Taylor Teoremi ve Kalan Terim
Önceki bölümde gördüğümüz üzere, \( n \). dereceden Taylor polinomu bir fonksiyonun gerçek değerine en iyi yaklaşımı sağlayan \( n \). dereceden polinomdur.
\( f \) fonksiyonunun \( n \). dereceden Taylor polinomu \( T_n \) olmak üzere,
\( T_n(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} {\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k} \)
\( f(x) \approx T_n(x) \)
Bununla birlikte iki sorunun cevabını bulmamız önemlidir.
- Belirli dereceden bir Taylor polinomunun verdiği bu yaklaşım fonksiyonun gerçek değerine ne kadar yakındır?
- \( n \) sonsuza giderken hangi koşullar altında Taylor polinomunun fonksiyonun gerçek değerine yakınsadığından emin olabiliriz?
Taylor Teoremi
\( n \). dereceden Taylor polinomunun belirli bir noktadaki değeri fonksiyonun o noktadaki değeri için bir yaklaşım olduğu için, fonksiyon ile Taylor polinomu arasında aşağıdaki şekilde bir eşitlik yazılabilir. Bu eşitliğe Taylor formülü ya da kalan terimli Taylor formülü adı verilir.
\( f(x) = T_n(x) + R_n(x) \)
Fonksiyon değeri ile Taylor polinomu arasındaki yaklaşım ilişkisini bir eşitliğe dönüştüren \( R_n(x) \) terimine \( n \). dereceden kalan terim ya da hata terimi denir. Kalan terim için pek çok formül bulunsa da, en yaygın kullanılan formül aşağıdaki Lagrange formudur.
\( c \in (a, x) \) olmak üzere,
\( R_n(x) = \dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n + 1)!}(x - a)^{n+1} \)
Bu kalan terim formülü ile ilgili olarak birkaç önemli noktayı vurgulayalım.
- \( n \). dereceden Taylor polinomu için kalan terim, Taylor serisinin \( (n + 1) \). teriminin formundadır.
- Tek fark olarak, Taylor polinomunda türevlerin \( a \) noktasındaki değeri kullanılırken, kalan teriminde değeri bilinmeyen, ancak \( (a, x) \) aralığında bulunan bir \( c \) noktasındaki değeri kullanılır.
- Taylor teoremi, Taylor formülünü sağlayan bir \( c \) noktasının bulunduğunu garanti eder.
Taylor polinomunun hesaplandığı \( x \) değerinin \( a \) değerinden büyük ya da küçük olmasına göre, \( c \) değerinin de \( (a, x) \) ya da \( (x, a) \) aralığında bulunduğu akılda tutulmalıdır. Bu doğrultuda \( c \) değer aralığı aşağıdaki şekildeki iki durumdan birinde olabilir.
\( c \in (\min(a, x), \max(a, x)) \)
Kalan terimdeki \( c \) değeri bilinmediği için belirli bir \( n \) derecesi ve \( x \) noktası için kalan terimin değeri hesaplanamaz. Bununla birlikte \( \abs{f^{(n+1)}(t)} \) ifadesi için bir üst sınır \( M \) değeri bulunabilirse kalan terim için de bir üst sınır bulunmuş olur.
\( t \in (a, x) \) aralığındaki her \( t \) noktası için \( \abs{f^{(n+1)}(t)} \le M \) koşulunu sağlayan bir pozitif \( M \) sayısı varsa,
\( \abs{R_n(x)} \le \dfrac{M}{(n + 1)!}\abs{x - a}^{n+1} \)
eşitsizliği bu aralıktaki her nokta için sağlanır.
İSPATI GÖSTER
Kalan terimi aşağıdaki şekilde tanımlamıştık.
\( c \in (a, x) \) olmak üzere,
\( R_n(x) = \dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n + 1)!}(x - a)^{n+1} \)
Çoğu durumda hatanın yönünden ziyade büyüklüğü ile ilgilendiğimiz için tarafların mutlak değerini alabiliriz.
\( \abs{R_n(x)} = \abs{\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n + 1)!}(x - a)^{n+1}} \)
\( n \) pozitif olduğu için \( (n + 1)! \) ifadesi de pozitiftir.
\( = \dfrac{\abs{f^{(n+1)}(c)}}{(n + 1)!}\abs{x - a}^{n+1} \)
\( t \in (a, x) \) aralığındaki her \( t \) noktası için \( \abs{f^{(n+1)}(t)} \le M \) koşulunu sağlayan bir pozitif \( M \) sayısı olduğunu varsayalım.
\( \le \dfrac{M}{(n + 1)!}\abs{x - a}^{n+1} \)
Buna göre böyle bir \( M \) değeri bulunduğunda kalan terim için bir üst sınır bulunmuş, dolayısıyla Taylor polinomu ile hesaplanan yaklaşımdaki hatanın en büyük değeri bulunmuş olunur.
Kalan terim tahmin teoreminin uygulama alanlarından biri, belirli bir derecedeki Taylor polinomu ve \( x \) değeri için hesaplanan yaklaşımdaki hata üst sınırını bulmaktır.
\( f(x) = \cos{x} \) fonksiyonunun \( x = 0,1 \) noktasındaki yaklaşık değerini \( a = 0 \) merkezli \( T_3(x) \) polinomu ile hesapladığımızda oluşan hatayı tahmin edelim.
Kalan terim formülü aşağıdaki gibidir.
\( c \in (a, x) \) olmak üzere,
\( \abs{R_n(x)} = \dfrac{\abs{f^{n+1}(c)}}{(n + 1)!}\abs{x - a}^{n+1} \)
\( a = 0 \) merkezli \( T_3(x) \) polinomu için kalan terim formülü aşağıdaki gibi olur.
\( c \in (0, x) \) olmak üzere,
\( \abs{R_3(x)} = \dfrac{\abs{f^{(4)}(c)}}{4!}\abs{x}^4 \)
\( f^{(4)}(x) = \cos{x} \) olarak bulabiliriz.
\( \abs{R_3(x)} = \dfrac{\abs{\cos{c}}}{4!}\abs{x}^4 \)
\( \abs{\cos{c}} \) ifadesinin \( c \in (0; 0,1) \) aralığındaki en büyük değeri 1 olur.
\( \abs{R_3(0,1)} \le \dfrac{1}{4!}0,1^4 = 0,0000041666... \)
Buna göre, \( f(0,1) \) değeri yerine \( T_3(0,1) \) yaklaşım değerini kullandığımızda oluşan hata en fazla bulduğumuz bu değer kadar olur.
Bu değerin bir sağlaması olarak, bu noktadaki fonksiyon ve yaklaşım değerlerinin bulduğumuz hata üst sınırından küçük olduğunu gösterelim.
\( T_3(x) \) polinomu, daha önce bulduğumuz kosinüs Taylor serisi açılımında derecesi en fazla 3 olan terimleri içerir.
\( T_3(x) = 1 - \dfrac{x^2}{2!} \)
\( T_3(0,1) = 1 - \dfrac{0,1^3}{2} = 0,9995000000 \)
\( x = 0,1 \) noktasındaki gerçek fonksiyon değerini bulalım.
\( f(0,1) = \cos(0,1) = 0,9950041652... \)
\( x = 0,1 \) noktasındaki kalan terimi bulalım.
\( \abs{R_3(0,1)} = \abs{f(0,1) - T_3(0,1)} = 0,0000041652... \)
Kalan terimin bulduğumuz hata üst sınırından küçük olduğunu görebiliriz.
\( 0,0000041652... \le 0,0000041666... \)
Kalan terim tahmin teoreminin bir diğer uygulama alanı, belirli bir hata aralığında kalmak için bir Taylor polinomunun hangi \( x \) aralığında kullanılabileceğini bulmaktır.
Taylor Serilerinin Yakınsaklığı
Taylor formülünde eşitliğin sağ tarafı her \( n \) için \( f(x) \) değerine eşit olduğu için, bu toplamın sonsuzdaki limitini alabiliriz.
\( f(x) = T_n(x) + R_n(x) \)
\( f(x) = \lim\limits_{n \to \infty} (T_n(x) + R_n(x)) \)
\( f(x) = \lim\limits_{n \to \infty} {T_n(x)} + \lim\limits_{n \to \infty} {R_n(x)} \)
\( n \to \infty \) iken Taylor polinomu fonksiyondan üretilen Taylor serisine eşit olur.
\( f(x) = {\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n}} + \lim\limits_{n \to \infty} {R_n(x)} \)
Giriş bölümünde yaptığımız tanıma göre, bir fonksiyon \( x = a \) noktasında analitik ise bu nokta civarındaki bir açık aralıkta kendisinden üretilen Taylor serisine eşit olur. Bu tanımı elde ettiğimiz eşitliğe uygularsak, bir fonksiyonun bir noktada analitik olması için bu noktada hesaplanan kalan terimin \( n \to \infty \) iken limiti sıfır olmalıdır.
Dolayısıyla bir fonksiyonun bir \( x = a \) noktasında analitik olduğunu göstermek için, fonksiyonun \( a \) merkezli Taylor polinomu için kalan teriminin \( n \) sonsuzdaki limitinin sıfır olduğunu göstermemiz gerekir.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {R_n(x)} = 0 \) ise,
\( f(x) \) fonksiyonu \( x = a \) noktasını içeren bir açık aralıkta Taylor serisine eşit, dolayısıyla bu noktada analitik olur.
Kalan terimde değeri bilinmeyen \( c \) noktası, \( x \) ve \( n \) değerlerine bağlı olarak değişebilir, dolayısıyla bu ifadenin limiti standart yöntemlerle bulunamaz. Alternatif bir yöntem olarak, yukarıdaki kalan terim için bulduğumuz üst sınır değerinin sonsuzdaki limitinin sıfır olduğu gösterilebilir.
\( f(x) = e^x \) fonksiyonunun \( a = 0 \) merkezli Taylor serisi açılımının tüm reel sayılarda fonksiyona eşit olduğunu gösterelim.
Tüm reel sayılarda sonsuz kez türevlenebilir olan \( f(x) = e^x \) fonksiyonunun Taylor serisini aşağıdaki şekilde bulmuştuk.
\( f(x) = e^x = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{x^n}{n!}} \)
Fonksiyonun \( n \). dereceden Taylor polinomu için kalan terimi yazalım.
\( c \in (0, x) \) olmak üzere,
\( \abs{R_n(x)} = \dfrac{\abs{f^{(n+1)}(c)}}{(n + 1)!}\abs{x}^{n+1} \)
\( = \dfrac{\abs{e^c}}{(n + 1)!}\abs{x}^{n+1} \)
Üstel fonksiyon tüm reel sayılarda pozitiftir.
\( = \dfrac{e^c}{(n + 1)!}\abs{x}^{n+1} \)
Üstel fonksiyon tüm reel sayılarda artan olduğu için \( e^c \le e^{\abs{x}} \) olur.
\( \le \dfrac{e^{\abs{x}}}{(n + 1)!}\abs{x}^{n+1} \)
Eşitsizliğin taraflarının sonsuzda limitini alalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\abs{R_n(x)}} \le \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{e^{\abs{x}}}{(n + 1)!}\abs{x}^{n+1}} \)
\( n \to \infty \) iken \( x \) değeri sabittir.
\( = e^{\abs{x}}\lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{x^{n+1}}{(n + 1)!}} \)
Paydadaki faktöriyel ifadesi paydaki kuvvet ifadesinden daha hızlı büyüdüğü için bu limit sıfırdır.
\( = e^{\abs{x}} \cdot 0 = 0 \)
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\abs{R_n(x)}} = 0 \)
Kalan terimin sonsuzdaki limiti sıfır olduğu için fonksiyon tüm reel sayılarda Taylor serisine eşittir.
\( f(x) = e^x = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{x^n}{n!}} \)