Fonksiyonların Kuvvet Serisi Gösterimi
Kuvvet serisi açılımı bilinen fonksiyonlar kullanılarak yeni fonksiyonların kuvvet serisi açılımı bulunabilir. Bu amaçla kullanılabilecek yöntemlerden bazıları değişken değiştirme, toplama/çarpma gibi cebirsel işlemler, türev ve integraldir.
Bu bölümde bu yöntemlerin geometrik kuvvet serileri üzerindeki uygulamalarını göstereceğiz. Önümüzdeki Taylor ve Maclaurin serileri bölümünde bu yöntemlerin diğer pek çok fonksiyona da uygulanabileceğini göreceğiz.
Değişken Değiştirme
Kuvvet serisi açılımı bilinen bir fonksiyonun tanımındaki ve açılımındaki değişkenlerin yerine farklı bir ifade konarak yeni bir fonksiyonun açılımı bulunabilir.
\( f(x) = \dfrac{1}{1 + x^2} \) fonksiyonunun kuvvet serisi açılımını bulalım.
Geometrik seri açılımını \( u \) değişkeni cinsinden aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( \abs{u} \lt 1 \) olmak üzere,
\( \dfrac{1}{1 - u} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {u^n} = 1 + u + u^2 + u^3 + u^4 + \ldots \)
Bu açılımı verilen fonksiyona benzetmek için aşağıdaki gibi değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = -x^2 \)
\( \dfrac{1}{1 - (-x^2)} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {(-x^2)^n} \)
Buna göre \( f \) fonksiyonunun kuvvet serisi açılımını aşağıdaki gibi buluruz.
\( \dfrac{1}{1 + x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8 + \ldots \)
Geometrik serinin yakınsaklık aralığını kullanarak \( f \) fonksiyonunun yakınsaklık aralığını bulalım.
\( \abs{u} = \abs{-x^2} \lt 1 \)
\( x^2 \lt 1 \)
\( -1 \lt x \lt 1 \)
Bulduğumuz aralığın uç noktalarındaki yakınsaklığı ayrıca kontrol edelim.
\( x = 1 \) için:
\( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {(-x^2)^n} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n} \)
Iraksaklık testine göre, \( \lim\limits_{n \to \infty} (-1)^n \) limiti tanımsız olduğu için \( f(x) \) bu noktada ıraksaktır.
\( x = -1 \) için:
\( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {(-x^2)^n} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n} \)
Iraksaklık testine göre, \( \lim\limits_{n \to \infty} (-1)^n \) limiti tanımsız olduğu için \( f(x) \) bu noktada ıraksaktır.
Buna göre \( f(x) \) fonksiyonunun kuvvet serisi gösteriminin yakınsaklık yarıçapı \( R_{f} = 1 \), yakınsaklık aralığı \( -1 \lt x \lt 1 \) aralığıdır.
Seri yakınsaklık aralığındaki tüm noktalarda mutlak yakınsaktır.
Cebirsel İşlemler
Kuvvet serisi açılımı bilinen bir fonksiyonun tanımı ve açılımı aynı çarpanla çarpılarak yeni bir fonksiyonun açılımı bulunabilir.
\( f(x) = \dfrac{x^3}{1 - x} \) fonksiyonunun kuvvet serisi açılımını bulalım.
\( f \) fonksiyonunu düzenleyerek kuvvet serisi açılımını bildiğimiz geometrik seri formülüne benzetelim.
\( f(x) = x^3 \cdot \dfrac{1}{1 - x} \)
İkinci çarpanın kuvvet serisi açılımını yazalım.
\( = x^3\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {x^n} \)
\( = x^3(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \ldots) \)
\( = x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + \ldots \)
Bu seriyi toplam sembolü ile aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( = \displaystyle\sum_{n=3}^{\infty} {x^n} \)
Elde ettiğimiz kuvvet serisi \( n = 3 \)'ten başlayan geometrik seridir.
Buna göre \( f(x) \) fonksiyonunun kuvvet serisi gösteriminin yakınsaklık yarıçapı \( R_{f} = 1 \), yakınsaklık aralığı \( -1 \lt x \lt 1 \) aralığıdır.
Yakınsaklık aralığının uç noktaları kuvvet serisinde yerine konduğunda iki durumda da ıraksak seri elde edildiği görülebilir.
Bir fonksiyon farklı cebirsel işlemlerle de kuvvet serisi gösterimi bilinen bir fonksiyona benzetilebilir.
\( f(x) = \dfrac{1}{3 - 4x^2} \) fonksiyonunun kuvvet serisi açılımını bulalım.
\( f \) fonksiyonunu düzenleyerek kuvvet serisi açılımını bildiğimiz geometrik seri formülüne benzetelim.
\( f(x) = \dfrac{1}{3(1 - \frac{4x^2}{3})} \)
\( = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{1 - \frac{4x^2}{3}} \)
İkinci çarpan değişkeni \( \frac{4x^2}{3} \) olan geometrik serinin toplam formülüdür.
İkinci çarpanın kuvvet serisi açılımını yazalım.
\( = \dfrac{1}{3}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\left( \frac{4x^2}{3} \right)^n} \)
\( = \dfrac{1}{3}\left( 1 + \dfrac{4x^2}{3} + \left( \dfrac{4x^2}{3} \right)^2 + \left( \dfrac{4x^2}{3} \right)^3 + \left( \dfrac{4x^2}{3} \right)^4 + \ldots \right) \)
\( = \dfrac{1}{3} + \dfrac{4x^2}{9} + \dfrac{16x^4}{27} + \dfrac{64x^6}{81} + \dfrac{256x^8}{243} + \ldots \)
Geometrik serinin yakınsaklık aralığını kullanarak \( f \) fonksiyonunun yakınsaklık aralığını bulalım.
\( \abs{\dfrac{4x^2}{3}} \lt 1 \)
\( -\dfrac{3}{4} \lt x^2 \lt \dfrac{3}{4} \)
\( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \lt x \lt \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)
Buna göre \( f(x) \) fonksiyonunun kuvvet serisi gösteriminin yakınsaklık yarıçapı \( R_{f} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), yakınsaklık aralığı \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \lt x \lt \frac{\sqrt{3}}{2} \) aralığıdır.
Yakınsaklık aralığının uç noktaları kuvvet serisinde yerine konduğunda iki durumda da ıraksak seri elde edildiği görülebilir.
Basit kesirlere ayırma yöntemi de bir fonksiyonun kuvvet serisi açılımını bulmak için kullanılabilir.
\( f(x) = \dfrac{3}{1 + x - 2x^2} \) fonksiyonunun kuvvet serisi açılımını bulalım.
Fonksiyonu basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( f(x) = \dfrac{1}{1 - x} + \dfrac{2}{1 + 2x} \)
\( f \) fonksiyonunun ikinci terimini düzenleyerek kuvvet serisi açılımını bildiğimiz geometrik seri formülüne benzetelim.
\( \dfrac{1}{1 - (-2x)} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {(-2x)^n} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {(-2)^nx^n} \)
Buna göre \( f \) fonksiyonunun kuvvet serisi açılımını aşağıdaki gibi buluruz.
\( f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {x^n} + 2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {(-2)^nx^n} \)
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {(1 + 2(-2)^n)x^n} \)
\( f(x) \) fonksiyonunun ilk birkaç terimini listeleyelim.
\( = 3 - 3x + 9x^2 - 15x^3 + 33x^4 + \ldots \)
Oran testine göre, \( f(x) \) serisinin birinci teriminin yakınsaklık yarıçapı \( R_1 = 1 \), ikinci teriminin yakınsaklık yarıçapı \( R_2 = \frac{1}{2} \) olarak bulunur.
İki serinin yakınsaklık yarıçapları birbirinden farklı olduğu için, toplam serisinin yakınsaklık yarıçapı serilerin yakınsaklık yarıçaplarının en küçüğüne eşittir.
\( R_{f} = \min\{ R_1, R_2 \} = \min\left\{ 1, \dfrac{1}{2} \right\} = \dfrac{1}{2} \)
Buna göre \( f(x) \) fonksiyonunun kuvvet serisi gösteriminin yakınsaklık yarıçapı \( R_{f} = \frac{1}{2} \), yakınsaklık aralığı \( -\frac{1}{2} \lt x \lt \frac{1}{2} \) aralığıdır.
Yakınsaklık aralığının uç noktaları kuvvet serisinde yerine konduğunda iki durumda da ıraksak seri elde edildiği görülebilir.
Türev ve İntegral
Kuvvet serisi açılımı bilinen bir fonksiyonun türevi alınarak yeni bir fonksiyonun açılımı bulunabilir.
\( f(x) = \dfrac{1}{(1 - x)^2} \) fonksiyonunun kuvvet serisi açılımını bulalım.
\( f \) fonksiyonu ile geometrik seri toplam formülü arasında aşağıdaki eşitliği kurabiliriz.
\( f(x) = \dfrac{1}{(1 - x)^2} = \left( \dfrac{1}{1 - x} \right)' \)
\( = \left( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {x^n} \right)' \)
\( = (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \ldots)' \)
Bir kuvvet serisinin türevi, terimlerinin türevlerinin toplamına eşittir.
\( = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \ldots \)
Bu seriyi toplam sembolü ile aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} {nx^{n-1}} \)
Bu seri \( \sum {x^n} \) geometrik serisinin türevi olduğu için iki serinin yakınsaklık yarıçapları aynıdır.
\( R_{f'} = R_{f} = 1 \)
Buna göre \( f(x) \) fonksiyonunun kuvvet serisi gösteriminin yakınsaklık yarıçapı \( R_{f} = 1 \), yakınsaklık aralığı \( -1 \lt x \lt 1 \) aralığıdır.
Yakınsaklık aralığının uç noktaları kuvvet serisinde yerine konduğunda iki durumda da ıraksak seri elde edildiği görülebilir.
Benzer şekilde, kuvvet serisi açılımı bilinen bir fonksiyonun integrali alınarak da yeni bir fonksiyonun açılımı bulunabilir.
\( f(x) = \ln(1 - x) \) fonksiyonunun kuvvet serisi açılımını bulalım.
\( f \) fonksiyonu ile geometrik seri toplam formülü arasında aşağıdaki eşitliği kurabiliriz.
\( f(x) = \ln(1 - x) = -\displaystyle\int {\dfrac{1}{1 - x}\ dx} \)
\( = -\displaystyle\int {\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {x^n}\ dx} \)
\( = -\displaystyle\int {(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \ldots)\ dx} \)
Bir kuvvet serisinin integrali, terimlerinin integrallerinin toplamına eşittir.
\( = -\left( C + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^4}{4} + \ldots \right) \)
\( C \) integral sabitini bulmak için eşitlikte \( x = 0 \) yazalım.
\( \ln(1 - 0) = -\left( C + 0 + \dfrac{0^2}{2} + \dfrac{0^3}{3} + \dfrac{0^4}{4} + \ldots \right) \)
\( \ln{1} = -C \)
\( C = 0 \)
Bu seriyi toplam sembolü ile aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( = -\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} {\dfrac{x^n}{n}} \)
Bu seri \( \sum {x^n} \) geometrik serisinin integrali olduğu için iki serinin yakınsaklık yarıçapları aynıdır.
\( R_{F} = R_{f} = 1 \)
Aralığın uç noktalarındaki yakınsaklığı ayrıca kontrol edelim.
\( x = 1 \) için:
\( -\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} {\dfrac{x^n}{n}} = -\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} {\dfrac{1}{n}} \)
Harmonik seri testine göre, \( f(x) \) bu noktada ıraksaktır.
\( x = -1 \) için:
\( -\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} {\dfrac{x^n}{n}} = -\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} {\dfrac{(-1)^n}{n}} \)
Alterne seri testine göre, \( f(x) \) bu noktada yakınsaktır.
\( \sum {\abs{\frac{(-1)^n}{n}}} = \sum {\frac{1}{n}} \) harmonik serisi ıraksaktır, dolayısıyla integral serisi \( x = 1 \) noktasında koşullu yakınsaktır.
Buna göre \( f(x) \) fonksiyonunun kuvvet serisi gösteriminin yakınsaklık yarıçapı \( R_{f} = 1 \), yakınsaklık aralığı \( -1 \le x \lt 1 \) aralığıdır.
Seri yakınsaklık aralığındaki \( x = -1 \) noktasında koşullu yakınsak, diğer tüm noktalarda mutlak yakınsaktır.
\( f(x) = \dfrac{1}{1 + 5x^3} \) fonksiyonunun kuvvet serisi açılımını bulunuz.
Çözümü GösterGeometrik seri açılımını \( u \) değişkeni cinsinden aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( \abs{u} \lt 1 \) olmak üzere,
\( \dfrac{1}{1 - u} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {u^n} = 1 + u + u^2 + u^3 + u^4 + \ldots \)
Bu açılımı verilen fonksiyona benzetmek için aşağıdaki gibi değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = -5x^3 \)
\( \dfrac{1}{1 + 5x^3} = \dfrac{1}{1 - (-5x^3)} \)
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {(-5x^3)^n} \)
\( = 1 + (-5x^3) + (-5x^3)^2 + (-5x^3)^3 + (-5x^3)^4 + \ldots \)
\( f(x) = \dfrac{6}{3 + x} \) fonksiyonunun kuvvet serisi açılımını bulunuz.
Çözümü Göster\( f \) fonksiyonunu düzenleyerek kuvvet serisi açılımını bildiğimiz geometrik seri formülüne benzetelim.
\( f(x) = \dfrac{6}{3(1 - (-\frac{x}{3}))} \)
\( = 2 \cdot \dfrac{1}{1 - (-\frac{x}{3})} \)
İkinci çarpan ortak çarpanı \( -\frac{x}{3} \) olan geometrik serinin toplam formülüdür.
\( = 2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\left( -\dfrac{x}{3} \right)^n} \)
\( = 2\left( 1 - \dfrac{x}{3} + \dfrac{x^2}{9} - \dfrac{x^3}{27} + \dfrac{x^4}{81} + \ldots \right) \)
\( = 2 - \dfrac{2x}{3} + \dfrac{2x^2}{9} - \dfrac{2x^3}{27} + \dfrac{2x^4}{81} + \ldots \)
\( f(x) = \dfrac{2 + x^2}{1 - x} \) fonksiyonunun kuvvet serisi açılımını bulunuz.
Çözümü Göster\( f \) fonksiyonunu düzenleyerek kuvvet serisi açılımını bildiğimiz geometrik seri formülüne benzetelim.
\( f(x) = (2 + x^2) \cdot \dfrac{1}{1 - x} \)
İkinci çarpan ortak çarpanı \( x \) olan geometrik serinin toplam formülüdür.
\( = (2 + x^2)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {x^n} \)
\( = (2 + x^2)(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \ldots) \)
\( = 2 + 2x + 3x^2 + 3x^3 + 3x^4 + \ldots \)
\( f(x) = \dfrac{9 + 8x - 4x^2}{1 + x - 4x^2 - 4x^3} \) fonksiyonunun kuvvet serisi açılımının ilk 6 terimini listeleyiniz.
Çözümü GösterFonksiyonu basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( f(x) = \dfrac{1}{1 + x} + \dfrac{8}{1 - 4x^2} \)
\( = \dfrac{1}{1 - (-x)} + \dfrac{8}{1 - 4x^2} \)
Birinci terim ortak çarpanı \( -x \) olan geometrik serinin, ikinci terim ortak çarpanı \( 4x^2 \) olan geometrik serinin toplam formülüdür.
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {(-x)^n} + 8\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {(4x^2)^n} \)
Her iki serinin ilk birkaç terimini listeleyelim.
\( = (1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + \ldots) + 8(1 + 4x^2 + 16x^4 + 64x^6 + 256x^8 + \ldots) \)
\( = 9 - x + 33x^2 - x^3 + 129x^4 - x^5 + \ldots \)
\( f(x) = \dfrac{4x}{(1 - 2x^2)^2} \) fonksiyonunun kuvvet serisi açılımını bulunuz.
Çözümü Göster\( f \) fonksiyonu ile geometrik seri toplam formülü arasında aşağıdaki eşitliği kurabiliriz.
\( f(x) = \dfrac{4x}{(1 - 2x^2)^2} = \left( \dfrac{1}{1 - 2x^2} \right)' \)
Parantez içindeki ifade ortak çarpanı \( 2x^2 \) olan geometrik serinin toplam formülüdür.
\( = \left( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {(2x^2)^n} \right)' \)
\( = (1 + 2x^2 + 4x^4 + 8x^6 + 16x^8 + \ldots)' \)
Bir kuvvet serisinin türevi, terimlerinin türevlerinin toplamına eşittir.
\( = 4x + 16x^3 + 48x^5 + 128x^7 + \ldots \)
Bu seriyi toplam sembolü ile aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} {2^{n+1}nx^{2n-1}} \)
Aşağıdaki geometrik serileri yakınsak oldukları aralıkta rasyonel fonksiyon formunda ifade ediniz.
(a) \( x + x^2 - x^3 - x^4 + x^5 + x^6 - x^7 - x^8 + \ldots \)
(b) \( \dfrac{x}{3} + \dfrac{x^2}{9} - \dfrac{x^3}{27} + \dfrac{x^4}{81} + \dfrac{x^5}{243} - \dfrac{x^6}{729} + \ldots \)
(c) \( -2x + 4x^2 - 8x^3 + 16x^4 - 32x^5 + 64x^6 - 128x^7 + 256x^8 - \ldots \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( x + x^2 - x^3 - x^4 + x^5 + x^6 - x^7 - x^8 + \ldots \)
İfadeyi düzenleyelim.
\( = (x + x^2 - x^3 - x^4) + (x^5 + x^6 - x^7 - x^8) + \ldots \)
\( = (x + x^2 - x^3 - x^4) + x^4(x + x^2 - x^3 - x^4) + x^8(x + x^2 - x^3 - x^4) + \ldots \)
\( = (x + x^2 - x^3 - x^4)[1 + x^4 + x^8 + x^{16} + \ldots] \)
\( = (x + x^2 - x^3 - x^4)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (x^4)^n \)
İlk terimi \( a_0 \) ve ortak çarpanı \( x \) olan yakınsak geometrik serilerin toplamı \( \frac{a_0}{1 - x} \) formülü ile bulunur.
\( (x + x^2 - x^3 - x^4) \cdot \dfrac{1}{1 - x^4} = \dfrac{x(1 + x - x^2 - x^3)}{1 - x^4} \)
(b) seçeneği:
\( \dfrac{x}{3} + \dfrac{x^2}{9} - \dfrac{x^3}{27} + \dfrac{x^4}{81} + \dfrac{x^5}{243} - \dfrac{x^6}{729} + \ldots \)
İfadeyi düzenleyelim.
\( = \dfrac{x}{3} + \left( \dfrac{x}{3} \right)^2 - \left( \dfrac{x}{3} \right)^3 + \left( \dfrac{x}{3} \right)^4 + \left( \dfrac{x}{3} \right)^5 - \left( \dfrac{x}{3} \right)^6 + \ldots \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = \dfrac{x}{3} \)
\( = u + u^2 - u^3 + u^4 + u^5 - u^6 + \ldots \)
\( = (u + u^2 - u^3) + (u^4 + u^5 - u^6) + \ldots \)
\( = (u + u^2 - u^3) + u^3(u + u^2 - u^3) + u^6(u + u^2 - u^3) + \ldots \)
\( = (u + u^2 - u^3)[1 + u^3 + u^6 + u^9 + \ldots] \)
\( = (u + u^2 - u^3)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (u^3)^n \)
İlk terimi \( a_0 \) ve ortak çarpanı \( x \) olan yakınsak geometrik serilerin toplamı \( \frac{a_0}{1 - x} \) formülü ile bulunur.
\( = (u + u^2 - u^3) \cdot \dfrac{1}{1 - u^3} \)
\( = \dfrac{u + u^2 - u^3}{1 - u^3} \)
\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.
\( = \dfrac{\frac{x}{3} + \frac{x^2}{9} - \frac{x^3}{27}}{1 - \frac{x^3}{27}} \)
\( = \dfrac{9x + 3x^2 - x^3}{27 - x^3} \)
(c) seçeneği:
\( -2x + 4x^2 - 8x^3 + 16x^4 - 32x^5 + 64x^6 - 128x^7 + 256x^8 - \ldots \)
İfadeyi düzenleyelim.
\( = -2x + (2x)^2 - (2x)^3 + (2x)^4 - (2x)^5 + (2x)^6 - (2x)^7 + (2x)^8 - \ldots \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = 2x \)
\( = -u + u^2 - u^3 + u^4 - u^5 + u^6 - u^7 + u^8 - \ldots \)
\( = -(u - u^2) - (u^3 - u^4) - (u^5 - u^6) - (u^7 - u^8) - \ldots \)
\( = -(u - u^2) - u^2(u - u^2) - u^4(u - u^2) - u^6(u - u^2) - \ldots \)
\( = -(u - u^2)[1 + u^2 + u^4 + u^6 + \ldots] \)
\( = (u^2 - u)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (u^2)^n \)
İlk terimi \( a_0 \) ve ortak çarpanı \( x \) olan yakınsak geometrik serilerin toplamı \( \frac{a_0}{1 - x} \) formülü ile bulunur.
\( = (u^2 - u) \cdot \dfrac{1}{1 - u^2} \)
\( = \dfrac{u^2 - u}{1 - u^2} \)
\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.
\( = \dfrac{4x^2 - 2x}{1 - 4x^2} \)
\( f(x) = x\arctan\left( \dfrac{x}{2} \right) \) fonksiyonunun kuvvet serisi açılımını bulunuz.
Çözümü Göster\( f \) fonksiyonu ile geometrik seri toplam formülü arasında aşağıdaki eşitliği kurabiliriz.
\( f(x) = x\arctan\left( \dfrac{x}{2} \right) = x\displaystyle\int {\dfrac{2}{4 + x^2}\ dx} \)
\( = \dfrac{x}{2}\displaystyle\int {\dfrac{1}{1 + \frac{x^2}{4}}\ dx} \)
\( = \dfrac{x}{2}\displaystyle\int {\dfrac{1}{1 - (-\frac{x^2}{4})}\ dx} \)
İntegrali alınan ifade ortak çarpanı \( -\frac{x^2}{4} \) olan geometrik serinin toplam formülüdür.
\( = \dfrac{x}{2}\displaystyle\int {\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\left( -\dfrac{x^2}{4} \right)^n}\ dx} \)
\( = \dfrac{x}{2}\displaystyle\int {\left( 1 - \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{x^4}{16} - \dfrac{x^6}{64} + \ldots \right)\ dx} \)
Bir kuvvet serisinin integrali, terimlerinin integrallerinin toplamına eşittir.
\( = \dfrac{x}{2}\left( C + x - \dfrac{x^3}{3 \cdot 4} + \dfrac{x^5}{5 \cdot 16} - \dfrac{x^7}{7 \cdot 64} + \ldots \right) \)
\( C \) integral sabitini bulmak için eşitlikte \( x = 0 \) yazalım.
\( \arctan\left( \dfrac{0}{2} \right) = C + 0 - \dfrac{0^3}{3 \cdot 4} + \dfrac{0^5}{5 \cdot 16} - \dfrac{0^7}{7 \cdot 64} + \ldots \)
\( \arctan{0} = C \)
\( C = 0 \)
Bu seriyi toplam sembolü ile aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( = \dfrac{x}{2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n + 1) \cdot 2^{2n}}} \)
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{(-1)^nx^{2n+2}}{(2n + 1) \cdot 2^{2n+1}}} \)