İki ya da daha fazla cebirsel ifade arasında toplama işlemi aşağıdaki şekilde yapılır. Çoğu öğrenci için basit ve alt alta yazmayı gerektirmeyecek bir işlem olsa da, yöntemi paylaşmak adına işlemi burada en basit haliyle anlatacağız.
Aşağıda üç cebirsel ifade için örnek bir toplama işlemi verilmiştir.
İki cebirsel ifade arasında çıkarma işlemi aşağıdaki şekilde yapılır.
Aşağıda iki cebirsel ifade için örnek bir çıkarma işlemi verilmiştir.
İki cebirsel ifade arasında çarpma işlemi aşağıdaki şekilde yapılır.
Aşağıda iki cebirsel ifade için örnek bir çarpma işlemi verilmiştir.
\( m \) ve \( n \) terimli iki cebirsel ifade çarpıldığında, benzer terimlerin aralarında toplama/çıkarma işlemi sonrasında en fazla \( m \cdot n \), en az 1 terimli bir ifade oluşur. Yukarıdaki örnekte 2 terimli birinci ifade ile 3 terimli ikinci ifadenin çarpımı sonucunda 5 terimli bir ifade oluşmuştur.
SORU 1:
\( x + y + z = 0 \) olduğuna göre \( \frac{4y^2 - 16xz}{2x^2 - y^2 + 2z^2} \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü Göster
\( 16xz \) terimini kullanabilmek için denklemi \( x + z = -y \) şeklinde düzenleyelim.
\( (x + z)^2 = (-y)^2 \)
\( x^2 + 2xz + z^2 = y^2 \)
Eşitliğin taraflarını 8 ile çarparak \( 16xz \) terimini yalnız bırakalım.
\( 16xz = 8y^2 - 8x^2 - 8z^2 \)
Bulduğumuz ifadeyi denklemde yerine koyalım.
\( \dfrac{4y^2 - 8y^2 + 8x^2 + 8z^2}{2x^2 - y^2 + 2z^2} \)
\( = \dfrac{8x^2 - 4y^2 + 8z^2}{2x^2 - y^2 + 2z^2} \)
\( = \dfrac{4 (2x^2 - y^2 + 2z^2)}{2x^2 - y^2 + 2z^2} \)
\( = 4 \) bulunur.
SORU 2:
\( 2xy + 2yz + xz + 4 = 0 \) olduğuna göre,
\( \dfrac{x + 2}{(2y + x)(x + z)} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
4'ü karşıya atarak bilinmeyenleri yalnız bırakalım.
\( 2xy + 2yz + xz = -4 \)
İstenen ifadenin paydasındaki parantezi genişleterek benzerlik bulmaya çalışalım.
\( \dfrac{x + 2}{2xy + 2yz + x^2 + xz} \)
\( (2xy + 2yz + xz) \) yerine -4 yazalım.
\( = \dfrac{x + 2}{x^2 - 4} = \dfrac{x + 2}{(x + 2)(x - 2)} \)
\( = \dfrac{1}{x - 2} \) bulunur.
SORU 3:
\( \dfrac{x^2 + 7x + 10}{x^2 - 8x - 20} \) ifadesinin sonucunu pozitif tam sayı yapan en büyük \( x \) tam sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
İkinci dereceden ifadeleri çarpanlarına ayıralım.
\( \dfrac{(x + 5)(x + 2)}{(x - 10)(x + 2)} \)
Pay ve paydada ortak olan çarpanları sadeleştirelim.
\( = \dfrac{x + 5}{x - 10} \)
İfadeyi düzenleyelim.
\( = \dfrac{x - 10 + 15}{x - 10} = 1 + \dfrac{15}{x - 10} \)
Bu ifadeyi pozitif tam sayı yapan \( x \) değerleri aşağıdaki gibidir.
\( x \in \{11, 13, 15, 25\} \)
Buna göre verilen ifadeyi pozitif tam sayı yapan en büyük \( x \) tam sayısı 25 olur.
SORU 4:
\( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x^3} + \ldots = 9 \) ise \( x \) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen eşitliğin sol tarafını \( \frac{1}{x} \) parantezine alalım.
\( \dfrac{1}{x}(1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} + \ldots) = 9 \)
Soruda verilen eşitliğin her iki tarafına 1 ekleyelim.
\( 1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x^3} + \ldots = 10 \)
Bu değeri elde ettiğimiz eşitlikte yerine koyalım.
\( \dfrac{1}{x} \cdot 10 = 9 \)
\( \dfrac{1}{x} = \dfrac{9}{10} \)
\( x = \dfrac{10}{9} \) bulunur.