Bir noktanın/doğrunun/çemberin bir çembere göre durumunu aşağıdaki şekilde inceleyebiliriz.
Bir \( A(x_2, y_2) \) noktasının merkezi \( M(x_1, y_1) \) ve yarıçapı \( r \) olan bir çembere göre durumu aşağıdaki gibi üç şekilde olabilir: Nokta çemberin dışında olabilir (I. durum), üzerinde olabilir (II. durum) ya da içinde olabilir (III. durum).
Belirli bir nokta ve çemberin birbirine göre durumunu nokta ile çemberin merkezi arasındaki uzaklığı çemberin yarıçapı ile karşılaştırarak bulabiliriz:
Bir \( d_1 \) doğrusunun merkezi \( M(x_1, y_1) \) ve yarıçapı \( r \) olan bir çembere göre durumu aşağıdaki gibi üç şekilde olabilir: Doğru çemberle kesişmeyebilir (I. durum), çembere teğet olabilir (II. durum) ya da çemberi iki noktada kesebilir (III. durum).
Doğrunun çembere göre durumuna, doğru ile çemberin merkezi arasındaki uzaklığı çemberin yarıçapı ile karşılaştırarak karar verebiliriz:
Herhangi iki denklemin kesişim noktalarını bulmak için yaptığımız gibi, bir doğrunun bir çembere göre durumunu her iki denklemi ortak çözerek de bulabiliriz. Buna göre, her iki denklemi ortak çözdüğümüzde:
Merkezi \( M(x_1, y_1) \) ve yarıçapı \( r_1 \) olan bir çemberle, merkezi \( N(x_2, y_2) \) ve yarıçapı \( r_2 \) olan bir çemberin birbirine göre durumu aşağıdaki gibi beş şekilde olabilir.
Çemberlerin birbirine göre durumuna çemberlerin merkezleri arası uzaklığı çemberlerin yarıçapları toplamı ve farkı ile karşılaştırarak karar verebiliriz:
İki çemberin birbirine göre durumunu her iki denklemi ortak çözerek de bulabiliriz. Buna göre, her iki denklemi ortak çözdüğümüzde:
SORU 1:
Analitik düzlemde \( y = kx \) doğrusu, denklemi \( x^2 - 16x + y^2 + 32 = 0 \) olan çemberi iki farklı noktada kesmektedir.
Buna göre, \( k \) değer aralığı nedir?
Çözümü Göster
Doğru ve çember denklemlerini ortak çözelim.
Çember denkleminde \( y \) yerine \( kx \) yazalım.
\( x^2 - 16x + (kx)^2 + 32 = 0 \)
\( x^2 - 16x + k^2x^2 + 32 = 0 \)
\( (1 + k^2)x^2 - 16x + 32 = 0 \)
Bu ikinci dereceden denklem iki denklemin kesişim noktalarının apsis değerlerini verir.
Bu denklemin iki çözümünün olması için deltası sıfırdan büyük olmalıdır.
\( \Delta = b^2 - 4ac \gt 0 \)
\( (-16)^2 - 4 \cdot 32 \cdot (1 + k^2) \gt 0 \)
\( 256 - 128 - 128k^2 \gt 0 \)
\( 128k^2 \lt 128 \)
\( k^2 \lt 1 \)
\( k \) değer aralığı aşağıdaki gibi bulunur.
\( -1 \lt k \lt 1 \)
SORU 2:
\( A(-1, 2) \) noktasının \( (x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 4 \) çemberine olan en kısa uzaklığı kaç birimdir?
Çözümü Göster
Bir noktanın bir çembere göre durumu üç şekilde olabilir.
Çemberin yarıçapına \( r \), verilen nokta ile çemberin merkezi arasındaki uzaklığa \( d \) diyelim.
(1) Nokta çemberin üzerinde olabilir (\( d = r \)).
(2) Nokta çemberin iç bölgesinde olabilir (\( d \lt r \)).
(3) Nokta çemberin dış bölgesinde olabilir (\( d \gt r \)).
\( A \) noktasının çembere göre durumunu anlamak için çemberin merkezi ile noktanın arasındaki uzaklığı bulalım.
\( d = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (5 - 2)^2} \)
\( = \sqrt{16 + 9} = 5 \)
Verilen çemberin yarıçapı \( r = 2 \) birimdir.
\( (x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 2^2 \)
\( 5 \gt 2 \) olduğu için \( A \) noktası çemberin dış bölgesindedir.
\( A \) noktası çemberin dış bölgesinde olduğu için çembere olan en kısa uzaklığı \( d - r = 5 - 2 = 3 \) birimdir.
SORU 3:
\( A(-4, -1) \) ve \( B(20, 7) \) noktalarını birleştiren doğru parçası \( M \) merkezli çemberin de çapıdır.
Buna göre \( K(0, 9) \) noktasının bu çemberin içinde mi, dışında mı, üzerinde mi olduğunu bulunuz.
Çözümü Göster
\( [AB] \) doğru parçasının orta noktası çemberin merkezini verir.
\( M(\dfrac{-4 + 20}{2}, \dfrac{-1 + 7}{2}) = M(8, 3) \)
Çemberin yarıçapını bulmak için iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanalım.
\( \abs{BM} = \sqrt{(20 - 8)^2 + (7 - 3)^2} \)
\( = \sqrt{144 + 16} = 4\sqrt{10} \)
\( K(0, 9) \) noktasının çembere göre konumunu anlamak için çemberin merkezine olan uzaklığını bulalım.
\( \abs{KM} = \sqrt{(0 - 8)^2 + (9 - 3)^2} \)
\( = \sqrt{64 + 36} = 10 \)
\( 10 \lt 4\sqrt{10} \)
\( \abs{KM} \) uzunluğu çemberin yarıçapından küçük olduğuna göre \( K \) noktası çemberin içindedir.
Çember ve \( K \) noktasının birbirine göre konumu aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
SORU 4:
\( 3x - 4y + 5 = 0 \) doğrusu ile \( (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16 \) çemberinin birbirine göre durumu hakkında ne söylenebilir?
Çözümü Göster
Doğrunun çembere göre durumuna, doğru ile çemberin merkezi arasındaki uzaklığı çemberin yarıçapı ile karşılaştırarak karar verebiliriz.
Standart denklemi verilen çemberin merkezi \( M(2, -3) \) noktasıdır ve yarıçapı \( r = 4 \) birimdir.
\( M \) noktasının doğruya uzaklığını bulalım.
\( d = \dfrac{\abs{ax_1 + by_1 + c}}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)
\( = \dfrac{\abs{3 \cdot 2 + (-4) \cdot (-3) + 5}}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \)
\( = \dfrac{23}{5} \gt 4 \)
Çemberin merkezinin doğruya uzaklığı çemberin yarıçapından büyük olduğu için doğru çemberi kesmez.
SORU 5:
Analitik düzlemde \( M_1(-2, 8) \) merkezli çemberin yarıçapı 8 birim, \( M_2 \) merkezli çemberin standart denklemi \( (x - 6)^2 + (y + 7)^2 = 25 \) olarak veriliyor.
Buna göre bu çemberler arasındaki en kısa uzaklık kaç birimdir?
Çözümü Göster
İki çemberin arasındaki en kısa uzaklığı bulmak için önce merkezleri arasındaki uzaklığı bulalım.
Standart denklemi verilen çemberin merkezi \( M_2(6, -7) \) noktası, yarıçapı 5'tir.
\( \abs{M_1M_2} = \sqrt{(6 - (-2))^2 + (-7 - 8)^2} \)
\( = \sqrt{64 + 225} = 17 \)
Çemberlerin merkezleri arasındaki uzaklık çemberlerin yarıçaplarının toplamından büyük olduğu için çemberler kesişmez ve bir çember diğerinin içinde değildir.
Çemberlerin merkezleri arasındaki uzaklıktan çemberlerin yarıçaplarını çıkardığımızda iki çember arasındaki en kısa uzaklığı buluruz.
\( 17 - 8 - 5 = 4 \) olarak bulunur.
SORU 6:
\( x^2 + 6x + y^2 + 2y + 1 = 0 \)
\( x^2 + 16x + y^2 + 2y + 64 = k \)
Yukarıda denklemleri verilen çemberler tek noktada kesiştiklerine göre, \( k \)'nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
İki çember tek noktada kesişiyorsa çemberler birbirine ya içten ya da dıştan teğet olmalıdır.
İlk denklemi düzenleyerek standart denklem formuna getirelim.
\( x \) ve \( y \)'li terimleri tam kareye tamamlamak için denklemin sol tarafına 9 ekleyip çıkaralım.
\( x^2 + 6x + 9 - 9 + y^2 + 2y + 1 = 0 \)
\( (x + 3)^2 + (y + 1)^2 = 3^2 \)
Buna göre birinci çemberin merkezi \( M_1(-3, -1) \) noktasıdır ve yarıçapı 3'tür.
Aynı işlemi ikinci denkleme uygulayalım.
\( x \) ve \( y \)'li terimleri tam kareye tamamlamak için denklemin sol tarafına 1 ekleyip çıkaralım.
\( x^2 + 16x + 64 + y^2 + 2y + 1 - 1 = k \)
\( (x + 8)^2 + (y + 1)^2 = k + 1 \)
Buna göre ikinci çemberin merkezi \( M_2(-8, -1) \) noktasıdır ve yarıçapı \( \sqrt{k + 1} \)'dir.
İki çemberin merkez noktaları arasındaki uzaklığı bulalım.
\( \abs{M_1M2} = \sqrt{(-3 - (-8))^2 + (-1 - (-1))^2} \)
\( = \sqrt{25 + 0} = 5 \)
Buna göre çemberlerin birbirine göre durumu iki şekilde olabilir.
Durum 1: Çemberler dıştan teğettir, bu durumda ikinci denklemin yarıçapı 2 olmalıdır.
\( \sqrt{k + 1} = 2 \)
\( k + 1 = 4 \)
\( k = 3 \)
Durum 2: Çemberler içten teğettir, bu durumda ikinci denklemin yarıçapı 8'dir.
\( \sqrt{k + 1} = 8 \)
\( k + 1 = 64 \)
\( k = 63 \)
Buna göre \( k \)'nın alabileceği değerlerin toplamı \( 3 + 63 = 66 \) olarak bulunur.
SORU 7:
Genel denklemi \( x^2 + 6x + y^2 - 20y - 60 = 0 \) olan çembere \( P(9, 15) \) noktasında teğet olan doğrunun denklemini bulunuz.
Çözümü Göster
Denklemi düzenleyerek çemberin standart denklemi formuna getirelim.
\( x \) ve \( y \)'li terimleri tam kareye tamamlamak için denklemin sol tarafına 9 ve 100 ekleyip çıkaralım.
\( x^2 + 6x + 9 - 9 + y^2 - 20y + 100 - 100 - 60 = 0 \)
\( (x + 3)^2 + (y - 10)^2 - 169 = 0 \)
\( (x + 3)^2 + (y - 10)^2 = 13^2 \)
Buna göre çemberin merkezi \( M(-3, 10) \) noktasıdır ve yarıçapı 13'tür.
Çemberin merkezinden bir teğete çizilen doğru parçası teğeti dik keser ve birbirini dik kesen iki doğrunun eğimleri çarpımı -1'dir.
Merkez ve \( P \) noktasını birleştiren normal doğrunun eğimine \( m_1 \), \( P \) noktasındaki teğet doğrunun eğimine \( m_2 \) diyelim.
\( m_1 \cdot m_2 = -1 \)
\( M \) ve \( P \) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulalım.
\( m_1 = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
\( = \dfrac{15 - 10}{9 - (-3)} = \dfrac{5}{12} \)
\( m_1 \cdot m_2 = -1 \)
\( \dfrac{5}{12} \cdot m_2 = -1 \)
\( m_2 = -\dfrac{12}{5} \)
\( P \) noktasından geçen ve eğimi \( m_2 \) olan doğrunun denklemini bulalım.
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - 15 = -\dfrac{12}{5}(x - 9) \)
\( y = -\dfrac{12}{5}x + \dfrac{183}{5} \) olarak bulunur.
SORU 8:
\( y + 3x = 8 \) ve \( y = x + 16 \) doğruları, denklemi \( x^2 + y^2 + ax + by + 100 = 0 \) olan çemberin çaplarından ikisidir.
Buna göre bu çemberin yarıçapı kaçtır?
Çözümü Göster
Çap doğrularının kesişim noktası çemberin merkezini verir.
Doğruların kesişim noktasını bulmak için \( y \) değerlerini eşitleyerek iki denklemi ortak çözelim.
\( 8 - 3x = x + 16 \)
\( 4x = -8 \)
\( x = -2 \)
Doğrular apsis değeri \( -2 \) olan noktada kesişir.
Bu değeri iki denklemden birinde yerine koyarak kesişim noktasının ordinatını bulalım.
\( y = -2 + 16 \Longrightarrow y = 14 \)
Buna göre çemberin merkezi \( M(-2, 14) \) noktasıdır.
Merkez noktasını kullanarak çemberin standart denklemini yazalım.
Çemberin yarıçapına \( r \) diyelim.
\( (x - (-2))^2 + (y - 14)^2 = r^2 \)
Bu denklemin açılımını yazalım.
\( x^2 + 4x + 4 + y^2 - 28y + 196 = r^2 \)
\( x^2 + y^2 + 4x - 28y + 200 - r^2 = 0 \)
Elde ettiğimiz denklemi soruda verilen denkleme eşitleyelim.
\( x^2 + y^2 + 4x - 28y + 200 - r^2 = x^2 + y^2 + ax + by + 100 \)
İki denklem aynı çembere ait olduğu için benzer terimlerin katsayıları birbirine eşittir.
\( a = 4 \)
\( b = -28 \)
\( 200 - r^2 = 100 \)
\( r^2 = 100 \)
Yarıçap değeri negatif olamaz.
\( r = 10 \) bulunur.
SORU 9:
\( 2y = x - 17 \) doğrusu denklemi \( (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 40 \) olan çemberi \( A \) ve \( B \) noktalarında kesmektedir.
Buna göre çemberin merkezinin \( [AB] \) kirişine en kısa uzaklığı kaç birimdir?
Çözümü Göster
\( (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = (2\sqrt{10})^2 \)
Verilen denklem merkezi \( M(3, -2) \) noktası ve yarıçapı \( 2\sqrt{10} \) olan çembere aittir.
Doğru ile çemberin kesişim noktalarını bulmak için iki denklemi ortak çözelim.
\( 2y = x - 17 \Longrightarrow x = 2y + 17 \)
Bunun için çember denkleminde \( x \) yerine \( 2y + 17 \) yazalım.
\( (2y + 17 - 3)^2 + (y + 2)^2 = 40 \)
\( 4y^2 + 56y + 196 + y^2 + 4y + 4 = 40 \)
\( 5y^2 + 60y + 160 = 0 \)
\( 5(y + 8)(y + 4) = 0 \)
\( y = -8 \) ya da \( x = -4 \)
Bulduğumuz değerleri \( 2y = x - 17 \) denkleminde yerine koyarak kesişim noktalarının apsislerini bulalım.
\( y = -8 \) için:
\( x = 2(-8) + 17 = 1 \)
\( y = -4 \) için:
\( x = 2(-4) + 17 = 9 \)
Buna göre \( 2y = x - 17 \) doğrusu çemberi \( A(1, -8) \) ve \( B(9, -4) \) noktalarında keser.
Merkezden \( [AB] \) kirişine en kısa uzaklık, merkezden \( [AB] \) kirişinin orta noktasına olan uzaklıktır.
\( [AB] \) kirişinin orta noktasını bulalım.
\( C(\dfrac{1 + 9}{2}, \dfrac{-8 + (-4)}{2}) = C(5, -6) \)
\( \abs{MC} \) uzunluğunu iki nokta arasındaki uzaklık formülü ile bulalım.
\( \abs{MC} = \sqrt{(5 - 3)^2 + (-6 - (-2))^2} \)
\( = \sqrt{4 + 16} = 2\sqrt{5} \) bulunur.
SORU 10:
\( A(3, -1) \) ve \( B(-15, 11) \) noktalarını birleştiren doğru parçası \( M \) merkezli çemberin çapıdır.
\( y = 14 \) doğrusunun bu çemberi kestiği noktaların oluşturduğu kirişin uzunluğu kaçtır?
Çözümü Göster
\( [AB] \) doğru parçasının orta noktası çemberin merkezini verir.
\( M(\dfrac{3 + (-15)}{2}, \dfrac{-1 + 11}{2}) = M(-6, 5) \)
Çemberin yarıçapını bulmak için iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanalım.
\( \abs{MA} = \sqrt{(-6 - 3)^2 + (5 - (-1))^2} \)
\( = \sqrt{81 + 36} = \sqrt{117} \)
Merkez noktası ve yarıçapı bilinen çemberin denklemini yazalım.
\( (x + 6)^2 + (y - 5)^2 = 117 \)
\( y = 14 \) doğrusunun çemberi kestiği noktalara \( K \) ve \( L \) diyelim.
Doğrunun çemberi kestiği noktaları bulmak için denklemde \( y \) yerine 14 yazalım.
\( (x + 6)^2 + (14 - 5)^2 = 117 \)
\( (x + 6)^2 = 36 \)
\( x + 6 = 6 \) ya da \( x + 6 = -6 \)
\( x + 6 = 6 \Longrightarrow x = 0 \)
\( x + 6 = -6 \Longrightarrow x = -12 \)
Buna göre \( y = 14 \) doğrusu çemberi \( K(0, 14) \) ve \( L(-12, 14) \) noktalarında keser.
\( \abs{KL} \) uzunluğunu bulmak için iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanalım.
\( \abs{KL} = \sqrt{(0 - (-12))^2 + (14 - 14)^2} \)
\( = \sqrt{144 + 0} = 12 \) bulunur.
SORU 11:
Standart denklemi \( (x + 4)^2 + (y + 1)^2 = 36 \) olan \( M \) merkezli çemberin teğet doğrularından biri \( A(5, 3) \) noktasından geçmektedir.
Teğetin çemberle kesişim noktası \( B \) olduğuna göre, \( \abs{AB} \) uzunluğu kaçtır?
Çözümü Göster
\( (x + 4)^2 + (y + 1)^2 = 6^2 \)
Verilen denklem merkezi \( M(-4, -1) \) noktası ve yarıçapı \( 6 \) olan denkleme aittir.
Soruda verilen bilgileri koordinat düzleminde gösterelim.
\( \abs{MA} \) uzunluğunu iki nokta arasındaki uzaklık formülü ile bulalım.
\( \abs{MA} = \sqrt{(5 - (-4))^2 + (3 - (-1))^2} \)
\( = \sqrt{81 + 16} = \sqrt{97} \)
\( ABM \) dik üçgenine Pisagor teoremini uygulayalım.
\( \abs{MA}^2 = \abs{BM}^2 + \abs{AB}^2 \)
\( 97 = 6^2 + \abs{AB}^2 \)
\( \abs{AB}^2 = 61 \)
\( \abs{AB} = \sqrt{61} \) olarak bulunur.
SORU 12:
Merkezi orijinde olan \( r \) yarıçaplı bir çember, denklemi \( x^2 - 14x + y^2 - 48y - 275 = 0 \) olan çemberin içindedir.
Buna göre \( r \)'nin değer aralığını bulunuz.
Çözümü Göster
Dıştaki çemberin denklemini düzenleyerek standart denklem formuna getirelim.
\( x \) ve \( y \)'li terimleri tam kareye tamamlamak için denklemin sol tarafına 49 ve 576 ekleyip çıkaralım.
\( x^2 - 14x + 49 - 49 + y^2 - 48y + 576 - 576 - 275 = 0 \)
\( (x - 7)^2 + (y - 24)^2 - 900 = 0 \)
\( (x - 7)^2 + (y - 24)^2 = 30^2 \)
İki çemberin grafiğini çizelim.
Merkezi orijinde olan çemberin büyük çemberin içinde olması için \( \abs{OA} \ge r \) olmalıdır.
\( \abs{OA} = \abs{MA} - \abs{MO} \)
\( \abs{MA} - \abs{MO} \ge r \)
\( 30 - \sqrt{7^2 + 24^2} \ge r \)
\( 30 - 25 \ge r \)
\( 0 \lt r \le 5 \) bulunur.
SORU 13:
Analitik düzlemde \( y = k \) doğrusu denklemi \( (x + 6)^2 + (y - 2)^2 = 18 \) olan çembere teğettir.
Buna göre \( k \)'nın alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
\( (x + 6)^2 + (y - 2)^2 = (3\sqrt{2})^2 \)
Verilen denklem merkezi \( M(-6, 2) \) noktası ve yarıçapı \( 3\sqrt{2} \) olan çembere aittir.
Yatay \( y = k \) doğruları çembere en üst ya da en alt noktalarında teğet olmalıdır. Buna göre teğet doğrular çemberi \( (-6, k) \) noktalarında keser.
Bu noktaların çemberin merkezine en kısa uzaklığı yarıçap uzunluğuna eşittir.
Buna göre \( k \) aşağıdaki iki değeri alır.
\( k = 2 \pm 3\sqrt{2} \)
Bu durumda \( k \)'nın alabileceği değerlerin çarpımı \( (2 - 3\sqrt{2})(2 + 3\sqrt{2}) = -14 \) olarak bulunur.
SORU 14:
Yukarıdaki şekilde verilen ve dışta bulunan çemberin denklemi \( (x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 9 \) olarak veriliyor.
Buna göre karenin içindeki çemberin genel denklemini bulunuz.
Çözümü Göster
Verilen denklem merkezi \( M(-4, 3) \) noktası ve yarıçapı 3 olan dıştaki çembere aittir.
Dıştaki çemberin çapı karenin köşegenidir. Karenin bir kenarı içteki çemberin çapıdır.
Karenin bir kenar uzunluğuna \( 2k \) dersek köşegen uzunluğu \( 2\sqrt{2}k \) olur.
\( 2\sqrt{2}k = 2 \cdot 3 \)
\( k = \dfrac{6}{2\sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \)
Bu durumda içteki çemberin yarıçapı \( k = \frac{3\sqrt{2}}{2} \) olur.
Çemberlerin merkez noktaları çakışık olduğu için merkezi \( M \) noktası ve yarıçapı \( \frac{3\sqrt{2}}{2} \) olan çemberin genel denklemini yazalım.
\( (x + 4)^2 + (y - 3)^2 = (\dfrac{3\sqrt{2}}{2})^2 \)
\( x^2 + 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 = \dfrac{9}{2} \)
\( x^2 + y^2 + 8x - 6y + \dfrac{41}{2} = 0 \)
SORU 15:
\( a \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( 3x + y = 2a \)
\( x^2 + y^2 = 4 \)
Yukarıdaki denklemler \( a \)'nın hangi aralıktaki değerleri için 2 farklı \( x \) değeri için sağlanır?
Çözümü Göster
Birinci denklemde \( y \)'yi yalnız bırakalım ve \( x \) cinsinden eşitini bulalım.
\( y = 2a - 3x \)
\( y \)'nin bu değerini ikinci denklemde yerine koyalım.
\( x^2 + (2a - 3x)^2 = 4 \)
\( x^2 + 4a^2 - 12ax + 9x^2 = 4 \)
\( 10x^2 - 12ax + 4a^2 - 4 = 0 \)
Bu ikinci dereceden denklem iki denklemin kesişim noktalarının apsis değerlerini verir.
Bu denklemin iki çözümünün olması için deltası sıfırdan büyük olmalıdır.
\( \Delta = b^2 - 4ac \gt 0 \)
\( (-12a)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (4a^2 - 4) \gt 0 \)
\( 144a^2 - 160a^2 + 160 \gt 0 \)
\( -16a^2 + 160 \gt 0 \)
\( 10 - a^2 \gt 0 \)
\( (\sqrt{10} - a)(\sqrt{10} + a) \gt 0 \)
Negatif başkatsayılı ve birbirinden farklı iki reel kökü olan ikinci dereceden bir ifade kök değerlerinde sıfır, köklerin arasındaki aralıkta pozitif, dışındaki aralıkta negatif olur.
Verilen eşitsizlikte \( \gt \) sembolü kullanıldığı için ikinci dereceden ifadenin pozitif olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.
\( a \in (-\sqrt{10}, \sqrt{10}) \)
Buna göre \( a \in (-\sqrt{10}, \sqrt{10}) \) aralığında verilen denklemler iki farklı \( x \) değeri için sağlanır.
SORU 16:
Analitik düzlemde \( x + y = 10 \) doğrusu bir çemberi iki eş parçaya ayırıyor. Bu çember \( x \) eksenini bir, \( y \) eksenini iki noktada kesmektedir.
Çemberin \( y \) eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık 10 birim olduğuna göre, çemberin çevre uzunluğu kaç birimdir?
Çözümü Göster
Doğru çemberi iki eş parçaya ayırıyorsa çemberin merkezinden geçer.
Çember \( x \) eksenini bir noktada kesiyorsa \( x \) eksenine teğettir.
Çemberin ve doğrunun grafiğini çizelim.
Çemberin merkezinden \( y \) eksenine çizilen dikme \( y \) ekseninin oluşturduğu kirişi ortalar.
\( \abs{AB} = \abs{BC} = 5 \)
\( \abs{CO} = a \) diyelim.
Bu durumda çemberin yarıçapı \( 5 + a \) birim olur.
\( \abs{MD} = \abs{MC} = 5 + a \)
\( M \) noktasının ordinat değeri \( 5 + a \) olduğu için \( x + y = 10 \) doğru denkleminde \( y = 5 + a \) yazarak apsis değerini bulalım.
\( x + y = x + 5 + a = 10 \)
\( x = 5 - a \)
\( M(5 - a, 5 + a) \)
Oluşan üçgende Pisagor teoremi uygulayalım.
\( (5 + a)^2 = (5 - a)^2 + 5^2 \)
\( 25 + 10a + a^2 = 25 - 10a + a^2 + 25 \)
\( 20a = 25 \)
\( a = \dfrac{5}{4} \)
\( r = 5 + a \) olduğunu biliyoruz.
\( r = 5 + \dfrac{5}{4} \)
\( r = \dfrac{25}{4} \)
Çemberin çevre uzunluğunu bulalım.
Çevre \( = 2\pi r = 2\pi \cdot \dfrac{25}{4} \)
\( = \dfrac{25}{2}\pi \) bulunur.
