Doğruların Oluşturduğu Açılar

Ters Açılar

Birbirini kesen iki doğrunun arasında kalan açılarda komşu olmayan (zıt yönlere bakan) açılara ters açı denir.

Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.

İki Doğru ve Bir Kesenin Oluşturduğu Açılar

İki doğru ve bu doğruları kesen üçüncü bir doğru aşağıdaki açıları oluştururlar.

Yöndeş Açılar

Bu üç doğruya göre konumları aynı olan (aynı yöne bakan) açılara yöndeş açılar denir. Yukarıdaki şekle göre aşağıdaki açı ikilileri yöndeş açılardır.

\( a \) ve \( k \), \( \quad b \) ve \( l \), \( \quad c \) ve \( m \), \( \quad d \) ve \( n \)

İç Açılar

\( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularının arasında kalan açılara iç açılar denir. Yukarıdaki şekle göre aşağıdaki açılar iç açılardır.

\( a, \quad b, \quad m, \quad n \)

İç Ters Açılar

İç açılardan kesenin farklı yönlerine bakan ve komşu olmayan açılara iç ters açılar denir. Yukarıdaki şekle göre aşağıdaki açı ikilileri iç ters açılardır.

\( a \) ve \( m \), \( \quad b \) ve \( n \)

Dış Açılar

\( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularının dışındaki bölgede kalan açılara dış açılar denir. Yukarıdaki şekle göre aşağıdaki açılar dış açılardır.

\( c, \quad d, \quad k, \quad l \)

Dış Ters Açılar

Dış açılardan kesenin farklı yönlerine bakan ve komşu olmayan açılara dış ters açılar denir. Yukarıdaki şekle göre aşağıdaki açı ikilileri dış ters açılardır.

\( c \) ve \( k \), \( \quad d \) ve \( l \)

İki Paralel Doğru ve Bir Kesenin Oluşturduğu Açılar

Kesen doğrunun kestiği iki doğrunun paralel olması durumunda yukarıda bahsettiğimiz açıların ölçüleri arasında aşağıdaki ilişkiler oluşur.

Yöndeş açıların ölçüleri eşittir.

\( a = k \), \( \quad b = l \), \( \quad c = m \), \( \quad d = n \)

İç ters açıların ölçüleri eşittir.

\( a = m \), \( \quad b = n \)

Dış ters açıların ölçüleri eşittir.

\( c = k \), \( \quad d = l \)

Karşı Durumlu Açılar

İç açılardan kesenin aynı yönüne bakan açılara karşı durumlu açılar denir. Yukarıdaki şekle göre aşağıdaki açı ikilileri karşı durumlu açılardır ve toplamları \( 180° \)'dir.

\( a + n = 180° \)

\( b + m = 180° \)

Bir kesenin kestiği iki doğruda yöndeş açılardan, iç ters açılardan ya da dış ters açılardan herhangi ikisinin eşit olduğu biliniyorsa bu iki doğru paraleldir.

Bir kesenin kestiği iki doğruda karşı durumlu açıların bütünler olduğu biliniyorsa bu iki doğru paraleldir.

M Kuralı

Paralel doğrular arasında aşağıdaki gibi "M" şeklinde oluşan açılarda, sola bakan açıların toplamı sağa bakan açıya eşittir.

\( d_1 \parallel d_2 \) olmak üzere,

\( x = a + b \)

İSPATI GÖSTER

Çoklu M Kuralı

Paralel doğrular arasında aşağıdaki gibi çoklu "M" şeklinde oluşan açılarda, sola bakan açıların toplamı sağa bakan açıların toplamına eşittir.

\( d_1 \parallel d_2 \) olmak üzere,

\( a + b + c = x + y \)

İki doğru arasında kalan açıların tümüne "M" kuralının ispatındaki gibi paralel doğrular çizerek bu formülün doğruluğunu gösterebiliriz.

Z Kuralı

Paralel doğrular arasında aşağıdaki gibi "Z" şeklinde oluşan açılar iç ters açılar oldukları için birbirine eşittir.

\( d_1 \parallel d_2 \) olmak üzere,

\( a = b \)

U Kuralı

Paralel doğrular arasında aşağıdaki gibi "U" şeklinde oluşan açılar karşı durumlu açılar oldukları için bütünler açılardır.

\( d_1 \parallel d_2 \) olmak üzere,

\( a + b = 180° \)

İSPATI GÖSTER

U kuralının bir benzerinde, paralel doğrular arasında aşağıdaki gibi oluşan \( m \) sayıda açının toplamı, açı sayısının bir eksiğinin \( 180° \) katıdır.

\( d_1 \parallel d_2 \) olmak üzere,

\( a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_m = (m - 1) \cdot 180° \)

İSPATI GÖSTER

Yukarıdaki kuralın özel bir durumu olarak; kalem ucu kuralı olarak da isimlendirilen kuralda, paralel doğrular arasında aşağıdaki gibi oluşan 3 açının toplamı \( 360° \) olur.