Taylor Teoremi ve Kalan Terim
Önceki bölümde gördüğümüz üzere, \( n \). dereceden Taylor polinomu bir fonksiyonun gerçek değerine en iyi yaklaşımı sağlayan \( n \). dereceden polinomdur.
\( f \) fonksiyonunun \( n \). dereceden Taylor polinomu \( T_n \) olmak üzere,
\( T_n(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} {\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k} \)
\( f(x) \approx T_n(x) \)
Bununla birlikte iki sorunun cevabını bulmamız önemlidir.
- Belirli dereceden bir Taylor polinomunun verdiği bu yaklaşım fonksiyonun gerçek değerine ne kadar yakındır?
- \( n \) sonsuza giderken hangi koşullar altında Taylor polinomunun fonksiyonun gerçek değerine yakınsadığından emin olabiliriz?
Taylor Teoremi
\( n \). dereceden Taylor polinomunun belirli bir noktadaki değeri fonksiyonun o noktadaki değeri için bir yaklaşım olduğu için, fonksiyon ile Taylor polinomu arasında aşağıdaki şekilde bir eşitlik yazılabilir. Bu eşitliğe Taylor formülü ya da kalan terimli Taylor formülü adı verilir.
\( f(x) = T_n(x) + R_n(x) \)
Fonksiyon değeri ile Taylor polinomu arasındaki yaklaşım ilişkisini bir eşitliğe dönüştüren \( R_n(x) \) terimine \( n \). dereceden kalan terim ya da hata terimi denir. Kalan terim için pek çok formül bulunsa da, en yaygın kullanılan formül aşağıdaki Lagrange formudur.
\( c \in (a, x) \) olmak üzere,
\( R_n(x) = \dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n + 1)!}(x - a)^{n+1} \)
Bu kalan terim formülü ile ilgili olarak birkaç önemli noktayı vurgulayalım.
- \( n \). dereceden Taylor polinomu için kalan terim, Taylor serisinin \( (n + 1) \). teriminin formundadır.
- Tek fark olarak, Taylor polinomunda türevlerin \( a \) noktasındaki değeri kullanılırken, kalan teriminde değeri bilinmeyen, ancak \( (a, x) \) aralığında bulunan bir \( c \) noktasındaki değeri kullanılır.
- Taylor teoremi, Taylor formülünü sağlayan bir \( c \in (a, x) \) noktasının bulunduğunu garanti eder.
Taylor polinomunun hesaplandığı \( x \) değerinin \( a \) değerinden büyük ya da küçük olmasına göre, \( c \) değerinin de \( (a, x) \) ya da \( (x, a) \) aralığında bulunduğu akılda tutulmalıdır. Bu doğrultuda \( c \) değer aralığı aşağıdaki şekildeki iki durumdan birinde olabilir.
\( c \in (\min(a, x), \max(a, x)) \)
Kalan terimdeki \( c \) değeri bilinmediği için belirli bir \( n \) derecesi ve \( x \) noktası için kalan terimin kesin değeri hesaplanamaz. Bununla birlikte \( \abs{f^{(n+1)}(t)} \) ifadesi için üst sınır bir \( M \) değeri bulunabilirse kalan terim için de bir üst sınır bulunmuş olur.
\( t \in (a, x) \) aralığındaki her \( t \) noktası için \( \abs{f^{(n+1)}(t)} \le M \) koşulunu sağlayan bir pozitif \( M \) sayısı varsa,
\( \abs{R_n(x)} \le \dfrac{M}{(n + 1)!}\abs{x - a}^{n+1} \)
eşitsizliği bu aralıktaki her nokta için sağlanır.
İSPATI GÖSTER
Kalan terimi aşağıdaki şekilde tanımlamıştık.
\( c \in (a, x) \) olmak üzere,
\( R_n(x) = \dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n + 1)!}(x - a)^{n+1} \)
Çoğu durumda hatanın yönünden ziyade büyüklüğü ile ilgilendiğimiz için tarafların mutlak değerini alabiliriz.
\( \abs{R_n(x)} = \abs{\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n + 1)!}(x - a)^{n+1}} \)
\( n \) pozitif olduğu için \( (n + 1)! \) ifadesi de pozitiftir.
\( = \dfrac{\abs{f^{(n+1)}(c)}}{(n + 1)!}\abs{x - a}^{n+1} \)
\( t \in (a, x) \) aralığındaki her \( t \) noktası için \( \abs{f^{(n+1)}(t)} \le M \) koşulunu sağlayan bir pozitif \( M \) sayısı olduğunu varsayalım.
\( \le \dfrac{M}{(n + 1)!}\abs{x - a}^{n+1} \)
Buna göre böyle bir \( M \) değeri bulunduğunda kalan terim için bir üst sınır bulunmuş, dolayısıyla Taylor polinomu ile hesaplanan yaklaşımdaki hatanın en büyük değeri bulunmuş olunur.
Kalan terim tahmin teoreminin uygulama alanlarından biri, belirli bir derecedeki Taylor polinomu ve \( x \) değeri için hesaplanan yaklaşımdaki hata üst sınırını bulmaktır.
\( f(x) = \cos{x} \) fonksiyonunun \( x = 0,1 \) noktasındaki yaklaşık değerini \( a = 0 \) merkezli \( T_3(x) \) polinomu ile hesapladığımızda oluşan hatanın üst sınırını bulalım.
Kalan terim formülü aşağıdaki gibidir.
\( c \in (a, x) \) olmak üzere,
\( \abs{R_n(x)} = \dfrac{\abs{f^{n+1}(c)}}{(n + 1)!}\abs{x - a}^{n+1} \)
\( a = 0 \) merkezli \( T_3(x) \) polinomu için kalan terim formülü aşağıdaki gibi olur.
\( c \in (0, x) \) olmak üzere,
\( \abs{R_3(x)} = \dfrac{\abs{f^{(4)}(c)}}{4!}\abs{x}^4 \)
\( f^{(4)}(x) = \cos{x} \) olarak bulabiliriz.
\( \abs{R_3(x)} = \dfrac{\abs{\cos{c}}}{4!}\abs{x}^4 \)
\( \abs{\cos{c}} \) ifadesinin \( c \in (0; 0,1) \) aralığındaki en büyük değeri 1 olur.
\( \abs{R_3(0,1)} \le \dfrac{1}{4!}0,1^4 = 0,0000041666... \)
Buna göre, fonksiyonun \( x = 0,1 \) noktasındaki gerçek \( f(0,1) \) değeri yerine \( T_3(0,1) \) yaklaşım değerini kullandığımızda oluşan hata en fazla bulduğumuz bu değer kadar olur.
Bu değerin bir sağlaması olarak, bu noktadaki fonksiyon ve yaklaşım değerlerinin bulduğumuz hata üst sınırından küçük olduğunu gösterelim.
\( T_3(x) \) polinomu, daha önce bulduğumuz kosinüs Taylor serisi açılımında derecesi en fazla 3 olan terimleri içerir.
\( T_3(x) = 1 - \dfrac{x^2}{2!} \)
\( T_3(0,1) = 1 - \dfrac{0,1^3}{2} = 0,9995000000 \)
\( x = 0,1 \) noktasındaki gerçek fonksiyon değerini bulalım.
\( f(0,1) = \cos(0,1) = 0,9950041652... \)
\( x = 0,1 \) noktasındaki kalan terimi bulalım.
\( \abs{R_3(0,1)} = \abs{f(0,1) - T_3(0,1)} = 0,0000041652... \)
Kalan terimin bulduğumuz hata üst sınırından küçük olduğunu görebiliriz.
\( 0,0000041652... \le 0,0000041666... \)
Kalan terim tahmin teoreminin bir diğer uygulama alanı, belirli bir hata aralığında kalmak için bir Taylor polinomunun hangi \( x \) aralığında kullanılabileceğini bulmaktır.
Taylor Serilerinin Yakınsaklığı
Taylor formülünde eşitliğin sağ tarafı her \( n \) için \( f(x) \) değerine eşit olduğu için, bu toplamın sonsuzdaki limitini alabiliriz.
\( f(x) = T_n(x) + R_n(x) \)
\( f(x) = \lim\limits_{n \to \infty} (T_n(x) + R_n(x)) \)
\( f(x) = \lim\limits_{n \to \infty} {T_n(x)} + \lim\limits_{n \to \infty} {R_n(x)} \)
\( n \to \infty \) iken Taylor polinomu fonksiyondan üretilen Taylor serisine eşit olur.
\( f(x) = {\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n}} + \lim\limits_{n \to \infty} {R_n(x)} \)
Giriş bölümünde yaptığımız tanıma göre, bir fonksiyon \( x = a \) noktasında analitik ise bu nokta civarındaki bir açık aralıkta kendisinden üretilen Taylor serisine eşit olur. Bu tanımı elde ettiğimiz eşitliğe uygularsak, bir fonksiyonun bir noktada analitik olması için bu noktada hesaplanan kalan terimin \( n \to \infty \) iken limiti sıfır olmalıdır.
Dolayısıyla bir fonksiyonun bir \( x = a \) noktasında analitik olduğunu göstermek için, fonksiyonun \( a \) merkezli Taylor polinomu için kalan teriminin \( n \) sonsuzdaki limitinin sıfır olduğunu göstermemiz gerekir.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {R_n(x)} = 0 \) ise,
\( f(x) \) fonksiyonu \( x = a \) noktasını içeren bir açık aralıkta Taylor serisine eşit, dolayısıyla bu noktada analitik olur.
Kalan terimde değeri bilinmeyen \( c \) noktası, \( x \) ve \( n \) değerlerine bağlı olarak değişebilir, dolayısıyla bu ifadenin limiti standart yöntemlerle bulunamaz. Alternatif bir yöntem olarak, yukarıdaki kalan terim için bulduğumuz üst sınır değerinin sonsuzdaki limitinin sıfır olduğu gösterilebilir.
\( f(x) = e^x \) fonksiyonunun \( a = 0 \) merkezli Taylor serisi açılımının tüm reel sayılarda fonksiyona eşit olduğunu gösterelim.
Tüm reel sayılarda sonsuz kez türevlenebilir olan \( f(x) = e^x \) fonksiyonunun Taylor serisini aşağıdaki şekilde bulmuştuk.
\( f(x) = e^x = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{x^n}{n!}} \)
Fonksiyonun \( n \). dereceden Taylor polinomu için kalan terimi yazalım.
\( c \in (0, x) \) olmak üzere,
\( \abs{R_n(x)} = \dfrac{\abs{f^{(n+1)}(c)}}{(n + 1)!}\abs{x}^{n+1} \)
\( = \dfrac{\abs{e^c}}{(n + 1)!}\abs{x}^{n+1} \)
Üstel fonksiyon tüm reel sayılarda pozitiftir.
\( = \dfrac{e^c}{(n + 1)!}\abs{x}^{n+1} \)
Üstel fonksiyon tüm reel sayılarda artan olduğu için \( e^c \le e^{\abs{x}} \) olur.
\( \le \dfrac{e^{\abs{x}}}{(n + 1)!}\abs{x}^{n+1} \)
Eşitsizliğin taraflarının sonsuzda limitini alalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\abs{R_n(x)}} \le \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{e^{\abs{x}}}{(n + 1)!}\abs{x}^{n+1}} \)
\( n \to \infty \) iken \( x \) değeri sabittir.
\( = e^{\abs{x}}\lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{x^{n+1}}{(n + 1)!}} \)
Paydadaki faktöriyel ifadesi paydaki kuvvet ifadesinden daha hızlı büyüdüğü için bu limit sıfırdır.
\( = e^{\abs{x}} \cdot 0 = 0 \)
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\abs{R_n(x)}} = 0 \)
Kalan terimin sonsuzdaki limiti sıfır olduğu için fonksiyon tüm reel sayılarda Taylor serisine eşittir.
\( f(x) = e^x = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{x^n}{n!}} \)
\( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonu için;
(a) \( a = 4 \) merkezli 3. dereceden Taylor polinomunu (\( T_3(x) \)) bulunuz.
(b) \( T_3 (x) \) polinomunu kullanarak \( \sqrt{4,1} \) ifadesinin yaklaşık değerini hesaplayınız.
(c) (b) seçeneğindeki yaklaşımda oluşabilecek en büyük hata (Lagrange hata sınırı) kaçtır?
(d) (b) seçeneğindeki yaklaşımın (c) seçeneğindeki hata sınırı içinde olduğunu gösteriniz.
Çözümü Göster(a) seçeneği:
Taylor polinomu bölümünde, \( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonu için \( a = 4 \) merkezli 3. dereceden Taylor polinomunu aşağıdaki şekilde bulmuştuk.
\( T_3(x) = 2 + \dfrac{1}{4}(x - 4) - \dfrac{1}{64}(x - 4)^2 + \dfrac{1}{512}(x - 4)^3 \)
(b) seçeneği:
Aynı soruda \( T_3(x) \) polinomunun \( x = 4,1 \) noktasındaki değerini aşağıdaki şekilde bulmuştuk.
\( T_3(4,1) = 2,0248457031\ldots \)
(c) seçeneği:
\( a = 4 \) merkezli \( T_3(x) \) polinomu için kalan terim formülü aşağıdaki gibi olur.
\( c \in (4; 4,1) \) olmak üzere,
\( \abs{R_3(4,1)} = \dfrac{\abs{f^{(4)}(c)}}{4!}\abs{4,1 - 4}^4 \)
\( f^{(4)}(x) = -\dfrac{15}{16\sqrt{x^7}} \) olarak bulabiliriz.
\( \abs{R_3(4,1)} = \dfrac{\abs{-\frac{15}{16\sqrt{c^7}}}}{4!}(0,1)^4 \)
\( = \dfrac{15}{384\sqrt{c^7}}(0,1)^4 \)
\( \sqrt{c^7} \) ifadesi \( c \)'ye göre artandır, dolayısıyla \( \abs{R_3(4,1)} \) ifadesinin \( [4; 4,1] \) aralığındaki en büyük değerini bulmak için bu aralıktaki en küçük \( c \) değerini seçmeliyiz.
\( \abs{R_3(4,1)} \le \dfrac{15}{384\sqrt{4^7}}(0,1)^4 \)
\( = 3,0517 \times 10^{-8} \)
Buna göre \( T_3(x) \) polinomunu kullanarak \( \sqrt{4,1} \) ifadesinin yaklaşık değeri hesaplandığında oluşabilecek en büyük hata \( 3,0517 \times 10^{-8} \) olur.
(d) seçeneği:
Fonksiyonun \( x = 4,1 \) noktasındaki gerçek değerini bulalım.
\( f(4,1) = \sqrt{4,1} = 2,0248456731... \)
Fonksiyon değeri ile \( T_3(x) \) polinomunun \( x = 4,1 \) noktasındaki değerinin farkı bu noktada oluşan hata değerini verir.
\( \abs{R_3(4,1)} = \abs{f(4,1) - T_3(4,1)} \)
\( = \abs{2,0248456731... - 2,0248457031\ldots} \)
\( = 2,9993 \cdot 10^{-8} \)
\( T_3(x) \) polinomu ile oluşan gerçek hatanın (\( \abs{R_3(4,1)} \)) teorik olarak hesaplanan Lagrange hata sınırının içinde olduğunu görebiliriz.
\( 2,9993 \cdot 10^{-8} \lt 3,0517 \times 10^{-8} \)
\( \sqrt{e} \) ifadesinin gerçek değerini en fazla \( 10^{-4} \) hata ile tahmin edebilmek için en az kaçıncı dereceden Taylor polinomu kullanılmalıdır?
Çözümü Göster\( \sqrt{e} = e^{\frac{1}{2}} \)
\( \sqrt{e} \) ifadesinin yaklaşık değeri için \( f(x) = e^x \) fonksiyonunun \( a = 0 \) merkezli Taylor polinomunu ve \( x = \frac{1}{2} \) noktasındaki değerini kullanabiliriz.
İhtiyaç duyulan en küçük dereceli Taylor polinomunun derecesine \( n \) diyelim.
\( a = 0 \) merkezli \( T_n(x) \) polinomu için kalan terim formülü aşağıdaki gibi olur.
\( c \in (0, \frac{1}{2}) \) olmak üzere,
\( \abs{R_n(\frac{1}{2})} = \dfrac{\abs{f^{(n+1)}(c)}}{(n + 1)!}\abs{\dfrac{1}{2}}^{n+1} \)
\( f^{(n+1)}(x) = e^x \) olur.
\( e^x \) fonksiyonu tüm reel sayılarda pozitiftir. Ayrıca \( e^x \) fonksiyonu tüm reel sayılarda artandır, dolayısıyla \( e^c \) ifadesinin \( c \in (0, \frac{1}{2}) \) aralığındaki en büyük değeri \( e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e} \) olur.
\( \abs{R_n(\frac{1}{2})} \le \dfrac{\sqrt{e}}{(n + 1)! \cdot 2^{n+1}} \)
Hatanın en fazla \( 10^{-4} \) olması isteniyor.
\( \dfrac{\sqrt{e}}{(n + 1)! \cdot 2^{n+1}} \le 10^{-4} \)
\( (n + 1)! \cdot 2^{n+1} \ge \sqrt{e} \cdot 10^4 \approx 16487 \)
Bu eşitsizliği sağlayan en küçük \( n \) değerini bulalım.
\( n = 3 \) için:
\( 4! \cdot 2^4 = 384 \not\gt 16487 \)
\( n = 4 \) için:
\( 5! \cdot 2^5 = 3840 \not\gt 16487 \)
\( n = 5 \) için:
\( 6! \cdot 2^6 = 46080 \gt 16487 \)
Buna göre \( \sqrt{e} \) ifadesinin gerçek değerini en fazla \( 10^{-4} \) hata ile tahmin edebilmek için 5. dereceden Taylor polinomu kullanılmalıdır.
\( f(x) = \cos{x} \) fonksiyonu için;
(a) \( a = 0 \) merkezli 3. dereceden Taylor polinomunu (\( T_3(x) \)) bulunuz.
(b) \( T_3 (x) \) polinomu \( a = 0 \) noktası civarındaki hangi aralıktaki yaklaşımlarda kullanıldığında hata en fazla \( 10^{-4} \) olur?
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( f(x) = \cos{x} \) fonksiyonunun \( a = 0 \) merkezli Taylor serisinin aşağıdaki gibi olduğunu biliyoruz.
\( \cos{x} = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + \dfrac{x^8}{8!} - \ldots \)
Buna göre \( f \) fonksiyonunun \( a = 0 \) merkezli 3. dereceden Taylor polinomu aşağıdaki gibi olur.
\( T_3(x) = 1 - \dfrac{x^2}{2!} \)
(b) seçeneği:
Merkez \( a = 0 \) olduğu için istenen aralığa \( x \in (-r, r) \) diyelim.
\( a = 0 \) merkezli \( T_3(x) \) polinomu için kalan terim formülü aşağıdaki gibi olur.
\( c \in (-r, r) \) olmak üzere,
\( \abs{R_3(x)} = \dfrac{\abs{f^{(4)}(c)}}{4!}\abs{x}^4 \)
\( f^{(4)}(x) = \cos{x} \) olarak bulabiliriz.
\( \abs{R_3(x)} = \dfrac{\abs{\cos{c}}}{4!}\abs{x}^4 \)
Bu değerin \( 10^{-4} \)'ten küçük olması isteniyor.
\( \cos{c} \) ifadesi \( c \in (-r, r) \) aralığında en büyük değerini 1 olarak alır.
\( \abs{x} \) ifadesi \( x \in (-r, r) \) aralığında en büyük değerini \( r \) olarak alır.
\( \abs{R_3(x)} \le \dfrac{1}{4!}r^4 \le 10^{-4} \)
\( r^4 \le 24 \cdot 10^{-4} \)
\( r \le 0,2213\ldots \)
Buna göre, \( T_3(x) \) polinomu \( x \in (-0,2213; 0,2213) \) radyan aralığında kullanıldığında hata en fazla \( 10^{-4} \) olur.