Analitik düzlemde bir noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesi bir çember oluşturur. Bu noktaya çemberin merkezi, çemberin üzerindeki noktaların merkeze uzaklığına çemberin yarıçapı denir.
Çemberin analitik gösterimi
\( r \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( M(a, b) \): Çemberin merkezi
\( r \): Çemberin yarıçapı
\( \abs{AM} = \abs{BM} = \abs{CM} = r \)
Çemberin Standart Denklemi
Merkezi \( M(a, b) \) ve yarıçapı \( r \) olan bir çemberin standart denklemi aşağıdaki gibidir:
\( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \)
ÖRNEK:
\( M(5, -2) \) merkezli ve \( 3 \) birim yarıçaplı çemberin standart denklemi:
\( (x - 5)^2 + (y - (-2))^2 = 3^2 \)
\( (x - 5)^2 + (y + 2)^2 = 9 \)
İSPATI GÖSTER
Çemberin merkezi olan \( M(a, b) \) noktasına eşit ve \( r \) birim uzaklıktaki tüm noktaları \( A(x, y) \) ile ifade edersek, \( A \) noktasının geometrik yer denklemini iki nokta arasındaki uzaklık formülünden aşağıdaki şekilde yazabiliriz:
\( \abs{AM} = r \)
\( \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} = r \)
İki tarafın karesini alalım:
\( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \)
Merkezi orijinde olan çembere merkezil çember denir. Merkezil çemberin denklemi aşağıdaki gibidir:
\( x^2 + y^2 = r^2 \)
Bir çemberin denklemini yazabilmemiz için aşağıdakilerden birine ihtiyacımız vardır:
Çemberin merkezi ve yarıçapı
Çemberin geçtiği doğrusal olmayan üç farklı nokta
Çemberin Genel Denklemi
Çemberin standart denkleminin aşağıdaki biçimde açık yazılışına çemberin genel denklemi denir:
\( x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \)
\( D = -2a \)
\( E = -2b \)
\( F = a^2 + b^2 - r^2 \)
Bu denklemde çemberin merkezi ve yarıçapı aşağıdaki gibi olmaktadır:
\( M(a, b) = M(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}) \)
\( r = \frac{1}{2} \sqrt{D^2 + E^2 - 4F} \)
ÖRNEK:
\( x^2 + y^2 - 10x + 4y + 20 = 0 \)
Genel denklemi yukarıdaki gibi olan çemberin merkezi ve yarıçapı:
Bu durumda denklem aşağıdaki formatta olur, dolayısıyla çember \( x \) ve \( y \) eksenlerine teğettir.
\( (x \pm r)^2 + (y \pm r)^2 = r^2 \)
\( F = 0 \) ise çember orijinden geçer.
ÖRNEK:
\( x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0 \)
\( F = 0 \) olduğu için çember orijinden geçer.
\( (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 5^2 \)
İSPATI GÖSTER
\( F = 0 \) ise,
Denklem aşağıdaki formatta olur.
\( x^2 + y^2 + Dx + Ey = 0 \)
Denklemde sabit terim bulunmadığı için O(0, 0) noktası denklemi sağlar.
\( 0^2 + 0^2 + D(0) + E(0) = 0 \)
\( 0 = 0 \)
Dolayısıyla çemberin orijinden geçtiğini söyleyebiliriz.
Bir Denklemin Çember Olma Koşulları
Verilen bir denklemin bir çember belirtmesi için aşağıdaki koşulların sağlanması gerekir:
Denklem sadece \( x^2 \), \( y^2 \), \( x \) ve \( y \)'li terimler ve sabit terim içerebilir. Denklemde \( x \) ve \( y \)'nin diğer kuvvetleri ya da \( xy \) gibi terimler bulunmamalıdır.
\( x^2 \) ve \( y^2 \) terimlerinin katsayıları birbirine eşit ve \( 1 \) olmalıdır. Eğer katsayıları \( 1 \)'den farklı ise tüm terimler bu katsayıya bölünmeli ve her iki terimin katsayısı \( 1 \)'e getirilmelidir.
Çemberin yarıçapı sıfırdan büyük, yani \( r = \frac{1}{2} \sqrt{D^2 + E^2 - 4F} \gt 0 \) olmalıdır.
İlk iki koşulu sağlayan, ama yarıçap değeri sıfır olan bir denklem analitik düzlemde bir nokta belirtir.