Düzgün Çokgenler

Onikigenin her bir köşesine çemberin merkezinden birer doğru çizelim.

Bu doğruların her biri yarıçaptır ve 6 cm uzunluğundadır. Bu yüzden çember ve onikigen 12 eşit parçaya ayrılır.

Doğrular arasında oluşan merkez açılar \( 360° \div 12 = 30° \) olur.

Onikigen tepe açısı 30° olan 12 eş ikizkenar üçgene bölünmüş olur.

Sinüs alan teoremi ile bir üçgenin alanını bulalım.

\( A(OAB) = \dfrac{1}{2} \cdot [OA] \cdot [OB] \cdot \sin{30°} \)

\( = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin{30°} = 9 \)

Onikigenin alanı bir üçgenin alanının 12 katıdır.

\( A = 12 \cdot 9 = 108 \) bulunur.

Verilen uzunluklardan ve Pisagor teoreminden yararlanarak eşitlikler kuralım.

\( [GC] = t \Longrightarrow [BG] = 12 - t \)

\( EBG \) dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayalım.

\( t^2 + (12 - t)^2 = (\sqrt{10}t)^2 \)

\( t^2 + 144 - 24t + t^2 = 10t^2 \)

\( 8t^2 + 24t - 144 = 0 \)

\( t^2 + 3t - 18 = 0 \)

\( (t + 6)(t - 3) = 0 \)

\( t \) negatif olamayacağı için \( t = 3 \) olur.

Sekizgenin bir kenar uzunluğuna \( p \) diyelim.

\( \abs{EF} = \abs{FG} = p \)

\( \abs{GC} = t = 3 \)

\( \abs{BI} = 12 - 3 - p = 9 - p \)

\( EBF \) dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayalım.

\( 3^2 + (9 - p)^2 = p^2 \)

\( 9 + 81 - 18p + p^2 = p^2 \)

\( 90 = 18p \)

\( p = 5 \) olarak bulunur.

Bir kenar uzunluğu \( a \) birim olan eşkenar üçgenin yüksekliği \( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \) birim olur.

Buna göre yüksekliği \( 9\sqrt{3} \) cm olan eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğu \( 18 \) cm olur.

Bir kenar uzunluğu 18 cm olan eşkenar üçgenin alanını bulalım.

\( A_1 = \dfrac{a \cdot h}{2} \)

\( = \dfrac{18 \cdot 9\sqrt{3}}{2} = 81\sqrt{3} \)

Düzgün altıgenin bir kenarının uzunluğuna \( a \) diyelim.

Düzgün altıgen alanları birbirine eşit 6 eşkenar üçgenden oluşur.

Düzgün altıgeni oluşturan eşkenar üçgenlerden birinin alanını bulalım.

\( A_2 = \dfrac{a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}a^2}{4} \)

İki şeklin alanı birbirine eşittir.

\( A_1 = 6A_2 \)

\( 81\sqrt{3} = 6 \cdot \dfrac{\sqrt{3}a^2}{4} \)

\( a^2 = 54 \)

\( a = 3\sqrt{6} \)

Buna göre düzgün altıgenin bir kenar uzunluğu \( 3\sqrt{6} \) cm'dir.

Bir kenar uzunluğu \( x \) olan eşkenar üçgenin alanı aşağıdaki formülle bulunur.

\( A = \dfrac{x^2 \sqrt{3}}{4} \)

Altıgen 6 adet eşkenar üçgenden oluştuğu için alanı bulunurken bu formül 6 ile çarpılır.

Üçgenin bir kenarına \( 2a \) diyelim.

Üçgenin çevresi \( 3 \cdot 2a = 6a \) olacağı için altıgenin bir kenar uzunluğu \( a \) olmalıdır.

Üçgenin alanının altıgenin alanına oranını bulalım.

\( \dfrac{\dfrac{(2a)^2 \sqrt{3}}{4}}{\dfrac{6a^2 \sqrt{3}}{4}} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} \) bulunur.

Soruyu formül kullanmadan da çözebiliriz.

Altıgeni oluşturan eşkenar üçgenlerin her biri ile soruda verilen eşkenar üçgen benzer üçgenler olup benzerlik oranı 2'dir.

Benzerlik oranının karesi alanların oranını verir. Yani altıgeni oluşturan eşkenar üçgenlerin birinin alanına \( S \) dersek büyük üçgenin alanı \( 4S \) olur.

\( \dfrac{4S}{6 \cdot S} = \dfrac{2}{3} \) bulunur.

\( n \) kenarı olan düzgün bir çokgenin bir iç açısı \( \frac{(n - 2)}{n} \cdot 180° \) formülü ile bulunur.

Buna göre düzgün altıgenin bir iç açısı 120°'dir.

\( \dfrac{(6 - 2)}{6} \cdot 180° = 120° \)

\( FEK \) üçgenine kosinüs teoremini uygulayarak \( \abs{FK} \) uzunluğunu bulalım.

\( \abs{FK}^2 = 6^2 + 3^2 - 2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot \cos{120°} \)

\( = 36 + 9 - 36 \cdot \dfrac{-1}{2} = 63 \)

\( \abs{FK} = 3\sqrt{7} \)

\( \abs{AK} \) uzunluğunu bulmak için \( A \) ve \( E \) noktalarını birleştiren bir doğru parçası çizelim.

\( AFE \), tepe açısı 120° olan bir ikizkenar üçgendir. Buna göre taban açıları \( \frac{180 - 120}{2} = 30° \) olur.

\( AFE \) üçgeni 120 - 30 - 30° üçgeni olduğundan 120°'yi gören kenar olan \( AE \) kenarı \( 6\sqrt{3} \) cm'dir.

\( m(\widehat{FED}) = 120° \) ve \( m(\widehat{FEA}) = 30° \) olduğuna göre, \( m(\widehat{AEK}) = 120 - 30 = 90° \) bulunur.

\( \abs{AK} \) uzunluğunu \( AEK \) üçgeninde Pisagor teoremini kullanarak bulalım.

\( \abs{AK}^2 = (6\sqrt{3})^2 + 3^2 \)

\( = 108 + 9 = 117 \)

\( \abs{AK} = 3\sqrt{13} \) bulunur.

\( \abs{FK} + \abs{AK} = 3\sqrt{7} + 3\sqrt{13} \) cm bulunur.

Sekizgenin bir kenar uzunluğuna \( a \) diyelim.

Bir çokgenin dış açıları toplamı 360°'dir.

Buna göre karenin köşelerinden kesilen üçgenlerin dar açıları \( \frac{360}{8} = 45° \) olarak bulunur.

Sekizgenin tüm dış açıları 45° olduğu için, karenin köşelerinden kesilen üçgenler ikizkenar olup dik kenar uzunlukları \( \frac{5 - a}{2} \) olur.

Pisagor teoremine göre, 45-45-90 dik üçgeninde hipotenüs uzunluğu dik kenar uzunluğunun \( \sqrt{2} \) katına eşittir.

\( a = \dfrac{5 - a}{2} \cdot \sqrt{2} \)

\( \sqrt{2}a = 5 - a \)

\( a \)'yı yalnız bırakalım.

\( \sqrt{2}a + a = 5 \)

\( a = \dfrac{5}{\sqrt{2} + 1} \)

Düzgün sekizgenin çevre uzunluğunu bulalım.

\( 8a = 8 \cdot \dfrac{5}{\sqrt{2} + 1} = \dfrac{40}{\sqrt{2} + 1} \)

Paydayı rasyonel hale getirelim.

\( = \dfrac{40(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} \)

\( = 40(\sqrt{2} - 1) \) bulunur.

Daryanın ölçü birimine \( d \), ceredenin ölçü birimine \( c \) diyelim.

Ongenin derece cinsinden bir iç açısı: \( \dfrac{(10 - 2) \cdot 180}{10} = 8 \cdot 18 \)

Bu açı 6 daryana eşittir.

\( 8 \cdot 18 = 6d \)

\( d = 24° \)

1 daryan 4 ceredeye eşittir.

\( d = 4c = 24° \Longrightarrow c = 6° \)

Düzgün ongenin bir dış açısı: \( \dfrac{360}{10} = 36° \)

Bu açının kaç ceredeye eşit olduğunu bulalım.

1 cerede 6° ise \( x \) cerede 36°'dir.

\( 36° = 6c \)

Düzgün ongenin bir dış açısı 6 cerede olur.

Bir düzgün çokgenin bir iç açısı tam sayı ise bir dış açısı da tam sayıdır.

Bir çokgenin dış açıları toplamı 360 derecedir.

360'ın her bir pozitif bölenine bölümünde elde edilen sonuç, farklı bir tam sayı dış açı değerini verir.

360'ın toplam pozitif bölen sayısını bulalım.

\( 360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \)

Buna göre 360'ın toplam \( (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 \) tane pozitif böleni vardır.

1 ve 2 kenarlı düzgün çokgen olmadığı için bu iki durumu 24'ten çıkaralım.

\( 24 - 2 = 22 \) bulunur.