Polinom Denklemi Bulma
\( x \) eksenini kestiği noktalar ve bu noktalar dışında geçtiği ek bir noktası bilinen bir polinom fonksiyonunun denklemi iki adımda bulunabilir.
Önce polinomun \( x \) eksenini kestiği noktaların apsis değerleri aşağıdaki polinom tanımında \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) yerine konur.
\( P(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \ldots (x - x_n) \)
Daha sonra polinomun bu noktalar dışında geçtiği ek \( P(x_0, y_0) \) noktasının koordinatları aynı denklemde yerine konur ve \( a \) başkatsayısı bulunur.
\( x \) eksenini \( x = -3 \), \( x = 2 \) ve \( x = 5 \) noktalarında kesen ve \( A(0, -60) \) noktasından geçen polinomun denklemini bulalım.
Polinom denklemini yazalım.
\( P(x) = a(x + 3)(x - 2)(x - 5) \)
\( A(0, -60) \) noktasının koordinatlarını denklemde yerine koyalım.
\( P(0) = a(0 + 3)(0 - 2)(0 - 5) = -60 \)
\( a = -2 \)
Polinom fonksiyonunun denklemi aşağıdaki gibi olur.
\( P(x) = -2(x + 3)(x - 2)(x - 5) \)
Polinom fonksiyonunun geçtiği herhangi bir nokta kümesi verildiği durumda ise polinom denklemini bir lineer denklem sistemi çözerek bulabiliriz.
Herhangi ikisinin apsis değerleri aynı olmamak koşuluyla, verilen \( n + 1 \) adet noktadan en yüksek \( n \). dereceden bir polinom benzersiz (bir ve yalnız bir denkleme karşılık gelecek) şekilde geçer.
\( A(-2, -83), B(-1, 11), C(0, 7), \) \( D(1, 1), E(2, -7), F(3, 127) \)
noktalarından geçen polinom fonksiyonunun denklemini bulalım.
6 nokta verildiği ve noktaların herhangi ikisinin apsis değerleri aynı olmadığı için, bu noktalardan en yüksek 5. dereceden bir polinom benzersiz şekilde geçer.
\( P(x) = ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f \)
Polinomun denklemini yazabilmek için \( a \), \( b \), \( c \), \( d \), \( e \) ve \( f \) katsayılarının değerlerini bulmamız gerekmektedir.
Verilen noktaların koordinatlarını polinom tanımında yerine koyalım.
\( P(-2) = a(-2)^5 + b(-2)^4 + c(-2)^3 + d(-2)^2 + e(-2) + f = -83 \)
\( P(-1) = a(-1)^5 + b(-1)^4 + c(-1)^3 + d(-1)^2 + e(-1) + f = 11 \)
\( P(0) = a(0)^5 + b(0)^4 + c(0)^3 + d(0)^2 + e(0) + f = 7 \)
\( P(1) = a(1)^5 + b(1)^4 + c(1)^3 + d(1)^2 + e(1) + f = 1 \)
\( P(2) = a(2)^5 + b(2)^4 + c(2)^3 + d(2)^2 + e(2) + f = -7 \)
\( P(3) = a(3)^5 + b(3)^4 + c(3)^3 + d(3)^2 + e(3) + f = 127 \)
Denklemleri düzenleyelim.
\( -32a + 16b - 8c + 4d - 2e + f = -83 \)
\( -a + b - c + d - e + f = 11 \)
\( 0a + 0b + 0c + 0d + 0e + f = 7 \)
\( a + b + c + d + e + f = 1 \)
\( 32a + 16b + 8c + 4d + 2e + f = -7 \)
\( 243a + 81b + 27c + 9d + 3e + f = 127 \)
Elde ettiğimiz 6 bilinmeyenli 6 denklemi artırılmış matris şeklinde yazalım.
Bu lineer denklem sistemini Gauss eliminasyon ve Gauss - Jordan eliminasyon yöntemleri ile indirgenmiş satır eşelon formuna getirdiğimizde aşağıdaki matrisi elde ederiz.
Buna göre denklem sisteminin çözümü \( (a, b, c, d, e, f) = (2, -4, -2, 3, -5, 7) \) olur.
Dolayısıyla bu noktalardan geçen polinom fonksiyonunun denklemi aşağıdaki gibidir.
\( P(x) = 2x^5 - 4x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 5x + 7 \)