Analitik düzlemde bir noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesi bir çember oluşturur. Bu noktaya çemberin merkezi , çemberin üzerindeki noktaların merkeze uzaklığına çemberin yarıçapı denir.
Merkezi \( M(a, b) \) ve yarıçapı \( r \) olan bir çemberin standart denklemi aşağıdaki gibidir:
Bir çemberin denklemini yazabilmemiz için aşağıdakilerden birine ihtiyacımız vardır:
\( x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \)
\( D = -2a \)
\( E = -2b \)
\( F = a^2 + b^2 - r^2 \)
Bu denklemde çemberin merkezi ve yarıçapı aşağıdaki gibi olmaktadır:
\( M(a, b) = M(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}) \)
\( r = \frac{1}{2} \sqrt{D^2 + E^2 - 4F} \)
ÖRNEK:
\( x^2 + y^2 - 10x + 4y + 20 = 0 \)
Genel denklemi yukarıdaki gibi olan çemberin merkezi ve yarıçapı:
\( M(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}) = M(5, -2) \)
\( r = \frac{1}{2} \sqrt{(-10)^2 + 4^2 - 4 \cdot 20} = 3 \)
İSPATI GÖSTER
Çemberin standart denklemini açık haliyle yazalım:
\( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \)
\( x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 - r^2 = 0 \)
\( x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - r^2 = 0 \)
Bu denkleme aşağıdaki değişken değiştirmeleri uygulayalım:
\( D = -2a \)
\( E = -2b \)
\( F = a^2 + b^2 - r^2 \)
Bu durumda denklem aşağıdaki genel denklem formatına dönüşecektir:
\( x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \)
Gönder
Bir çemberin eksenlere ve orijine göre konumu ile \( D \), \( E \) ve \( F \) değerleri arasında aşağıdaki ilişkileri kurabiliriz.
Verilen bir denklemin bir çember belirtmesi için aşağıdaki koşulların sağlanması gerekir:
İlk iki koşulu sağlayan, ama yarıçap değeri sıfır olan bir denklem analitik düzlemde bir nokta belirtir.
SORU 1:
Genel denklemi \( x^2 + y^2 - 4x + 10y + 12 = 0 \) olan çemberin merkezinin koordinatlarını ve yarıçapını bulunuz.
Çözümü Göster
Denklemi düzenleyerek çemberin standart denklemi formuna getirelim.
\( x \) ve \( y \)'li terimleri tam kareye tamamlamak için denklemin sol tarafına 4 ve 25 ekleyip çıkaralım.
\( x^2 - 4x + 4 - 4 + y^2 + 10y + 25 - 25 + 12 = 0 \)
\( (x - 2)^2 + (y + 5)^2 - 17 = 0 \)
\( (x - 2) + (y + 5)^2 = (\sqrt{17})^2 \)
Buna göre çemberin merkezi \( M(2, -5) \) noktası ve yarıçapı \( \sqrt{17} \) birimdir.
SORU 2:
Genel denklemi \( x^2 + y^2 + ax + by - 56 = 0 \) olan çemberin merkezi \( M(-7, 4) \) noktası olduğuna göre, çemberin yarıçapı kaçtır?
Çözümü Göster
Merkez noktasını kullanarak çemberin standart denklemini yazalım.
Çemberin yarıçapına \( r \) diyelim.
\( (x - (-7))^2 + (y - 4)^2 = r^2 \)
Bu denklemin açılımını yazalım.
\( x^2 + 14x + 49 + y^2 - 8y + 16 = r^2 \)
\( x^2 + y^2 + 14x - 8y + 65 - r^2 = 0 \)
Elde ettiğimiz denklemi soruda verilen denkleme eşitleyelim.
\( x^2 + y^2 + 14x - 8y + 65 - r^2 = x^2 + y^2 + ax + by - 56 \)
İki denklem aynı çembere ait olduğu için benzer terimlerin katsayıları birbirine eşittir.
\( a = 14 \)
\( b = -8 \)
\( 65 - r^2 = -56 \)
\( r^2 = 121 \)
Yarıçap değeri negatif olamaz.
\( r = 11 \) olarak bulunur.
SORU 3:
Analitik düzlemde \( A(-2, 19) \) ve \( B(14, 7) \) noktalarını birleştiren doğru parçası \( M \) merkezli çemberin de çapıdır.
\( (0, a) \) noktası bu çemberin üzerinde olduğuna göre, \( a \)'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
\( [AB] \) doğru parçasının orta noktası çemberin merkezini verir.
\( M(\dfrac{-2 + 14}{2}, \dfrac{19 + 7}{2}) = M(6, 13) \)
Çemberin yarıçapını bulmak için iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanalım.
\( \abs{MA} = \sqrt{(6 - (-2))^2 + (13 - 19)^2} \)
\( = \sqrt{64 + 36} = 10 \)
Bu bilgileri kullanarak çemberin standart denklemini yazalım.
\( (x - 6)^2 + (y - 13)^2 = 10^2 \)
\( (0, a) \) noktası çemberin üzerinde olduğuna göre denklemi sağlar.
\( (0 - 6)^2 + (a - 13)^2 = 100 \)
\( (a - 13)^2 = 64 \)
\( a - 13 = 8 \) ya da \( a - 13 = -8 \)
\( a - 13 = 8 \Longrightarrow a = 21 \)
\( a - 13 = -8 \Longrightarrow a = 5 \)
Buna göre \( a \)'nın alabileceği değerler toplamı \( 21 + 5 = 26 \) olarak bulunur.
Soruda verilen ve bulduğumuz noktalar aşağıda çemberin üzerinde işaretlenmiştir.
SORU 4:
\( A(-6, 12) \), \( B(17, -11) \) ve \( C(10, -18) \) aynı çemberin üzerinde üç noktadır.
Buna göre bu çemberin standart denklemini bulunuz.
Çözümü Göster
\( A \) ve \( C \) noktalarını birleştirelim.
Çapı gören çevre açının ölçüsü \( 90° \)'dir, dolayısıyla \( [AC] \) aynı zamanda çemberin çapıdır.
Çemberin merkezi çapın orta noktasıdır.
\( M(\dfrac{-6 + 10}{2}, \dfrac{12 + (-18)}{2}) = M(2, -3) \)
Çemberin yarıçapını bulmak için iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanalım.
\( \abs{MC} = \sqrt{(10 - 2)^2 + (-18 - (-3))^2} \)
\( = \sqrt{64 + 225} = 17 \)
Merkez noktası ve yarıçapı bilinen çemberin standart denklemini yazalım.
\( (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 17^2 \)
SORU 5:
\( A(12, 4) \), \( B(6, -4) \) ve \( C(0, -2) \) noktaları aynı çember üzerindedir. Bu çemberin genel denklemini bulunuz.
Çözümü Göster
Çemberin genel denklemini yazalım.
\( x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \)
Verilen üç noktanın koordinatlarını denklemde yerine koyduğumuzda üç bilinmeyenli üç denklem elde ederiz.
\( A(12, 4) \) noktası için:
\( 12^2 + 4^2 + 12D + 4E + F = 0 \)
\( 12D + 4E + F + 160 = 0 \)
\( B(6, -4) \) noktası için:
\( 6^2 + (-4)^2 + 6D - 4E + F = 0 \)
\( 6D - 4E + F + 52 = 0 \)
\( C(0, -2) \) noktası için:
\( 0^2 + (-2)^2 + 0D - 2E + F = 0 \)
\( -2E + F + 4 = 0 \)
İkinci denklemin taraflarını 2 ile çarpalım ve birinci denklemden çıkaralım.
\( 12D + 4E + F + 160 = 0 \)
\( 12D - 8E + 2F + 104 = 0 \)
\( 12E - F + 56 = 0 \)
Bulduğumuz denklemi üçüncü denklemle toplayalım.
\( 12E - F + 56 = 0 \)
\( -2E + F + 4 = 0 \)
\( 10E + 60 = 0 \)
\( E = -6 \)
Bulduğumuz değeri üçüncü denklemde yerine koyarak \( F \)'yi bulalım.
\( -2(-6) + F + 4 = 0 \)
\( F = -16 \)
Bulduğumuz değerleri birinci denklemde yerine koyarak \( D \)'yi bulalım.
\( 12D + 4(-6) + (-16) + 160 = 0 \)
\( D = -10 \)
Buna göre çemberin genel denklemi aşağıdaki gibidir.
\( x^2 + y^2 - 10x - 6y - 16 = 0 \)
SORU 6:
Analitik düzlemde \( A(4, 7) \) noktası denklemi \( (x + 8)^2 + (y - 1)^2 = r^2 \) olan çemberin üzerindedir.
Bu çemberin \( A \) noktasındaki normali çemberi başka hangi noktada keser?
Çözümü Göster
Çembere bir noktada teğet olan doğruyu o noktada dik kesen doğruya çemberin o noktadaki normali denir.
Yöntem 1:
Verilen denklem merkezi \( M(-8, 1) \) noktası olan denkleme aittir.
Merkez noktasının çemberin üzerindeki \( A \) noktasına uzaklığı çemberin yarıçapını verir.
\( \abs{MA} = r = \sqrt{(4 - (-8))^2 + (7 - 1)^2} \)
\( = \sqrt{144 + 36} = 6\sqrt{5} \)
Buna göre çemberin denklemi aşağıdaki gibi bulunur.
\( (x + 8)^2 + (y - 1)^2 = 180 \)
Çemberin \( A \) noktasındaki normalini bulmak için iki noktası bilinen doğru denklemini kullanalım.
\( \dfrac{y - 7}{x - 4} = \dfrac{7 - 1}{4 - (-8)} \)
\( \dfrac{y - 7}{x - 4} = \dfrac{1}{2} \)
\( 2y - 14 = x - 4 \)
\( x = 2y - 10 \)
Çemberin denklemin \( x \) yerine \( 2y - 10 \) yazarak doğrunun çemberi kestiği noktaların koordinatlarını bulalım.
\( (2y - 10 + 8)^2 + (y - 1)^2 = 180 \)
\( 4y^2 - 8y + 4 + y^2 - 2y + 1 = 180 \)
\( 5y^2 - 10y - 175 = 0 \)
\( 5(y + 5)(y - 7) = 0 \)
\( y = -5 \) ya da \( y = 7 \)
\( y = 7 \) ordinat değerli nokta soruda verilen \( A \) noktasıdır.
\( x = 2y - 10 \) denkleminde \( y = -5 \) yazarak \( x \) koordinatını bulalım.
\( x = 2(-5) - 10 \Longrightarrow x = -20 \)
Normal doğrusunun çemberi kestiği ikinci noktanın koordinatları \( (-20, -5) \) olarak bulunur.
Yöntem 2:
Bu soru çemberin merkezinin çap doğrusunun orta noktası olduğu bilgisi kullanılarak da çözülebilir.
Normal doğrusunun çemberi kestiği ikinci noktaya \( K(a, b) \) diyelim.
Buna göre çemberin merkezi \( A(4, 7) \) ve \( K(a, b) \) noktalarının orta noktasıdır.
\( (\dfrac{4 + a}{2}, \dfrac{7 + b}{2}) = M(-8, 1) \)
\( \dfrac{4 + a}{2} = -8 \)
\( a = -20 \)
\( \dfrac{7 + b}{2} = 1 \)
\( b = -5 \)
\( K \) noktasının koordinatları \( (-20, -5) \) olarak bulunur.