Noktanın/Doğrunun/Çemberin Çembere Göre Durumu

Bir noktanın/doğrunun/çemberin bir çembere göre durumunu aşağıdaki şekilde inceleyebiliriz.

Noktanın Çembere Göre Durumu

Bir \( A(x_2, y_2) \) noktasının merkezi \( M(x_1, y_1) \) ve yarıçapı \( r \) olan bir çembere göre durumu aşağıdaki gibi üç şekilde olabilir: Nokta çemberin dışında olabilir (I. durum), üzerinde olabilir (II. durum) ya da içinde olabilir (III. durum).

Belirli bir nokta ve çemberin birbirine göre durumunu nokta ile çemberin merkezi arasındaki uzaklığı çemberin yarıçapı ile karşılaştırarak bulabiliriz:

\( M(x_1, y_1) \) ve \( A(x_2, y_2) \) olmak üzere,

\( \abs{AM} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)

I. Durum: \( \abs{AM} \gt r \) ise nokta çemberin dışındadır.

II. Durum: \( \abs{AM} = r \) ise nokta çemberin üzerindedir.

III. Durum: \( \abs{AM} \lt r \) ise nokta çemberin içindedir.

Doğrunun Çembere Göre Durumu

Bir \( d_1 \) doğrusunun merkezi \( M(x_1, y_1) \) ve yarıçapı \( r \) olan bir çembere göre durumu aşağıdaki gibi üç şekilde olabilir: Doğru çemberle kesişmeyebilir (I. durum), çembere teğet olabilir (II. durum) ya da çemberi iki noktada kesebilir (III. durum).

Doğrunun çembere göre durumuna, doğru ile çemberin merkezi arasındaki uzaklığı çemberin yarıçapı ile karşılaştırarak karar verebiliriz:

\( M(x_1, y_1) \) ve \( d_1: ax + by + c = 0 \) olmak üzere,

\( \abs{AM} = \dfrac{\abs{ax_1 + by_1 + c}}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)

I. Durum: \( \abs{AM} \gt r \) ise doğru çemberi kesmez.

II. Durum: \( \abs{AM} = r \) ise doğru çembere teğettir.

III. Durum: \( \abs{AM} \lt r \) ise doğru çemberi iki noktada keser.

Herhangi iki denklemin kesişim noktalarını bulmak için yaptığımız gibi, bir doğrunun bir çembere göre durumunu her iki denklemi ortak çözerek de bulabiliriz. Buna göre, her iki denklemi ortak çözdüğümüzde:

Çözüm kümesi boş küme ise doğru çemberi kesmez (I. durum).
Çözüm kümesi bir elemanlı ise doğru çembere teğettir (II. durum).
Çözüm kümesi iki elemanlı ise doğru çemberi iki noktada keser (III. durum).

İki Çemberin Birbirine Göre Durumu

Merkezi \( M(x_1, y_1) \) ve yarıçapı \( r_1 \) olan bir çemberle, merkezi \( N(x_2, y_2) \) ve yarıçapı \( r_2 \) olan bir çemberin birbirine göre durumu aşağıdaki gibi beş şekilde olabilir.

I. Durum: Çemberler kesişmez ve bir çember diğerinin içinde değildir.
II. Durum: Çemberler dıştan teğettir.
III. Durum: Çemberler iki noktada kesişir.
IV. Durum: Çemberler içten teğettir.
V. Durum: Çemberler kesişmez ve bir çember diğerinin içindedir.

Çemberlerin birbirine göre durumuna çemberlerin merkezleri arası uzaklığı çemberlerin yarıçapları toplamı ve farkı ile karşılaştırarak karar verebiliriz:

\( M(x_1, y_1) \) merkezli çemberin yarıçapı \( r_1 \) ve \( N(x_2, y_2) \) merkezli çemberin yarıçapı \( r_2 \) olmak üzere,

\( \abs{MN} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)

I. Durum: \( \abs{MN} \gt r_1 + r_2 \) ise çemberler kesişmez ve bir çember diğerinin içinde değildir.

II. Durum: \( \abs{MN} = r_1 + r_2 \) ise çemberler dıştan teğettir.

III. Durum: \( \abs{MN} \lt r_1 + r_2 \) ve \( \abs{MN} \gt \abs{r_1 - r_2} \) ise çemberler iki noktada kesişir.

IV. Durum: \( \abs{MN} = \abs{r_1 - r_2} \) ise çemberler içten teğettir.

V. Durum: \( \abs{MN} \lt \abs{r_1 - r_2} \) ise çemberler kesişmez ve bir çember diğerinin içindedir.

İki çemberin birbirine göre durumunu her iki denklemi ortak çözerek de bulabiliriz. Buna göre, her iki denklemi ortak çözdüğümüzde:

Çözüm kümesi boş küme ise çemberler kesişmez (I. ve V. durumlar).
Çözüm kümesi bir elemanlı ise çemberler teğettir (II. ve IV. durumlar).
Çözüm kümesi iki elemanlı ise çemberler iki noktada kesişir (III. durum).