Taylor Polinomu

Bir Taylor serisinin sonsuz teriminin toplamını almamız pratikte mümkün değildir ve pek çok durumda serinin belirli sayıda teriminin toplamını alarak bulunan yaklaşık değer yeterlidir.

Bir $ f $ fonksiyonunun $ a $ merkezli $ n $. dereceden Taylor polinomu, fonksiyonun $ a $ merkezli Taylor serisinin $ n $. dereceye kadarki terimlerinin toplamından oluşan polinomdur ve genellikle $ T_n(x) $ ya da $ P_n(x) $ ile gösterilir. Bu şekildeki bir Taylor polinomu, $ f $ fonksiyonuna $ x = a $ noktası civarında en iyi yaklaşımı sağlayan $ n $. dereceden polinomdur.

TAYLOR POLİNOMU:

$ T_n(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} {\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k} $

$ = f(a) + f'(a)(x - a) + \dfrac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \ldots + \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n $

ÖRNEK:

$ e^x $ fonksiyonunun $ a = 0 $ merkezli ilk üç dereceden Taylor polinomlarını bulalım.

$ e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + \ldots $

$ T_1(x) = 1 + x $

$ T_2(x) = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} $

$ T_3(x) = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} $

İSPATI GÖSTER

Bir Taylor polinomunun $ x = a $ noktasındaki değerinin ve $ n $. mertebeye kadar türevlerinin $ f $ fonksiyonu ile aynı olduğunu gösterelim.

$ x = a $ noktasındaki fonksiyon değerini bulalım.

$ T_n(a) = f(a) + f'(a)(a - a) + \dfrac{f''(a)}{2!}(a - a)^2 + \ldots + \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(a - a)^n $

$ = f(a) $

$ x = a $ noktasındaki birinci türev değerini bulalım.

$ T_n'(x) = f'(a) + f''(a)(x - a) + \dfrac{f'''(a)}{2!}(x - a)^2 + \ldots + \dfrac{f^{(n)}(a)}{(n - 1)!}(x - a)^{n-1} $

$ T_n'(a) = f'(a) + f''(a)(a - a) + \dfrac{f'''(a)}{2!}(a - a)^2 + \ldots + \dfrac{f^{(n)}(a)}{(n - 1)!}(a - a)^{n-1} $

$ = f'(a) $

$ x = a $ noktasındaki ikinci türev değerini bulalım.

$ T_n''(x) = f''(a) + f'''(a)(x - a) + \dfrac{f^{(4)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \ldots + \dfrac{f^{(n)}(a)}{(n - 2)!}(x - a)^{n-2} $

$ T_n''(a) = f''(a) + f'''(a)(a - a) + \dfrac{f^{(4)}(a)}{2!}(a - a)^2 + \ldots + \dfrac{f^{(n)}(a)}{(n - 2)!}(a - a)^{n-2} $

$ = f''(a) $

Türev işlemini $ n - 2 $ kez daha tekrarladığımızda aşağıdaki sabit terimi buluruz.

$ T_n^{(n)}(x) = f^{(n)}(a) $

$ T_n^{(n)}(a) = f^{(n)}(a) $

İspatta hata bildirin

Bir fonksiyonun $ a $ merkezli $ n $. dereceden Taylor polinomunun tanımlı olması için, formüldeki her ifade hesaplanabilir olmalı, yani fonksiyonun kendisi ve $ n $. mertebeye kadarki türevleri $ x = a $ noktasında birer reel sayı olarak tanımlı olmalıdır ($ f(a), f'(a), f''(a), \ldots, f^{(n)}(a) $).

Aşağıda bir fonksiyonun ilk dört dereceden Taylor polinomları ile ilgili bilgiler verilmiştir.

Grafik	Taylor Polinomu
	$ f $ fonksiyonunun 0. dereceden Taylor polinomu, $ x = a $ noktası civarında $ f $ fonksiyonuna en iyi yaklaşımı gösteren sabit fonksiyondur. $ T_0(x) = f(a) $ Herhangi diğer bir sabit fonksiyon $ (a, f(a)) $ noktasından geçmeyeceği için, $ f $ fonksiyonuna $ x = a $ noktası civarında $ T_0(x) $ polinomu kadar iyi yaklaşım göstermez.
	$ f $ fonksiyonunun 1. dereceden Taylor polinomu, $ x = a $ noktası civarında $ f $ fonksiyonuna en iyi yaklaşımı gösteren doğrusal fonksiyondur. $ T_1(x) = f(a) + f'(a)(x - a) $ Herhangi diğer bir doğrusal fonksiyon ya $ (a, f(a)) $ noktasından geçmeyeceği ya da bu noktadaki eğimi $ f $ ile aynı olmayacağı için, $ f $ fonksiyonuna $ x = a $ noktası civarında $ T_1(x) $ polinomu kadar iyi yaklaşım göstermez. Bu polinom aynı zamanda türev bölümünde gördüğümüz lineerleştirme formülü ile aynıdır.
	$ f $ fonksiyonunun 2. dereceden Taylor polinomu, $ x = a $ noktası civarında $ f $ fonksiyonuna en iyi yaklaşımı gösteren 2. dereceden polinomdur. $ T_2(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \dfrac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 $
	$ f $ fonksiyonunun 3. dereceden Taylor polinomu, $ x = a $ noktası civarında $ f $ fonksiyonuna en iyi yaklaşımı gösteren 3. dereceden polinomdur. $ T_3(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \dfrac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \dfrac{f'''(a)}{3!}(x - a)^3 $

$ n $. dereceden Taylor polinomu $ n $ sonsuza giderken $ a $ merkezli Taylor serisini verir.

$ \lim\limits_{n \to \infty} {T_n(x)} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{f^{(n)}}{n!}(x - a)^n} = f(x) $

Taylor serilerinde olduğu gibi, sıfır merkezli Taylor polinomlarına Maclaurin polinomu adı verilir.

MACLAURIN POLİNOMU:

$ T_n(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} {\dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k} $

$ = f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \ldots + \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n $

Aşağıda üç fonksiyonun ilk birkaç dereceden Taylor polinomu formül ve grafik olarak gösterilmiştir. Bu grafiklerde de görülebileceği üzere, bir Taylor polinomunun derecesi arttıkça polinomun grafiği merkez noktası etrafında artan bir aralıkta fonksiyona yakınsar.

Grafik	Taylor Polinomu
$\( e^x \) Taylor polinomu$	\( f(x) = e^x \) fonksiyonunun \( a = 0 \) merkezli Taylor polinomları: \( T_0(x) = 1 \) \( T_1(x) = 1 + x \) \( T_2(x) = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} \) \( T_3(x) = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} \) \( T_4(x) = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} \) \( T_5(x) = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + \dfrac{x^5}{5!} \)
$\( \sin{x} \) Taylor polinomu$	\( f(x) = \sin{x} \) fonksiyonunun \( a = 0 \) merkezli Taylor polinomları: \( T_1(x) = x \) \( T_3(x) = x - \dfrac{x^3}{3!} \) \( T_5(x) = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} \) \( T_7(x) = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} \) \( T_9(x) = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + \dfrac{x^9}{9!} \)
$\( \cos{x} \) Taylor polinomu$	\( f(x) = \cos{x} \) fonksiyonunun \( a = \pi \) merkezli Taylor polinomları: \( T_0(x) = -1 \) \( T_2(x) = -1 + \dfrac{(x - \pi)^2}{2!} \) \( T_4(x) = -1 + \dfrac{(x - \pi)^2}{2!} - \dfrac{(x - \pi)^4}{4!} \) \( T_6(x) = -1 + \dfrac{(x - \pi)^2}{2!} - \ldots + \dfrac{(x - \pi)^6}{6!} \) \( T_8(x) = -1 + \dfrac{(x - \pi)^2}{2!} - \ldots - \dfrac{(x - \pi)^8}{8!} \) \( T_{10}(x) = -1 + \dfrac{(x - \pi)^2}{2!} - \ldots + \dfrac{(x - \pi)^{10}}{10!} \)

Grafik

Taylor Polinomu

$$ e^x $ Taylor polinomu$

$ f(x) = e^x $ fonksiyonunun $ a = 0 $ merkezli Taylor polinomları:

$ T_0(x) = 1 $

$ T_1(x) = 1 + x $

$ T_2(x) = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} $

$ T_3(x) = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} $

$ T_4(x) = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} $

$ T_5(x) = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + \dfrac{x^5}{5!} $

$$ \sin{x} $ Taylor polinomu$

$ f(x) = \sin{x} $ fonksiyonunun $ a = 0 $ merkezli Taylor polinomları:

$ T_1(x) = x $

$ T_3(x) = x - \dfrac{x^3}{3!} $

$ T_5(x) = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} $

$ T_7(x) = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} $

$ T_9(x) = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + \dfrac{x^9}{9!} $

$$ \cos{x} $ Taylor polinomu$

$ f(x) = \cos{x} $ fonksiyonunun $ a = \pi $ merkezli Taylor polinomları:

$ T_0(x) = -1 $

$ T_2(x) = -1 + \dfrac{(x - \pi)^2}{2!} $

$ T_4(x) = -1 + \dfrac{(x - \pi)^2}{2!} - \dfrac{(x - \pi)^4}{4!} $

$ T_6(x) = -1 + \dfrac{(x - \pi)^2}{2!} - \ldots + \dfrac{(x - \pi)^6}{6!} $

$ T_8(x) = -1 + \dfrac{(x - \pi)^2}{2!} - \ldots - \dfrac{(x - \pi)^8}{8!} $

$ T_{10}(x) = -1 + \dfrac{(x - \pi)^2}{2!} - \ldots + \dfrac{(x - \pi)^{10}}{10!} $

Taylor polinomu ile bir fonksiyonun yaklaşık değerini bulmayı, Taylor serisi açılımı bilinen bir fonksiyon üzerinde gösterelim.

ÖRNEK 1:

$ e^{0,1} $ ifadesinin yaklaşık değerini $ e^x $ fonksiyonunun ilk 4 dereceden Taylor polinomlarını kullanarak hesaplayalım.

Bu ifadenin yaklaşık değerini bulmak için $ f(x) = e^x $ fonksiyonunun $ a = 0 $ merkezli Taylor polinomunu kullanabiliriz.

$ T_n(x) = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \ldots + \dfrac{x^n}{n!} $

$ n = 1, 2, 3, 4 $ değerleri için polinomun $ x = 0,1 $ noktasındaki değerini bulalım.

$ n $	$ T_n(x) $	$ T_n(0,1) $
$ 1 $	$ T_1(x) = 1 + x $	$ T_1(0,1) = 1 + 0,1 = 1,100000 $
$ 2 $	$ T_2(x) = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} $	$ T_2(0,1) = 1 + 0,1 + \dfrac{0,1^2}{2!} = 1,105000 $
$ 3 $	$ T_3(x) = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} $	$ T_3(0,1) = 1 + 0,1 + \dfrac{0,1^2}{2!} + \dfrac{0,1^3}{3!} = 1,105167 $
$ 4 $	$ T_4(x) = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} $	$ T_4(0,1) = 1 + 0,1 + \dfrac{0,1^2}{2!} + \dfrac{0,1^3}{3!} + \dfrac{0,1^4}{4!} = 1,105171 $

Fonksiyonun $ x = 0,1 $ noktasındaki gerçek değerini bulalım.

$ f(0,1) = e^{0,1} = 1,10517091... $

Bu değerleri incelediğimizde, Taylor polinomunun derecesi arttıkça polinom değerinin fonksiyonun gerçek değerine yaklaştığını söyleyebiliriz.

Taylor polinomu ile bir fonksiyonun yaklaşık değerini bulmayı, Taylor serisi açılımı bilinmeyen bir fonksiyon üzerinde gösterelim.

ÖRNEK 2:

$ f(x) = \dfrac{1}{x} $ fonksiyonunun $ x = 2,1 $ noktasındaki yaklaşık değerini, $ a = 2 $ merkezli ve ilk 3 dereceden Taylor polinomlarını kullanarak hesaplayalım.

$ f(x) $ fonksiyonunun türevlerini ve bu türevlerin $ a = 2 $ noktasındaki değerini bulalım.

$ n $	$ f^{(n)}(x) $	$ f^{(n)}(2) $
$ 0 $	$ f(x) = \dfrac{1}{x} $	$ f(2) = \dfrac{1}{2} $
$ 1 $	$ f'(x) = -\dfrac{1}{x^2} $	$ f'(2) = -\dfrac{1}{2^2} = -\dfrac{1}{4} $
$ 2 $	$ f''(x) = \dfrac{2}{x^3} $	$ f''(2) = \dfrac{2}{2^3} = \dfrac{1}{4} $
$ 3 $	$ f'''(x) = -\dfrac{6}{x^4} $	$ f'''(2) = -\dfrac{6}{2^4} = -\dfrac{3}{8} $

Buna göre $ f $ fonksiyonunun $ n $. dereceden $ a = 2 $ merkezli Taylor polinomu aşağıdaki gibi olur.

$ T_n(x) = f(2) + f'(2)(x - 2) + \dfrac{f''(2)}{2!}(x - 2)^2 + \dfrac{f'''(2)}{3!}(x - 2)^3 + \ldots $

$ = \dfrac{1}{2} - \dfrac{x - 2}{4} + \dfrac{(x - 2)^2}{4 \cdot 2!} - \dfrac{3(x - 2)^3}{8 \cdot 3!} + \ldots $

$ n = 1, 2, 3 $ değerleri için polinomun $ x = 2,1 $ noktasındaki değerini bulalım.

$ n $	$ T_n(x) $	$ T_n(2,1) $
$ 1 $	$ T_1(x) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{x - 2}{4} $	$ T_1(2,1) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{2,1 - 2}{4} = \dfrac{19}{40} $
$ 2 $	$ T_2(x) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{x - 2}{4} + \dfrac{(x - 2)^2}{4 \cdot 2!} $	$ T_2(2,1) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{2,1 - 2}{4} + \dfrac{(2,1 - 2)^2}{4 \cdot 2!} = \dfrac{381}{800} $
$ 3 $	$ T_3(x) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{x - 2}{4} + \dfrac{(x - 2)^2}{4 \cdot 2!} - \dfrac{3(x - 2)^3}{8 \cdot 3!} $	$ T_3(2,1) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{2,1 - 2}{4} + \dfrac{(2,1 - 2)^2}{4 \cdot 2!} - \dfrac{3(2,1 - 2)^3}{8 \cdot 3!} = \dfrac{7619}{16000} $

Grafik	Taylor Polinomu
	\( f \) fonksiyonunun 0. dereceden Taylor polinomu, \( x = a \) noktası civarında \( f \) fonksiyonuna en iyi yaklaşımı gösteren sabit fonksiyondur. \( T_0(x) = f(a) \) Herhangi diğer bir sabit fonksiyon \( (a, f(a)) \) noktasından geçmeyeceği için, \( f \) fonksiyonuna \( x = a \) noktası civarında \( T_0(x) \) polinomu kadar iyi yaklaşım göstermez.
	\( f \) fonksiyonunun 1. dereceden Taylor polinomu, \( x = a \) noktası civarında \( f \) fonksiyonuna en iyi yaklaşımı gösteren doğrusal fonksiyondur. \( T_1(x) = f(a) + f'(a)(x - a) \) Herhangi diğer bir doğrusal fonksiyon ya \( (a, f(a)) \) noktasından geçmeyeceği ya da bu noktadaki eğimi \( f \) ile aynı olmayacağı için, \( f \) fonksiyonuna \( x = a \) noktası civarında \( T_1(x) \) polinomu kadar iyi yaklaşım göstermez. Bu polinom aynı zamanda türev bölümünde gördüğümüz lineerleştirme formülü ile aynıdır.
	\( f \) fonksiyonunun 2. dereceden Taylor polinomu, \( x = a \) noktası civarında \( f \) fonksiyonuna en iyi yaklaşımı gösteren 2. dereceden polinomdur. \( T_2(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \dfrac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 \)
	\( f \) fonksiyonunun 3. dereceden Taylor polinomu, \( x = a \) noktası civarında \( f \) fonksiyonuna en iyi yaklaşımı gösteren 3. dereceden polinomdur. \( T_3(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \dfrac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \dfrac{f'''(a)}{3!}(x - a)^3 \)

\( n \)	\( T_n(x) \)	\( T_n(0,1) \)
\( 1 \)	\( T_1(x) = 1 + x \)	\( T_1(0,1) = 1 + 0,1 = 1,100000 \)
\( 2 \)	\( T_2(x) = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} \)	\( T_2(0,1) = 1 + 0,1 + \dfrac{0,1^2}{2!} = 1,105000 \)
\( 3 \)	\( T_3(x) = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} \)	\( T_3(0,1) = 1 + 0,1 + \dfrac{0,1^2}{2!} + \dfrac{0,1^3}{3!} = 1,105167 \)
\( 4 \)	\( T_4(x) = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} \)	\( T_4(0,1) = 1 + 0,1 + \dfrac{0,1^2}{2!} + \dfrac{0,1^3}{3!} + \dfrac{0,1^4}{4!} = 1,105171 \)

\( n \)	\( f^{(n)}(x) \)	\( f^{(n)}(2) \)
\( 0 \)	\( f(x) = \dfrac{1}{x} \)	\( f(2) = \dfrac{1}{2} \)
\( 1 \)	\( f'(x) = -\dfrac{1}{x^2} \)	\( f'(2) = -\dfrac{1}{2^2} = -\dfrac{1}{4} \)
\( 2 \)	\( f''(x) = \dfrac{2}{x^3} \)	\( f''(2) = \dfrac{2}{2^3} = \dfrac{1}{4} \)
\( 3 \)	\( f'''(x) = -\dfrac{6}{x^4} \)	\( f'''(2) = -\dfrac{6}{2^4} = -\dfrac{3}{8} \)

\( n \)	\( T_n(x) \)	\( T_n(2,1) \)
\( 1 \)	\( T_1(x) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{x - 2}{4} \)	\( T_1(2,1) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{2,1 - 2}{4} = \dfrac{19}{40} \)
\( 2 \)	\( T_2(x) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{x - 2}{4} + \dfrac{(x - 2)^2}{4 \cdot 2!} \)	\( T_2(2,1) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{2,1 - 2}{4} + \dfrac{(2,1 - 2)^2}{4 \cdot 2!} = \dfrac{381}{800} \)
\( 3 \)	\( T_3(x) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{x - 2}{4} + \dfrac{(x - 2)^2}{4 \cdot 2!} - \dfrac{3(x - 2)^3}{8 \cdot 3!} \)	\( T_3(2,1) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{2,1 - 2}{4} + \dfrac{(2,1 - 2)^2}{4 \cdot 2!} - \dfrac{3(2,1 - 2)^3}{8 \cdot 3!} = \dfrac{7619}{16000} \)