Fonksiyonların Taylor ve Maclaurin Açılımı
Taylor/Maclaurin açılımı bilinen fonksiyonlar kullanılarak yeni fonksiyonların açılımı birkaç yöntemle bulunabilir. Bu yöntemlere ek olarak, giriş bölümde incelediğimiz, fonksiyonun farklı derecelerden türevlerini alarak Taylor açılımının katsayılarını bulma yönteminin sonsuz kez türevlenebilir fonksiyona uygulanabileceği unutulmamalıdır.
Yerine Koyma Yöntemi
\( f(x) \) fonksiyonunun açılımı biliniyorsa \( f(g(x)) \) fonksiyonunun açılımı da \( x \) yerine \( g(x) \) yazılarak bulunabilir.
\( \sin(3x^2) \) fonksiyonunun \( x = 0 \) merkezli Taylor açılımını bulalım.
\( \sin{x} \) fonksiyonunun \( x = 0 \) merkezli Taylor açılımını yazalım.
\( \sin{x} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{(-1)^n}{(2n + 1)!}x^{2n+1}} \)
\( = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + \ldots \)
Bu açılımda \( x \) yerine \( 3x^2 \) yazalım.
\( \sin(3x^2) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{(-1)^n}{(2n + 1)!}(3x^2)^{2n+1}} \)
\( = 3x^2 - \dfrac{(3x^2)^3}{3!} + \dfrac{(3x^2)^5}{5!} - \dfrac{(3x^2)^7}{7!} + \ldots \)
Aritmetik İşlemler
Açılımı bilinen fonksiyonlar arasında dört işlemden oluşan fonksiyonların açılımı, bu açılımlara bu işlemler uygulanarak bulunabilir.
\( f(x) = e^x + e^{3x} \) fonksiyonunun \( x = 0 \) merkezli Taylor açılımını bulalım.
\( e^x \) fonksiyonunun \( x = 0 \) merkezli Taylor açılımını yazalım.
\( e^x = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{x^n}{n!}} \)
\( e^{3x} \) fonksiyonunun \( x = 0 \) merkezli Taylor açılımını bulmak için bu açılımda \( x \) yerine \( 3x \) yazalım.
\( e^{3x} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{(3x)^n}{n!}} \)
\( f(x) \) fonksiyonunun açılımı bu iki açılımın toplamına eşittir.
\( f(x) = e^x + e^{3x} \)
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{x^n}{n!}} + \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{(3x)^n}{n!}} \)
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left( \dfrac{x^n}{n!} + \dfrac{3^nx^n}{n!} \right) \)
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{(1 + 3^n)}{n!}x^n} \)
Açılımın ilk birkaç terimini yazalım.
\( = 2 + 4x + \dfrac{10}{2!}x^2 + \dfrac{28}{3!}x^3 + \ldots \)
Türev ve İntegral
\( f(x) = g'(x) \) ise \( f(x) \) fonksiyonunun açılımı \( g(x) \) fonksiyonunun açılımının türevi alınarak bulunabilir.
\( f(x) = \dfrac{1}{(1 - x)^2} \) fonksiyonunun Maclaurin açılımını bulalım.
\( \dfrac{1}{(1 - x)^2} \) fonksiyonunu açılımı bilinen \( \dfrac{1}{1 - x} \) fonksiyonu cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( \dfrac{1}{(1 - x)^2} = \dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{1}{1 - x} \right) \)
\( \dfrac{1}{1 - x} \) fonksiyonunun Maclaurin açılımını yazalım.
\( \abs{x} \lt 1 \) olmak üzere,
\( = \dfrac{d}{dx}\left( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {x^n} \right) \)
\( = \dfrac{d}{dx}(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \ldots) \)
\( = 0 + 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \ldots \)
\( = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} {nx^{n-1}} \)
\( f(x) = \int {g(x)\ dx} \) ise \( f(x) \) fonksiyonunun açılımı \( g(x) \) fonksiyonunun açılımının integrali alınarak bulunabilir.
\( f(x) = \arctan{x} \) fonksiyonunun Maclaurin açılımını bulalım.
\( \arctan{x} \) fonksiyonunu açılımını bulabileceğimiz \( \frac{1}{1 + x^2} \) fonksiyonu cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( \arctan{x} = \displaystyle\int {\dfrac{1}{1 + x^2}\ dx} \)
\( \frac{1}{1 + x^2} \) fonksiyonunun Maclaurin açılımını \( \frac{1}{1 - x} \) açılımında \( x \) yerine \( -x^2 \) yazarak bulabiliriz.
\( \abs{x} \lt 1 \) olmak üzere,
\( \dfrac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \ldots \)
\( \dfrac{1}{1 - (-x^2)} = 1 + (-x^2) + (-x^2)^2 + (-x^2)^3 + \ldots \)
\( = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \ldots \)
Bulduğumuz açılımı yerine koyalım.
\( \arctan{x} = \displaystyle\int {\dfrac{1}{1 + x^2}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int (1 - x^2 + x^4 - x^6 + \ldots \ dx) \)
\( = x - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} - \dfrac{x^7}{7} + \ldots + C \)
Eşitlikte \( x = 0 \) koyduğumuzda \( C = 0 \) bulunur.
\( \arctan{0} = 0 - \dfrac{0^3}{3} + \dfrac{0^5}{5} - \dfrac{0^7}{7} + \ldots + C \)
\( \arctan{x} = x - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} - \dfrac{x^7}{7} + \ldots \)
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{(-1)^n}{2n + 1}x^{2n+1}} \)
\( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^nx^n}{2^nn!} \) serisinin hangi fonksiyonun Maclaurin serisi olduğunu bulunuz.
Çözümü GösterVerilen seri tanımını düzenleyelim.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^nx^n}{2^nn!} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n(\frac{x}{2})^n}{n!} \)
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-\frac{x}{2})^n}{n!} \)
\( e^u \) fonksiyonunun Maclaurin serisi açılımını hatırlayalım.
\( e^u = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{u^n}{n!}} \)
Buna göre verilen seri \( f(x) = e^{-\frac{x}{2}} \) fonksiyonunun Maclaurin serisi açılımıdır.
Aşağıdaki fonksiyonların ürettiği Maclaurin serilerini bulunuz.
(a) \( f(x) = \sin(2x) \)
(b) \( g(x) = \cosh(4x) \)
(c) \( h(x) = \cos(3x^2) \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \sin{u} \) fonksiyonunun Maclaurin serisi açılımını yazalım.
\( \sin{u} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{(-1)^nu^{2n+1}}{(2n+1)!}} \)
Bu açılımda \( u = 2x \) şeklinde değişken değiştirme uygulayalım.
\( \sin(2x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n(2x)^{2n+1}}{(2n+1)!} \)
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n2^{2n+1}x^{2n+1}}{(2n+1)!} \)
Serilerin ilk birkaç terimini listeleyelim.
\( = 2x - \dfrac{4x^3}{3} + \dfrac{4x^5}{15} - \dfrac{8x^7}{315} + \ldots \)
(b) seçeneği:
\( \cosh{u} \) fonksiyonunun Maclaurin serisi açılımını yazalım.
\( \cosh{u} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{u^{2n}}{(2n)!}} \)
Bu açılımda \( u = 4x \) şeklinde değişken değiştirme uygulayalım.
\( \cosh(4x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(4x)^{2n}}{(2n)!} \)
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{4^{2n}x^{2n}}{(2n)!} \)
Serilerin ilk birkaç terimini listeleyelim.
\( = 1 + 8x^2 + \dfrac{32x^4}{3} + \dfrac{256x^6}{45} + \ldots \)
(c) seçeneği:
\( \cos{u} \) fonksiyonunun Maclaurin serisi açılımını yazalım.
\( \cos{u} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{(-1)^nu^{2n}}{(2n)!}} \)
Bu açılımda \( u = 3x^2 \) şeklinde değişken değiştirme uygulayalım.
\( \cos(3x^2) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n(3x^2)^{2n}}{(2n)!} \)
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n3^{2n}x^{4n}}{(2n)!} \)
Serinin ilk birkaç terimini listeleyelim.
\( = 1 - \dfrac{9x^4}{2} + \dfrac{27x^8}{8} - \dfrac{81x^{12}}{80} + \ldots \)
\( f(x) = e^{-2x} \) fonksiyonunun Maclaurin serisindeki \( x^4 \) teriminin katsayısını bulunuz.
Çözümü Göster\( e^u \) fonksiyonunun Maclaurin serisi açılımını yazalım.
\( e^u = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{u^n}{n!}} \)
Bu açılımda \( u = -2x \) şeklinde değişken değiştirme uygulayalım.
\( e^{-2x} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-2x)^n}{n!} \)
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-2)^nx^n}{n!} \)
Serinin genel teriminde \( x^4 \) elde etmek için \( n = 4 \) yazalım.
\( \dfrac{(-2)^4x^4}{4!} = \dfrac{16x^4}{24} = \dfrac{2}{3}x^4 \)
Buna göre \( x^4 \) teriminin katsayısı \( \frac{2}{3} \) olarak bulunur.
\( 1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \dots + 2^n x^n + \dots \) serisinin temsil ettiği fonksiyon ile \( y = x + 1 \) doğrusunun grafiği hangi \( x \) değerinde kesişir?
Çözümü GösterVerilen seri açılımını düzenleyelim.
\( 1 + 2x + (2x)^2 + (2x)^3 + \ldots + (2x)^n + \ldots = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (2x)^n \)
Geometrik seri açılımını ve toplam formülünü hatırlayalım.
\( \abs{u} \lt 1 \) olmak üzere,
\( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {u^n} = \dfrac{1}{1 - u} \)
Buna göre verilen seri \( \abs{2x} \lt 1 \) olmak üzere, \( f(x) = \frac{1}{1 - 2x} \) fonksiyonunun Maclaurin serisi açılımıdır.
İki fonksiyon grafiğinin kesişim noktalarını bulmak için denklemleri ortak çözelim.
\( \dfrac{1}{1 - 2x} = x + 1 \)
\( 1 = (1 - 2x)(x + 1) \)
\( 1 = x + 1 - 2x^2 - 2x \)
\( 2x^2 + x = 0 \)
\( x(2x + 1) = 0 \)
\( x = 0 \) veya \( x = -\dfrac{1}{2} \)
Verilen geometrik serinin yakınsaklık aralığı \( \abs{2x} \lt 1 \) yani \( -\frac{1}{2} \lt x \lt \frac{1}{2} \) şeklindedir. \( x = -\frac{1}{2} \) noktası bu aralığa dahil değildir.
Buna göre kesişim noktası \( x = 0 \) olarak bulunur.
\( f'(x) = \sin{x^2} \) olduğuna göre, \( f(x) \) fonksiyonunun Maclaurin serisi açılımındaki \( x^{11} \) teriminin katsayısı kaçtır?
Çözümü Göster\( \sin{u} \) fonksiyonunun Maclaurin serisi açılımını yazalım.
\( \sin{u} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^nu^{2n+1}}{(2n + 1)!} \)
Bu açılımda \( u = x^2 \) şeklinde değişken değiştirme uygulayalım.
\( f'(x) = \sin{x^2} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n(x^2)^{2n+1}}{(2n + 1)!} \)
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^nx^{4n+2}}{(2n + 1)!} \)
Hem \( \sin{x} \) trigonometrik fonksiyonu hem de \( x^2 \) kuvvet fonksiyonu tüm reel sayılarda analitik olduğu için, bileşkeleri olan \( f' \) fonksiyonu da tüm reel sayılarda analitiktir. Dolayısıyla \( f' \) fonksiyonunun Taylor serisi açılımının terim-terim integralini alabiliriz.
Eşitliğin taraflarının integralini alalım.
\( \displaystyle\int {f'(x) \ dx} = \displaystyle\int {\left( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^nx^{4n+2}}{(2n + 1)!} \right) \ dx} \)
Bir kuvvet serisinin integrali, terimlerinin integrallerinin toplamına eşittir.
\( f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left( \displaystyle\int {\dfrac{(-1)^n x^{4n+2}}{(2n + 1)!}} \ dx \right) \)
\( x \) değişkenine bağlı olmayan ifadeleri integral dışına alabiliriz.
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left( \dfrac{(-1)^n}{(2n + 1)!} \displaystyle\int {x^{4n+2}} \ dx \right) \)
\( = C + \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^nx^{4n+3}}{(2n + 1)!(4n + 3)} \)
\( x^{11} \) terimini elde etmek için kuvveti \( 11 \) yapan \( n \) değerini bulalım.
\( 4n + 3 = 11 \)
\( 4n = 8 \)
\( n = 2 \)
Seri tanımında \( n = 2 \) yazalım.
\( \dfrac{(-1)^2x^{11}}{(2(2) + 1)!(4(2) + 3)} \)
\( = \dfrac{x^{11}}{5! \cdot 11} \)
\( = \dfrac{x^{11}}{1320} \)
Buna göre \( f(x) \) serisindeki \( x^{11} \) teriminin katsayısı \( \frac{1}{1320} \) olarak bulunur.