Kuvvet Serilerinde Yakınsaklık
Bir kuvvet serisinin yakınsaklık durumu \( x \) değişkeninin aldığı değere bağlı olarak değişir; belirli bir \( x \) değeri için terimlerin toplamı bir reel sayı oluyorsa seri bu \( x \) değeri için yakınsak, aksi takdirde ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {x^n} \) geometrik serisinin \( x = \frac{1}{2} \) ve \( x = 2 \) değerleri için yakınsaklık durumunu inceleyelim.
Bir geometrik seri \( \abs{x} \lt 1 \) ise yakınsak, \( \abs{x} \ge 1 \) ise ıraksaktır.
Buna göre verilen kuvvet serisi \( x = \frac{1}{2} \) için yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left(\dfrac{1}{2} \right)^n = 1 + \dfrac{1}{2} + \left(\dfrac{1}{2} \right)^2 + \left(\dfrac{1}{2} \right)^3 + \ldots \)
İlk terimi \( a_0 \) ve ortak çarpanı \( x \) olan yakınsak geometrik serilerin toplamı \( \frac{a_0}{1 - x} \) formülü ile bulunur.
\( = \dfrac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2 \)
Verilen kuvvet serisi \( x = 2 \) için yakınsaktır.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} 2^n = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots = \infty \)
Bir kuvvet serisinin açılımında \( x \) değişkeni içeren tüm terimler \( x = a \) için sıfır olduğu ve serinin toplamı \( c_0 \) katsayısına eşit olduğu için, her kuvvet serisi merkez noktasında yakınsaktır ve toplamı serinin sabit terimine eşittir.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {c_n(x - a)^n} = c_0 + c_1(x - a) + c_2(x - a)^2 + \ldots \)
\( x = a \) için serinin toplamını bulalım.
\( = c_0 + c_1(a - a) + c_2(a - a)^2 + \ldots \)
\( = c_0 + c_1(0) + c_2(0)^2 + \ldots = c_0 \)
Bir kuvvet serisi hakkında öncelikli olarak bilinmek istenen özellik, serinin merkez noktası dışında hangi \( x \) değerleri için yakınsak olduğudur. Bir kuvvet serisi için bu yakınsaklık durumu sadece üç durumdan biri olabilir.
\( x = a \) merkezli bir kuvvet serisinin yakınsaklığı aşağıdaki üç durumdan biri olabilir.
- Seri sadece \( x = a \) noktasında yakınsaktır.
- Seri \( x = a \) noktası etrafında yarıçapı pozitif reel sayı olan bir aralıkta yakınsaktır.
- Seri tüm reel sayılarda yakınsaktır.
Bir kuvvet serisi yakınsak olmadığı \( x \) değerlerinde ıraksaktır.
Bir kuvvet serisinin yakınsak olduğu \( x \) değer aralığına yakınsaklık aralığı denir. Bir kuvvet serisinin yakınsaklık aralığı açık, kapalı ya da yarı açık bir aralık olabilir. Yakınsaklık aralığının uç noktalarının merkez noktasından uzaklığına ise yakınsaklık yarıçapı denir ve genellikle \( R \) ile gösterilir.
Bu üç durum aşağıdaki tabloda detaylı incelenmiştir.
| Grafik | Yakınsaklık |
|---|---|
|
Tek bir noktada yakınsak: Kuvvet serisi sadece merkez noktasında yakınsaktır. \( x = a \) Bu durumda yakınsaklık yarıçapı sıfırdır. \( R = 0 \) Seri bu nokta hariç tüm reel sayılarda ıraksaktır. |
|
Bir aralıkta yakınsak: Kuvvet serisi \( x = a \) noktası etrafında yarıçapı pozitif reel sayı olan bir aralıkta yakınsaktır. Yakınsaklık aralığı aşağıdaki gibi açık, kapalı ya da yarı açık olabilir. \( a - R \textcolor{green}{\le} x \textcolor{green}{\le} a + R \) \( a - R \textcolor{green}{\le} x \textcolor{red}{\lt} a + R \) \( a - R \textcolor{red}{\lt} x \textcolor{green}{\le} a + R \) \( a - R \textcolor{red}{\lt} x \textcolor{red}{\lt} a + R \) Bu durumda yakınsaklık yarıçapı bir pozitif reel sayıdır. \( 0 \lt R \lt \infty \) Seri bu aralık hariç tüm reel sayılarda ıraksaktır. |
|
Kuvvet serisi tüm reel sayılarda yakınsaktır. \( -\infty \lt x \lt \infty \) Bu durumda yakınsaklık yarıçapı sonsuzdur. \( R = \infty \) Seri hiçbir noktada ıraksak değildir. |
Bu bilgiler doğrultusunda, \( x = 0 \) merkezli bir kuvvet serisi için aşağıdaki iki yorum yapılabilir.
- Serinin \( x = c \) noktasında yakınsak olduğu biliniyorsa seri tüm \( \abs{x} \lt \abs{c} \) noktalarında da yakınsaktır.
- Serinin \( x = d \) noktasında ıraksak olduğu biliniyorsa seri tüm \( \abs{x} \gt \abs{d} \) noktalarında da ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {a_nx^n} \) serisi \( x = -2 \) noktasında yakınsak, \( x = 5 \) noktasında ıraksak olduğuna göre, \( x \in \{ -1, 2, 4, -5, 7 \} \) noktalarındaki yakınsaklık durumunu bulalım.
Verilen seri \( x = 0 \) merkezli bir kuvvet serisidir.
Seri \( x = -2 \) noktasında yakınsak olduğuna göre, her \( \abs{x} \lt 2 \) noktasında yakınsaktır.
Seri \( x = 5 \) noktasında ıraksak olduğuna göre, her \( \abs{x} \gt 5 \) noktasında ıraksaktır.
Buna göre serinin yakınsaklık yarıçapı \( 2 \le R \le 5 \) aralığında bir değerdir ve seri \( (-R, R) \) aralığının içinde yakınsak, dışında ıraksaktır.
Serinin yakınsaklık aralığının uç noktaları olan \( \abs{x} = R \) noktalarındaki yakınsaklığı hakkında kesin birşey söylenemez.
Buna göre seri \( x = -1 \) noktasında kesinlikle yakınsaktır, \( x = 7 \) noktasında kesinlikle ıraksaktır, diğer üç noktadaki yakınsaklığı hakkında kesin birşey söylenemez.
Yakınsaklık Aralığının Bulunması
Bir kuvvet serisinin yakınsaklık aralığı ve yarıçapı iki adımda bulunur.
- Yakınsaklık aralığı: İlk adımda kuvvet serisine seriler bölümünde gördüğümüz oran testi ya da kök testi uygulanır ve serinin yakınsaklık aralığı bulunur.
- Uç noktaları: Oran ve kök testlerinde yakınsaklık aralığının uç noktaları limit ifadesini 1 yapan değerlerdir ve bu noktalarda her iki test de sonuçsuzdur. Bu yüzden ikinci adımda yakınsaklık aralığının uç noktalarındaki yakınsaklık durumu incelenir ve bu noktalardan yakınsak olanlar yakınsaklık aralığına dahil edilir. Uç noktalarındaki \( x \) değerleri bilindiği için, bu noktalarda kuvvet serisi birer nümerik seriye dönüşür ve seriler bölümünde gördüğümüz yakınsaklık testlerinden herhangi biri kullanılabilir (ıraksaklık, harmonik, integral, karşılaştırma, alterne seri testi vb.).
Şimdi oran ve kök testlerinin kuvvet serileri üzerindeki uygulamasını görelim.
Oran Testi
Seriler bölümünde incelediğimiz oran testi, bir kuvvet serisinin ardışık terimlerinin oranı üzerinden serinin yakınsaklık durumunu belirlemekte kullanılan bir testtir.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {c_n(x - a)^n} \) bir kuvvet serisi ve \( a_n = c_n(x - a)^n \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\abs{\dfrac{a_{n+1}}{a_n}}} = L \) limitini,
- \( L \lt 1 \) yapan \( x \) noktalarında seri yakınsaktır.
- \( L \gt 1 \) ya da sonsuz yapan \( x \) noktalarında seri ıraksaktır.
- \( L = 1 \) yapan \( x \) noktalarında oran testi sonuçsuzdur ve bu noktalardaki yakınsaklık başka bir test ile kontrol edilmelidir.
Limit tanımsız ise oran testi sonuçsuzdur.
Oran testini örnek bir kuvvet serisi üzerinde gösterelim.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (3x)^n \) kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapını ve aralığını bulalım.
\( a_n = (3x)^n \) olmak üzere,
Oran testine göre, aşağıdaki limiti 1'den küçük yapan \( x \) noktalarında kuvvet serisi yakınsaktır.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\abs{\dfrac{a_{n+1}}{a_n}}} \lt 1 \)
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\abs{\dfrac{(3x)^{n+1}}{(3x)^n}}} \lt 1 \)
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\abs{3x}} \lt 1 \)
\( n \to \infty \) iken \( x \) değeri sabittir.
\( \abs{3x} \lt 1 \)
\( -\dfrac{1}{3} \lt x \lt \dfrac{1}{3} \)
Bulduğumuz aralığın uç noktaları limit ifadesini 1 yapan değerlerdir. Oran testi bu noktalarda sonuçsuzdur ve bu noktalardaki yakınsaklığı başka bir test ile kontrol etmemiz gerekir.
\( x = \dfrac{1}{3} \) için:
\( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left( 3 \cdot \dfrac{1}{3} \right)^n = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {1} \)
Iraksaklık testine göre, \( \lim\limits_{n \to \infty} {1} = 1 \ne 0 \) olduğu için seri bu noktada ıraksaktır.
\( x = -\dfrac{1}{3} \) için:
\( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left( 3\left( -\dfrac{1}{3} \right) \right)^n = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \)
Iraksaklık testine göre, \( \lim\limits_{n \to \infty} {(-1)^n} \) limiti tanımsız olduğu için seri bu noktada ıraksaktır.
Buna göre verilen kuvvet serisi aşağıdaki aralıkta yakınsaktır ve yakınsaklık yarıçapı \( R = \frac{1}{3} \) olur.
\( -\dfrac{1}{3} \lt x \lt \dfrac{1}{3} \)
Kök Testi
Seriler bölümünde incelediğimiz kök testi, bir kuvvet serisinin \( n \). dereceden kökü üzerinden serinin yakınsaklık durumunu belirlemekte kullanılan bir testtir.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {c_n(x - a)^n} \) bir kuvvet serisi ve \( a_n = c_n(x - a)^n \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\sqrt[n]{\abs{a_n}}} = L \) limitini,
- \( L \lt 1 \) yapan \( x \) noktalarında seri yakınsaktır.
- \( L \gt 1 \) ya da sonsuz yapan \( x \) noktalarında seri ıraksaktır.
- \( L = 1 \) yapan \( x \) noktalarında kök testi sonuçsuzdur ve bu noktalardaki yakınsaklık başka bir test ile kontrol edilmelidir.
Limit tanımsız ise kök testi sonuçsuzdur.
Kök testini örnek bir kuvvet serisi üzerinde gösterelim.
\( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} {\left( \dfrac{2n}{3n + 1} \right)^n x^n} \) kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapını ve aralığını bulalım.
\( a_n = \left( \dfrac{2n}{3n + 1} \right)^n x^n \) olmak üzere,
Kök testine göre, aşağıdaki limiti 1'den küçük yapan \( x \) noktalarında kuvvet serisi yakınsaktır.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\sqrt[n]{\abs{a_n}}} \lt 1 \)
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\sqrt[n]{\abs{\left( \dfrac{2n}{3n + 1} \right)^n x^n}}} \lt 1 \)
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\abs{\dfrac{2n}{3n + 1}}\abs{x}} \lt 1 \)
\( n \to \infty \) iken \( x \) değeri sabittir.
\( \abs{x}\lim\limits_{n \to \infty} {\abs{\dfrac{2n}{3n + 1}}} \lt 1 \)
\( \dfrac{2}{3}\abs{x} \lt 1 \)
\( -\dfrac{3}{2} \lt x \lt \dfrac{3}{2} \)
Bulduğumuz aralığın uç noktaları limit ifadesini 1 yapan değerlerdir. Kök testi bu noktalarda sonuçsuzdur ve bu noktalardaki yakınsaklığı başka bir test ile kontrol etmemiz gerekir.
\( x = \dfrac{3}{2} \) için:
\( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} {\left( \dfrac{2n}{3n + 1} \right)^n \left( \dfrac{3}{2} \right)^n} = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} {\left( \dfrac{6n}{6n + 2} \right)^n} \)
Iraksaklık testine göre, \( \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{6n}{6n + 2}} = 1 \ne 0 \) olduğu için seri bu noktada ıraksaktır.
\( x = -\dfrac{3}{2} \) için:
\( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} {\left( \dfrac{2n}{3n + 1} \right)^n \left( -\dfrac{3}{2} \right)^n} = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} {(-1)^n\left( \dfrac{6n}{6n + 2} \right)^n} \)
Iraksaklık testine göre, \( \lim\limits_{n \to \infty} {(-1)^n\left( \dfrac{6n}{6n + 2} \right)^n} \) limiti tanımsız olduğu için seri bu noktada ıraksaktır.
Buna göre verilen kuvvet serisi aşağıdaki aralıkta yakınsaktır ve yakınsaklık yarıçapı \( R = \frac{3}{2} \) olur.
\( -\dfrac{3}{2} \lt x \lt \dfrac{3}{2} \)
Yakınsaklık ve önümüzdeki bölümlerde inceleyeceğimiz diğer bazı koşulları sağlayan bir kuvvet serisi, bu koşulları sağladığı aralıkta bir fonksiyon olarak tanımlanabilir.
\( f: (-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (3x)^n \)
\( x = \frac{1}{6} \) için fonksiyon değerini bulalım. \( f\left( \dfrac{1}{6} \right) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left( 3 \cdot \dfrac{1}{6} \right)^n \) \( = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left( \dfrac{1}{2} \right)^n = \dfrac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2 \)
Önümüzdeki bölümde göreceğimiz üzere, bir kuvvet serisi bu şekilde bir fonksiyon olarak tanımlandığında tanım aralığı içinde türevi ve integrali alınabilir ve diferansiyel denklemlerin çözümünde kullanılabilir.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {n!(x - 3)^n} \) kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapını ve aralığını bulunuz.
Çözümü Göster\( a_n = n!(x - 3)^n \) olmak üzere,
Oran testine göre, aşağıdaki limiti 1'den küçük yapan \( x \) noktalarında kuvvet serisi yakınsaktır.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\abs{\dfrac{a_{n+1}}{a_n}}} \lt 1 \)
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\abs{\dfrac{(n + 1)!(x - 3)^{n+1}}{n!(x - 3)^n}}} \lt 1 \)
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\abs{(n + 1)(x - 3)}} \lt 1 \)
\( \lim\limits_{n \to \infty} (\abs{n + 1}\abs{x - 3}) \lt 1 \)
\( n \to \infty \) iken \( x \) değeri sabittir.
\( \abs{x - 3}\lim\limits_{n \to \infty} {\abs{n + 1}} \lt 1 \)
\( n \to \infty \) iken \( \abs{n + 1} \to \infty \) olur, dolayısıyla bu eşitsizlik sadece aşağıdaki durumda sağlanır.
\( \abs{x - 3} = 0 \)
\( x = 3 \)
Buna göre verilen kuvvet serisi sadece \( x = 3 \) merkez noktasında yakınsaktır ve yakınsaklık yarıçapı sıfırdır (\( R = 0 \)).
\( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{x^n}{n!}} \) kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapını ve aralığını bulunuz.
Çözümü Göster\( a_n = \dfrac{x^n}{n!} \) olmak üzere,
Oran testine göre, aşağıdaki limiti 1'den küçük yapan \( x \) noktalarında kuvvet serisi yakınsaktır.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\abs{\dfrac{a_{n+1}}{a_n}}} \lt 1 \)
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\abs{\dfrac{x^{n+1}}{(n + 1)!} \cdot \dfrac{n!}{x^n}}} \lt 1 \)
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\abs{\dfrac{x}{n + 1}}} \lt 1 \)
\( \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{\abs{x}}{\abs{n + 1}}} \lt 1 \)
\( n \to \infty \) iken \( x \) değeri sabittir.
\( \abs{x}\lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{\abs{n + 1}}} \lt 1 \)
\( n \to \infty \) iken \( \frac{1}{\abs{n + 1}} \to 0 \) olur, dolayısıyla bu eşitsizlik her durumda sağlanır.
\( \abs{x} \lt \infty \)
\( -\infty \lt x \lt \infty \)
Buna göre verilen kuvvet serisi tüm reel sayılarda yakınsaktır ve yakınsaklık yarıçapı sonsuzdur (\( R = \infty \)).