Kuvvet Serileri ile İşlemler
Sonsuz terimli polinom formunda olan kuvvet serileri; cebirsel işlemler, türev ve integral işlemleri açılarından da yakınsaklık aralıkları içinde birer polinom gibi davranırlar.
Yakınsaklık yarıçapları sırasıyla \( R_f \) ve \( R_g \) olan aynı merkezli iki kuvvet serisini birer fonksiyon olarak tanımlayalım.
\( f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {c_n(x - a)^n} \)
\( g(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {d_n(x - a)^n} \)
Kuvvet Serilerinin Eşitliği
Aynı merkezli iki kuvvet serisi açık bir aralıktaki tüm \( x \) noktalarında birbirine eşitse dereceleri aynı olan terimlerinin katsayıları birbirine eşittir. Bu özelliğe kuvvet serilerinin özdeşlik teoremi ya da teklik teoremi adı verilir.
\( f(x) = g(x) \) ise, her \( n \) için \( c_n = d_n \) olur.
Bu özelliğin bir sonucu olarak, bir kuvvet serisi açık bir aralıktaki tüm \( x \) noktalarında sıfıra eşitse tüm katsayıları sıfıra eşittir.
\( f(x) = 0 \) ise, her \( n \) için \( c_n = 0 \) olur.
Kuvvet Serilerinin Toplamı/Farkı
Kuvvet serilerinde toplama/çıkarma işlemi polinomlara benzer şekilde çalışır ve \( x \) değişkeninin aynı kuvvetli terimlerinin katsayılarının toplamı/farkı alınır. İki kuvvet serisinin bu şekilde toplamının/farkının alınabilmesi için serilerin merkezi ve başlangıç indis değerleri aynı olmalıdır.
\( f(x) \pm g(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {(c_n \pm d_n)(x - a)^n} \)
Toplam serisi, toplamı alınan serilerin yakınsaklık yarıçaplarının en küçüğü içinde her zaman yakınsaktır, bununla birlikte toplamı alınan serilerin yakınsaklık yarıçapları aynı ise ve iki seri arasında birbirini götüren (pozitif ve negatif işaretli) terimler varsa toplam serisinin yakınsaklık yarıçapı bu değerden daha büyük olabilir.
\( R_{f \pm g} \ge \min\{ R_f, R_g \} \)
Toplam serisinin yakınsaklık aralığının uç noktalarındaki yakınsaklık her iki uç nokta için ayrıca kontrol edilmelidir.
İki kuvvet serisinin toplamını bir örnek üzerinde gösterelim.
\( f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {x^n} \)
\( g(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {3^nx^n} \)
\( f(x) + g(x) \) toplamının yakınsaklık yarıçapını ve aralığını bulalım.
İki kuvvet serisinin merkezleri ve başlangıç indisleri aynı olduğu için katsayıların toplamını alabiliriz.
\( f(x) + g(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {(1 + 3^n)x^n} \)
Oran testine göre, \( f(x) \) serisinin yakınsaklık yarıçapı \( R_f = 1 \), \( g(x) \) serisinin yakınsaklık yarıçapı \( R_g = \frac{1}{3} \) olarak bulunur.
İki serinin yakınsaklık yarıçapları birbirinden farklı olduğu için, toplam serisinin yakınsaklık yarıçapı serilerin yakınsaklık yarıçaplarının en küçüğüne eşittir.
\( R_{f+g} = \min\{ R_f, R_g \} = \min\left\{ 1, \dfrac{1}{3} \right\} = \dfrac{1}{3} \)
Buna göre toplam serisi aşağıdaki aralıkta yakınsaktır.
\( -\dfrac{1}{3} \lt x \lt \dfrac{1}{3} \)
Aralığın uç noktalarındaki yakınsaklığı ayrıca kontrol edelim.
\( x = \dfrac{1}{3} \) için:
\( f\left( \dfrac{1}{3} \right) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left( \dfrac{1}{3} \right)^n \)
Geometrik seri testine göre, \( \abs{\frac{1}{3}} \lt 1 \) olduğu için \( f(x) \) bu noktada yakınsaktır.
\( g\left( \dfrac{1}{3} \right) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} 3^n\left( \dfrac{1}{3} \right)^n = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {1} \)
Iraksaklık testine göre, \( \lim\limits_{n \to \infty} {1} = 1 \ne 0 \) olduğu için \( g(x) \) bu noktada ıraksaktır.
Bir yakınsak seri ile ıraksak serinin toplamı ıraksak olduğu için \( f(x) + g(x) \) serisi \( x = \frac{1}{3} \) noktasında ıraksaktır.
\( x = -\dfrac{1}{3} \) için:
\( f\left( -\dfrac{1}{3} \right) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left( -\dfrac{1}{3} \right)^n \)
Geometrik seri testine göre, \( \abs{-\frac{1}{3}} \lt 1 \) olduğu için \( f(x) \) bu noktada yakınsaktır.
\( g\left( -\dfrac{1}{3} \right) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} 3^n\left( -\dfrac{1}{3} \right)^n = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n} \)
Iraksaklık testine göre, \( \lim\limits_{n \to \infty} (-1)^n \) limiti tanımsız olduğu için \( g(x) \) bu noktada ıraksaktır.
Bir yakınsak seri ile ıraksak serinin toplamı ıraksak olduğu için, \( f(x) + g(x) \) serisi \( x = -\frac{1}{3} \) noktasında ıraksaktır.
Buna göre \( f(x) + g(x) \) serisinin yakınsaklık yarıçapı \( R_{f+g} = \frac{1}{3} \), yakınsaklık aralığı \( -\frac{1}{3} \lt x \lt \frac{1}{3} \) aralığıdır.
Kuvvet Serilerinin Çarpımı
Kuvvet serilerinde çarpma işleminin sonucu yine bir kuvvet serisidir ve çarpım serisindeki her bir terimin katsayısı aşağıdaki formülle hesaplanır. İki kuvvet serisinin bu şekilde çarpımının alınabilmesi için serilerin merkezi ve başlangıç indis değerleri aynı olmalıdır.
\( f(x)g(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {e_n(x - a)^n} \)
\( e_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} {c_kd_{n-k}} \)
Bu yöntemde çarpım serisinin \( n \) indisli teriminin katsayısını bulmak için, çarpımı alınan serilerin indislerinin toplamı \( n \) olan terimlerinin katsayılarının çarpımlarının toplamı alınır.
İki kuvvet serisinin bu yöntemle bulunan çarpımına Cauchy çarpımı adı verilir. İki kuvvet serisinin Cauchy çarpımı serilerden biri ya da ikisi ıraksak olsa da tanımlıdır.
Çarpım serisi, çarpımı alınan serilerin yakınsaklık yarıçaplarının en küçüğü içinde her zaman yakınsaktır, bununla birlikte çarpımı alınan serilerin yakınsaklık yarıçapları aynı ise ve iki seri arasında birbirini götüren (değeri sıfır olan) terimler varsa çarpım serisinin yakınsaklık yarıçapı bu değerden daha büyük olabilir.
\( R_{fg} \ge \min\{ R_f, R_g \} \)
Çarpım serisinin yakınsaklık aralığının uç noktalarındaki yakınsaklık her iki uç noktası için ayrıca kontrol edilmelidir.
İki kuvvet serisinin çarpımını bir örnek üzerinde gösterelim.
\( f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {x^n} \)
\( g(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {2^nx^n} \)
\( f(x)g(x) \) çarpımının yakınsaklık yarıçapını ve aralığını bulalım.
İki kuvvet serisinin merkezleri ve başlangıç indisleri aynı olduğu için katsayı formülünü kullanabiliriz.
\( f(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \ldots \)
\( g(x) = 1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + 16x^4 + \ldots \)
Çarpım serisinin ilk birkaç teriminin katsayısını hesaplayalım.
\( e_0 = c_0d_0 = (1)(1) = 1 \)
\( e_1 = c_0d_1 + c_1d_0 = (1)(2) + (1)(1) = 3 \)
\( e_2 = c_0d_2 + c_1d_1 + c_2d_0 = (1)(4) + (1)(2) + (1)(1) = 7 \)
\( e_3 = c_0d_3 + c_1d_2 + c_2d_1 + c_3d_0 = (1)(8) + (1)(4) + (1)(2) + (1)(1) = 15 \)
\( e_4 = c_0d_4 + c_1d_3 + c_2d_2 + c_3d_1 + c_4d_0 = (1)(16) + (1)(8) + (1)(4) + (1)(2) + (1)(1) = 31 \)
Bu örüntüye göre çarpım serisinin \( n \). teriminin katsayısı aşağıdaki gibi olur.
\( e_n = 2^{n+1} - 1 \)
Bu durumda çarpım serisi aşağıdaki gibi olur.
\( f(x)g(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {(2^{n+1} - 1)x^n} \)
Oran testine göre, \( f(x) \) serisinin yakınsaklık yarıçapı \( R_f = 1 \), \( g(x) \) serisinin yakınsaklık yarıçapı \( R_g = \frac{1}{2} \) olarak bulunur.
İki serinin yakınsaklık yarıçapları birbirinden farklı olduğu için, çarpım serisinin yakınsaklık yarıçapı serilerin yakınsaklık yarıçaplarının en küçüğüne eşittir.
\( R_{fg} = \min\{ R_f, R_g \} = \min\left\{ 1, \dfrac{1}{2} \right\} = \dfrac{1}{2} \)
Buna göre çarpım serisi aşağıdaki aralıkta yakınsaktır.
\( -\dfrac{1}{2} \lt x \lt \dfrac{1}{2} \)
Aralığın uç noktalarındaki yakınsaklığı ayrıca kontrol edelim.
\( x = \dfrac{1}{2} \) için:
\( f\left( \dfrac{1}{2} \right)g\left( \dfrac{1}{2} \right) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {(2^{n+1} - 1)\left( \dfrac{1}{2} \right)^n} \)
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\left( 2 - \left( \dfrac{1}{2} \right)^n \right)} \)
Iraksaklık testine göre, \( \lim\limits_{n \to \infty} {(2 - (\frac{1}{2})^n)} = 2 \ne 0 \) olduğu için \( f(x)g(x) \) bu noktada ıraksaktır.
\( x = -\dfrac{1}{2} \) için:
\( f\left( -\dfrac{1}{2} \right)g\left( -\dfrac{1}{2} \right) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {(2^{n+1} - 1)\left( -\dfrac{1}{2} \right)^n} \)
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n\left( 2 - \left( \dfrac{1}{2} \right)^n \right)} \)
Iraksaklık testine göre, \( \lim\limits_{n \to \infty} {(-1)^n(2 - (\frac{1}{2})^n)} \) limiti tanımsız olduğu için \( f(x)g(x) \) bu noktada ıraksaktır.
Buna göre \( f(x)g(x) \) serisinin yakınsaklık yarıçapı \( R_{fg} = \frac{1}{2} \), yakınsaklık aralığı \( -\frac{1}{2} \lt x \lt \frac{1}{2} \) aralığıdır.
Kuvvet Serilerinin Türevi
Bu kuvvet serisinin türevi, serinin terimlerinin ayrı ayrı türevinin toplamına eşittir. Bu açıdan baktığımızda, kuvvet serilerinin türevi polinomların türevine benzer şekilde alınır.
\( f'(x) = \dfrac{d}{dx}\left[ \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {c_n(x - a)^n} \right] \)
\( = \dfrac{d}{dx}(c_0 + c_1(x - a) + c_2(x - a)^2 + c_3(x - a)^3 + \ldots) \)
Serinin türevi, terimlerin türevinin toplamına eşittir.
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{d}{dx}[c_n(x - a)^n]} \)
Serinin genel teriminin türevini alalım.
\( = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} {nc_n(x - a)^{n-1}} \)
\( = c_1 + 2c_2(x - a) + 3c_3(x - a)^2 + \ldots \)
Bir kuvvet serisinin türevi alındığında sıfır olan terimleri serinin dışında bırakmak için serinin indisi 1'den ya da daha büyük bir değerden başlatılabilir.
Bir kuvvet serisinin daha yüksek dereceden türevleri de benzer şekilde alınır.
\( f''(x) = \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} {n(n - 1)c_n(x - a)^{n-2}} \)
\( f'''(x) = \displaystyle\sum_{n=3}^{\infty} {n(n - 1)(n - 2)c_n(x - a)^{n-3}} \)
Bir kuvvet serisinin türevinin yakınsaklık yarıçapı, ana fonksiyonun yakınsaklık yarıçapı ile aynıdır. Bununla birlikte, türev fonksiyonunun yakınsaklık aralığının uç noktalarındaki yakınsaklık her iki uç noktası için ayrıca kontrol edilmelidir.
\( R_f = R_{f'} = R_{f''} = \ldots \)
Bir kuvvet serisinin türevini bir örnek üzerinde gösterelim.
\( f(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} {\dfrac{x^n}{n^2}} \) kuvvet serisinin birinci ve ikinci türevini bulalım.
\( f(x) \) fonksiyonunun ilk birkaç terimini listeleyelim.
\( f(x) = x + \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{x^3}{9} + \dfrac{x^4}{16} + \dfrac{x^5}{25} + \ldots \)
Serinin birinci türevini alalım.
\( f'(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} {\dfrac{nx^{n-1}}{n^2}} = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} {\dfrac{x^{n-1}}{n}} \)
\( f'(x) \) fonksiyonunun ilk birkaç terimini listeleyelim.
\( = 1 + \dfrac{x}{2} + \dfrac{x^2}{3} + \dfrac{x^3}{4} + \dfrac{x^4}{5} + \ldots \)
\( f'(x) \) fonksiyonunun her bir teriminin \( f(x) \) fonksiyonunun ilgili teriminin türevine karşılık geldiği görülebilir.
Serinin ikinci türevini alalım.
\( f''(x) = \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} {\dfrac{(n - 1)x^{n-2}}{n}} \)
\( f''(x) \) fonksiyonunun ilk birkaç terimini listeleyelim.
\( = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2x}{3} + \dfrac{3x^2}{4} + \dfrac{4x^3}{5} + \ldots \)
Benzer şekilde, \( f''(x) \) fonksiyonunun her bir teriminin \( f'(x) \) fonksiyonunun ilgili teriminin türevine karşılık geldiği görülebilir.
Kuvvet Serilerinin İntegrali
Bu kuvvet serisinin integrali, serinin terimlerinin ayrı ayrı integralinin toplamına eşittir. Bu açıdan baktığımızda, kuvvet serilerinin integrali polinomların integraline benzer şekilde alınır.
\( \displaystyle\int {f(x)\ dx} = \displaystyle\int {\left( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {c_n(x - a)^n} \right) \ dx} \)
\( = \displaystyle\int {(c_0 + c_1(x - a) + c_2(x - a)^2 + c_3(x - a)^3 + \ldots)\ dx} \)
Serinin integrali, terimlerin integralinin toplamına eşittir.
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\left( \displaystyle\int {c_n(x - a)^n}\ dx \right)} \)
Serinin genel teriminin integralini alalım.
\( = C + \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{c_n}{n + 1}(x - a)^{n+1}} \)
\( = C + c_0(x - a) + \dfrac{c_1}{2}(x - a)^2 + \dfrac{c_2}{3}(x - a)^3 + \dfrac{c_3}{4}(x - a)^4 + \ldots \)
Bir kuvvet serisinin integralinin yakınsaklık yarıçapı, ana fonksiyonun yakınsaklık yarıçapı ile aynıdır. Bununla birlikte, integral fonksiyonunun yakınsaklık aralığının uç noktalarındaki yakınsaklık her iki uç noktası için ayrıca kontrol edilmelidir.
\( R_{F} = R_f \)
İntegral işlemi sonucunda elde edilen \( C \) integral sabiti, fonksiyonda \( x = a \) konarak bulunabilir.
Bir kuvvet serisinin integralini bir örnek üzerinde gösterelim.
\( f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {x^{n^2}} \) kuvvet serisinin integralini bulalım.
\( f(x) \) fonksiyonunun ilk birkaç terimini listeleyelim.
\( f(x) = 1 + x + x^4 + x^9 + x^{16} + \ldots \)
Serinin integralini alalım.
\( \displaystyle\int {f(x)\ dx} = C + \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{x^{n^2+1}}{n^2 + 1}} \)
\( \int {f(x)\ dx} \) fonksiyonunun ilk birkaç terimini listeleyelim.
\( = C + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^5}{5} + \dfrac{x^{10}}{10} + \dfrac{x^{17}}{17} + \ldots \)
\( \int {f(x)\ dx} \) fonksiyonunun her bir teriminin \( f(x) \) fonksiyonunun ilgili teriminin türevine karşılık geldiği görülebilir.
Bir serinin türevinin/integralinin terimlerin ayrı ayrı türevinin/integralinin toplamına eşit olma özelliğinin kuvvet serileri dışındaki serilerde geçerli olmayabileceği akılda tutulmalıdır. Aşağıda bu şekilde (kuvvet serisi olmayan) bir seri verilmiştir.
\( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} {\dfrac{\sin(n^2x)}{n^2}} \)
\( \dfrac{\sin(n^2x)}{n^2} \le \dfrac{1}{n^2} \)
Karşılaştırma testine göre, \( \sum {\frac{1}{n^2}} \) serisi yakınsak olduğu için verilen seri de yakınsaktır.
Verilen serinin terimlerinin türevini alalım.
\( \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{\sin(n^2x)}{n^2} \right) = \dfrac{n^2\cos(n^2x)}{n^2} \)
\( = \cos(n^2x) \)
Iraksaklık testine göre, \( \lim\limits_{n \to \infty} {\cos(n^2x)} \) limiti tanımsız olduğu için bu seri ıraksaktır.
Türev ve integral için paylaştığımız kuralın kuvvet serisi olmayan serilerde geçerli olmadığını göstermiş olduk.
\( f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \sqrt{n}x^n \)
\( g(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{2^n} \)
İki kuvvet serisinin toplamını, toplam serisinin yakınsaklık yarıçapını, aralığını ve ilk 4 terimini bulunuz.
Çözümü GösterAynı merkezli iki kuvvet serisinin toplamını alalım.
\( f(x) + g(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\left( \sqrt{n} + \dfrac{1}{2^n} \right)x^n} \)
Oran testine göre, \( f(x) \) serisinin yakınsaklık yarıçapı \( R_f = 1 \) olarak bulunur.
Oran testine göre, \( g(x) \) serisinin yakınsaklık yarıçapı \( R_g = 2 \) olarak bulunur.
İki serinin yakınsaklık yarıçapları birbirinden farklı olduğu için, toplam serisinin yakınsaklık yarıçapı serilerin yakınsaklık yarıçaplarının en küçüğüne eşittir.
\( R_{f+g} = \min\{ R_f, R_g \} = \min\{ 1, 2 \} = 1 \)
Buna göre toplam serisi aşağıdaki aralıkta yakınsaktır.
\( -1 \lt x \lt 1 \)
Aralığın uç noktalarındaki yakınsaklığı ayrıca kontrol edelim.
\( x = 1 \) için:
\( f(1) + g(1) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left( \sqrt{n} + \dfrac{1}{2^n} \right) \)
Iraksaklık testine göre, \( \lim\limits_{n \to \infty} {(\sqrt{n} + \frac{1}{2^n})} = \infty \ne 0 \) olduğu için seri bu noktada ıraksaktır.
\( x = -1 \) için:
\( f(-1) + g(-1) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n\left( \sqrt{n} + \dfrac{1}{2^n} \right)} \)
Iraksaklık testine göre, \( \lim\limits_{n \to \infty} {(-1)^n(\sqrt{n} + \frac{1}{2^n})} \) limiti tanımsız olduğu için seri bu noktada ıraksaktır.
Buna göre \( f(x) + g(x) \) serisinin yakınsaklık yarıçapı \( R_{f+g} = 1 \), yakınsaklık aralığı \( -1 \lt x \lt 1 \) aralığıdır.
Seri yakınsaklık aralığındaki tüm noktalarda mutlak yakınsaktır.
Toplam serisinin ilk 4 terimini listeleyelim.
\( f(x) + g(x) = 1 + \left( 1 + \dfrac{1}{2} \right)x + \left( \sqrt{2} + \dfrac{1}{4} \right)x^2 + \left( \sqrt{3} + \dfrac{1}{8} \right)x^3 + \ldots \)
\( f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n!} \) kuvvet serisinin türevinin yakınsaklık yarıçapını, aralığını ve ilk 4 terimini bulunuz.
Çözümü Göster\( f(x) \) fonksiyonunun ilk birkaç terimini listeleyelim.
\( f(x) = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^4}{24} + \ldots \)
Serinin birinci türevini alalım.
\( f'(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} {\dfrac{nx^{n-1}}{n!}} = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} {\dfrac{x^{n-1}}{(n - 1)!}} \)
\( f'(x) \) fonksiyonunun ilk 4 terimini listeleyelim.
\( = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} + \ldots \)
Oran testine göre, \( f(x) \) serisinin yakınsaklık yarıçapı \( R_f = \infty \) olarak bulunur.
Bir kuvvet serisinin türevinin yakınsaklık yarıçapı ana fonksiyonun yakınsaklık yarıçapı ile aynıdır.
\( R_{f'} = R_f \)
Buna göre türev serisinin yakınsaklık yarıçapı \( R_{f'} = \infty \), yakınsaklık aralığı \( -\infty \lt x \lt \infty \) aralığıdır.
Seri yakınsaklık aralığındaki tüm noktalarda mutlak yakınsaktır.
\( f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n(x - 1)^{2n}}{(2n)!} \) kuvvet serisinin türevinin yakınsaklık yarıçapını, aralığını ve ilk 4 terimini bulunuz.
Çözümü Göster\( f(x) \) fonksiyonunun ilk birkaç terimini listeleyelim.
\( f(x) = 1 - \dfrac{(x - 1)^2}{2} + \dfrac{(x - 1)^4}{24} - \dfrac{(x - 1)^6}{720} + \ldots \)
Serinin birinci türevini alalım.
\( f'(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^n(2n)(x - 1)^{2n-1}}{(2n)!} = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} {\dfrac{(-1)^n(x - 1)^{2n-1}}{(2n - 1)!}} \)
\( f'(x) \) fonksiyonunun ilk 4 terimini listeleyelim.
\( = -(x - 1) + \dfrac{(x - 1)^3}{6} - \dfrac{(x - 1)^5}{120} + \dfrac{(x - 1)^7}{5040} - \ldots \)
Oran testine göre, \( f(x) \) serisinin yakınsaklık yarıçapı \( R_f = \infty \) olarak bulunur.
Bir kuvvet serisinin türevinin yakınsaklık yarıçapı ana fonksiyonun yakınsaklık yarıçapı ile aynıdır.
\( R_{f'} = R_f \)
Buna göre türev serisinin yakınsaklık yarıçapı \( R_{f'} = \infty \), yakınsaklık aralığı \( -\infty \lt x \lt \infty \) aralığıdır.
Seri yakınsaklık aralığındaki tüm noktalarda mutlak yakınsaktır.
\( f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left( \dfrac{x}{3} \right)^n \)
\( g(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left( \dfrac{x}{2} \right)^n \)
İki kuvvet serisinin çarpımını, çarpım serisinin yakınsaklık yarıçapını, aralığını ve ilk 4 terimini bulunuz.
Çözümü Göster\( f(x) \) fonksiyonunu düzenleyelim.
\( f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{1}{3^n}x^n} \)
\( g(x) \) fonksiyonunu düzenleyelim.
\( g(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{1}{2^n}x^n} \)
Serilerin ilk birkaç terimini listeleyelim.
\( f(x) = 1 + \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{9}x^2 + \dfrac{1}{27}x^3 + \dfrac{1}{81}x^4 + \ldots \)
\( g(x) = 1 + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{1}{8}x^3 + \dfrac{1}{16}x^4 + \ldots \)
Katsayı formülünü kullanarak çarpım serisinin ilk birkaç teriminin katsayısını hesaplayalım.
\( c_n = \dfrac{1}{3^n} \) ve \( d_n = \dfrac{1}{2^n} \) olmak üzere,
\( e_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} {c_kd_{n-k}} \)
\( e_0 = c_0d_0 = (1)(1) = 1 \)
\( e_1 = c_0d_1 + c_1d_0 = (1)\left( \dfrac{1}{2} \right) + \left( \dfrac{1}{3} \right)(1) = \dfrac{5}{6} \)
\( e_2 = c_0d_2 + c_1d_1 + c_2d_0 = (1)\left( \dfrac{1}{4} \right) + \left( \dfrac{1}{3} \right)\left( \dfrac{1}{2} \right) + \left( \dfrac{1}{9} \right)(1) = \dfrac{19}{36} \)
\( e_3 = c_0d_3 + c_1d_2 + c_2d_1 + c_3d_0 = (1)\left( \dfrac{1}{8} \right) + \left( \dfrac{1}{3} \right)\left( \dfrac{1}{4} \right) + \left( \dfrac{1}{9} \right)\left( \dfrac{1}{2} \right) + \left( \dfrac{1}{27} \right)(1) = \dfrac{65}{216} \)
Bu örüntüye göre çarpım serisinin \( n \). teriminin katsayısı aşağıdaki gibi olur.
\( e_n = \dfrac{3}{2^n} - \dfrac{2}{3^n} \)
Bu durumda çarpım serisi aşağıdaki gibi olur.
\( f(x)g(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\left( \dfrac{3}{2^n} - \dfrac{2}{3^n} \right)x^n} \)
Oran testine göre, \( f(x) \) serisinin yakınsaklık yarıçapı \( R_f = 3 \) olarak bulunur.
Oran testine göre, \( g(x) \) serisinin yakınsaklık yarıçapı \( R_f = 2 \) olarak bulunur.
İki serinin yakınsaklık yarıçapları birbirinden farklı olduğu için, çarpım serisinin yakınsaklık yarıçapı serilerin yakınsaklık yarıçaplarının en küçüğüne eşittir.
\( R_{fg} = \min\{ R_f, R_g \} = \min\{ 3, 2 \} = 2 \)
Buna göre çarpım serisi aşağıdaki aralıkta yakınsaktır.
\( -2 \lt x \lt 2 \)
Aralığın uç noktalarındaki yakınsaklığı ayrıca kontrol edelim.
\( x = 2 \) için:
\( f(2)g(2) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\left( \dfrac{3}{2^n} - \dfrac{2}{3^n} \right)2^n} \)
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\left[ 3 - 2\left( \dfrac{2}{3} \right)^n \right]} \)
Iraksaklık testine göre, \( \lim\limits_{n \to \infty} {[3 - 2(\frac{2}{3})^n]} = 3 \ne 0 \) olduğu için seri bu noktada ıraksaktır.
\( x = -2 \) için:
\( f(-2)g(-2) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {(-2)^n\left( \dfrac{3}{2^n} - \dfrac{2}{3^n} \right)} \)
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\left[ 3(-1)^n - 2\left( -\dfrac{2}{3} \right)^n \right]} \)
Iraksaklık testine göre, \( \lim\limits_{n \to \infty} {[3(-1)^n - 2(-\frac{2}{3})^n]} \) limiti tanımsız olduğu için seri bu noktada ıraksaktır.
Buna göre \( f(x)g(x) \) serisinin yakınsaklık yarıçapı \( R_{fg} = 2 \), yakınsaklık aralığı \( -2 \lt x \lt 2 \) aralığıdır.
Seri yakınsaklık aralığındaki tüm noktalarda mutlak yakınsaktır.
Çarpım serisinin ilk 4 terimini listeleyelim.
\( = 1 + \dfrac{5}{3}x + \dfrac{19}{9}x^2 + \dfrac{65}{27}x^3 + \ldots \)
\( f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} 3x^n \)
\( g(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} nx^n \)
İki kuvvet serisinin çarpımını, çarpım serisinin yakınsaklık yarıçapını, aralığını ve ilk 4 terimini bulunuz.
Çözümü GösterSerilerin ilk birkaç terimini listeleyelim.
\( f(x) = 3 + 3x + 3x^2 + 3x^3 + 3x^4 + \ldots \)
\( g(x) = 0 + x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + \ldots \)
Katsayı formülünü kullanarak çarpım serisinin ilk birkaç teriminin katsayısını hesaplayalım.
\( c_n = 3 \) ve \( d_n = n \) olmak üzere,
\( e_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} {c_kd_{n-k}} \)
\( e_0 = c_0d_0 = (3)(0) = 0 \)
\( e_1 = c_0d_1 + c_1d_0 = (3)(1) + (3)(0) = 3 \)
\( e_2 = c_0d_2 + c_1d_1 + c_2d_0 = (3)(2) + (3)(1) + (3)(0) = 9 \)
\( e_3 = c_0d_3 + c_1d_2 + c_2d_1 + c_3d_0 = (3)(3) + (3)(2) + (3)(1) + (3)(0) = 18 \)
\( e_4 = c_0d_4 + c_1d_3 + c_2d_2 + c_3d_1 + c_4d_0 = (3)(4) + (3)(3) + (3)(2) + (3)(1) + (3)(0) = 30 \)
Bu örüntüye göre çarpım serisinin \( n \). teriminin katsayısı aşağıdaki gibi olur.
\( e_n = \dfrac{3n(n + 1)}{2} \)
Bu durumda çarpım serisi aşağıdaki gibi olur.
\( f(x)g(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} {\left( \dfrac{3n(n + 1)}{2} \right)x^n} \)
Oran testine göre, \( f(x) \) serisinin yakınsaklık yarıçapı \( R_f = 1 \) olarak bulunur.
Oran testine göre, \( g(x) \) serisinin yakınsaklık yarıçapı \( R_g = 1 \) olarak bulunur.
İki serinin yakınsaklık yarıçapları birbirine eşit olduğu için, çarpım serisinin yakınsaklık yarıçapı en az serilerin yakınsaklık yarıçaplarının en küçüğü kadardır.
\( R_{fg} \ge \min\{ R_f, R_g \} = \min\{ 1, 1 \} = 1 \)
Buna göre çarpım serisi minimumda aşağıdaki aralıkta yakınsaktır.
\( -1 \lt x \lt 1 \)
Aralığın uç noktalarındaki yakınsaklığı ayrıca kontrol edelim.
\( x = 1 \) için:
\( f(1)g(1) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{3n(n + 1)}{2}} \)
Iraksaklık testine göre, \( \lim\limits_{n \to \infty} {\frac{3n(n + 1)}{2}} = \infty \ne 0 \) olduğu için seri bu noktada ıraksaktır.
\( x = -1 \) için:
\( f(-1)g(-1) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n\left( \dfrac{3n(n + 1)}{2} \right)} \)
Iraksaklık testine göre, \( \lim\limits_{n \to \infty} {(-1)^n\frac{3n(n + 1)}{2}} \) limiti tanımsız olduğu için seri bu noktada ıraksaktır.
Çarpım serisi minimum aralığın uç noktalarında ıraksak olduğu için daha geniş bir aralıkta yakınsak olamaz.
Buna göre \( f(x)g(x) \) serisinin yakınsaklık yarıçapı \( R_{fg} = 1 \), yakınsaklık aralığı \( -1 \lt x \lt 1 \) aralığıdır.
Seri yakınsaklık aralığındaki tüm noktalarda mutlak yakınsaktır.
\( f(x)g(x) \) serisinin ilk 4 terimini listeleyelim.
\( = 3x + 9x^2 + 18x^3 + 30x^4 + \ldots \)
\( f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^nx^n}{2^n} \) kuvvet serisinin integralinin yakınsaklık yarıçapını, aralığını ve ilk 4 terimini bulunuz.
Çözümü Göster\( f(x) \) fonksiyonunun ilk birkaç terimini listeleyelim.
\( f(x) = 1 - \dfrac{x}{2} + \dfrac{x^2}{4} - \dfrac{x^3}{8} + \dfrac{x^4}{16} + \ldots \)
Serinin integralini alalım.
\( \displaystyle\int {f(x)\ dx} = C + \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{(-1)^nx^{n+1}}{2^n(n + 1)}} \)
\( \int {f(x)\ dx} \) fonksiyonunun ilk 4 terimini listeleyelim.
\( = C + x - \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{x^3}{12} - \dfrac{x^4}{32} + \ldots \)
Oran testine göre, \( f(x) \) serisinin yakınsaklık yarıçapı \( R_f = 2 \) olarak bulunur.
Bir kuvvet serisinin integralinin yakınsaklık yarıçapı ana fonksiyonun yakınsaklık yarıçapı ile aynıdır.
\( R_{F} = R_f \)
Buna göre integral serisinin yakınsaklık aralığı aşağıdaki gibidir.
\( -2 \lt x \lt 2 \)
Aralığın uç noktalarındaki yakınsaklığı ayrıca kontrol edelim.
\( x = 2 \) için:
\( \int {f(x)\ dx} = C + \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{(-1)^n2^{n+1}}{2^n(n + 1)}} \)
\( = C + 2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{(-1)^n}{n + 1}} \)
\( \sum {\frac{(-1)^n}{n + 1}} \) serisi alterne harmonik seridir ve yakınsaktır.
Limit karşılaştırma testine göre, \( \sum {\abs{\frac{(-1)^n}{n + 1}}} \) serisi ıraksaktır, dolayısıyla integral serisi \( x = 2 \) noktasında koşullu yakınsaktır.
\( x = -2 \) için:
\( \int {f(x)\ dx} = C + \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{(-1)^n(-2)^{n+1}}{2^n(n + 1)}} \)
\( = C + 2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{1}{n + 1}} \)
\( \sum {\frac{1}{n + 1}} \) serisi harmonik seridir ve ıraksaktır.
Buna göre integral serisinin yakınsaklık yarıçapı \( R_{F} = 2 \), yakınsaklık aralığı \( -2 \lt x \le 2 \) aralığıdır.
Seri yakınsaklık aralığındaki \( x = 2 \) noktasında koşullu yakınsak, diğer tüm noktalarda mutlak yakınsaktır.