Analitik Düzlemde Çember
Analitik düzlemde bir noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesi bir çember oluşturur. Bu noktaya çemberin merkezi, çemberin üzerindeki noktaların merkeze uzaklığına çemberin yarıçapı denir.
\( r \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( M(a, b) \): Çemberin merkezi
\( r \): Çemberin yarıçapı
\( \abs{AM} = \abs{BM} = \abs{CM} = r \)
Çemberin Standart Denklemi
Merkezi \( M(a, b) \) ve yarıçapı \( r \) olan bir çemberin standart denklemi aşağıdaki gibidir:
\( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \)
\( M(5, -2) \) merkezli ve \( 3 \) birim yarıçaplı çemberin standart denklemi:
\( (x - 5)^2 + (y - (-2))^2 = 3^2 \)
\( (x - 5)^2 + (y + 2)^2 = 9 \)
Merkezi orijinde olan çembere merkezil çember denir. Merkezil çemberin denklemi aşağıdaki gibidir:
\( x^2 + y^2 = r^2 \)
Bir çemberin denklemini yazabilmemiz için aşağıdakilerden birine ihtiyacımız vardır:
- Çemberin merkezi ve yarıçapı
- Çemberin geçtiği doğrusal olmayan üç farklı nokta
Çemberin Genel Denklemi
Çemberin standart denkleminin aşağıdaki biçimde açık yazılışına çemberin genel denklemi denir:
\( x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \)
\( D = -2a \)
\( E = -2b \)
\( F = a^2 + b^2 - r^2 \)
Bu denklemde çemberin merkezi ve yarıçapı aşağıdaki gibi olmaktadır:
\( M(a, b) = M(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}) \)
\( r = \frac{1}{2} \sqrt{D^2 + E^2 - 4F} \)
\( x^2 + y^2 - 10x + 4y + 20 = 0 \)
Genel denklemi yukarıdaki gibi olan çemberin merkezi ve yarıçapı:
\( M(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}) = M(5, -2) \)
\( r = \frac{1}{2} \sqrt{(-10)^2 + 4^2 - 4 \cdot 20} = 3 \)
Konum ve Katsayı İlişkileri
Bir çemberin eksenlere ve orijine göre konumu ile \( D \), \( E \) ve \( F \) değerleri arasında aşağıdaki ilişkileri kurabiliriz.
\( \left( \dfrac{D}{2} \right)^2 = F \) ise çember \( x \) eksenine teğettir.
\( x^2 + y^2 - 10x + 4y + 25 = 0 \)
\( (\frac{-10}{2})^2 = 25 \) olduğu için çember \( x \) eksenine teğettir.
\( (x - 5)^2 + (y + 2)^2 = 2^2 \)
\( \left( \dfrac{E}{2} \right)^2 = F \) ise çember \( y \) eksenine teğettir.
\( x^2 + y^2 + 6x + 12y + 36 = 0 \)
\( (\frac{12}{2})^2 = 36 \) olduğu için çember \( y \) eksenine teğettir.
\( (x + 3)^2 + (y + 6)^2 = 3^2 \)
\( \left( \dfrac{D}{2} \right)^2 = {\left( \dfrac{E}{2} \right)}^2 = F \) ise çember \( x \) ve \( y \) eksenlerine teğettir.
\( x^2 + y^2 + 6x - 6y + 9 = 0 \)
\( (\frac{6}{2})^2 = (\frac{-6}{2})^2 = 36 \) olduğu için çember \( x \) ve \( y \) eksenlerine teğettir.
\( (x + 3)^2 + (y - 3)^2 = 3^2 \)
\( F = 0 \) ise çember orijinden geçer.
\( x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0 \)
\( F = 0 \) olduğu için çember orijinden geçer.
\( (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 5^2 \)
Bir Denklemin Çember Olma Koşulları
Verilen bir denklemin bir çember belirtmesi için aşağıdaki koşulların sağlanması gerekir:
- Denklem sadece \( x^2 \), \( y^2 \), \( x \) ve \( y \)'li terimler ve sabit terim içerebilir. Denklemde \( x \) ve \( y \)'nin diğer kuvvetleri ya da \( xy \) gibi terimler bulunmamalıdır.
- \( x^2 \) ve \( y^2 \) terimlerinin katsayıları birbirine eşit ve \( 1 \) olmalıdır. Eğer katsayıları \( 1 \)'den farklı ise tüm terimler bu katsayıya bölünmeli ve her iki terimin katsayısı \( 1 \)'e getirilmelidir.
- Çemberin yarıçapı sıfırdan büyük, yani \( r = \frac{1}{2} \sqrt{D^2 + E^2 - 4F} \gt 0 \) olmalıdır.
İlk iki koşulu sağlayan, ama yarıçap değeri sıfır olan bir denklem analitik düzlemde bir nokta belirtir.