Taylor/Maclaurin açılımı bilinen fonksiyonlar kullanılarak yeni fonksiyonların açılımı birkaç yöntemle bulunabilir. Bu yöntemlere ek olarak, giriş bölümde incelediğimiz, fonksiyonun farklı derecelerden türevlerini alarak Taylor açılımının katsayılarını bulma yönteminin sonsuz kez türevlenebilir fonksiyona uygulanabileceği unutulmamalıdır.
\( f(x) \) fonksiyonunun açılımı biliniyorsa \( f(g(x)) \) fonksiyonunun açılımı da \( x \) yerine \( g(x) \) yazılarak bulunabilir.
\( \sin(3x^2) \) fonksiyonunun \( x = 0 \) merkezli Taylor açılımını bulalım.
\( \sin{x} \) fonksiyonunun \( x = 0 \) merkezli Taylor açılımını yazalım.
\( \sin{x} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{(-1)^n}{(2n + 1)!}x^{2n+1}} \)
\( = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + \ldots \)
Bu açılımda \( x \) yerine \( 3x^2 \) yazalım.
\( \sin(3x^2) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{(-1)^n}{(2n + 1)!}(3x^2)^{2n+1}} \)
\( = 3x^2 - \dfrac{(3x^2)^3}{3!} + \dfrac{(3x^2)^5}{5!} - \dfrac{(3x^2)^7}{7!} + \ldots \)
Açılımı bilinen fonksiyonlar arasında dört işlemden oluşan fonksiyonların açılımı, bu açılımlara bu işlemler uygulanarak bulunabilir.
\( f(x) = e^x + e^{3x} \) fonksiyonunun \( x = 0 \) merkezli Taylor açılımını bulalım.
\( e^x \) fonksiyonunun \( x = 0 \) merkezli Taylor açılımını yazalım.
\( e^x = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{x^n}{n!}} \)
\( e^{3x} \) fonksiyonunun \( x = 0 \) merkezli Taylor açılımını bulmak için bu açılımda \( x \) yerine \( 3x \) yazalım.
\( e^{3x} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{(3x)^n}{n!}} \)
\( f(x) \) fonksiyonunun açılımı bu iki açılımın toplamına eşittir.
\( f(x) = e^x + e^{3x} \)
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{x^n}{n!}} + \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{(3x)^n}{n!}} \)
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left( \dfrac{x^n}{n!} + \dfrac{3^nx^n}{n!} \right) \)
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{(1 + 3^n)}{n!}x^n} \)
Açılımın ilk birkaç terimini yazalım.
\( = 2 + 4x + \dfrac{10}{2!}x^2 + \dfrac{28}{3!}x^3 + \ldots \)
\( f(x) = g'(x) \) ise \( f(x) \) fonksiyonunun açılımı \( g(x) \) fonksiyonunun açılımının türevi alınarak bulunabilir.
\( f(x) = \dfrac{1}{(1 - x)^2} \) fonksiyonunun Maclaurin açılımını bulalım.
\( \dfrac{1}{(1 - x)^2} \) fonksiyonunu açılımı bilinen \( \dfrac{1}{1 - x} \) fonksiyonu cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( \dfrac{1}{(1 - x)^2} = \dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{1}{1 - x} \right) \)
\( \dfrac{1}{1 - x} \) fonksiyonunun Maclaurin açılımını yazalım.
\( \abs{x} \lt 1 \) olmak üzere,
\( = \dfrac{d}{dx}\left( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {x^n} \right) \)
\( = \dfrac{d}{dx}(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \ldots) \)
\( = 0 + 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \ldots \)
\( = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} {nx^{n-1}} \)
\( f(x) = \int {g(x)\ dx} \) ise \( f(x) \) fonksiyonunun açılımı \( g(x) \) fonksiyonunun açılımının integrali alınarak bulunabilir.
\( f(x) = \arctan{x} \) fonksiyonunun Maclaurin açılımını bulalım.
\( \arctan{x} \) fonksiyonunu açılımını bulabileceğimiz \( \frac{1}{1 + x^2} \) fonksiyonu cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( \arctan{x} = \displaystyle\int {\dfrac{1}{1 + x^2}\ dx} \)
\( \frac{1}{1 + x^2} \) fonksiyonunun Maclaurin açılımını \( \frac{1}{1 - x} \) açılımında \( x \) yerine \( -x^2 \) yazarak bulabiliriz.
\( \abs{x} \lt 1 \) olmak üzere,
\( \dfrac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \ldots \)
\( \dfrac{1}{1 - (-x^2)} = 1 + (-x^2) + (-x^2)^2 + (-x^2)^3 + \ldots \)
\( = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \ldots \)
Bulduğumuz açılımı yerine koyalım.
\( \arctan{x} = \displaystyle\int {\dfrac{1}{1 + x^2}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int (1 - x^2 + x^4 - x^6 + \ldots \ dx) \)
\( = x - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} - \dfrac{x^7}{7} + \ldots + C \)
Eşitlikte \( x = 0 \) koyduğumuzda \( C = 0 \) bulunur.
\( \arctan{0} = 0 - \dfrac{0^3}{3} + \dfrac{0^5}{5} - \dfrac{0^7}{7} + \ldots + C \)
\( \arctan{x} = x - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} - \dfrac{x^7}{7} + \ldots \)
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{(-1)^n}{2n + 1}x^{2n+1}} \)