\( L[y] = f(x) \) formundaki homojen olmayan bir lineer diferansiyel denklemin genel çözümü, denklemin karşılık geldiği ve önceki bölümde incelediğimiz homojen denklemin genel çözümü (\( y_c \)) ile homojen olmayan denklemin herhangi bir özel çözümünün (\( y_p \)) toplamına eşittir.
\( L[y] = f(x) \) lineer denkleminin genel çözümü:
\( y = y_c + y_p \)
\( y_c \): Denklemin karşılık geldiği homojen denklemin genel çözümü
\( y_p \): Homojen olmayan denklemin herhangi bir özel çözümü
Homojen olmayan bir denklemin karşılık geldiği homojen denklemin genel çözümüne, homojen olmayan denklemin tamamlayıcı çözümü denir ve genellikle \( y_c \) ile gösterilir.
\( y = y_c + y_p \) çözümünün homojen olmayan genel çözümü olduğu, diferansiyel operatörün lineerlik özelliği kullanılarak gösterilebilir.
\( y = y_c + y_p \) homojen olmayan denklemin bir çözümü ise aşağıdaki eşitlik sağlanmalıdır.
\( L[y] = f(x) \)
\( L[y] = L[y_c + y_p] = L[y_c] + L[y_p] \)
\( y_c \) homojen denklemin genel çözümü olduğu için \( L[y_c] = 0 \) olur.
\( y_p \) homojen olmayan denklemin bir özel çözümü olduğu için \( L[y_p] = f(x) \) olur.
\( = 0 + f(x) = f(x) \)
Homojen olmayan lineer denklemlerin genel çözümünü bir örnek üzerinde gösterelim.
\( y'' - 6y' + 8y = 32x \)
Verilen denklemin karşılık geldiği homojen denklemin genel çözümünün \( y_c = c_1e^{2x} + c_2e^{4x} \) olduğunu önceki bölümde göstermiştik.
\( y_p = 4x + 3 \) fonksiyonunun denklemin bir özel çözümü, \( y = y_c + y_p \) fonksiyonunun da genel çözümü olduğunu gösterelim.
\( L[y] = y'' - 6y' + 8y \)
\( y_p \) fonksiyonunun denklemin bir çözümü olduğunu gösterelim.
\( L[y_p] = (4x + 3)'' - 6(4x + 3)' + 8(4x + 3) \)
\( = 0 - 24 + 32x + 24 = 32x \)
\( y_p \) fonksiyonu herhangi bir keyfi sabit içermediği için denklemin bir özel çözümüdür.
\( y = y_c + y_p \) fonksiyonunun denklemin bir çözümü olduğunu gösterelim.
\( y = c_1e^{2x} + c_2e^{4x} + 4x + 3 \)
\( L[y] = (c_1e^{2x} + c_2e^{4x} + 4x + 3)'' - 6(c_1e^{2x} + c_2e^{4x} + 4x + 3)' + 8(c_1e^{2x} + c_2e^{4x} + 4x + 3) \)
\( = (4c_1e^{2x} + 16c_2e^{4x}) - (12c_1e^{2x} + 24c_2e^{4x} + 4) + (8c_1e^{2x} + 8c_2e^{4x} + 32x + 24) \)
\( = -24 + 32x + 24 = 32x \)
\( y \) çözümü denklemin mertebesi adedince keyfi sabit içerdiği için denklemin genel çözümüdür.
Dikkat edilirse \( y = y_c + y_p \) formülündeki \( y_p \) çözümüne homojen olmayan denklemin özel çözümü değil, herhangi bir özel çözümü dedik. Bunun sebebi, süperpozisyon prensibi gereği homojen olmayan denklemin özel çözüme homojen denklemin herhangi bir özel çözümünün eklenmesi ile elde edilen çözümün de homojen olmayan denklemin bir özel çözümü olmasıdır. Buna göre, aşağıdaki çözümlerin her biri homojen olmayan denklemin birer özel çözümüdür.
\( y_p = 4x + 3 \)
\( y_p = \textcolor{red}{2e^{2x}} + 4x + 3 \)
\( y_p = \textcolor{red}{3e^{2x} - 4e^{4x}} + 4x + 3 \)
Genel ya da standart formdaki bir denklemde, eşitliğin sol tarafındaki tüm terimler \( y = 0 \) çözümü için sıfır olur, dolayısıyla \( y = 0 \) sabit fonksiyonu tüm homojen lineer denklemlerin bir çözümüdür. Bu çözüme apaçık çözüm adı verilir.
Bu bölümün kalanında homojen olan ve olmayan lineer diferansiyel denklemlerin farklı çözüm yöntemlerini inceleyeceğiz.