Herhangi bir polinomun bir noktadaki değerini kağıt-kalem ve dört işlem kullanarak kolaylıkla hesaplayabiliriz, ancak \( \sin{1} \) ve \( e^{0,1} \) gibi basit görünen ifadelerin bile değerini hesaplamak için hesap makinası ya da bilgisayara ihtiyaç duyarız. Bilgisayarların da çoğu durumda bu tip hesaplamaları fonksiyonu bir polinoma dönüştürerek yaptığını düşünürsek, herhangi bir fonksiyonun polinom formundaki kuvvet serisi gösterimini bulmamız önem kazanmaktadır.
Bu bölümde iki sorunun cevabını bulmaya çalışacağız.
Birinci sorunun cevabını bulmak için, öncelikle \( f \) fonksiyonundan üretilen \( a \) merkezli kuvvet serisinin aşağıdaki formda olduğunu varsayalım.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {c_n(x - a)^n} = c_0 + c_1(x - a) + c_2(x - a)^2 + c_3(x - a)^3 + \ldots \)
Bu serideki \( c_n \) katsayılarını bulursak \( f \) fonksiyonundan üretilen \( a \) merkezli kuvvet serisini de bulmuş oluruz. Detayları aşağıdaki ispatta verilmek göre, bu katsayılar aşağıdaki formülle bulunur.
\( f \) sonsuz kez türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere,
\( c_n = \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!} \)
\( f \) fonksiyonundan üretilen \( a \) merkezli kuvvet serisinin \( x = a \) noktası civarındaki bir açık aralıkta \( f \) fonksiyonuna eşit olduğunu varsayalım.
\( f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {c_n(x - a)^n} \)
\( = c_0 + c_1(x - a) + c_2(x - a)^2 + c_3(x - a)^3 + c_4(x - a)^4 + \ldots \)
Eşitliğin taraflarının tekrarlı şekilde türevini alalım.
Kuvvet serisi işlem özelliklerine göre, bir kuvvet serisinin türevi terimlerinin ayrı ayrı türevi alınarak bulunabilir.
\( f'(x) = 0 + c_1 + 2c_2(x - a) + 3c_3(x - a)^2 + 4c_4(x - a)^3 + \ldots \)
\( f''(x) = 0 + (1 \cdot 2)c_2 + (2 \cdot 3)c_3(x - a) + (3 \cdot 4)c_4(x - a)^2 + (4 \cdot 5)c_5(x - a)^3 + \ldots \)
\( f'''(x) = 0 + (1 \cdot 2 \cdot 3)c_3 + (2 \cdot 3 \cdot 4)c_4(x - a) + (3 \cdot 4 \cdot 5)c_5(x - a)^2 + (4 \cdot 5 \cdot 6)c_6(x - a)^3 + \ldots \)
Bu örüntüyü devam ettirdiğimizde, fonksiyonun \( n \). türevinin bir sabit terim ve \( x - a \) çarpanı içeren sonsuz sayıda terimden oluştuğunu görürüz.
\( f^{(n)}(x) = n!c_n + (\ldots)(x - a) + (\ldots)(x - a)^2 + (\ldots)(x - a)^3 + \ldots \)
Her türev ifadesinde \( x = a \) yazdığımızda \( x - a \) çarpanı içeren tüm terimler sıfır olur ve geriye sadece sabit olan ilk terimler kalır.
\( f(a) = c_0 \)
\( f'(a) = c_1 = 1!c_1 \)
\( f''(a) = (1 \cdot 2)c_2 = 2!c_2 \)
\( f'''(a) = (1 \cdot 2 \cdot 3)c_3 = 3!c_3 \)
\( f^{(n)}(a) = n!c_n \)
Her eşitlikte katsayıları yalnız bırakalım.
\( c_0 = f(a) \)
\( c_1 = \dfrac{f'(a)}{1!} = f'(a) \)
\( c_2 = \dfrac{f''(a)}{2!} \)
\( c_3 = \dfrac{f'''(a)}{3!} \)
Buna göre kuvvet serisinin \( n \). teriminin katsayısı aşağıdaki şekilde olur.
\( c_n = \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!} \)
Buna göre bir \( f \) fonksiyonundan üretilen \( a \) merkezli kuvvet serisi aşağıdaki gibidir. Bu açılıma \( f \) fonksiyonundan üretilen \( a \) merkezli Taylor serisi adı verilir.
\( f \) sonsuz kez türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere,
\( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n} = f(a) + f'(a)(x - a) + \dfrac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \dfrac{f'''(a)}{3!}(x - a)^3 + \ldots \)
Bu açılımdaki katsayılar fonksiyonun tüm mertebelerden türevlerinin \( x = a \) noktasındaki değerine bağlı olduğu için, bir fonksiyondan \( a \) merkezli Taylor serisi üretilebilmesi için fonksiyon bu noktada sonsuz kez türevlenebilir olmalıdır.
Merkez noktası \( a = 0 \) olan Taylor serilerine Maclaurin serisi adı verilir.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n} = f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \dfrac{f'''(0)}{3!}x^3 + \ldots \)
Dikkat edilirse yukarıda \( f \) fonksiyonu ile fonksiyondan üretilen kuvvet serisi arasında bir eşitlik kurmadık, sadece böyle bir eşitlik söz konusu olacak ise kuvvet serisinin katsayılarının \( c_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!} \) şeklinde olmak zorunda olduğunu gösterdik ve bu kuvvet serisini Taylor serisi olarak adlandırdık.
Cevabını aradığımız ikinci soru, bu şekilde bir eşitliğin hangi koşullarda kurulabileceği bilgisidir. Aşağıda bu koşulu fonksiyonun analitik olması şeklinde tanımlayacağız.
Bir \( x = a \) noktası civarındaki bir açık aralıkta yakınsak bir kuvvet serisine eşit olan fonksiyonlara \( x = a \) noktasında analitik fonksiyon denir.
\( r \gt 0 \) olmak üzere, \( x \in (a - r, a + r) \) aralığında,
\( f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {c_n(x - a)^n} \)
eşitliğini sağlayan bir kuvvet serisi varsa \( f \) fonksiyonu \( x = a \) noktasında analitiktir.
Belirli bir aralıktaki tüm noktalarda analitik olan bir fonksiyon bu aralıkta analitiktir. Tanım kümesindeki tüm noktalarda analitik olan bir fonksiyon analitik bir fonksiyondur.
Yaptığımız tanımla ilgili olarak aşağıdaki üç noktanın bilinmesi önemlidir.
Bir fonksiyon bir noktada analitik ise eşit olduğu kuvvet serisi bu eşitliğin sağlandığı aralıkta fonksiyonu temsil eder ve türev, integral, denklem çözümü gibi işlemlerde fonksiyonun yerine kullanılabilir.
Bir fonksiyonun analitik olup olmadığını, analitik ise analitik olduğu aralığın nasıl bulunabileceğini Taylor Teoremi ve Kalan Terim bölümünde göreceğiz.
Bir fonksiyonun ve kendisinden üretilen Taylor serisinin tüm yakınsaklık aralığı içinde birbirine eşit olmadığı duruma klasik bir örnek olarak aşağıdaki fonksiyon verilebilir. Bu fonksiyondan üretilen Taylor serisinin tüm katsayıları sıfıra eşittir ve seri tüm reel sayılarda yakınsaktır, ancak toplamı sadece \( x = 0 \) noktasında fonksiyon değerine eşittir.
\( f(x) = \begin{cases} e^{-1/x^2} & x \ne 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases} \)
En sık kullanılan Taylor serileri ve türetilme adımları aşağıda verilmiştir. Her serinin analitik olduğu aralık burada sadece bilgi olarak verilmiş olup, detaylı olarak önümüzdeki bölümlerde incelenecektir.
\( x \in (-1, 1) \) olmak üzere,
\( \dfrac{1}{1 - x} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {x^n} \)
\( = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \ldots \)
\( a = 0 \) merkezli Taylor serisinin genel formülünü yazalım.
\( f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n} \)
\( = f(0) + \dfrac{f'(0)}{1!}x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \dfrac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dfrac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 \ldots \)
Bu formülü \( f(x) = \dfrac{1}{1 - x} \) fonksiyonuna uygulayalım.
\( f(x) \) fonksiyonunun türevlerini ve bu türevlerin \( x = 0 \) noktasındaki değerlerini bulalım.
| \( n \) | \( f^{(n)}(x) \) | \( f^{(n)}(0) \) |
|---|---|---|
| \( 0 \) | \( f(x) = \dfrac{1}{1 - x} \) | \( f(0) = \dfrac{1}{1 - 0} = 1 \) |
| \( 1 \) | \( f'(x) = \dfrac{1}{(1 - x)^2} \) | \( f'(0) = \dfrac{1}{(1 - 0)^2} = 1! \) |
| \( 2 \) | \( f''(x) = \dfrac{2}{(1 - x)^3} \) | \( f''(0) = \dfrac{2}{(1 - 0)^3} = 2! \) |
| \( 3 \) | \( f'''(x) = \dfrac{6}{(1 - x)^4} \) | \( f'''(0) = \dfrac{6}{(1 - 0)^4} = 3! \) |
| \( 4 \) | \( f^{(4)}(x) = \dfrac{24}{(1 - x)^5} \) | \( f^{(4)}(0) = \dfrac{24}{(1 - 0)^5} = 4! \) |
Bu değerleri açılımda yerine koyalım.
\( = 1 + \dfrac{1!}{1!}x + \dfrac{2!}{2!}x^2 + \dfrac{3!}{3!}x^3 + \dfrac{4!}{4!}x^4 + \ldots \)
\( = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \ldots \)
Bu açılımı toplam sembolü ile aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {x^n} \)
\( x \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( e^x = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{x^n}{n!}} \)
\( = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + \ldots \)
\( a = 0 \) merkezli Taylor serisinin genel formülünü yazalım.
\( f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n} \)
\( = f(0) + \dfrac{f'(0)}{1!}x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \dfrac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dfrac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 \ldots \)
Bu formülü \( f(x) = e^x \) fonksiyonuna uygulayalım.
\( f(x) \) fonksiyonunun türevlerini ve bu türevlerin \( x = 0 \) noktasındaki değerlerini bulalım.
| \( n \) | \( f^{(n)}(x) \) | \( f^{(n)}(0) \) |
|---|---|---|
| \( 0 \) | \( f(x) = e^x \) | \( f(0) = e^0 = 1 \) |
| \( 1 \) | \( f'(x) = e^x \) | \( f'(0) = e^0 = 1 \) |
| \( 2 \) | \( f''(x) = e^x \) | \( f''(0) = e^0 = 1 \) |
| \( 3 \) | \( f'''(x) = e^x \) | \( f'''(0) = e^0 = 1 \) |
| \( 4 \) | \( f^{(4)}(x) = e^x \) | \( f^{(4)}(0) = e^0 = 1 \) |
Bu değerleri açılımda yerine koyalım.
\( = 1 + \dfrac{1}{1!}x + \dfrac{1}{2!}x^2 + \dfrac{1}{3!}x^3 + \dfrac{1}{4!}x^4 + \ldots \)
\( = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + \ldots \)
Bu açılımı toplam sembolü ile aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{x^n}{n!}} \)
\( x \in (-1, 1] \) olmak üzere,
\( \ln(1 + x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} {\dfrac{(-1)^{n+1}}{n}x^n} \)
\( = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^4}{4} + \dfrac{x^5}{5} - \ldots \)
\( a = 0 \) merkezli Taylor serisinin genel formülünü yazalım.
\( f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n} \)
\( = f(0) + \dfrac{f'(0)}{1!}x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \dfrac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dfrac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 \ldots \)
Bu formülü \( f(x) = \ln(1 + x) \) fonksiyonuna uygulayalım.
\( f(x) \) fonksiyonunun türevlerini ve bu türevlerin \( x = 0 \) noktasındaki değerlerini bulalım.
| \( n \) | \( f^{(n)}(x) \) | \( f^{(n)}(0) \) |
|---|---|---|
| \( 0 \) | \( f(x) = \ln(1 + x) \) | \( f(0) = \ln(1 + 0) = 0 \) |
| \( 1 \) | \( f'(x) = \dfrac{1}{1 + x} \) | \( f'(0) = \dfrac{1}{1 + 0} = 1 \) |
| \( 2 \) | \( f''(x) = -\dfrac{1}{(1 + x)^2} \) | \( f''(0) = -\dfrac{1!}{(1 + 0)^2} = -1! \) |
| \( 3 \) | \( f'''(x) = \dfrac{1 \cdot 2}{(1 + x)^3} \) | \( f'''(0) = \dfrac{2!}{(1 + 0)^3} = 2! \) |
| \( 4 \) | \( f^{(4)}(x) = -\dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3}{(1 + x)^4} \) | \( f^{(4)}(0) = -\dfrac{3!}{(1 + 0)^4} = -3! \) |
Bu değerleri açılımda yerine koyalım.
\( = 0 + \dfrac{1}{1!}x + \dfrac{-1!}{2!}x^2 + \dfrac{2!}{3!}x^3 + \dfrac{-3!}{4!}x^4 + \ldots \)
\( = x - \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{4}x^4 + \ldots \)
Bu açılımı toplam sembolü ile aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} {\dfrac{(-1)^{n+1}}{n}x^n} \)
\( x \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \sin{x} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{(-1)^n}{(2n + 1)!}x^{2n+1}} \)
\( = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + \dfrac{x^9}{9!} - \ldots \)
\( a = 0 \) merkezli Taylor serisinin genel formülünü yazalım.
\( f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n} \)
\( = f(0) + \dfrac{f'(0)}{1!}x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \dfrac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dfrac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 \ldots \)
Bu formülü \( f(x) = \sin{x} \) fonksiyonuna uygulayalım.
\( f(x) \) fonksiyonunun türevlerini ve bu türevlerin \( x = 0 \) noktasındaki değerlerini bulalım.
| \( n \) | \( f^{(n)}(x) \) | \( f^{(n)}(0) \) |
|---|---|---|
| \( 0 \) | \( f(x) = \sin{x} \) | \( f(0) = \sin{0} = 0 \) |
| \( 1 \) | \( f'(x) = \cos{x} \) | \( f'(0) = \cos{0} = 1 \) |
| \( 2 \) | \( f''(x) = -\sin{x} \) | \( f''(0) = -\sin{0} = 0 \) |
| \( 3 \) | \( f'''(x) = -\cos{x} \) | \( f'''(0) = -\cos{0} = -1 \) |
| \( 4 \) | \( f^{(4)}(x) = \sin{x} \) | \( f^{(4)}(0) = \sin{0} = 0 \) |
Bu değerleri açılımda yerine koyalım.
\( = 0 + \dfrac{1}{1!}x + \dfrac{0}{2!}x^2 + \dfrac{-1}{3!}x^3 + \dfrac{0}{4!}x^4 + \ldots \)
\( = x - \dfrac{1}{3!}x^3 + \dfrac{1}{5!}x^5 - \dfrac{1}{7!}x^7 + \ldots \)
Bu açılımı toplam sembolü ile aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{(-1)^n}{(2n + 1)!}x^{2n+1}} \)
\( x \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \cos{x} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}} \)
\( = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + \dfrac{x^8}{8!} - \ldots \)
\( a = 0 \) merkezli Taylor serisinin genel formülünü yazalım.
\( f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n} \)
\( = f(0) + \dfrac{f'(0)}{1!}x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \dfrac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dfrac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 \ldots \)
Bu formülü \( f(x) = \cos{x} \) fonksiyonuna uygulayalım.
\( f(x) \) fonksiyonunun türevlerini ve bu türevlerin \( x = 0 \) noktasındaki değerlerini bulalım.
| \( n \) | \( f^{(n)}(x) \) | \( f^{(n)}(0) \) |
|---|---|---|
| \( 0 \) | \( f(x) = \cos{x} \) | \( f(0) = \cos{0} = 1 \) |
| \( 1 \) | \( f'(x) = -\sin{x} \) | \( f'(0) = -\sin{0} = 0 \) |
| \( 2 \) | \( f''(x) = -\cos{x} \) | \( f''(0) = -\cos{0} = -1 \) |
| \( 3 \) | \( f'''(x) = \sin{x} \) | \( f'''(0) = \sin{0} = 0 \) |
| \( 4 \) | \( f^{(4)}(x) = \cos{x} \) | \( f^{(4)}(0) = \cos{0} = 1 \) |
Bu değerleri açılımda yerine koyalım.
\( = 1 + \dfrac{0}{1!}x + \dfrac{-1}{2!}x^2 + \dfrac{0}{3!}x^3 + \dfrac{1}{4!}x^4 + \ldots \)
\( = 1 - \dfrac{1}{2!}x^2 + \dfrac{1}{4!}x^4 - \dfrac{1}{6!}x^6 + \ldots \)
Bu açılımı toplam sembolü ile aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}} \)
\( x \in [-1, 1] \) olmak üzere,
\( \arctan{x} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{(-1)^n}{2n + 1}x^{2n+1}} \)
\( = x - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} - \dfrac{x^7}{7} + \dfrac{x^9}{9} - \ldots \)
\( x \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \sinh{x} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{x^{2n+1}}{(2n + 1)!}} \)
\( = x + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} + \dfrac{x^7}{7!} + \dfrac{x^9}{9!} + \ldots \)
\( a = 0 \) merkezli Taylor serisinin genel formülünü yazalım.
\( f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n} \)
\( = f(0) + \dfrac{f'(0)}{1!}x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \dfrac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dfrac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 \ldots \)
Bu formülü \( f(x) = \sinh{x} \) fonksiyonuna uygulayalım.
\( f(x) \) fonksiyonunun türevlerini ve bu türevlerin \( x = 0 \) noktasındaki değerlerini bulalım.
| \( n \) | \( f^{(n)}(x) \) | \( f^{(n)}(0) \) |
|---|---|---|
| \( 0 \) | \( f(x) = \sinh{x} \) | \( f(0) = \sinh{0} = \dfrac{e^0 - e^{-0}}{2} = 0 \) |
| \( 1 \) | \( f'(x) = \cosh{x} \) | \( f'(0) = \cosh{0} = \dfrac{e^0 + e^{-0}}{2} = 1 \) |
| \( 2 \) | \( f''(x) = \sinh{x} \) | \( f''(0) = \sinh{0} = 0 \) |
| \( 3 \) | \( f'''(x) = \cosh{x} \) | \( f'''(0) = \cosh{0} = 1 \) |
| \( 4 \) | \( f^{(4)}(x) = \sinh{x} \) | \( f^{(4)}(0) = \sinh{0} = 0 \) |
Bu değerleri açılımda yerine koyalım.
\( = 0 + \dfrac{1}{1!}x + \dfrac{0}{2!}x^2 + \dfrac{1}{3!}x^3 + \dfrac{0}{4!}x^4 + \ldots \)
\( = \dfrac{x}{1!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} + \ldots \)
Bu açılımı toplam sembolü ile aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{x^{2n+1}}{(2n + 1)!}} \)
\( x \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \cosh{x} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}} \)
\( = 1 + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} + \dfrac{x^6}{6!} + \dfrac{x^8}{8!} + \ldots \)
\( a = 0 \) merkezli Taylor serisinin genel formülünü yazalım.
\( f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n} \)
\( = f(0) + \dfrac{f'(0)}{1!}x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \dfrac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dfrac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 \ldots \)
Bu formülü \( f(x) = \cosh{x} \) fonksiyonuna uygulayalım.
\( f(x) \) fonksiyonunun türevlerini ve bu türevlerin \( x = 0 \) noktasındaki değerlerini bulalım.
| \( n \) | \( f^{(n)}(x) \) | \( f^{(n)}(0) \) |
|---|---|---|
| \( 0 \) | \( f(x) = \cosh{x} \) | \( f(0) = \cosh{0} = \dfrac{e^0 + e^{-0}}{2} = 1 \) |
| \( 1 \) | \( f'(x) = \sinh{x} \) | \( f'(0) = \sinh{0} = \dfrac{e^0 - e^{-0}}{2} = 0 \) |
| \( 2 \) | \( f''(x) = \cosh{x} \) | \( f''(0) = \cosh{0} = 1 \) |
| \( 3 \) | \( f'''(x) = \sinh{x} \) | \( f'''(0) = \sinh{0} = 0 \) |
| \( 4 \) | \( f^{(4)}(x) = \cosh{x} \) | \( f^{(4)}(0) = \cosh{0} = 1 \) |
Bu değerleri açılımda yerine koyalım.
\( = 1 + \dfrac{0}{1!}x + \dfrac{1}{2!}x^2 + \dfrac{0}{3!}x^3 + \dfrac{1}{4!}x^4 + \ldots \)
\( = 1 + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} + \ldots \)
Bu açılımı toplam sembolü ile aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}} \)
Temel fonksiyonlar dışında bir fonksiyonun Taylor serisi açılımını bulalım.
\( f(x) = xe^x \) fonksiyonundan üretilen Maclaurin serisini bulalım.
Maclaurin serisinin genel formülünü yazalım.
\( f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n} \)
\( = f(0) + \dfrac{f'(0)}{1!}x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \dfrac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dfrac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 \ldots \)
Bu formülü \( f(x) = xe^x \) fonksiyonuna uygulayalım.
\( f(x) \) fonksiyonunun türevlerini ve bu türevlerin \( x = 0 \) noktasındaki değerlerini bulalım.
| \( n \) | \( f^{(n)}(x) \) | \( f^{(n)}(0) \) |
|---|---|---|
| \( 0 \) | \( f(x) = xe^x \) | \( f(0) = 0e^0 = 0 \) |
| \( 1 \) | \( f'(x) = e^x + xe^x \) | \( f'(0) = e^0 + 0e^0 = 1 \) |
| \( 2 \) | \( f''(x) = 2e^x + xe^x \) | \( f''(0) = 2e^0 + 0e^0 = 2 \) |
| \( 3 \) | \( f'''(x) = 3e^x + xe^x \) | \( f'''(0) = 3e^0 + 0e^0 = 3 \) |
| \( 4 \) | \( f^{(4)}(x) = 4e^x + xe^x \) | \( f^{(4)}(0) = 4e^0 + 0e^0 = 4 \) |
Bu değerleri açılımda yerine koyalım.
\( = 0 + \dfrac{1}{1!}x + \dfrac{2}{2!}x^2 + \dfrac{3}{3!}x^3 + \dfrac{4}{4!}x^4 + \ldots \)
\( = x + \dfrac{x^2}{1!} + \dfrac{x^3}{2!} + \dfrac{x^4}{3!} + \ldots \)
Bu açılımı toplam sembolü ile aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} {\dfrac{x^n}{(n - 1)!}} \)
Kuvvet serilerinde gördüğümüz değişken değiştirme yöntemi Taylor/Maclauren serilerine de uygulabilir.
\( f(x) = e^{-\frac{x^2}{2}} \) fonksiyonunun ürettiği Maclaurin serisini bulalım.
\( e^u \) fonksiyonunun Maclaurin serisi açılımını yazalım.
\( e^u = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{u^n}{n!}} \)
Bu açılımı verilen fonksiyona benzetmek için aşağıdaki gibi değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = -\dfrac{x^2}{2} \)
\( e^{-\frac{x^2}{2}} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-\frac{x^2}{2})^n}{n!} \)
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^nx^{2n}}{2^nn!} \)
Serilerin ilk birkaç terimini listeleyelim.
\( = 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{8} - \dfrac{x^6}{48} + \dfrac{x^8}{384} - \ldots \)
Standart yöntemlerle integrali alınamayan fonksiyonların integrali Taylor serileri kullanılarak alınabilir.
\( f(x) = e^{-\frac{x^2}{2}} \) fonksiyonunun integralini bulalım.
Hem \( e^x \) üstel fonksiyonu hem de \( -\frac{x^2}{2} \) polinom fonksiyonu tüm reel sayılarda analitik olduğu için, bileşkeleri olan \( f \) fonksiyonu da tüm reel sayılarda analitiktir. Dolayısıyla \( f \) fonksiyonunun Taylor serisi açılımını bulup terim-terim integralini alabiliriz.
Verilen fonksiyonun Maclaurin serisi açılımını aşağıdaki şekilde bulmuştuk.
\( e^{-\frac{x^2}{2}} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^nx^{2n}}{2^nn!} \)
Eşitliğin taraflarının integralini alalım.
\( \displaystyle\int {e^{-\frac{x^2}{2}}\ dx} = \displaystyle\int {\left( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{(-1)^nx^{2n}}{2^nn!}} \right) \ dx} \)
Bir kuvvet serisinin integrali, terimlerinin integrallerinin toplamına eşittir.
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left( \displaystyle\int {\dfrac{(-1)^nx^{2n}}{2^nn!}} \ dx \right) \)
\( x \) değişkenine bağlı olmayan ifadeleri integral dışına alabiliriz.
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left( \dfrac{(-1)^n}{2^nn!} \displaystyle\int {x^{2n}} \ dx \right) \)
\( = C + \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{2^nn!(2n + 1)}} \)
Serilerin ilk birkaç terimini listeleyelim.
\( = C + x - \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{40} - \dfrac{x^7}{336} + \ldots \)