: \( e^{-x}, xe^{-x} \)
Denklemin temel çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
\( \{ e^x, xe^x, e^{-x}, xe^{-x} \} \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y(x) = C_1e^x + C_2xe^x + C_3e^{-x} + C_4xe^{-x} \)
\( y(0) = 5, y'(0) = 7, y''(0) = 5, y'''(0) = 3 \) başlangıç değerlerini denklemde yerine koyalım.
\( y'(x) = C_1e^x + C_2e^x + C_2xe^x - C_3e^{-x} + C_4e^{-x} - C_4xe^{-x} \)
\( y''(x) = C_1e^x + 2C_2e^x + C_2xe^x + C_3e^{-x} - 2C_4e^{-x} + C_4xe^{-x} \)
\( y'''(x) = C_1e^x + 3C_2e^x + C_2xe^x - C_3e^{-x} + 3C_4e^{-x} - C_4xe^{-x} \)
\( \begin{cases} 5 = C_1e^{0} + C_2(0)e^{0} + C_3e^{-0} + C_4(0)e^{-0} \\ 7 = C_1e^{0} + C_2e^{0} + C_2(0)e^{0} - C_3e^{-0} + C_4e^{-0} - C_4(0)e^{-0} \\ 5 = C_1e^{0} + 2C_2e^{0} + C_2(0)e^{0} + C_3e^{-0} - 2C_4e^{-0} + C_4(0)e^{-0} \\ 3 = C_1e^{0} + 3C_2e^{0} + C_2(0)e^{0} - C_3e^{-0} + 3C_4e^{-0} - C_4(0)e^{-0} \end{cases} \)
\( \begin{cases} 5 = C_1 + C_3 \\ 7 = C_1 + C_2 - C_3 + C_4 \\ 5 = C_1 + 2C_2 + C_3 - 2C_4 \\ 3 = C_1 + 3C_2 - C_3 + 3C_4 \end{cases} \)
\( C_1 = 7, \quad C_2 = -1, \quad C_3 = -2, \quad C_4 = -1 \)
Denklemin verilen başlangıç değerleri için çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y(x) = 7e^x - xe^x - 2e^{-x} - xe^{-x} \)