Parametrelerin Değişimi Yöntemi
Parametrelerin değişimi yöntemi, \( n \). mertebeden lineer diferansiyel denklemlerin çözümünde kullanılan bir yöntemdir.
Bu yöntem aşağıdaki özellikleri açısından geniş bir denklem ailesinin çözümünde kullanılabildiği için oldukça güçlü bir yöntemdir.
- Sabit ya da değişken katsayılı denklemlerde kullanılabilir.
- Homojen olan ya da olmayan denklemlerde kullanılabilir.
- \( f(x) \) fonksiyonunun formu ile ilgili bir koşul içermez.
Bu yöntemin kullanılabilmesi için, denklemin karşılık geldiği homojen denklemin tamamlayıcı çözümü biliniyor olmalıdır. Bu tamamlayıcı çözüm sabit katsayılı denklemlerde önceki bölümde gördüğümüz yöntemle bulunabilir, diğer durumlarda ise problemde verilmesi gerekir.
İkinci Mertebeden Denklemler
Parametrelerin değişimi yöntemi aşağıdaki formdaki ikinci mertebeden lineer denklemlere uygulanabilir.
\( a_2(x)y'' + a_1(x)y' + a_0(x)y = f(x) \)
\( L[y] = f(x) \)
\( x^2y'' - 2y = 2x^2 + 5 \)
Denklemin karşılık geldiği \( L[y] = 0 \) formundaki homojen denklemin lineer bağımsız \( y_1 \) ve \( y_2 \) temel çözümlerinin verildiğini ya da bu çözümleri diğer yöntemlerle bulabildiğimizi varsayalım. Bu durumda \( L[y] = 0 \) denkleminin genel, dolayısıyla \( L(y) = f(x) \) denkleminin tamamlayıcı çözümü aşağıdaki gibi olur.
\( C_1, C_2 \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( y_c = C_1y_1 + C_2y_2 \)
Parametrelerin değişimi yönteminde denklemin özel çözümü, homojen denklemin genel çözümündeki sabit \( c_1 \) ve \( c_2 \) sayılarının yerine \( u_1(x) \) ve \( u_2(x) \) fonksiyonları yazılarak bulunur.
\( y_p = u_1(x)y_1 + u_2(x)y_2 \)
\( u_1(x) \) ve \( u_2(x) \) fonksiyonları aşağıda ispatı ile birlikte verilen formüller kullanılarak bulunabilir.
\( u_1(x) = -\displaystyle\int {\dfrac{y_2f(x)}{W(y_1, y_2)a_2(x)}\ dx} \)
\( u_2(x) = \displaystyle\int {\dfrac{y_1f(x)}{W(y_1, y_2)a_2(x)}\ dx} \)
İSPATI GÖSTER
Parametrelerin değişimi yöntemine göre, denklemin özel çözümü aşağıdaki gibidir.
\( y_p = u_1y_1 + u_2y_2 \)
\( y_p \) fonksiyonunun birinci türevini alalım.
\( y_p' = (\textcolor{red}{u_1'y_1} + u_1y_1') + (\textcolor{red}{u_2'y_2} + u_2y_2') \)
Kırmızı ile işaretli iki ifadenin toplamının sıfıra eşit olduğunu varsayalım.
\( u_1'y_1 + u_2'y_2 = 0 \)
Bu varsayımı yapma sebebimiz, aşağıda hesaplayacağımız ikinci türevi sadeleştirmek, \( u_1' \) ve \( u_2' \) fonksiyonlarından oluşan iki bilinmeyenli denklemi çözmek için ikinci bir denklem elde etmek, dolayısıyla denklemi çözülebilir bir forma getirmektir.
Bu durumda birinci türev aşağıdaki şekilde sadeleşir.
\( y_p' = u_1y_1' + u_2y_2' \)
\( y_p \) fonksiyonunun ikinci türevini alalım.
\( y_p'' = (u_1'y_1' + u_1y_1'') + (u_2'y_2' + u_2y_2'') \)
Özel çözümü ve türevlerini orijinal denklemde yerine koyalım.
\( a_2y_p'' + a_1y_p' + a_0y_p = f(x) \)
\( a_2(u_1'y_1' + u_1y_1'' + u_2'y_2' + u_2y_2'') + a_1(u_1y_1' + u_2y_2') + a_0(u_1y_1 + u_2y_2) = f(x) \)
Terimleri düzenleyelim.
\( u_1(a_2y_1'' + a_1y_1' + a_0y_1) + u_2(a_2y_2'' + a_1y_2' + a_0y_2) + a_2(u_1'y_1' + u_2'y_2') = f(x) \)
\( y_1 \) ve \( y_2 \) denklemin tamamlayıcı çözümleridir (denklemin karşılık geldiği homojen denklemin çözümleridir), dolayısıyla ilk iki parantez ayrı ayrı sıfıra eşit olur.
\( u_1(0) + u_2(0) + a_2(u_1'y_1' + u_2'y_2') = f(x) \)
\( a_2(u_1'y_1' + u_2'y_2') = f(x) \)
\( u_1'y_1' + u_2'y_2' = \dfrac{f(x)}{a_2} \)
Bu durumda bilinmeyenleri \( u_1' \) ve \( u_2' \) olan aşağıdaki iki denklemi elde ederiz.
\( u_1'y_1 + u_2'y_2 = 0 \)
\( u_1'y_1' + u_2'y_2' = \dfrac{f(x)}{a_2} \)
Bu denklem sistemini \( u_1' \) ve \( u_2' \) bilinmeyenleri için Cramer kuralını kullanarak çözelim.
\( u_1 \) fonksiyonunu bulalım.
\( u_1' = \dfrac{\abs{\begin{matrix} 0 & y_2 \\ \frac{f(x)}{a_2} & y_2' \end{matrix}}}{\abs{\begin{matrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{matrix}}} \)
Paydadaki determinant ifadesi, \( y_1 \) ve \( y_2 \) fonksiyonlarının Wronskian'ına eşittir.
\( = \dfrac{0 \cdot y_2' - \frac{f(x)}{a_2} \cdot y_2}{W(y_1, y_2)} \)
\( = -\dfrac{y_2f(x)}{W(y_1, y_2)a_2(x)} \)
Eşitliğin taraflarının integralini alalım.
\( u_1 = -\displaystyle\int {\dfrac{y_2f(x)}{W(y_1, y_2)a_2(x)}\ dx} \)
\( u_2 \) fonksiyonunu bulalım.
\( u_2' = \dfrac{\abs{\begin{matrix} y_1 & 0 \\ y_1' & \frac{f(x)}{a_2} \end{matrix}}}{\abs{\begin{matrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{matrix}}} \)
\( = \dfrac{y_1 \cdot \frac{f(x)}{a_2} - y_1' \cdot 0}{W(y_1, y_2)} \)
\( = \dfrac{y_1f(x)}{W(y_1, y_2)a_2(x)} \)
Eşitliğin taraflarının integralini alalım.
\( u_2 = \displaystyle\int {\dfrac{y_1f(x)}{W(y_1, y_2)a_2(x)}\ dx} \)
Bu formüllerdeki \( W(y_1, y_2) \) ifadesi \( y_1 \) ve \( y_2 \) fonksiyonlarının Wronksian'ı olarak adlandırılır ve iki fonksiyon için aşağıdaki determinant ifadesi ile bulunur.
\( W(y_1, y_2) = \abs{\begin{matrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{matrix}} \)
\( = y_1y_2' - y_1'y_2 \)
\( y_1 = \cos(2x) \) ve \( y_2 = \sin(2x) \) fonksiyonlarının Wronskian'ını bulalım.
\( W(y_1, y_2) = \abs{\begin{matrix} \cos(2x) & \sin(2x) \\ -2\sin(2x) & 2\cos(2x) \end{matrix}} \)
\( = \cos(2x) \cdot 2\cos(2x) - (-2\sin(2x)) \cdot \sin(2x) \)
\( = 2\cos^2(2x) + 2\sin^2(2x) = 2 \)
\( y_1 = x^2 \) ve \( y_2 = e^{3x} \) fonksiyonlarının Wronskian'ını bulalım.
\( W(y_1, y_2) = \abs{\begin{matrix} x^2 & e^{3x} \\ 2x & 3e^{3x} \end{matrix}} \)
\( = x^2 \cdot 3e^{3x} - 2x \cdot e^{3x} \)
\( = xe^{3x}(3x - 2) \)
\( n \). mertebeden bir lineer denklem parametrelerin değişimi yöntemi ile aşağıdaki adımlar takip edilerek çözülür.
Adım 1: Tamamlayıcı çözümün bulunması
Denklemin karşılık geldiği \( L[y] = 0 \) formundaki homojen denklemin lineer bağımsız \( y_1 \) ve \( y_2 \) temel çözümleri verilmediyse ve denklem sabit katsayılı bir denklem ise tamamlayıcı çözüm önceki bölümde kullandığımız yöntem ile bulunur.
\( y_c = C_1y_1 + C_2y_2 \)
Adım 2: Özel çözümün bulunması
Yukarıda paylaştığımız formül kullanılarak \( y_1 \) ve \( y_2 \) fonksiyonlarının Wronskian'ı bulunur. Çözümlerin lineer bağımsız olduğundan emin olmak için Wronskian'ın sıfırdan farklı olduğu kontrol edilir.
Yukarıda paylaştığımız formüller kullanılarak \( u_1 \) ve \( u_2 \) fonksiyonları bulunur.
Denklemin özel çözümü aşağıdaki formda olur.
\( y_p = u_1(x)y_1 + u_2(x)y_2 \)
Denklemin genel çözümünün herhangi bir özel çözümü içermesi yeterli olduğu için, \( u_1 \) ve \( u_2 \) formüllerindeki integrallerin sonucundaki integral sabitleri gözardı edilebilir.
Adım 3: Genel çözümün bulunması
Denklemin genel çözümü, tamamlayıcı çözüm ile özel çözümün toplamından oluşur.
\( y = y_c + y_p \)
Adım 4: Başlangıç koşulları
Denklem için başlangıç koşulları verildiyse genel çözümde yerine konarak keyfi sabitler ve denklemin özel çözümü bulunur.
Parametrelerin değişimi yöntemini bir örnek üzerinde gösterelim.
\( (t - 1)y'' - ty' + y = 2(t - 1)^2e^t \)
denkleminin karşılık geldiği homojen denklemin temel çözümleri \( y_1 = t \) ve \( y_2 = e^t \) olduğuna göre, denklemin genel çözümünü bulalım.
Verilen denklem ikinci mertebeden lineer bir denklemdir.
Verilen temel çözümlere göre denklemin tamamlayıcı çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y_c = C_1t + C_2e^t \)
Denklemin özel çözümünü bulmak için parametrelerin değişimi yöntemini kullanalım.
\( y_1 \) ve \( y_2 \) denklemin karşılık geldiği homojen denklemin temel çözümleri olmak üzere, homojen olmayan denklemin özel çözümü aşağıdaki formdadır.
\( y_p = u_1y_1 + u_2y_2 \)
Fonksiyonların Wronskian'ını bulalım.
\( W(y_1, y_2) = \abs{\begin{matrix} t & e^t \\ 1 & e^t \end{matrix}} \)
\( = te^t - e^t = e^t(t - 1) \)
Fonksiyonların Wronskian'ı sıfırdan farklı olduğu için iki çözüm lineer bağımsızdır.
\( u_1 \) ve \( u_2 \) fonksiyonlarını bulalım.
\( u_1 = -\displaystyle\int {\dfrac{y_2f(t)}{W(y_1, y_2)a_2(t)}\ dt} \)
\( = -\displaystyle\int {\dfrac{e^t \cdot 2(t - 1)^2e^t}{e^t(t - 1)(t - 1)}\ dt} \)
\( = -\displaystyle\int {2e^t\ dt} \)
\( = -2e^t + C \)
\( u_2 = \displaystyle\int {\dfrac{y_1f(t)}{W(y_1, y_2)a_2(t)}\ dt} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{t \cdot 2(t - 1)^2e^t}{e^t(t - 1)(t - 1)}\ dt} \)
\( = \displaystyle\int {2t\ dt} \)
\( = t^2 + C \)
Denklemin genel çözümünün herhangi bir özel çözümü içermesi yeterli olduğu için, \( u_1 \) ve \( u_2 \) ifadelerindeki integral sabitlerini gözardı edebiliriz.
Denklemin özel çözümünü bulalım.
\( y_p = u_1y_1 + u_2y_2 \)
\( = -2e^t \cdot t + t^2 \cdot e^t \)
\( = -2te^t + t^2e^t \)
Denklemin genel çözümü, tamamlayıcı çözüm ile özel çözümün toplamından oluşur.
\( y = y_c + y_p \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y = C_1t + C_2e^t - 2te^t + t^2e^t \)
Üçüncü Mertebeden Denklemler
Parametrelerin değişimi yöntemi aşağıdaki formdaki üçüncü mertebeden lineer denklemlere de uygulanabilir.
\( a_3(x)y''' + a_2(x)y'' + a_1(x)y' + a_0(x)y = f(x) \)
\( L[y] = f(x) \)
\( ty''' - y'' - 4ty' + 4y = 3t^2e^{2t} \)
Bu durumda denklemin tamamlayıcı ve özel çözümleri aşağıdaki gibi olur.
\( C_1, C_2, C_3 \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( y_c = C_1y_1 + C_2y_2 + C_3y_3 \)
\( y_p = u_1(x)y_1 + u_2(x)y_2 + u_3(x)y_3 \)
\( u_1(x) \), \( u_2(x) \) ve \( u_3(x) \) fonksiyonları aşağıda ispatı ile birlikte verilen formüller kullanılarak bulunabilir.
\( u_1(x) = \displaystyle\int {\dfrac{W(y_2, y_3)f(x)}{W(y_1, y_2, y_3)a_3(x)}\ dx} \)
\( u_2(x) = -\displaystyle\int {\dfrac{W(y_1, y_3)f(x)}{W(y_1, y_2, y_3)a_3(x)}\ dx} \)
\( u_3(x) = \displaystyle\int {\dfrac{W(y_1, y_2)f(x)}{W(y_1, y_2, y_3)a_3(x)}\ dx} \)
İSPATI GÖSTER
Üç fonksiyonun Wronksian'ı aşağıdaki determinant ifadesi ile bulunur.
\( W(y_1, y_2, y_3) = \abs{\begin{matrix} y_1 & y_2 & y_3 \\ y_1' & y_2' & y_3' \\ y_1'' & y_2'' & y_3'' \end{matrix}} \)
\( y_1 = e^x, y_2 = e^{2x}, y_3 = e^{3x} \) fonksiyonlarının Wronskian'ını bulalım.
\( W(y_1, y_2, y_3) = \abs{\begin{matrix} y_1 & y_2 & y_3 \\ y_1' & y_2' & y_3' \\ y_1'' & y_2'' & y_3'' \end{matrix}} \)
\( = \abs{\begin{matrix} e^x & e^{2x} & e^{3x} \\ e^x & 2e^{2x} & 3e^{3x} \\ e^x & 4e^{2x} & 9e^{3x} \end{matrix}} \)
\( = e^x(2e^{2x}9e^{3x} - 4e^{2x}3e^{3x}) \)
\( - e^{2x}(e^x9e^{3x} - e^x3e^{3x}) \)
\( + e^{3x}(e^x4e^{2x} - e^x2e^{2x}) \)
\( = 0 \)
\( x \gt 0 \) olmak üzere,
\( y'' - 2y' + y = \dfrac{3e^x}{x} \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen olmayan bir lineer denklemdir.
Denklemin karşılık geldiği homojen denklemi kullanarak tamamlayıcı çözümü bulalım.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( \lambda^2 - 2\lambda + 1 = 0 \)
\( (\lambda - 1)^2 = 0 \)
Buna göre denklemin tamamlayıcı çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y_c = C_1e^x + C_2xe^x \)
Denklemin özel çözümünü bulmak için parametrelerin değişimi yöntemini kullanalım.
\( y_1 \) ve \( y_2 \) denklemin karşılık geldiği homojen denklemin temel çözümleri olmak üzere, homojen olmayan denklemin özel çözümü aşağıdaki formdadır.
\( y_p = u_1y_1 + u_2y_2 \)
\( = u_1e^x + u_2xe^x \)
Fonksiyonların Wronskian'ını bulalım.
\( W(y_1, y_2) = \abs{\begin{matrix} e^x & xe^x \\ e^x & e^x + xe^x \end{matrix}} \)
\( = e^{2x} + xe^{2x} - xe^{2x} \)
\( = e^{2x} \)
Fonksiyonların Wronskian'ı sıfırdan farklı olduğu için iki çözüm bağımsız fonksiyonlardır.
\( u_1 \) ve \( u_2 \) fonksiyonlarını bulalım.
\( u_1 = -\displaystyle\int {\dfrac{y_2(x)f(x)}{W(y_1, y_2)a_2(x)}\ dx} \)
\( = -\displaystyle\int {\dfrac{xe^x \cdot \frac{3e^x}{x}}{e^{2x} \cdot 1}\ dx} \)
\( = -\displaystyle\int {3\ dx} \)
\( = -3x + C \)
\( u_2 = \displaystyle\int {\dfrac{y_1(x)f(x)}{W(y_1, y_2)a_2(x)}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{e^x \cdot \frac{3e^x}{x}}{e^{2x} \cdot 1}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{3}{x}\ dx} \)
\( = 3\ln{\abs{x}} + C \)
\( x \gt 0 \) olarak veriliyor.
\( = 3\ln{x} + C \)
Denklemin genel çözümünün herhangi bir özel çözümü içermesi yeterli olduğu için, \( u_1 \) ve \( u_2 \) ifadelerindeki integral sabitlerini gözardı edebiliriz.
Denklemin özel çözümünü bulalım.
\( y_p = u_1y_1 + u_2y_2 \)
\( = -3x \cdot e^x + 3\ln{x} \cdot xe^x \)
\( = -3xe^x + 3xe^x\ln{x} \)
Denklemin genel çözümü, tamamlayıcı çözüm ile özel çözümün toplamından oluşur.
\( y = y_c + y_p \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y = C_1e^x + C_2xe^x - 3xe^x + 3xe^x\ln{x} \)
\( t \gt 0 \) olmak üzere,
\( t^2y'' - 6ty' + 10y = t^2 + 1 \)
denkleminin karşılık geldiği homojen denklemin temel çözümleri \( y_1 = t^5 \) ve \( y_2 = t^2 \) olduğuna göre, denklemin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem ikinci mertebeden bir lineer denklemdir.
Verilen temel çözümlere göre denklemin tamamlayıcı çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y_c = C_1t^5 + C_2t^2 \)
Denklemin özel çözümünü bulmak için parametrelerin değişimi yöntemini kullanalım.
\( y_1 \) ve \( y_2 \) denklemin karşılık geldiği homojen denklemin temel çözümleri olmak üzere, homojen olmayan denklemin özel çözümü aşağıdaki formdadır.
\( y_p = u_1y_1 + u_2y_2 \)
\( = u_1t^5 + u_2t^2 \)
Fonksiyonların Wronskian'ını bulalım.
\( W(y_1, y_2) = \abs{\begin{matrix} t^5 & t^2 \\ 5t^4 & 2t \end{matrix}} \)
\( = 2t^6 - 5t^6 \)
\( = -3t^6 \)
Fonksiyonların Wronskian'ı sıfırdan farklı olduğu için iki çözüm bağımsız fonksiyonlardır.
\( u_1 \) ve \( u_2 \) fonksiyonlarını bulalım.
\( u_1 = -\displaystyle\int {\dfrac{y_2(t)f(t)}{W(y_1, y_2)a_2(t)}\ dt} \)
\( = -\displaystyle\int {\dfrac{t^2 \cdot (t^2 + 1)}{-3t^6 \cdot t^2}\ dt} \)
\( = \displaystyle\int {\left( \dfrac{1}{3t^4} + \dfrac{1}{3t^6} \right)\ dt} \)
\( = -\dfrac{1}{9t^3} - \dfrac{1}{15t^5} + C \)
\( u_2 = \displaystyle\int {\dfrac{y_1(t)f(t)}{W(y_1, y_2)a_2(t)}\ dt} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{t^5 \cdot (t^2 + 1)}{-3t^6 \cdot t^2}\ dt} \)
\( = -\displaystyle\int {\left( \dfrac{1}{3t} + \dfrac{1}{3t^3} \right)\ dt} \)
\( = -\dfrac{1}{3}\ln{\abs{t}} - \dfrac{1}{6t^2} + C \)
\( t \gt 0 \) olarak veriliyor.
\( = -\dfrac{1}{3}\ln{t} - \dfrac{1}{6t^2} + C \)
Denklemin genel çözümünün herhangi bir özel çözümü içermesi yeterli olduğu için, \( u_1 \) ve \( u_2 \) ifadelerindeki integral sabitlerini gözardı edebiliriz.
Denklemin özel çözümünü bulalım.
\( y_p = u_1y_1 + u_2y_2 \)
\( = \left( -\dfrac{1}{9t^3} - \dfrac{1}{15t^5} \right) \cdot t^5 + \left( -\dfrac{1}{3}\ln{t} - \dfrac{1}{6t^2} \right) \cdot t^2 \)
\( = -\dfrac{1}{9}t^2 - \dfrac{1}{15} - \dfrac{1}{3}t^2\ln{t} - \dfrac{1}{6} \)
\( = -\dfrac{1}{9}t^2 - \dfrac{1}{3}t^2\ln{t} - \dfrac{7}{30} \)
Denklemin genel çözümü, tamamlayıcı çözüm ile özel çözümün toplamından oluşur.
\( y = y_c + y_p \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y = C_1t^5 + C_2t^2 - \dfrac{1}{9}t^2 - \dfrac{1}{3}t^2\ln{t} - \dfrac{7}{30} \)
\( t\dfrac{d^2x}{dt^2} + (6t - 1)\dfrac{dx}{dt} - 6x = t^2e^{-6t} \)
denkleminin karşılık geldiği homojen denklemin temel çözümleri \( y_1 = 6t - 1 \) ve \( y_2 = e^{-6t} \) olduğuna göre, denklemin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem ikinci mertebeden bir lineer denklemdir.
Verilen temel çözümlere göre denklemin tamamlayıcı çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y_c = C_1(6t - 1) + C_2e^{-6t} \)
Denklemin özel çözümünü bulmak için parametrelerin değişimi yöntemini kullanalım.
\( y_1 \) ve \( y_2 \) denklemin karşılık geldiği homojen denklemin temel çözümleri olmak üzere, homojen olmayan denklemin özel çözümü aşağıdaki formdadır.
\( y_p = u_1y_1 + u_2y_2 \)
\( = u_1(6t - 1) + u_2e^{-6t} \)
Fonksiyonların Wronskian'ını bulalım.
\( W(y_1, y_2) = \abs{\begin{matrix} 6t - 1 & e^{-6t} \\ 6 & -6e^{-6t} \end{matrix}} \)
\( = -36te^{-6t} + 6e^{-6t} - 6e^{-6t} \)
\( = -36te^{-6t} \)
Fonksiyonların Wronskian'ı sıfırdan farklı olduğu için iki çözüm bağımsız fonksiyonlardır.
\( u_1 \) ve \( u_2 \) fonksiyonlarını bulalım.
\( u_1 = -\displaystyle\int {\dfrac{y_2(t)f(t)}{W(y_1, y_2)a_2(t)}\ dt} \)
\( = -\displaystyle\int {\dfrac{e^{-6t} \cdot t^2e^{-6t}}{-36te^{-6t} \cdot t}\ dt} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{e^{-6t}}{36}\ dt} \)
\( = -\dfrac{e^{-6t}}{216} + C \)
\( u_2 = \displaystyle\int {\dfrac{y_1(t)f(t)}{W(y_1, y_2)a_2(t)}\ dt} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{(6t - 1)t^2 \cdot e^{-6t}}{-36te^{-6t} \cdot t}\ dt} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{1 - 6t}{36}\ dt} \)
\( = \dfrac{t}{36} - \dfrac{t^2}{12} + C \)
Denklemin genel çözümünün herhangi bir özel çözümü içermesi yeterli olduğu için, \( u_1 \) ve \( u_2 \) ifadelerindeki integral sabitlerini gözardı edebiliriz.
Denklemin özel çözümünü bulalım.
\( y_p = u_1y_1 + u_2y_2 \)
\( = \left( -\dfrac{e^{-6t}}{216} \right) \cdot (6t - 1) + \left( \dfrac{t}{36} - \dfrac{t^2}{12} \right) \cdot e^{-6t} \)
\( = \dfrac{e^{-6t}}{216} - \dfrac{te^{-6t}}{36} + \dfrac{te^{-6t}}{36} - \dfrac{t^2e^{-6t}}{12} \)
\( = \dfrac{e^{-6t}}{216} - \dfrac{t^2e^{-6t}}{12} \)
Denklemin genel çözümü, tamamlayıcı çözüm ile özel çözümün toplamından oluşur.
\( y = y_c + y_p \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y = C_1(6t - 1) + C_2e^{-6t} + \dfrac{e^{-6t}}{216} - \dfrac{t^2e^{-6t}}{12} \)
\( (x^2 - 4)y'' - 2xy' + 2y = (x^2 - 4)^2 \)
\( y(0) = 8, \quad y'(0) = 1 \)
denkleminin karşılık geldiği homojen denklemin temel çözümleri \( y_1 = x \) ve \( y_2 = x^2 + 4 \) olduğuna göre, denkleminin verilen başlangıç değerleri için çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem ikinci mertebeden bir lineer denklemdir.
Verilen temel çözümlere göre denklemin tamamlayıcı çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y_c = C_1x + C_2(x^2 + 4) \)
Denklemin özel çözümünü bulmak için parametrelerin değişimi yöntemini kullanalım.
\( y_1 \) ve \( y_2 \) denklemin karşılık geldiği homojen denklemin temel çözümleri olmak üzere, homojen olmayan denklemin özel çözümü aşağıdaki formdadır.
\( y_p = u_1y_1 + u_2y_2 \)
\( = u_1x + u_2(x^2 + 4) \)
Fonksiyonların Wronskian'ını bulalım.
\( W(y_1, y_2) = \abs{\begin{matrix} x & x^2 + 4 \\ 1 & 2x \end{matrix}} \)
\( = 2x^2 - x^2 - 4 \)
\( = x^2 - 4 \)
Fonksiyonların Wronskian'ı sıfırdan farklı olduğu için iki çözüm bağımsız fonksiyonlardır.
\( u_1 \) ve \( u_2 \) fonksiyonlarını bulalım.
\( u_1 = -\displaystyle\int {\dfrac{y_2(x)f(x)}{W(y_1, y_2)a_2(x)}\ dx} \)
\( = -\displaystyle\int {\dfrac{(x^2 + 4) \cdot (x^2 - 4)^2}{(x^2 - 4) \cdot (x^2 - 4)}\ dx} \)
\( = -\displaystyle\int {(x^2 + 4)\ dx} \)
\( = -\dfrac{x^3}{3} - 4x + C \)
\( u_2 = \displaystyle\int {\dfrac{y_1(x)f(x)}{W(y_1, y_2)a_2(x)}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{x \cdot (x^2 - 4)^2}{(x^2 - 4) \cdot (x^2 - 4)}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {x\ dx} \)
\( = \dfrac{x^2}{2} + C \)
Denklemin genel çözümünün herhangi bir özel çözümü içermesi yeterli olduğu için, \( u_1 \) ve \( u_2 \) ifadelerindeki integral sabitlerini gözardı edebiliriz.
Denklemin özel çözümünü bulalım.
\( y_p = u_1y_1 + u_2y_2 \)
\( = \left( -\dfrac{x^3}{3} - 4x \right) \cdot x + \dfrac{x^2}{2} \cdot (x^2 + 4) \)
\( = -\dfrac{x^4}{3} - 4x^2 + \dfrac{x^4}{2} + 2x^2 \)
\( = \dfrac{x^4}{6} - 2x^2 \)
Denklemin genel çözümü, tamamlayıcı çözüm ile özel çözümün toplamından oluşur.
\( y = y_c + y_p \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y = C_1x + C_2(x^2 + 4) + \dfrac{x^4}{6} - 2x^2 \)
\( y(0) = 8, y'(0) = 1 \) başlangıç değerlerini denklemlerde yerine koyalım.
\( y' = C_1 + 2C_2x + \dfrac{2x^3}{3} - 4x \)
\( \begin{cases} 8 = C_1(0) + C_2(0^2 + 4)^2 + \dfrac{0^4}{6} - 2(0)^2 \\ 1 = C_1 + 2C_2(0) + \dfrac{2(0)^3}{3} - 4(0) \end{cases} \)
\( \begin{cases} 8 = 16C_2 \\ 1 = C_1 \end{cases} \)
\( C_1 = 1, \quad C_2 = \dfrac{1}{2} \)
Denklemin verilen başlangıç değerleri için çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y = x + \dfrac{1}{2}(x^2 + 4) + \dfrac{x^4}{6} - 2x^2 \)
\( y'' + 9y = 18\tan(3x) \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen olmayan bir lineer denklemdir.
Denklemin karşılık geldiği homojen denklemi kullanarak tamamlayıcı çözümü bulalım.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( \lambda^2 + 9 = 0 \)
\( (\lambda - 3i)(\lambda + 3i) = 0 \)
Buna göre denklemin tamamlayıcı çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y_c = C_1\cos(3x) + C_2\sin(3x) \)
Denklemin özel çözümünü bulmak için parametrelerin değişimi yöntemini kullanalım.
\( y_1 \) ve \( y_2 \) denklemin karşılık geldiği homojen denklemin temel çözümleri olmak üzere, homojen olmayan denklemin özel çözümü aşağıdaki formdadır.
\( y_p = u_1y_1 + u_2y_2 \)
Fonksiyonların Wronskian'ını bulalım.
\( W(y_1, y_2) = \abs{\begin{matrix} \cos(3x) & \sin(3x) \\ -3\sin(3x) & 3\cos(3x) \end{matrix}} \)
\( = 3\cos^2(3x) - (-3\sin^2(3x)) \)
\( = 3 \)
Fonksiyonların Wronskian'ı sıfırdan farklı olduğu için iki çözüm bağımsız fonksiyonlardır.
\( u_1 \) ve \( u_2 \) fonksiyonlarını bulalım.
\( u_1 = -\displaystyle\int {\dfrac{y_2(x)f(x)}{W(y_1, y_2)a_2(x)}\ dx} \)
\( = -\displaystyle\int {\dfrac{\sin(3x) \cdot 18\tan(3x)}{3 \cdot 1}\ dx} \)
\( = -\displaystyle\int {\dfrac{6\sin^2(3x)}{\cos(3x)}\ dx} \)
\( = -6\displaystyle\int {\dfrac{1 - \cos^2(3x)}{\cos(3x)}\ dx} \)
\( = 6\displaystyle\int {(\cos(3x) - \sec(3x))\ dx} \)
\( = 2\sin(3x) - 2\ln{\abs{\sec(3x) + \tan(3x)}} + C \)
\( u_2 = \displaystyle\int {\dfrac{y_1(x)f(x)}{W(y_1, y_2)a_2(x)}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{\cos(3x) \cdot 18\tan(3x)}{3 \cdot 1}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {6\sin(3x)\ dx} \)
\( = -2\cos(3x) + C \)
Denklemin genel çözümünün herhangi bir özel çözümü içermesi yeterli olduğu için, \( u_1 \) ve \( u_2 \) ifadelerindeki integral sabitlerini gözardı edebiliriz.
Denklemin özel çözümünü bulalım.
\( y_p = u_1y_1 + u_2y_2 \)
\( = \left( 2\sin(3x) - 2\ln{\abs{\sec(3x) + \tan(3x)}} \right) \cdot \cos(3x) - 2\cos(3x) \cdot \sin(3x) \)
\( = 2\sin(3x)\cos(3x) - 2\cos(3x)\ln{\abs{\sec(3x) + \tan(3x)}} - 2\cos(3x)\sin(3x) \)
\( = -2\cos(3x)\ln{\abs{\sec(3x) + \tan(3x)}} \)
Denklemin genel çözümü, tamamlayıcı çözüm ile özel çözümün toplamından oluşur.
\( y = y_c + y_p \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y = C_1\cos(3x) + C_2\sin(3x) - 2\cos(3x)\ln{\abs{\sec(3x) + \tan(3x)}} \)
\( y'' + 4y = 4\sec(2x) \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen olmayan bir lineer denklemdir.
Denklemin karşılık geldiği homojen denklemi kullanarak tamamlayıcı çözümü bulalım.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( \lambda^2 + 4 = 0 \)
\( (\lambda - 2i)(\lambda + 2i) = 0 \)
Buna göre denklemin tamamlayıcı çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y_c = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) \)
Denklemin özel çözümünü bulmak için parametrelerin değişimi yöntemini kullanalım.
\( y_1 \) ve \( y_2 \) denklemin karşılık geldiği homojen denklemin temel çözümleri olmak üzere, homojen olmayan denklemin özel çözümü aşağıdaki formdadır.
\( y_p = u_1y_1 + u_2y_2 \)
\( = u_1\cos(2x) + u_2\sin(2x) \)
Fonksiyonların Wronskian'ını bulalım.
\( W(y_1, y_2) = \abs{\begin{matrix} \cos(2x) & \sin(2x) \\ -2\sin(2x) & 2\cos(2x) \end{matrix}} \)
\( = 2\cos^2(2x) - (-2\sin^2(2x)) \)
\( = 2 \)
Fonksiyonların Wronskian'ı sıfırdan farklı olduğu için iki çözüm bağımsız fonksiyonlardır.
\( u_1 \) ve \( u_2 \) fonksiyonlarını bulalım.
\( u_1 = -\displaystyle\int {\dfrac{y_2(x)f(x)}{W(y_1, y_2)a_2(x)}\ dx} \)
\( = -\displaystyle\int {\dfrac{\sin(2x) \cdot 4\sec(2x)}{2 \cdot 1}\ dx} \)
\( = -\displaystyle\int {\dfrac{2\sin(2x)}{\cos(2x)}\ dx} \)
\( = -(-\ln{\abs{\cos(2x)}} + C_1) \)
\( = \ln{\abs{\cos(2x)}} + C \)
\( u_2 = \displaystyle\int {\dfrac{y_1(x)f(x)}{W(y_1, y_2)a_2(x)}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{\cos(2x) \cdot 4\sec(2x)}{2 \cdot 1}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {2\ dx} \)
\( = 2x + C \)
Denklemin genel çözümünün herhangi bir özel çözümü içermesi yeterli olduğu için, \( u_1 \) ve \( u_2 \) ifadelerindeki integral sabitlerini gözardı edebiliriz.
Denklemin özel çözümünü bulalım.
\( y_p = u_1y_1 + u_2y_2 \)
\( = \ln{\abs{\cos(2x)}} \cdot \cos(2x) + 2x \cdot \sin(2x) \)
\( = \cos(2x)\ln{\abs{\cos(2x)}} + 2x\sin(2x) \)
Denklemin genel çözümü, tamamlayıcı çözüm ile özel çözümün toplamından oluşur.
\( y = y_c + y_p \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) + \cos(2x)\ln{\abs{\cos(2x)}} + 2x\sin(2x) \)
\( x \gt 0 \) olmak üzere,
\( x^3z''' - 4x^2z'' + 8xz' - 8z = \dfrac{1}{x} \)
denkleminin karşılık geldiği homojen denklemin temel çözümleri \( z_1 = x, z_2 = x^2, z_3 = x^4 \) olduğuna göre, denklemin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem üçüncü mertebeden bir lineer denklemdir.
Verilen temel çözümlere göre denklemin tamamlayıcı çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( z_c = C_1x + C_2x^2 + C_3x^4 \)
Denklemin özel çözümünü bulmak için parametrelerin değişimi yöntemini kullanalım.
\( y_1 \) ve \( y_2 \) denklemin karşılık geldiği homojen denklemin temel çözümleri olmak üzere, homojen olmayan denklemin özel çözümü aşağıdaki formdadır.
\( z_p = u_1z_1 + u_2z_2 + u_3z_3 \)
\( = u_1x + u_2x^2 + u_3x^4 \)
Fonksiyonların Wronskian'ını bulalım.
\( W(z_1, z_2, z_3) = \abs{\begin{matrix} x & x^2 & x^4 \\ 1 & 2x & 4x^3 \\ 0 & 2 & 12x^2 \end{matrix}} \)
\( = x(24x^3 - 8x^3) - 1(12x^4 - 2x^4) + 0(4x^5 - 2x^5) \)
\( = 16x^4 - 10x^4 \)
\( = 6x^4 \)
Fonksiyonların Wronskian'ı sıfırdan farklı olduğu için üç çözüm bağımsız fonksiyonlardır.
\( W(z_1, z_2) = \abs{\begin{matrix} x & x^2 \\ 1 & 2x \end{matrix}} \)
\( = 2x^2 - x^2 \)
\( = x^2 \)
\( W(z_1, z_3) = \abs{\begin{matrix} x & x^4 \\ 1 & 4x^3 \end{matrix}} \)
\( = 4x^4 - x^4 \)
\( = 3x^4 \)
\( W(z_2, z_3) = \abs{\begin{matrix} x^2 & x^4 \\ 2x & 4x^3 \end{matrix}} \)
\( = 4x^5 - 2x^5 \)
\( = 2x^5 \)
\( u_1, u_2 \) ve \( u_3 \) fonksiyonlarını bulalım.
\( u_1 = \displaystyle\int {\dfrac{W(z_2, z_3)f(x)}{W(z_1, z_2, z_3)a_3(x)}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{2x^5 \cdot x^{-1}}{6x^4 \cdot x^3}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{1}{3x^3}\ dx} \)
\( = -\dfrac{1}{6x^2} + C \)
\( u_2 = -\displaystyle\int {\dfrac{W(z_1, z_3)f(x)}{W(z_1, z_2, z_3)a_3(x)}\ dx} \)
\( = -\displaystyle\int {\dfrac{3x^4 \cdot x^{-1}}{6x^4 \cdot x^3}\ dx} \)
\( = -\displaystyle\int {\dfrac{1}{2x^4}\ dx} \)
\( = \dfrac{1}{6x^3} + C \)
\( u_3 = \displaystyle\int {\dfrac{W(z_1, z_2)f(x)}{W(z_1, z_2, z_3)a_3(x)}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{x^2 \cdot x^{-1}}{6x^4 \cdot x^3}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{1}{6x^6}\ dx} \)
\( = -\dfrac{1}{30x^5} + C \)
Denklemin genel çözümünün herhangi bir özel çözümü içermesi yeterli olduğu için, \( u_1, u_2 \) ve \( u_3 \) ifadelerindeki integral sabitlerini gözardı edebiliriz.
Denklemin özel çözümünü bulalım.
\( z_p = u_1z_1 + u_2z_2 + u_3z_3 \)
\( = -\dfrac{1}{6x^2} \cdot x + \dfrac{1}{6x^3} \cdot x^2 - \dfrac{1}{30x^5} \cdot x^4 \)
\( = -\dfrac{1}{6x} + \dfrac{1}{6x} - \dfrac{1}{30x} \)
\( = -\dfrac{1}{30x} \)
Denklemin genel çözümü, tamamlayıcı çözüm ile özel çözümün toplamından oluşur.
\( z = z_c + z_p \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( z = C_1x + C_2x^2 + C_3x^4 - \dfrac{1}{30x} \)
\( x \gt 0 \) olmak üzere,
\( x^3\dfrac{d^3y}{dx^3} - 2x^2\dfrac{d^2y}{dx^2} + 3x\dfrac{dy}{dx} - 3y = x^3 \)
denkleminin karşılık geldiği homojen denklemin temel çözümleri \( y_1 = x, y_2 = x^3, y_3 = x\ln{x} \) olduğuna göre, denklemin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem üçüncü mertebeden bir lineer denklemdir.
Verilen temel çözümlere göre denklemin tamamlayıcı çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y_c = C_1x + C_2x^3 + C_3x\ln{x} \)
Denklemin özel çözümünü bulmak için parametrelerin değişimi yöntemini kullanalım.
\( y_1 \) ve \( y_2 \) denklemin karşılık geldiği homojen denklemin temel çözümleri olmak üzere, homojen olmayan denklemin özel çözümü aşağıdaki formdadır.
\( y_p = u_1y_1 + u_2y_2 + u_3y_3 \)
\( = u_1x + u_2x^3 + u_3x\ln{x} \)
Fonksiyonların Wronskian'ını bulalım.
\( W(y_1, y_2, y_3) = \abs{\begin{matrix} x & x^3 & x\ln{x} \\ 1 & 3x^2 & \ln{x} + 1 \\ 0 & 6x & \frac{1}{x} \end{matrix}} \)
\( = x(3x^2 \cdot \dfrac{1}{x} - 6x \cdot (\ln{x} + 1)) - 1(x^3 \cdot \dfrac{1}{x} - 6x \cdot x\ln{x}) + 0 \)
\( = -4x^2 \)
Fonksiyonların Wronskian'ı sıfırdan farklı olduğu için iki çözüm bağımsız fonksiyonlardır.
\( W(y_1, y_2) = \abs{\begin{matrix} x & x^3 \\ 1 & 3x^2 \end{matrix}} \)
\( = x \cdot 3x^2 - 1 \cdot x^3 \)
\( = 2x^3 \)
\( W(y_1, y_3) = \abs{\begin{matrix} x & x\ln{x} \\ 1 & \ln{x} + 1 \end{matrix}} \)
\( = x \cdot (\ln{x} + 1)) - 1 \cdot x\ln{x} \)
\( = x \)
\( W(y_2, y_3) = \abs{\begin{matrix} x^3 & x\ln{x} \\ 3x^2 & \ln{x} + 1 \end{matrix}} \)
\( = x^3 \cdot (\ln{x} + 1) - 3x^2 \cdot x\ln{x} \)
\( = x^3(1 - 2\ln{x}) \)
\( u_1, u_2 \) ve \( u_3 \) fonksiyonlarını bulalım.
\( u_1 = \displaystyle\int {\dfrac{W(y_2, y_3)f(x)}{W(y_1, y_2, y_3)a_3(x)}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{x^3(1 - 2\ln{x}) \cdot x^3}{-4x^2 \cdot x^3}\ dx} \)
\( = -\dfrac{1}{4}\displaystyle\int {(x - 2x\ln{x})\ dx} \)
\( = -\dfrac{1}{8}x^2 + \dfrac{1}{4}\displaystyle\int {2x\ln{x}\ dx} \)
Eşitliğin sağ tarafındaki ifadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( w \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( w = \ln{x} \)
\( dv = 2x\ dx \)
Buna göre \( dw \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( dw = \dfrac{1}{x}\ dx \)
\( v = x^2 \)
Bu ifadeleri \( \int {w\ dv} = wv - \int {v\ dw} \) kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( = -\dfrac{1}{8}x^2 + \dfrac{1}{4}(x^2\ln{x} - \displaystyle\int {x\ dx}) \)
\( = -\dfrac{1}{8}x^2 + \dfrac{1}{4}x^2\ln{x} - \dfrac{1}{8}x^2 + C \)
\( = \dfrac{1}{4}x^2\ln{x} - \dfrac{1}{4}x^2 + C \)
\( u_2 = -\displaystyle\int {\dfrac{W(y_1, y_3)f(x)}{W(y_1, y_2, y_3)a_3(x)}\ dx} \)
\( = -\displaystyle\int {\dfrac{x \cdot x^3}{-4x^2 \cdot x^3}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{1}{4x}\ dx} \)
\( = \dfrac{1}{4}\ln{\abs{x}} + C \)
\( x \gt 0 \) olarak veriliyor.
\( = \dfrac{1}{4}\ln{x} + C \)
\( u_3 = \displaystyle\int {\dfrac{W(y_1, y_2)f(x)}{W(y_1, y_2, y_3)a_3(x)}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{2x^3 \cdot x^3}{-4x^2 \cdot x^3}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {-\dfrac{1}{2}x\ dx} \)
\( = -\dfrac{1}{4}x^2 + C \)
Denklemin genel çözümünün herhangi bir özel çözümü içermesi yeterli olduğu için, \( u_1, u_2 \) ve \( u_3 \) ifadelerindeki integral sabitlerini gözardı edebiliriz.
Denklemin özel çözümünü bulalım.
\( y_p = u_1y_1 + u_2y_2 + u_3y_3 \)
\( = \left( \dfrac{1}{4}x^2\ln{x} - \dfrac{1}{4}x^2 \right) \cdot x + \dfrac{1}{4}\ln{x} \cdot x^3 - \dfrac{1}{4}x^2 \cdot x\ln{x} \)
\( = \dfrac{1}{4}x^3\ln{x} - \dfrac{1}{4}x^3 \)
Denklemin genel çözümü, tamamlayıcı çözüm ile özel çözümün toplamından oluşur.
\( y = y_c + y_p \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y = C_1x + C_2x^3 + C_3x\ln{x} + \dfrac{1}{4}x^3\ln{x} - \dfrac{1}{4}x^3 \)
\( \dfrac{d^3y}{d\theta^3} + \dfrac{dy}{d\theta} = 5\sec{\theta}\tan{\theta} \)
\( y(0) = 0, \quad y'(0) = 3, \quad y''(0) = -1 \)
denkleminin verilen başlangıç değerleri için çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sabit katsayılı homojen olmayan bir lineer denklemdir.
Denklemin karşılık geldiği homojen denklemi kullanarak tamamlayıcı çözümü bulalım.
Denklemin karakteristik denklemini yazalım.
\( \lambda^3 + \lambda = 0 \)
\( \lambda(\lambda^2 + 1) = 0 \)
\( \lambda(\lambda - i)(\lambda + i) = 0 \)
Buna göre denklemin tamamlayıcı çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y_c = C_1 + C_2\cos{\theta} + C_3\sin{\theta} \)
Denklemin özel çözümünü bulmak için parametrelerin değişimi yöntemini kullanalım.
\( y_1 \) ve \( y_2 \) denklemin karşılık geldiği homojen denklemin temel çözümleri olmak üzere, homojen olmayan denklemin özel çözümü aşağıdaki formdadır.
\( y_p = u_1y_1 + u_2y_2 + u_3y_3 \)
\( = u_1 + u_2\cos{\theta} + u_3\sin{\theta} \)
Fonksiyonların Wronskian'ını bulalım.
\( W(y_1, y_2, y_3) = \abs{\begin{matrix} 1 & \cos{\theta} & \sin{\theta} \\ 0 & -\sin{\theta} & \cos{\theta} \\ 0 & -\cos{\theta} & -\sin{\theta} \end{matrix}} \)
\( = 1(\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta}) + 0 + 0 \)
\( = 1 \)
Fonksiyonların Wronskian'ı sıfırdan farklı olduğu için üç çözüm bağımsız fonksiyonlardır.
\( W(y_1, y_2) = \abs{\begin{matrix} 1 & \cos{\theta} \\ 0 & -\sin{\theta} \end{matrix}} \)
\( = -1\sin{\theta} - 0\cos{\theta} \)
\( = -\sin{\theta} \)
\( W(y_1, y_3) = \abs{\begin{matrix} 1 & \sin{\theta} \\ 0 & \cos{\theta} \end{matrix}} \)
\( = 1\cos{\theta} - 0\sin{\theta} \)
\( = \cos{\theta} \)
\( W(y_2, y_3) = \abs{\begin{matrix} \cos{\theta} & \sin{\theta} \\ -\sin{\theta} & \cos{\theta} \end{matrix}} \)
\( = \cos^2{\theta} + \sin^2{\theta} \)
\( = 1 \)
\( u_1, u_2 \) ve \( u_3 \) fonksiyonlarını bulalım.
\( u_1 = \displaystyle\int {\dfrac{W(y_2, y_3)f(\theta)}{W(y_1, y_2, y_3)a_3(\theta)}\ d\theta} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{1 \cdot 5\sec{\theta}\tan{\theta}}{1 \cdot 1}\ d\theta} \)
\( = \displaystyle\int {5\sec{\theta}\tan{\theta}\ d\theta} \)
\( = 5\sec{\theta} + C \)
\( u_2 = -\displaystyle\int {\dfrac{W(y_1, y_3)f(\theta)}{W(y_1, y_2, y_3)a_3(\theta)}\ d\theta} \)
\( = -\displaystyle\int {\dfrac{\cos{\theta} \cdot 5\sec{\theta}\tan{\theta}}{1 \cdot 1}\ d\theta} \)
\( = -\displaystyle\int {5\tan{\theta}\ d\theta} \)
\( = 5\ln{\abs{\cos{\theta}}} + C \)
\( u_3 = \displaystyle\int {\dfrac{W(y_1, y_2)f(\theta)}{W(y_1, y_2, y_3)a_3(\theta)}\ d\theta} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{-\sin{\theta} \cdot 5\sec{\theta}\tan{\theta}}{1 \cdot 1}\ d\theta} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{-5\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}}\ d\theta} \)
\( = -5\displaystyle\int {\dfrac{1 - \cos^2{\theta}}{\cos^2{\theta}}\ d\theta} \)
\( = -5\displaystyle\int {(\sec^2{\theta} - 1)\ d\theta} \)
\( = 5\theta - 5\tan{\theta} + C \)
Denklemin genel çözümünün herhangi bir özel çözümü içermesi yeterli olduğu için, \( u_1, u_2 \) ve \( u_3 \) ifadelerindeki integral sabitlerini gözardı edebiliriz.
Denklemin özel çözümünü bulalım.
\( y_p = u_1y_1 + u_2y_2 + u_3y_3 \)
\( = 5\sec{\theta} \cdot 1 + 5\ln{\abs{\cos{\theta}}} \cdot \cos{\theta} + (5\theta - 5\tan{\theta}) \cdot \sin{\theta} \)
\( = 5\sec{\theta} + 5\cos{\theta}\ln{\abs{\cos{\theta}}} + 5\theta\sin{\theta} - 5\sec{\theta}\sin^2{\theta} \)
\( = 5\sec{\theta}(1 - \sin^2{\theta}) + 5\cos{\theta}\ln{\abs{\cos{\theta}}} + 5\theta\sin{\theta} \)
\( = 5\sec{\theta}\cos^2{\theta} + 5\cos{\theta}\ln{\abs{\cos{\theta}}} + 5\theta\sin{\theta} \)
\( = 5\cos{\theta} + 5\cos{\theta}\ln{\abs{\cos{\theta}}} + 5\theta\sin{\theta} \)
Denklemin genel çözümü, tamamlayıcı çözüm ile özel çözümün toplamından oluşur.
\( y = y_c + y_p \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y = C_1 + C_2\cos{\theta} + C_3\sin{\theta} + 5\cos{\theta} + 5\cos{\theta}\ln{\abs{\cos{\theta}}} + 5\theta\sin{\theta} \)
\( y(0) = 0, y'(0) = 3, y''(0) = -1 \) başlangıç değerlerini denklemlerde yerine koyalım.
\( y' = -C_2\sin{\theta} + C_3\cos{\theta} - 5\sin{\theta} - 5\sin{\theta}\ln{\abs{\cos{\theta}}} + 5\theta\cos{\theta} \)
\( y'' = -C_2\cos{\theta} - C_3\sin{\theta} - 5\cos{\theta}\ln{\abs{\cos{\theta}}} + 5\sin^2{\theta}\sec{\theta} - 5\theta\sin{\theta} \)
\( \begin{cases} 0 = C_1 + C_2\cos(0) + C_3\sin(0) + 5\cos(0) + 5\cos(0)\ln{\abs{\cos(0)}} + 5(0)\sin(0) \\ 3 = -C_2\sin(0) + C_3\cos(0) - 5\sin(0) - 5\sin(0)\ln{\abs{\cos(0)}} + 5(0)\cos(0) \\ -1 = -C_2\cos(0) - C_3\sin(0) - 5\cos(0)\ln{\abs{\cos(0)}} + 5\sin^2(0)\sec(0) - 5(0)\sin(0) \end{cases} \)
\( \begin{cases} 0 = C_1 + C_2 + 5 \\ 3 = C_3 \\ -1 = -C_2 \end{cases} \)
\( C_1 = -6, \quad C_2 = 1, \quad C_3 = 3 \)
Denklemin verilen başlangıç değerleri için çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y = -6 + \cos{\theta} + 3\sin{\theta} + 5\cos{\theta} + 5\cos{\theta}\ln{\abs{\cos{\theta}}} + 5\theta\sin{\theta} \)
\( t \gt 0 \) olmak üzere,
\( t^2\dfrac{d^2z}{dt^2} - 5t\dfrac{dz}{dt} + 9z = t^2\ln{t} \)
denkleminin karşılık geldiği homojen denklemin temel çözümleri \( z_1 = t^3\ln{t} \) ve \( z_2 = t^3 \) olduğuna göre, denklemin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem ikinci mertebeden bir lineer denklemdir.
Verilen temel çözümlere göre denklemin tamamlayıcı çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( z_c = C_1t^3\ln{t} + C_2t^3 \)
Denklemin özel çözümünü bulmak için parametrelerin değişimi yöntemini kullanalım.
\( y_1 \) ve \( y_2 \) denklemin karşılık geldiği homojen denklemin temel çözümleri olmak üzere, homojen olmayan denklemin özel çözümü aşağıdaki formdadır.
\( z_p = u_1z_1 + u_2z_2 \)
Fonksiyonların Wronskian'ını bulalım.
\( W(z_1, z_2) = \abs{\begin{matrix} t^3\ln{t} & t^3 \\ 3t^2\ln{t} + t^2 & 3t^2 \end{matrix}} \)
\( = 3t^5\ln{t} - 3t^5\ln{t} - t^5 \)
\( = -t^5 \)
Fonksiyonların Wronskian'ı sıfırdan farklı olduğu için iki çözüm bağımsız fonksiyonlardır.
\( u_1 \) ve \( u_2 \) fonksiyonlarını bulalım.
\( u_1 = -\displaystyle\int {\dfrac{z_2(t)f(t)}{W(z_1, z_2)a_2(t)}\ dt} \)
\( = -\displaystyle\int {\dfrac{t^3 \cdot t^2\ln{t}}{-t^5 \cdot t^2}\ dt} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{\ln{t}}{t^2}\ dt} \)
Eşitliğin sağ tarafındaki ifadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( w \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( w = \ln{t} \)
\( dv = \dfrac{1}{t^2}\ dt \)
Buna göre \( dw \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( dw = \dfrac{1}{t}\ dt \)
\( v = -\dfrac{1}{t} \)
Bu ifadeleri \( \int {w\ dv} = wv - \int {v\ dw} \) kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( = -\dfrac{1}{t}\ln{t} + \displaystyle\int {\dfrac{1}{t^2}\ dt} \)
\( = -\dfrac{1}{t}\ln{t} - \dfrac{1}{t} + C \)
\( u_2 = \displaystyle\int {\dfrac{z_1(t)f(t)}{W(z_1, z_2)a_2(t)}\ dt} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{t^3\ln{t} \cdot t^2\ln{t}}{-t^5 \cdot t^2}\ dt} \)
\( = \displaystyle\int {-\dfrac{\ln^2{t}}{t^2}\ dt} \)
Eşitliğin sağ tarafındaki ifadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( w \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( w = \ln^2{t} \)
\( dv = -\dfrac{1}{t^2}\ dt \)
Buna göre \( dw \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( dw = \dfrac{2\ln{t}}{t}\ dt \)
\( v = \dfrac{1}{t} \)
Bu ifadeleri \( \int {w\ dv} = wv - \int {v\ dw} \) kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( = \dfrac{1}{t}\ln^2{t} - \displaystyle\int {\dfrac{2\ln{t}}{t^2}\ dt} \)
Eşitliğin sağ tarafındaki ifadenin integralini almak için tekrar kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( w \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( w = \ln{t} \)
\( dv = \dfrac{2}{t^2}\ dt \)
Buna göre \( dw \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( dw = \dfrac{1}{t}\ dt \)
\( v = -\dfrac{2}{t} \)
Bu ifadeleri \( \int {w\ dv} = wv - \int {v\ dw} \) kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( = \dfrac{1}{t}\ln^2{t} - \left( -\dfrac{2}{t}\ln{t} - \displaystyle\int {-\dfrac{2}{t^2}\ dt} \right) \)
\( = \dfrac{1}{t}\ln^2{t} + \dfrac{2}{t}\ln{t} + \dfrac{2}{t} + C \)
\( = \dfrac{\ln^2{t} + 2\ln{t} + 2}{t} + C \)
Denklemin genel çözümünün herhangi bir özel çözümü içermesi yeterli olduğu için, \( u_1 \) ve \( u_2 \) ifadelerindeki integral sabitlerini gözardı edebiliriz.
Denklemin özel çözümünü bulalım.
\( z_p = u_1z_1 + u_2z_2 \)
\( = \left( -\dfrac{1}{t}\ln{t} - \dfrac{1}{t} \right) \cdot t^3\ln{t} + \left( \dfrac{\ln^2{t} + 2\ln{t} + 2}{t} \right) \cdot t^3 \)
\( = -t^2\ln^2{t} - t^2\ln{t} + t^2\ln^2{t} + 2t^2\ln{t} + 2t^2 \)
\( = t^2\ln{t} + 2t^2 \)
Denklemin genel çözümü, tamamlayıcı çözüm ile özel çözümün toplamından oluşur.
\( z = z_c + z_p \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( z = C_1t^3\ln{t} + C_2t^3 + t^2\ln{t} + 2t^2 \)
\( x \gt 0 \) olmak üzere,
\( x^3y''' - 3xy' + 3y = -x^4\sin{x} \)
denkleminin karşılık geldiği homojen denklemin temel çözümleri \( y_1 = x, y_2 = x^3, y_3 = \frac{1}{x} \) olduğuna göre, denklemin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem üçüncü mertebeden bir lineer denklemdir.
Verilen temel çözümlere göre denklemin tamamlayıcı çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y_c = C_1x + C_2x^3 + \dfrac{C_3}{x} \)
Denklemin özel çözümünü bulmak için parametrelerin değişimi yöntemini kullanalım.
\( y_1 \) ve \( y_2 \) denklemin karşılık geldiği homojen denklemin temel çözümleri olmak üzere, homojen olmayan denklemin özel çözümü aşağıdaki formdadır.
\( y_p = u_1y_1 + u_2y_2 + u_3y_3 \)
\( = u_1x + u_2x^3 + u_3\dfrac{1}{x} \)
Fonksiyonların Wronskian'ını bulalım.
\( W(y_1, y_2, y_3) = \abs{\begin{matrix} x & x^3 & \frac{1}{x} \\ 1 & 3x^2 & -\frac{1}{x^2} \\ 0 & 6x & \frac{2}{x^3} \end{matrix}} \)
\( = x(3x^2 \cdot \frac{2}{x^3} + 6x \cdot \frac{1}{x^2}) - 1(x^3 \cdot \frac{2}{x^3} - 6x \cdot \frac{1}{x}) + 0 \)
\( = 12 - (-4) + 0 = 16 \)
Fonksiyonların Wronskian'ı sıfırdan farklı olduğu için üç çözüm bağımsız fonksiyonlardır.
\( W(y_1, y_2) = \abs{\begin{matrix} x & x^3 \\ 1 & 3x^2 \end{matrix}} \)
\( = x \cdot 3x^2 - 1 \cdot x^3 \)
\( = 2x^3 \)
\( W(y_1, y_3) = \abs{\begin{matrix} x & \frac{1}{x} \\ 1 & -\frac{1}{x^2} \end{matrix}} \)
\( = x \cdot (-\dfrac{1}{x^2}) - 1 \cdot \dfrac{1}{x} \)
\( = -\dfrac{2}{x} \)
\( W(y_2, y_3) = \abs{\begin{matrix} x^3 & \frac{1}{x} \\ 3x^2 & -\frac{1}{x^2} \end{matrix}} \)
\( = x^3 \cdot (-\dfrac{1}{x^2}) - 3x^2 \cdot \dfrac{1}{x} \)
\( = -4x \)
\( u_1, u_2 \) ve \( u_3 \) fonksiyonlarını bulalım.
\( u_1 = \displaystyle\int {\dfrac{W(y_2, y_3)f(x)}{W(y_1, y_2, y_3)a_3(x)}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{-4x \cdot (-x^4\sin{x})}{16 \cdot x^3}\ dx} \)
\( = \dfrac{1}{4}\displaystyle\int {x^2\sin{x}\ dx} \)
Eşitliğin sağ tarafındaki ifadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( w \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( w = x^2 \)
\( dv = \sin{x}\ dx \)
Buna göre \( dw \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( dw = 2x\ dx \)
\( v = -\cos{x} \)
Bu ifadeleri \( \int {w\ dv} = wv - \int {v\ dw} \) kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( = \dfrac{1}{4}\left( -x^2\cos{x} + \displaystyle\int {2x\cos{x}\ dx} \right) \)
Eşitliğin sağ tarafındaki ifadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( w \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( w = 2x \)
\( dv = \cos{x}\ dx \)
Buna göre \( dw \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( dw = 2\ dx \)
\( v = \sin{x} \)
Bu ifadeleri \( \int {w\ dv} = wv - \int {v\ dw} \) kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( = \dfrac{1}{4}\left( -x^2\cos{x} + 2x\sin{x} - \displaystyle\int {2\sin{x}\ dx} \right) \)
\( = -\dfrac{1}{4}x^2\cos{x} + \dfrac{1}{2}x\sin{x} + \dfrac{1}{2}\cos{x} + C \)
\( u_2 = -\displaystyle\int {\dfrac{W(y_1, y_3)f(x)}{W(y_1, y_2, y_3)a_3(x)}\ dx} \)
\( = -\displaystyle\int {\dfrac{-2x^{-1} \cdot (-x^4\sin{x})}{16 \cdot x^3}\ dx} \)
\( = -\displaystyle\int {\dfrac{1}{8}\sin{x}\ dx} \)
\( = \dfrac{1}{8}\cos{x} + C \)
\( u_3 = \displaystyle\int {\dfrac{W(y_1, y_2)f(x)}{W(y_1, y_2, y_3)a_3(x)}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{2x^3 \cdot (-x^4\sin{x})}{16 \cdot x^3}\ dx} \)
\( = -\dfrac{1}{8}\displaystyle\int {x^4\sin{x}\ dx} \)
Eşitliğin sağ tarafındaki ifadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( w \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( w = x^4 \)
\( dv = \sin{x}\ dx \)
Buna göre \( dw \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( dw = 4x^3\ dx \)
\( v = -\cos{x} \)
Bu ifadeleri \( \int {w\ dv} = wv - \int {v\ dw} \) kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( = -\dfrac{1}{8}\left( -x^4\cos{x} + \displaystyle\int {4x^3\cos{x}\ dx} \right) \)
Eşitliğin sağ tarafındaki ifadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( w \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( w = 4x^3 \)
\( dv = \cos{x}\ dx \)
Buna göre \( dw \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( dw = 12x^2\ dx \)
\( v = \sin{x} \)
Bu ifadeleri \( \int {w\ dv} = wv - \int {v\ dw} \) kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( = -\dfrac{1}{8}\left( -x^4\cos{x} + 4x^3\sin{x} - \displaystyle\int {12x^2\sin{x}\ dx} \right) \)
Bu integral ifadesinin yukarıda bulduğumuz sonucunu yazalım.
\( = -\dfrac{1}{8}\left( -x^4\cos{x} + 4x^3\sin{x} - 12(-x^2\cos{x} + 2x\sin{x} + 2\cos{x}) \right) + C \)
\( = \dfrac{1}{8}x^4\cos{x} - \dfrac{1}{2}x^3\sin{x} - \dfrac{3}{2}x^2\cos{x} + 3x\sin{x} + 3\cos{x} + C \)
Denklemin genel çözümünün herhangi bir özel çözümü içermesi yeterli olduğu için, \( u_1, u_2 \) ve \( u_3 \) ifadelerindeki integral sabitlerini gözardı edebiliriz.
Denklemin özel çözümünü bulalım.
\( y_p = u_1y_1 + u_2y_2 + u_3y_3 \)
\( = \left( -\dfrac{1}{4}x^2\cos{x} + \dfrac{1}{2}x\sin{x} + \dfrac{1}{2}\cos{x} \right) \cdot x + \dfrac{1}{8}\cos{x} \cdot x^3 + \left( \dfrac{1}{8}x^4\cos{x} - \dfrac{1}{2}x^3\sin{x} - \dfrac{3}{2}x^2\cos{x} + 3x\sin{x} + 3\cos{x} \right) \cdot \dfrac{1}{x} \)
\( = 3\sin{x} - x\cos{x} + \dfrac{3}{x}\cos{x} \)
Denklemin genel çözümü, tamamlayıcı çözüm ile özel çözümün toplamından oluşur.
\( y = y_c + y_p \)
Buna göre denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y = C_1x + C_2x^3 + \dfrac{C_3}{x} + 3\sin{x} - x\cos{x} + \dfrac{3}{x}\cos{x} \)