Belirsiz Katsayılar Yöntemi
Önceki bölümde \( n \). mertebeden sabit katsayılı homojen lineer denklemlerin çözüm yöntemini görmüştük. Bu bölümde yine sabit katsayılı, ancak homojen olmayan lineer denklemlerin çözümünde kullanılan belirsiz katsayılar yöntemini inceleyeceğiz.
\( a_n, \ldots, a_0 \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( a_ny^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \ldots + a_1y' + a_0y = f(x) \)
\( L[y] = f(x) \)
\( y'' - 7y' + 12y = x^2 - 5\cos(2x) \)
\( 2y''' - 9y'' + 7y' + 6y = 2e^{x} \)
Bu denklemler;
- \( y \) fonksiyonunun en yüksek \( n \). mertebeden türevini içerdiği için \( n \). mertebedendir.
- \( y \) ve tüm türevlerinin katsayıları birer reel sayı olduğu için sabit katsayılıdır.
- Eşitliğin sağ tarafı sıfırdan farklı bir fonksiyon olduğu için homojen değildir.
- \( y \) fonksiyonunun ve türevlerinin sadece birinci kuvvetlerini içerdiği ve çarpımlarını içermediği için lineerdir.
Homojen olmayan lineer denklemlerin genel çözümü aşağıdaki iki çözümün toplamından oluşur.
\( y = y_c + y_p \)
- \( y_c \) denklemin karşılık geldiği homojen denklemin genel çözümüdür ve tamamlayıcı çözüm olarak adlandılır. Sabit katsayılı lineer denklemler için bu çözümü bulma yöntemini önceki bölümde görmüştük.
- \( y_p \) homojen olmayan denklemin herhangi bir özel çözümüdür ve bu bölümde göreceğimiz belirsiz katsayılar yöntemi ile bulunur.
BK Fonksiyonları
Belirsiz katsayılar yönteminin kullanılabilmesi için, \( f(x) \) fonksiyonu aşağıdaki tipteki fonksiyonların bir lineer kombinasyonundan oluşmalıdır. Bu listedeki fonksiyonlar BK fonksiyonları olarak adlandırılır.
\( n \in \mathbb{N}, r, a \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
- \( x^n \) formundaki kuvvet fonksiyonları
- \( e^{rx} \) formundaki üstel fonksiyonlar
- \( \cos(ax) \) formundaki kosinüs fonksiyonu
- \( \sin(ax) \) formundaki sinüs fonksiyonu
- Bu fonksiyonların çarpımından oluşan fonksiyonlar
Buna göre, belirsiz katsayılar yöntemi aşağıdaki \( f(x) \) fonksiyonları için kullanılabilir.
\( f(x) = 3x^3 - 5e^{-2x} \)
\( f(x) = e^{3x} + 4\sin(3x) \)
\( f(x) = x^2e^{-x} + x\cos{x} - e^x\sin(3x) \)
\( f(x) \) fonksiyonu köklü ifade, sinüs/kosinüs dışında trigonometrik fonksiyon, logaritma fonksiyonu ya da yukarıda listelediğimiz BK fonksiyonları dışında bir fonksiyon içerdiği durumlarda ise bu yöntem kullanılamaz.
\( f(x) \) fonksiyonunun bir BK fonksiyonu olan her terimi için aşağıdaki tabloda belirtilen BK kümesi (detaylarını paylaşacağımız kurallar dahilinde) özel çözüme eklenir. Her BK kümesi, karşılık geldiği BK fonksiyonunun tekrarlı şekilde türevi alındığında elde edilebilecek tüm fonksiyonları içerir.
| BK Fonksiyonu | BK Kümesi |
|---|---|
| \( x^n \) | \( \{ x^n, x^{n-1}, \ldots, x, 1 \} \) |
| \( e^{rx} \) | \( \{ e^{rx} \} \) |
| \( \cos(ax) \) | \( \{ \cos(ax), \sin(ax) \} \) |
| \( \sin(ax) \) | \( \{ \cos(ax), \sin(ax) \} \) |
| \( x^ne^{rx} \) | \( \{ x^ne^{rx}, x^{n-1}e^{rx}, \ldots, xe^{rx}, e^{rx} \} \) |
|
\( x^n\cos(ax) \)
ya da
\( x^n\sin(ax) \)
|
\( \{ \)
\( \quad x^n\cos(ax), x^n\sin(ax), \)
\( \quad x^{n-1}\cos(ax), x^{n-1}\sin(ax), \)
\( \quad \vdots, \)
\( \quad x\cos(ax), x\sin(ax), \)
\( \quad \cos(ax), \sin(ax) \)
\( \} \)
|
|
\( e^{rx}\cos(ax) \)
ya da
\( e^{rx}\sin(ax) \)
|
\( \{ e^{rx}\cos(ax), e^{rx}\sin(ax) \} \) |
|
\( x^ne^{rx}\cos(ax) \)
ya da
\( x^ne^{rx}\sin(ax) \)
|
\( \{ \)
\( \quad x^ne^{rx}\cos(ax), x^ne^{rx}\sin(ax), \)
\( \quad x^{n-1}e^{rx}\cos(ax), x^{n-1}e^{rx}\sin(ax), \)
\( \quad \vdots, \)
\( \quad xe^{rx}\cos(ax), xe^{rx}\sin(ax), \)
\( \quad e^{rx}\cos(ax), e^{rx}\sin(ax) \)
\( \} \)
|
Belirsiz katsayılar yöntemi aşağıdaki yöntemle çözülür.
Adım 1: Denklem formu
Verilen denklemin sabit katsayılı homojen olmayan bir lineer denklem olduğu kontrol edilir.
\( L[y] = f(x) \)
Ayrıca \( f(x) \) fonksiyonunun sadece BK fonksiyonlarından oluştuğu kontrol edilir.
Adım 2: Tamamlayıcı çözümün bulunması
Denklemin karşılık geldiği homojen denkleme önceki bölümde kullandığımız yöntem uygulanarak tamamlayıcı çözüm (\( y_c \)) bulunur.
Adım 3: Özel çözümün bulunması
\( f(x) \) fonksiyonunun bir BK fonksiyonu olan her terimi için yukarıdaki tablodaki BK kümesi seçilir.
BK kümeleri oluşturulurken aşağıdaki iki kural uygulanır.
- Seçilen bir BK kümesi diğer bir BK kümesinin alt kümesi ise bu alt küme listeden tamamen silinir.
- Seçilen bir BK kümesi tamamlayıcı çözüm ile ortak bir eleman içeriyorsa bu kümenin tüm elemanları ortak eleman kalmayıncaya kadar \( x \) ile çarpılır.
Elde edilen BK kümelerinin tüm elemanlarının keyfi sabitler kullanılarak oluşturulan lineer kombinasyonu özel çözümü (\( y_p \)) oluşturur.
Adım 4: Belirsiz katsayıların bulunması
Özel çözümün \( n \) kez türevi alınır ve bulunan fonksiyonlar orijinal denklemde yerine konur.
Elde edilen eşitlikte benzer terimlerin katsayıları birbirine eşitlenerek belirsiz katsayılar bulunur.
Bu katsayılar yerine konarak özel çözüm bulunur.
Adım 5: Genel çözümün bulunması
Denklemin genel çözümü, tamamlayıcı çözüm ile herhangi bir özel çözümün toplamından oluşur.
\( y = y_c + y_p \)
Adım 6: Başlangıç koşulları
Denklem için başlangıç koşulları verildiyse genel çözümde yerine konarak keyfi sabitler ve denklemin özel çözümü bulunur.
Belirsiz katsayılar yöntemini bir örnek üzerinde gösterelim.
\( y'' + y' - 6y = 5x^2 + 3e^{2x} \)
denkleminin genel çözümünü bulalım.
Verilen denklem sabit katsayılı homojen olmayan bir lineer denklemdir.
Denklemin karşılık geldiği homojen denklemi kullanarak tamamlayıcı çözümü bulalım.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( \lambda^2 + \lambda - 6 = 0 \)
\( (\lambda + 3)(\lambda - 2) = 0 \)
Buna göre denklemin tamamlayıcı çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y_c = C_1e^{-3x} + C_2e^{2x} \)
Denklemin özel çözümünü bulalım.
\( f(x) = 5x^2 + 3e^{2x} \)
\( f(x) \) fonksiyonunun her terimi için BK kümesini bulalım.
\( 5x^2 \) için:
\( S_1 = \{ x^2, x, 1 \} \)
\( 3e^{2x} \) için:
\( S_2 = \{ e^{2x} \} \)
\( e^{2x} \) tamamlayıcı çözümün parçası olduğu için \( S_2 \) kümesinin tüm elemanlarını ortak bir eleman kalmayıncaya kadar \( x \) ile çarpalım.
\( S_2' = \{ xe^{2x} \} \)
Denklemin özel çözümü, elde ettiğimiz BK kümelerinin birleşimindeki elemanlardan oluşur.
\( S = S_1 \cup S_2' \)
Bu elemanların bir lineer kombinasyonu olarak özel çözümü oluşturalım.
\( y_p = Ax^2 + Bx + C + Dxe^{2x} \)
Özel çözümün türevlerini bulalım.
\( y_p' = 2Ax + B + De^{2x} + 2Dxe^{2x} \)
\( y_p'' = 2A + 2De^{2x} + 2De^{2x} + 4Dxe^{2x} \)
\( = 2A + 4De^{2x} + 4Dxe^{2x} \)
Özel çözümü ve türevlerini orijinal denklemde yerine koyalım.
\( y'' + y' - 6y = 5x^2 + 3e^{2x} \)
\( (2A + 4De^{2x} + 4Dxe^{2x}) + (2Ax + B + De^{2x} + 2Dxe^{2x}) - 6(Ax^2 + Bx + C + Dxe^{2x}) = 5x^2 + 3e^{2x} \)
Terimleri düzenleyelim.
\( 5De^{2x} + (-6A)x^2 + (2A - 6B)x + 2A + B - 6C = 5x^2 + 3e^{2x} \)
İki polinomun eşitliğinde benzer terimlerin katsayıları birbirine eşit olur.
\( 5D = 3 \Longrightarrow D = \dfrac{3}{5} \)
\( -6A = 5 \Longrightarrow A = -\dfrac{5}{6} \)
\( 2A - 6B = 0 \Longrightarrow B = -\dfrac{5}{18} \)
\( 2A + B - 6C = 0 \Longrightarrow C = -\dfrac{35}{108} \)
Denklemin özel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y_p = -\dfrac{5}{6}x^2 - \dfrac{5}{18}x - \dfrac{35}{108} + \dfrac{3}{5}xe^{2x} \)
Denklemin genel çözümü, tamamlayıcı çözüm ile özel çözümün toplamından oluşur.
\( y = y_c + y_p \)
\( y = C_1e^{-3x} + C_2e^{2x} - \dfrac{5}{6}x^2 - \dfrac{5}{18}x - \dfrac{35}{108} + \dfrac{3}{5}xe^{2x} \)
\( y'' - 2y' - 15y = 2e^{3x} + 5x \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen olmayan bir lineer denklemdir.
Denklemin karşılık geldiği homojen denklemi kullanarak tamamlayıcı çözümü bulalım.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( \lambda^2 - 2\lambda - 15 = 0 \)
\( (\lambda + 3)(\lambda - 5) = 0 \)
Buna göre denklemin tamamlayıcı çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y_c = C_1e^{-3x} + C_2e^{5x} \)
Denklemin özel çözümünü bulalım.
\( f(x) = 2e^{3x} + 5x \)
\( f(x) \) fonksiyonunun her terimi için BK kümesini bulalım.
\( 2e^{3x} \) için:
\( S_1 = \{ e^{3x} \} \)
\( 5x \) için:
\( S_2 = \{ x, 1 \} \)
Denklemin özel çözümü, elde ettiğimiz BK kümelerinin birleşimindeki elemanlardan oluşur.
\( S = S_1 \cup S_2 \)
Bu elemanların bir lineer kombinasyonu olarak özel çözümü oluşturalım.
\( y_p = Ae^{3x} + Bx + C \)
Özel çözümün türevlerini bulalım.
\( y_p' = 3Ae^{3x} + B \)
\( y_p'' = 9Ae^{3x} \)
Özel çözümü ve türevlerini orijinal denklemde yerine koyalım.
\( y'' - 2y' - 15y = 2e^{3x} + 5x \)
\( 9Ae^{3x} - 2(3Ae^{3x} + B) - 15(Ae^{3x} + Bx + C) = 2e^{3x} + 5x \)
Terimleri düzenleyelim.
\( -12Ae^{3x} - 15Bx - 2B - 15C = 2e^{3x} + 5x \)
İki polinomun eşitliğinde benzer terimlerin katsayıları birbirine eşit olur.
\( -12A = 2 \Longrightarrow A = -\dfrac{1}{6} \)
\( -15B = 5 \Longrightarrow B = -\dfrac{1}{3} \)
\( -2B - 15C = 0 \Longrightarrow C = \dfrac{2}{45} \)
Denklemin özel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y_p = -\dfrac{1}{6}e^{3x} - \dfrac{1}{3}x + \dfrac{2}{45} \)
Denklemin genel çözümü, tamamlayıcı çözüm ile özel çözümün toplamından oluşur.
\( y = y_c + y_p \)
\( y = C_1e^{-3x} + C_2e^{5x} - \dfrac{1}{6}e^{3x} - \dfrac{1}{3}x + \dfrac{2}{45} \)
\( x'' - 6x' + 9x = 6e^{3t} \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen olmayan bir lineer denklemdir.
Denklemin karşılık geldiği homojen denklemi kullanarak tamamlayıcı çözümü bulalım.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( \lambda^2 - 6\lambda + 9 = 0 \)
\( (\lambda - 3)^2 = 0 \)
Buna göre denklemin tamamlayıcı çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( x_c = C_1e^{3t} + C_2te^{3t} \)
Denklemin özel çözümünü bulalım.
\( f(t) = 6e^{3t} \)
\( 6e^{3t} \) terimi için BK kümesini bulalım.
\( S = \{ e^{3t} \} \)
\( e^{3t} \) ve \( te^{3t} \) tamamlayıcı çözümün parçası olduğu için \( S \) kümesinin tüm elemanlarını ortak bir eleman kalmayıncaya kadar \( t \) ile çarpalım.
\( S' = \{ t^2e^{3t} \} \)
Denklemin özel çözümü, elde ettiğimiz BK kümesinin tüm elemanlarından oluşur.
Bu elemanların bir lineer kombinasyonu olarak özel çözümü oluşturalım.
\( x_p = At^2e^{3t} \)
Özel çözümün türevlerini bulalım.
\( x_p' = 2Ate^{3t} + 3At^2e^{3x} \)
\( x_p'' = 2Ae^{3t} + 12Ate^{3t} + 9At^2e^{3t} \)
Özel çözümü ve türevlerini orijinal denklemde yerine koyalım.
\( x'' - 6x' + 9x = 6e^{3t} \)
\( (2Ae^{3t} + 12Ate^{3t} + 9At^2e^{3t}) - 6(2Ate^{3t} + 3At^2e^{3x}) + 9At^2e^{3t} = 6e^{3t} \)
Terimleri düzenleyelim.
\( 2Ae^{3t} = 6e^{3t} \)
İki polinomun eşitliğinde benzer terimlerin katsayıları birbirine eşit olur.
\( 2A = 6 \Longrightarrow A = 3 \)
Denklemin özel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( x_p = 3t^2e^{3t} \)
Denklemin genel çözümü, tamamlayıcı çözüm ile özel çözümün toplamından oluşur.
\( x = x_c + x_p \)
\( x = C_1e^{3t} + C_2te^{3t} + 3t^2e^{3t} \)
\( 2\dfrac{d^2z}{dx^2} - 3\dfrac{dz}{dx} - 5z = 7e^{-x} + 25x \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen olmayan bir lineer denklemdir.
Denklemin karşılık geldiği homojen denklemi kullanarak tamamlayıcı çözümü bulalım.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( 2\lambda^2 - 3\lambda - 5 = 0 \)
\( (2\lambda - 5)(\lambda + 1) = 0 \)
Buna göre denklemin tamamlayıcı çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( z_c = C_1e^{\frac{5}{2}x} + C_2e^{-x} \)
Denklemin özel çözümünü bulalım.
\( f(x) = 7e^{-x} + 25x \)
\( f(x) \) fonksiyonunun her terimi için BK kümesini bulalım.
\( 7e^{-x} \) için:
\( S_1 = \{ e^{-x} \} \)
\( e^{-x} \) tamamlayıcı çözümün parçası olduğu için \( S_1 \) kümesinin tüm elemanlarını ortak bir eleman kalmayıncaya kadar \( x \) ile çarpalım.
\( S_1' = \{ xe^{-x} \} \)
\( 25x \) için:
\( S_2 = \{ x, 1 \} \)
Denklemin özel çözümü, elde ettiğimiz BK kümelerinin birleşimindeki elemanlardan oluşur.
\( S = S_1' \cup S_2 \)
Bu elemanların bir lineer kombinasyonu olarak özel çözümü oluşturalım.
\( z_p = Axe^{-x} + Bx + C \)
Özel çözümün türevlerini bulalım.
\( \dfrac{dz}{dx} = Ae^{-x} - Axe^{-x} + B \)
\( \dfrac{d^2z}{dx^2} = -2Ae^{-x} + Axe^{-x} \)
Özel çözümü ve türevlerini orijinal denklemde yerine koyalım.
\( 2\dfrac{d^2z}{dx^2} - 3\dfrac{dz}{dx} - 5z = 7e^{-x} + 25x \)
\( 2(-2Ae^{-x} + Axe^{-x}) - 3(Ae^{-x} - Axe^{-x} + B) - 5(Axe^{-x} + Bx + C) = 7e^{-x} + 25x \)
Terimleri düzenleyelim.
\( -7Ae^{-x} - 5Bx - 3B - 5C = 7e^{-x} + 25x \)
İki polinomun eşitliğinde benzer terimlerin katsayıları birbirine eşit olur.
\( -7A = 7 \Longrightarrow A = -1 \)
\( -5B = 25 \Longrightarrow B = -5 \)
\( -3B - 5C = 0 \Longrightarrow C = 3 \)
Denklemin özel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( z_p = -xe^{-x} - 5x + 3 \)
Denklemin genel çözümü, tamamlayıcı çözüm ile özel çözümün toplamından oluşur.
\( z = z_c + z_p \)
\( z = C_1e^{\frac{5}{2}x} + C_2e^{-x} - xe^{-x} - 5x + 3 \)
\( 2y'' + y' - 3y = 2xe^{x} + e^{-3x} + 4x \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen olmayan bir lineer denklemdir.
Denklemin karşılık geldiği homojen denklemi kullanarak tamamlayıcı çözümü bulalım.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( 2\lambda^2 + \lambda - 3 = 0 \)
\( (2\lambda + 3)(\lambda - 1) = 0 \)
Buna göre denklemin tamamlayıcı çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y_c = C_1e^{x} + C_2e^{-\frac{3}{2}x} \)
Denklemin özel çözümünü bulalım.
\( f(x) = 2xe^{x} + e^{-3x} + 4x \)
\( f(x) \) fonksiyonunun her terimi için BK kümesini bulalım.
\( 2xe^{x} \) için:
\( S_1 = \{ xe^x, e^x \} \)
\( e^x \) tamamlayıcı çözümün parçası olduğu için \( S_1 \) kümesinin tüm elemanlarını ortak bir eleman kalmayıncaya kadar \( x \) ile çarpalım.
\( S_1' = \{ x^2e^x, xe^x \} \)
\( e^{-3x} \) için:
\( S_2 = \{ e^{-3x} \} \)
\( 4x \) için:
\( S_3 = \{ x, 1 \} \)
Denklemin özel çözümü, elde ettiğimiz BK kümelerinin birleşimindeki elemanlardan oluşur.
\( S = S_1' \cup S_2 \cup S_3 \)
Bu elemanların bir lineer kombinasyonu olarak özel çözümü oluşturalım.
\( y_p = Ax^2e^x + Bxe^x + Ce^{-3x} + Dx + E \)
Özel çözümün türevlerini bulalım.
\( y_p' = 2Axe^x + Ax^2e^x + Be^x + Bxe^x - 3Ce^{-3x} + D \)
\( y_p'' = 2Ae^x + 4Axe^x + Ax^2e^x + 2Be^x + Bxe^x + 9Ce^{-3x} \)
Özel çözümü ve türevlerini orijinal denklemde yerine koyalım.
\( 2y'' + y' - 3y = 2xe^{x} + e^{-3x} + 4x \)
\( 2(2Ae^x + 4Axe^x + Ax^2e^x + 2Be^x + Bxe^x + 9Ce^{-3x}) + (2Axe^x + Ax^2e^x + Be^x + Bxe^x - 3Ce^{-3x} + D) - 3(Ax^2e^x + Bxe^x + Ce^{-3x} + Dx + E) = 2xe^{x} + e^{-3x} + 4x\)
Terimleri düzenleyelim.
\( 10Axe^x + (4A + 5B)e^x + 12Ce^{-3x} - 3Dx + D - 3E = 2xe^{x} + e^{-3x} + 4x \)
İki polinomun eşitliğinde benzer terimlerin katsayıları birbirine eşit olur.
\( 10A = 2 \Longrightarrow A = \dfrac{1}{5} \)
\( 4A + 5B = 0 \Longrightarrow B = -\dfrac{4}{25} \)
\( 12C = 1 \Longrightarrow C = \dfrac{1}{12} \)
\( -3D = 4 \Longrightarrow D = -\dfrac{4}{3} \)
\( D - 3E = 0 \Longrightarrow E = -\dfrac{4}{9} \)
Denklemin özel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y_p = \dfrac{1}{5}x^2e^x - \dfrac{4}{25}xe^x + \dfrac{1}{12}e^{-3x} - \dfrac{4}{3}x - \dfrac{4}{9} \)
Denklemin genel çözümü, tamamlayıcı çözüm ile özel çözümün toplamından oluşur.
\( y = y_c + y_p \)
\( y = C_1e^{x} + C_2e^{-\frac{3}{2}x} + \dfrac{1}{5}x^2e^x - \dfrac{4}{25}xe^x + \dfrac{1}{12}e^{-3x} - \dfrac{4}{3}x - \dfrac{4}{9} \)
\( y''' - y'' - 2y' = 4x^2e^x + 2e^x \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen olmayan bir lineer denklemdir.
Denklemin karşılık geldiği homojen denklemi kullanarak tamamlayıcı çözümü bulalım.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( \lambda^3 - \lambda^2 - 2\lambda = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( \lambda(\lambda^2 - \lambda - 2) = 0 \)
\( \lambda(\lambda + 1)(\lambda - 2) = 0 \)
Buna göre denklemin tamamlayıcı çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y_c = C_1 + C_2e^{-x} + C_3e^{2x} \)
Denklemin özel çözümünü bulalım.
\( f(x) = 4x^2e^x + 2e^x \)
\( f(x) \) fonksiyonunun her terimi için BK kümesini bulalım.
\( 4x^2e^x \) için:
\( S_1 = \{ x^2e^x, xe^x, e^x \} \)
\( 2e^x \) için:
\( S_2 = \{ e^x \} \)
\( S_2 \) kümesi \( S_1 \) kümesinin alt kümesi olduğu için listeden silinir.
Denklemin özel çözümü, elde ettiğimiz BK kümesinin tüm elemanlarından oluşur.
Bu elemanların bir lineer kombinasyonu olarak özel çözümü oluşturalım.
\( y_p = Ax^2e^x + Bxe^x + Ce^x \)
Özel çözümün türevlerini bulalım.
\( y_p' = 2Axe^x + Ax^2e^x + Be^x + Bxe^x + Ce^x \)
\( y_p'' = 2Ae^x + 4Axe^x + Ax^2e^x + 2Be^x + Bxe^x + Ce^x \)
\( y_p''' = 6Axe^x + 6Ae^x + Ax^2e^x + 3Be^x + Bxe^x + Ce^x \)
Özel çözümü ve türevlerini orijinal denklemde yerine koyalım.
\( y''' - y'' - 2y' = 4x^2e^x + 2e^x \)
\( (6Axe^x + 6Ae^x + Ax^2e^x + 3Be^x + Bxe^x + Ce^x) - (2Ae^x + 4Axe^x + Ax^2e^x + 2Be^x + Bxe^x + Ce^x) - 2(2Axe^x + Ax^2e^x + Be^x + Bxe^x + Ce^x) = 4x^2e^x + 2e^x \)
Terimleri düzenleyelim.
\( -2Ax^2e^x - (2A + 2B)xe^x + (4A - B - 2C)e^x = 4x^2e^x + 2e^x \)
İki polinomun eşitliğinde benzer terimlerin katsayıları birbirine eşit olur.
\( -2A = 4 \Longrightarrow A = -2 \)
\( -(2A + 2B) = 0 \Longrightarrow B = 2 \)
\( 4A - B - 2C = 2 \Longrightarrow C = -6 \)
Denklemin özel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y_p = -2x^2e^x + 2xe^x - 6e^x \)
Denklemin genel çözümü, tamamlayıcı çözüm ile özel çözümün toplamından oluşur.
\( y = y_c + y_p \)
\( y = C_1 + C_2e^{-x} + C_3e^{2x} - 2x^2e^x + 2xe^x - 6e^x \)
\( y'' - 4y' + 4y = 8t^2 \)
\( y(1) = 9, \quad y'(0) = 2 \)
denkleminin verilen başlangıç değerleri için çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen olmayan bir lineer denklemdir.
Denklemin karşılık geldiği homojen denklemi kullanarak tamamlayıcı çözümü bulalım.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( \lambda^2 - 4\lambda + 4 = 0 \)
\( (\lambda - 2)^2 = 0 \)
Buna göre denklemin tamamlayıcı çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y_c = C_1e^{2t} + C_2te^{2t} \)
Denklemin özel çözümünü bulalım.
\( f(t) = 8t^2 \)
\( 8t^2 \) terimi için BK kümesini bulalım.
\( S = \{ t^2, t, 1 \} \)
Denklemin özel çözümü, elde ettiğimiz BK kümesinin tüm elemanlarından oluşur.
Bu elemanların bir lineer kombinasyonu olarak özel çözümü oluşturalım.
\( y_p = At^2 + Bt + C \)
Özel çözümün türevlerini bulalım.
\( y_p' = 2At + B \)
\( y_p'' = 2A \)
Özel çözümü ve türevlerini orijinal denklemde yerine koyalım.
\( y'' - 4y' + 4y = 8t^2 \)
\( 2A - 4(2At + B) + 4(At^2 + Bt + C) = 8t^2 \)
Terimleri düzenleyelim.
\( 4At^2 + (4B - 8A)t + (2A - 4B + 4C) = 8t^2 \)
İki polinomun eşitliğinde benzer terimlerin katsayıları birbirine eşit olur.
\( 4A = 8 \Longrightarrow A = 2 \)
\( 4B - 8A = 0 \Longrightarrow B = 4 \)
\( 2A - 4B + 4C = 0 \Longrightarrow C = 3 \)
Denklemin özel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y_p = 2t^2 + 4t + 3 \)
Denklemin genel çözümü, tamamlayıcı çözüm ile özel çözümün toplamından oluşur.
\( y = y_c + y_p \)
\( y = C_1e^{2t} + C_2te^{2t} + 2t^2 + 4t + 3 \)
Denklemin verilen başlangıç koşulları için çözümünü bulalım.
Genel çözümün birinci türevini bulalım.
\( y' = 2C_1e^{2t} + C_2e^{2t} + 2C_2te^{2t} + 4t + 4 \)
\( y(1) = 9, y'(0) = 1 \) başlangıç değerlerini denklemlerde yerine koyalım.
\( \begin{cases} 9 = C_1e^{2(1)} + C_2(1)e^{2(1)} + 2(1)^2 + 4(1) + 3 \\ 1 = 2C_1e^{2(0)} + C_2e^{2(0)} + 2C_2(0)e^{2(0)} + 4(0) + 4 \end{cases} \)
\( \begin{cases} 0 = C_1 + C_2 \\ 1 = 2C_1 + C_2 + 4 \end{cases} \)
\( C_1 = -3, \quad C_2 = 3 \)
Denklemin verilen başlangıç değerleri için çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y = 3te^{2t} - 3e^{2t} + 2t^2 + 4t + 3 \)
\( y'' - y = -2x^2\sin{x} \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen olmayan bir lineer denklemdir.
Denklemin karşılık geldiği homojen denklemi kullanarak tamamlayıcı çözümü bulalım.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( \lambda^2 - 1 = 0 \)
\( (\lambda + 1)(\lambda - 1) = 0 \)
Buna göre denklemin tamamlayıcı çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y_c = C_1e^{-x} + C_2e^x \)
Denklemin özel çözümünü bulalım.
\( f(x) = -2x^2\sin{x} \)
\( -2x^2\sin{x} \) terimi için BK kümesini bulalım.
\( S = \{ x^2\cos{x}, x^2\sin{x}, x\cos{x}, x\sin{x}, \cos{x}, \sin{x} \} \)
Denklemin özel çözümü, elde ettiğimiz BK kümesinin tüm elemanlarından oluşur.
Bu elemanların bir lineer kombinasyonu olarak özel çözümü oluşturalım.
\( y_p = Ax^2\cos{x} + Bx^2\sin{x} + Cx\cos{x} + Dx\sin{x} + E\cos{x} + F\sin{x} \)
Özel çözümün türevlerini bulalım.
\( y_p' = 2Ax\cos{x} - Ax^2\sin{x} + 2Bx\sin{x} + Bx^2\cos{x} + C\cos{x} - Cx\sin{x} + D\sin{x} + Dx\cos{x} - E\sin{x} + F\cos{x} \)
\( = Bx^2\cos{x} - Ax^2\sin{x} + (2A + D)x\cos{x} + (2B - C)x\sin{x} + (C + F)\cos{x} + (D - E)\sin{x} \)
\( y_p'' = 2Bx\cos{x} - Bx^2\sin{x} - 2Ax\sin{x} - Ax^2\cos{x} + (2A + D)\cos{x} - (2A + D)x\sin{x} + (2B - C)\sin{x} + (2B - C)x\cos{x} - (C + F)\sin{x} + (D - E)\cos{x} \)
\( = -Ax^2\cos{x} - Bx^2\sin{x} + (4B - C)x\cos{x} - (4A + D)x\sin{x} + (2A + 2D - E)\cos{x} + (2B - 2C - F)\sin{x} \)
Özel çözümü ve türevlerini orijinal denklemde yerine koyalım.
\( y'' - y = -2x^2\sin{x} \)
\( (-Ax^2\cos{x} - Bx^2\sin{x} + (4B - C)x\cos{x} - (4A + D)x\sin{x} + (2A + 2D - E)\cos{x} + (2B - 2C - F)\sin{x}) - (Ax^2\cos{x} + Bx^2\sin{x} + Cx\cos{x} + Dx\sin{x} + E\cos{x} + F\sin{x}) = -2x^2\sin{x} \)
Terimleri düzenleyelim.
\( -2Ax^2\cos{x} - 2Bx^2\sin{x} + (4B - 2C)x\cos{x} - (4A + 2D)x\sin{x} + (2A + 2D - 2E)\cos{x} + (2B - 2C - 2F)\sin{x} = -2x^2\sin{x} \)
İki polinomun eşitliğinde benzer terimlerin katsayıları birbirine eşit olur.
\( -2A = 0 \Longrightarrow A = 0 \)
\( -2B = -2 \Longrightarrow B = 1 \)
\( 4B - 2C = 0 \Longrightarrow C = 2 \)
\( -(4A + 2D) = 0 \Longrightarrow D = 0 \)
\( 2A + 2D - 2E = 0 \Longrightarrow E = 0 \)
\( 2B - 2C - 2F = 0 \Longrightarrow F = -1 \)
Denklemin özel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y_p = x^2\sin{x} + 2x\cos{x} - \sin{x} \)
Denklemin genel çözümü, tamamlayıcı çözüm ile özel çözümün toplamından oluşur.
\( y = y_c + y_p \)
\( y = C_1e^{-x} + C_2e^x + x^2\sin{x} + 2x\cos{x} - \sin{x} \)
\( \dfrac{d^2y}{dx^2} + 4y = 4\cos(2x) + 8\sin(2x) \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen olmayan bir lineer denklemdir.
Denklemin karşılık geldiği homojen denklemi kullanarak tamamlayıcı çözümü bulalım.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( \lambda^2 + 4 = 0 \)
\( (\lambda - 2i)(\lambda + 2i) = 0 \)
Buna göre denklemin tamamlayıcı çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y_c = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) \)
Denklemin özel çözümünü bulalım.
\( f(x) = 4\cos(2x) + 8\sin(2x) \)
\( 4\cos(2x) \) ve \( 8\sin(2x) \) terimleri için BK kümesini bulalım.
\( S = \{ \cos(2x), \sin(2x) \} \)
\( \cos(2x) \) ve \( \sin(2x) \) tamamlayıcı çözümün parçası olduğu için \( S \) kümesinin tüm elemanlarını ortak bir eleman kalmayıncaya kadar \( x \) ile çarpalım.
\( S' = \{ x\cos(2x), x\sin(2x) \} \)
Denklemin özel çözümü, elde ettiğimiz BK kümesinin tüm elemanlarından oluşur.
Bu elemanların bir lineer kombinasyonu olarak özel çözümü oluşturalım.
\( y_p = Ax\cos(2x) + Bx\sin(2x) \)
Özel çözümün türevlerini bulalım.
\( \dfrac{dy}{dx} = A\cos(2x) - 2Ax\sin(2x) + B\sin(2x) + 2Bx\cos(2x) \)
\( = 2Bx\cos(2x) - 2Ax\sin(2x) + A\cos(2x) + B\sin(2x) \)
\( \dfrac{d^2y}{dx^2} = 2B\cos(2x) - 4Bx\sin(2x) - 2A\sin(2x) - 4Ax\cos(2x) - 2A\sin(2x) + 2B\cos(2x) \)
\( = -4Ax\cos(2x) - 4Bx\sin(2x) + 4B\cos(2x) - 4A\sin(2x) \)
Özel çözümü ve türevlerini orijinal denklemde yerine koyalım.
\( \dfrac{d^2y}{dx^2} + 4y = 4\cos(2x) + 8\sin(2x) \)
\( (-4Ax\cos(2x) - 4Bx\sin(2x) + 4B\cos(2x) - 4A\sin(2x)) + 4(Ax\cos(2x) + Bx\sin(2x)) = 4\cos(2x) + 8\sin(2x) \)
Terimleri düzenleyelim.
\( 4B\cos(2x) - 4A\sin(2x) = 4\cos(2x) + 8\sin(2x) \)
İki polinomun eşitliğinde benzer terimlerin katsayıları birbirine eşit olur.
\( 4B = 4 \Longrightarrow B = 1 \)
\( -4A = 8 \Longrightarrow A = -2 \)
Denklemin özel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y_p = -2x\cos(2x) + x\sin(2x) \)
Denklemin genel çözümü, tamamlayıcı çözüm ile özel çözümün toplamından oluşur.
\( y = y_c + y_p \)
\( y = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) - 2x\cos(2x) + x\sin(2x) \)
\( y''' - 3y'' + 3y' - y = 18e^x \)
\( y(0) = 2, \quad y'(0) = 4, \quad y''(0) = 0 \)
denkleminin verilen başlangıç değerleri için çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen olmayan bir lineer denklemdir.
Denklemin karşılık geldiği homojen denklemi kullanarak tamamlayıcı çözümü bulalım.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( \lambda^3 - 3\lambda^2 + 3\lambda - 1 = 0 \)
\( (\lambda - 1)^3 = 0 \)
Buna göre denklemin tamamlayıcı çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y_c = C_1e^x + C_2xe^x + C_3x^2e^x \)
Denklemin özel çözümünü bulalım.
\( f(x) = 18e^x \)
\( 18e^x \) terimi için BK kümesini bulalım.
\( S = \{ e^x \} \)
\( e^x \) tamamlayıcı çözümün parçası olduğu için \( S \) kümesinin tüm elemanlarını ortak bir eleman kalmayıncaya kadar \( x \) ile çarpalım.
\( S' = \{ x^3e^x \} \)
Denklemin özel çözümü, elde ettiğimiz BK kümesinin tüm elemanlarından oluşur.
Bu elemanların bir lineer kombinasyonu olarak özel çözümü oluşturalım.
\( y_p = Ax^3e^x \)
Özel çözümün türevlerini bulalım.
\( y_p' = 3Ax^2e^x + Ax^3e^x \)
\( y_p'' = 6Axe^x + 6Ax^2e^x + Ax^3e^x \)
\( y_p''' = 6Ae^x + 18Axe^x + 9Ax^2e^x + Ax^3e^x \)
Özel çözümü ve türevlerini orijinal denklemde yerine koyalım.
\( y''' - 3y'' + 3y' - y = 18e^x \)
\( (6Ae^x + 18Axe^x + 9Ax^2e^x + Ax^3e^x) - 3(6Axe^x + 6Ax^2e^x + Ax^3e^x) + 3(3Ax^2e^x + Ax^3e^x) - Ax^3e^x = 18e^x \)
Terimleri düzenleyelim.
\( 6Ae^x = 18e^x \)
İki polinomun eşitliğinde benzer terimlerin katsayıları birbirine eşit olur.
\( 6A = 18 \Longrightarrow A = 3 \)
Denklemin özel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y_p = 3x^3e^x \)
Denklemin genel çözümü, tamamlayıcı çözüm ile özel çözümün toplamından oluşur.
\( y = y_c + y_p \)
\( y = C_1e^x + C_2xe^x + C_3x^2e^x + 3x^3e^x \)
Genel çözümün birinci ve ikinci türevini bulalım.
\( y' = C_1e^x + C_2e^x + C_2xe^x + 2C_3xe^x + C_3x^2e^x + 9x^2e^x + 3x^3e^x \)
\( = (C_1 + C_2)e^x + (C_2 + 2C_3)xe^x + (C_3 + 9)x^2e^x + 3x^3e^x \)
\( y'' = (C_1 + C_2)e^x + (C_2 + 2C_3)e^x + (C_2 + 2C_3)xe^x + 2(C_3 + 9)xe^x + (C_3 + 9)x^2e^x + 9x^2e^x + 3x^3e^x \)
\( = (C_1 + 2C_2 + 2C_3)e^x + (C_2 + 4C_3 + 18)xe^x + (C_3 + 18)x^2e^x + 3x^3e^x \)
\( y(0) = 2, y'(0) = 4, y''(0) = 0 \) başlangıç değerlerini denklemlerde yerine koyalım.
\( \begin{cases} 2 = C_1e^0 + C_2(0)e^0 + C_3(0)^2e^0 + 3(0)^3e^0 \\ 4 = (C_1 + C_2)e^0 + (C_2 + 2C_3)(0)e^0 + (C_3 + 9)(0)^2e^0 + 3(0)^3e^0 \\ 0 = (C_1 + 2C_2 + 2C_3)e^0 + (C_2 + 4C_3 + 18)(0)e^0 + (C_3 + 18)(0)^2e^0 + 3(0)^3e^0 \end{cases} \)
\( \begin{cases} 2 = C_1 \\ 4 = C_1 + C_2 \\ 0 = C_1 + 2C_2 + 2C_3 \end{cases} \)
\( C_1 = 2, \quad C_2 = 2, \quad C_3 = -3 \)
Denklemin çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y = 2e^x + 2xe^x - 3x^2e^x + 3x^3e^x \)
\( z''' - 5z'' + 9z' - 5z = 25x^3 + e^{-3x} + 1 \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen olmayan bir lineer denklemdir.
Denklemin karşılık geldiği homojen denklemi kullanarak tamamlayıcı çözümü bulalım.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( \lambda^3 - 5\lambda^2 + 9\lambda - 5 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
Üçüncü dereceden ifadeyi incelediğimizde \( \lambda = 1 \) değerinin ifadeyi sıfır yaptığını, dolayısıyla \( \lambda - 1 \) ifadesinin denklemin bir çarpanı olduğunu görebiliriz.
Üçüncü dereceden ifadeyi polinom bölmesi ile \( \lambda - 1 \) ifadesine bölelim.
\( (\lambda - 1)(\lambda^2 - 4\lambda + 5) = 0 \)
İkinci dereceden ifadenin köklerini bulmak için kök bulma formülünü kullanalım.
\( \lambda_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
\( = \dfrac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(5)}}{2(1)} \)
\( = 2 \pm i \)
\( (\lambda - 1)(\lambda - (2 - i))(\lambda - (2 + i)) = 0 \)
Buna göre denklemin tamamlayıcı çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( z_c = C_1e^x + C_2e^{2x}\cos{x} + C_3e^{2x}\sin{x} \)
Denklemin özel çözümünü bulalım.
\( f(x) = 25x^3 + e^{-3x} + 1 \)
\( f(x) \) fonksiyonunun her terimi için BK kümesini bulalım.
\( 25x^3 \) için:
\( S_1 = \{ x^3, x^2, x, 1 \} \)
\( e^{-3x} \) için:
\( S_2 = \{ e^{-3x} \} \)
\( 1 \) için:
\( S_3 = \{ 1 \} \)
\( S_3 \) kümesi \( S_1 \) kümesinin alt kümesi olduğu için listeden silinir.
Denklemin özel çözümü, elde ettiğimiz BK kümelerinin birleşimindeki elemanlardan oluşur.
\( S = S_1 \cup S_2 \)
Bu elemanların bir lineer kombinasyonu olarak özel çözümü oluşturalım.
\( z_p = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D + Ee^{-3x} \)
Özel çözümün türevlerini bulalım.
\( z_p' = 3Ax^2 + 2Bx + C - 3Ee^{-3x} \)
\( z_p'' = 6Ax + 2B + 9Ee^{-3x} \)
\( z_p''' = 6A - 27Ee^{-3x} \)
Özel çözümü ve türevlerini orijinal denklemde yerine koyalım.
\( z''' - 5z'' + 9z' - 5z = 25x^3 + e^{-3x} + 1 \)
\( (6A - 27Ee^{-3x}) - 5(6Ax + 2B + 9Ee^{-3x}) + 9(3Ax^2 + 2Bx + C - 3Ee^{-3x}) - 5(Ax^3 + Bx^2 + Cx + D + Ee^{-3x}) = 25x^3 + e^{-3x} + 1 \)
Terimleri düzenleyelim.
\( -5Ax^3 + (27A - 5B)x^2 + (-30A + 18B - 5C)x + (6A - 10B + 9C - 5D) - 104Ee^{-3x} = 25x^3 + e^{-3x} + 1 \)
İki polinomun eşitliğinde benzer terimlerin katsayıları birbirine eşit olur.
\( -5A = 25 \Longrightarrow A = -5 \)
\( 27A - 5B = 0 \Longrightarrow B = -27 \)
\( -30A + 18B - 5C = 0 \Longrightarrow C = -\dfrac{336}{5} \)
\( 6A - 10B + 9C - 5D = 1 \Longrightarrow D = -\dfrac{1829}{25} \)
\( -104E = 1 \Longrightarrow E = -\dfrac{1}{104} \)
Denklemin özel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( z_p = -5x^3 - 27x^2 - \dfrac{336}{5}x - \dfrac{1829}{25} - \dfrac{1}{104}e^{-3x} \)
Denklemin genel çözümü, tamamlayıcı çözüm ile özel çözümün toplamından oluşur.
\( z = z_c + z_p \)
\( z = C_1e^x + C_2e^{2x}\cos{x} + C_3e^{2x}\sin{x} - 5x^3 - 27x^2 - \dfrac{336}{5}x - \dfrac{1829}{25} - \dfrac{1}{104}e^{-3x} \)
\( x^{(4)} - x'' = 5te^t\cos{t} \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen olmayan bir lineer denklemdir.
Denklemin karşılık geldiği homojen denklemi kullanarak tamamlayıcı çözümü bulalım.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( \lambda^4 - \lambda^2 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( \lambda^2(\lambda^2 - 1) = 0 \)
\( \lambda^2(\lambda - 1)(\lambda + 1) = 0 \)
Buna göre denklemin tamamlayıcı çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( x_c = C_1 + C_2t + C_3e^t + C_4e^{-t} \)
Denklemin özel çözümünü bulalım.
\( f(t) = 5te^t\cos{t} \)
\( 5te^t\cos{t} \) terimi için BK kümesini bulalım.
\( S = \{ te^t\cos{t}, te^t\sin{t}, e^t\cos{t}, e^t\sin{t} \} \)
Denklemin özel çözümü, elde ettiğimiz BK kümesinin tüm elemanlarından oluşur.
Bu elemanların bir lineer kombinasyonu olarak özel çözümü oluşturalım.
\( x_p = Ate^t\cos{t} + Bte^t\sin{t} + Ce^t\cos{t} + De^t\sin{t} \)
Özel çözümün türevlerini bulalım.
\( x_p' = Ae^t\cos{t} + Ate^t\cos{t} - Ate^t\sin{t} + Be^t\sin{t} + Bte^t\sin{t} + Bte^t\cos{t} + Ce^t\cos{t} - Ce^t\sin{t} + De^t\sin{t} + De^t\cos{t} \)
\( = (A + B)te^t\cos{t} - (A - B)te^t\sin{t} + (A + C + D)e^t\cos{t} + (B - C + D)e^t\sin{t} \)
\( x_p'' = (A + B)e^t\cos{t} + (A + B)te^t\cos{t} - (A + B)te^t\sin{t} - (A - B)e^t\sin{t} - (A - B)te^t\sin{t} - (A - B)te^t\cos{t} + (A + C + D)e^t\cos{t} - (A + C + D)e^t\sin{t} + (B - C + D)e^t\sin{t} + (B - C + D)e^t\cos{t} \)
\( = 2Bte^t\cos{t} - 2Ate^t\sin{t} + (2A + 2B + 2D)e^t\cos{t} - (2A - 2B + 2C)e^t\sin{t} \)
\( x_p''' = 2Be^t\cos{t} + 2Bte^t\cos{t} - 2Bte^t\sin{t} - 2Ae^t\sin{t} - 2Ate^t\sin{t} - 2Ate^t\cos{t} + (2A + 2B + 2D)e^t\cos{t} - (2A + 2B + 2D)e^t\sin{t} - (2A - 2B + 2C)e^t\sin{t} - (2A - 2B + 2C)e^t\cos{t} \)
\( = -(2A - 2B)te^t\cos{t} - (2A + 2B)te^t\sin{t} + (6B - 2C + 2D)e^t\cos{t} - (6A + 2C + 2D)e^t\sin{t} \)
\( x_p^{(4)} = -(2A - 2B)e^t\cos{t} - (2A - 2B)te^t\cos{t} + (2A - 2B)te^t\sin{t} - (2A + 2B)e^t\sin{t} - (2A + 2B)te^t\sin{t} - (2A + 2B)te^t\cos{t} + (6B - 2C + 2D)e^t\cos{t} - (6B - 2C + 2D)e^t\sin{t} - (6A + 2C + 2D)e^t\sin{t} - (6A + 2C + 2D)e^t\cos{t} \)
\( = -4Ate^t\cos{t} - 4Bte^t\sin{t} - (8A - 8B + 4C)e^t\cos{t} - (8A + 8B + 4D)e^t\sin{t} \)
Özel çözümü ve türevlerini orijinal denklemde yerine koyalım.
\( x^{(4)} - x'' = 5te^t\cos{t} \)
\( (-4Ate^t\cos{t} - 4Bte^t\sin{t} - (8A - 8B + 4C)e^t\cos{t} - (8A + 8B + 4D)e^t\sin{t}) - (2Bte^t\cos{t} - 2Ate^t\sin{t} + (2A + 2B + 2D)e^t\cos{t} - (2A - 2B + 2C)e^t\sin{t}) = 5te^t\cos{t} \)
Terimleri düzenleyelim.
\( -(4A + 2B)te^t\cos{t} + (2A - 4B)te^t\sin{t} - (10A - 6B + 4C + 2D)e^t\cos{t} - (6A + 10B - 2C + 4D)e^t\sin{t} = 5te^t\cos{t} \)
İki polinomun eşitliğinde benzer terimlerin katsayıları birbirine eşit olur.
\( 2A - 4B = 0 \)
\( -(4A + 2B) = 5 \)
\( \Longrightarrow A = -1 \)
\( \Longrightarrow B = -\dfrac{1}{2} \)
\( -(10A - 6B + 4C + 2D) = 0 \)
\( -(6A + 10B - 2C + 4D) = 0 \)
\( \Longrightarrow C = \dfrac{3}{10} \)
\( \Longrightarrow D = \dfrac{29}{10} \)
Denklemin özel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( x_p = -te^t\cos{t} - \dfrac{1}{2}te^t\sin{t} + \dfrac{3}{10}e^t\cos{t} + \dfrac{29}{10}e^t\sin{t} \)
Denklemin genel çözümü, tamamlayıcı çözüm ile özel çözümün toplamından oluşur.
\( x = x_c + x_p \)
\( x = C_1 + C_2t + C_3e^t + C_4e^{-t} - te^t\cos{t} - \dfrac{1}{2}te^t\sin{t} + \dfrac{3}{10}e^t\cos{t} + \dfrac{29}{10}e^t\sin{t} \)