Kuvvet Serisi Tanımı
Aşağıdaki formdaki serilere \( x = a \) merkezli kuvvet serisi denir.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {c_n(x - a)^n} = c_0 + c_1(x - a) + c_2(x - a)^2 + \ldots \)
\( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {2^n(x - 1)^n} = 1 + 2(x - 1) + 4(x - 1)^2 + 8(x - 1)^3 + \ldots \)
Bu tanımda \( x \) serinin değişkeni, \( x = a \) noktası serinin merkezi, \( c_0, c_1, c_2, \ldots \) serinin katsayılarıdır.
Kuvvet serisi tanımında \( a = 0 \) konduğunda özel bir durum olarak \( x = 0 \) merkezli kuvvet serisi elde edilir.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {c_nx^n} = c_0 + c_1x + c_2x^2 + c_3x^3 + \ldots \)
\( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{x^n}{n!}} = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} + \ldots \)
Bu konu anlatımında yukarıdaki eşitliklerin sol tarafını serinin kapalı/toplam formu, sağ tarafını da serinin açılımı şeklinde adlandıracağız.
Bir kuvvet serisinin formu ile ilgili olarak aşağıdaki noktalar önemlidir.
- Katsayılar \( n \) indisi içerebilir, ancak \( x \) değişkeni içeremez, dolayısıyla kuvvet serisinin açılımında katsayılar birer sabite dönüşür.
- \( x - a \) ifadeleri sadece doğal sayı kuvvetleri ile bulunur, dolayısıyla serinin başlangıç indisi sıfır ya da pozitif olabilir, ancak negatif olamaz.
Bu özelliklerin bir sonucu olarak, bir kuvvet serisinin terimleri polinomların terimleri ile aynı formdadır, polinomlardan farklı olarak kuvvet serilerinin derecesi ve terim sayısı sonsuzdur.
Önceki bölümde incelediğimiz sonsuz serilerin terimleri nümerik iken, kuvvet serilerinin terimleri \( x \) değişkeni içerir. Bunun bir sonucu olarak, kuvvet serileri her farklı \( x \) değeri için farklı bir nümerik seriye dönüşür.
Nümerik seri:
\( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{1}{n!}} = \dfrac{1}{0!} + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} + \ldots \)
Kuvvet serisi:
\( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{x^n}{n!}} = \dfrac{x^0}{0!} + \dfrac{x^1}{1!} + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \ldots \)
\( x = 2 \) için:
\( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{2^n}{n!}} = \dfrac{2^0}{0!} + \dfrac{2^1}{1!} + \dfrac{2^2}{2!} + \dfrac{2^3}{3!} + \ldots \)
\( x = -1 \) için:
\( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{(-1)^n}{n!}} = \dfrac{1}{0!} - \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} - \dfrac{1}{3!} + \ldots \)
Tüm katsayılar sabit bir \( c_n = c \) değeri aldığında; seriler bölümünde incelediğimiz, ilk terimi \( c \) ve ortak çarpanı \( r = x \) olan geometrik seri elde edilir.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {cx^n} = c + cx + cx^2 + cx^3 + \ldots \)
\( c = 1 \) ise,
\( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {x^n} = 1 + x + x^2 + x^3 + \ldots \)
Tüm geometrik serilerde olduğu gibi, \( \abs{x} \lt 1 \) olduğunda serinin toplamı aşağıdaki formülle bulunabilir.
\( \abs{x} \lt 1 \) ise,
\( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {cx^n} = \dfrac{c}{1 - x} \)
\( c = 1 \) ise,
\( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {x^n} = \dfrac{1}{1 - x} \)
Elimizde geometrik serilerin (\( \abs{x} \lt 1 \) olduğu durumda) toplamını veren basit bir formül bulunduğu için, bu bölümdeki çoğu örnekte geometrik serileri kullanıyor olacağız. Önümüzdeki Taylor ve Maclaurin serileri bölümünde ise geniş bir fonksiyon ailesinin kuvvet serileri şeklinde ifade edilebildiğini göreceğiz.
Kuvvet serileri (Taylor serileri ile birlikte düşünüldüğünde) matematiğin ve mühendisliğin en güçlü araçlarından biridir. Fonksiyonları sonsuz terimli polinomlar formunda yazmamızı sağlayan kuvvet serilerinin uygulama alanlarından bazıları şunlardır.
- \( e^x, \sin{x} \) gibi pek çok fonksiyon kuvvet serisi şeklinde de ifade edilebilir.
- Kapalı formu bulunmayan Gamma/Bessel/hata fonksiyonu gibi diğer bazı fonksiyonlar ise sadece kuvvet serisi şeklinde yazılabilir.
- Trigonometrik/logaritmik/üstel fonksiyonların ve \( e, \pi \) gibi sabitlerin yaklaşık değerleri kuvvet serileri kullanılarak kolayca hesaplanabilir.
- Standart yöntemlerle integrali alınamayan \( e^{-x^2} \) gibi fonksiyonların integrali kuvvet serileri kullanılarak alınabilir.
- Yine standart yöntemlerle çözülemeyen Airy denklemi gibi bazı diferansiyel denklemler kuvvet serileri kullanılarak çözülebilir.
Aşağıdaki serilerin kuvvet serisi olup olmadığını sebebi ile birlikte belirtiniz.
(a) \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} {\dfrac{n^2}{x^n}} \)
(b) \( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\sin(n)(x + 1)^n} \)
(c) \( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{x^{2n}}{n!}} \)
Çözümü GösterVerilen serilerin açılımını yazalım.
(a) seçeneği:
\( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} {\dfrac{n^2}{x^n}} \)
\( = \dfrac{1}{x} + \dfrac{4}{x^2} + \dfrac{9}{x^3} + \dfrac{16}{x^4} + \ldots \)
Kuvvet serilerinde \( x \) doğal sayı kuvvetleri ile bulunmalıdır ve üssü negatif olamaz, dolayısıyla seri bir kuvvet serisi değildir.
(b) seçeneği:
\( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\sin(n)(x + 1)^n} \)
\( = \sin{0} + \sin(1)(x + 1) + \sin(2)(x + 1)^2 + \sin(3)(x + 1)^3 + \ldots \)
Tüm terimlerde \( x \) doğal sayı kuvvetleri ile bulunduğu ve oluşan katsayılar birer sabit sayı olduğu için seri bir kuvvet serisidir.
(c) seçeneği:
\( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{x^{2n}}{n!}} \)
\( = 1 + x^2 + \dfrac{x^4}{2} + \dfrac{x^6}{6} + \dfrac{x^8}{24} + \ldots \)
Serinin tüm terimleri polinom terimleri formundadır, sadece tek dereceli terimlerin katsayısı sıfırdır, dolayısıyla seri bir kuvvet serisidir.
Aşağıdaki serilerin kuvvet serisi olup olmadığını sebebi ile birlikte belirtiniz.
(a) \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} {n(2x - 6)^n} \)
(b) \( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {(e^x - 2)^n} \)
(c) \( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\sin(nx)} \)
Çözümü GösterVerilen serilerin açılımını yazalım.
(a) seçeneği:
\( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} {n(2x - 6)^n} \)
Parantez içindeki ifadeyi 2 parantezine alalım.
\( = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} {n(2(x - 3))^n} \)
\( = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} {n2^n(x - 3)^n} \)
\( = 2(x - 3) + 8(x - 3)^2 + 24(x - 3)^3 + 64(x - 3)^4 + \ldots \)
Parantez içindeki 2 sayısını dışarıya alarak katsayıya dahil ettiğimizde seri kuvvet serisi formuna gelir, dolayısıyla seri bir kuvvet serisidir.
(b) seçeneği:
\( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {(e^x - 2)^n} \)
\( = 1 + (e^x - 2) + (e^x - 2)^2 + (e^x - 2)^3 + (e^x - 2)^4 + \ldots \)
Kuvvet serilerinde \( x \) değişkeni doğal sayı kuvvetleri ile bulunmalıdır ve diğer bir ifadenin üssü olamaz, dolayısıyla seri bir kuvvet serisi değildir.
(c) seçeneği:
\( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\sin(nx)} \)
\( = \sin{x} + \sin(2x) + \sin(3x) + \sin(4x) + \ldots \)
Kuvvet serilerinde \( x \) değişkeni doğal sayı kuvvetleri ile bulunmalıdır ve sinüs/logaritma gibi fonksiyonların içinde bulunamaz, dolayısıyla seri bir kuvvet serisi değildir.