Laplace Dönüşümünde Türev ve İntegral
Dönüşümün Türevi
\( f(t) \) fonksiyonunun \( t \) ile çarpımının Laplace dönüşümü aşağıdaki formülle bulunur.
\( \mathcal{L}\{ f(t) \} = F(s) \),
\( f \) fonksiyonu \( (0, \infty) \) aralığında parçalı sürekli ve \( \alpha \) mertebeden üstel,
\( s \gt \alpha \) olmak üzere,
\( \mathcal{L}\{ tf(t) \} = -\dfrac{dF}{ds} \)
\( t\cos(2t) \) fonksiyonunun Laplace dönüşümünü bulalım.
\( f(t) = \cos(2t) \) diyelim.
\( \mathcal{L}\{ f(t) \} = F(s) = \dfrac{s}{s^2 + 4} \)
Dönüşümün türevi formülünü kullanalım.
\( \mathcal{L}\{ t\cos(2t) \} = -\dfrac{d}{ds}\left( \dfrac{s}{s^2 + 4} \right) \)
\( = -\dfrac{1(s^2 + 4) - s(2s)}{(s^2 + 4)^2} \)
\( = \dfrac{s^2 - 4}{(s^2 + 4)^2} \)
İSPATI GÖSTER
Laplace dönüşüm formülünü kullanalım.
\( F(s) = \displaystyle\int_{0}^{\infty} {e^{-st}f(t)\ dt} \)
Eşitliğin taraflarının türevini alalım.
\( \dfrac{dF(s)}{ds} = \dfrac{d}{ds} \displaystyle\int_{0}^{\infty} {e^{-st}f(t)\ dt} \)
\( = \displaystyle\int_{0}^{\infty} {\dfrac{d}{ds} [e^{-st}f(t)]\ dt} \)
İntegral içindeki ifadenin \( s \) değişkenine göre türevini alalım.
\( = \displaystyle\int_{0}^{\infty} {-te^{-st}f(t)\ dt} \)
\( = -\displaystyle\int_{0}^{\infty} {e^{-st}[tf(t)]\ dt} \)
Bu integral ifadesi \( tf(t) \) fonksiyonunun Laplace dönüşümüne eşittir.
\( = -\mathcal{L}\{ tf(t) \} \)
Buna göre aşağıdaki eşitlik elde edilir.
\( \mathcal{L}\{ tf(t) \} = -\dfrac{dF}{ds} \)
\( f(t) \) fonksiyonunun \( t \)'nin daha yüksek kuvvetleri ile çarpımının Laplace dönüşümü aşağıdaki formüllerle bulunur.
\( \mathcal{L}\{ t^2f(t) \} = \dfrac{d^2F}{ds^2} \)
\( \mathcal{L}\{ t^3f(t) \} = -\dfrac{d^3F}{ds^3} \)
\( \mathcal{L}\{ t^4f(t) \} = \dfrac{d^4F}{ds^4} \)
\( t^2\sin(3t) \) fonksiyonunun Laplace dönüşümünü bulalım.
\( f(t) = \sin(3t) \) diyelim.
\( \mathcal{L}\{ f(t) \} = F(s) = \dfrac{3}{s^2 + 9} \)
Dönüşümün türevi formülünü kullanalım.
\( \mathcal{L}\{ t^2\sin(2t) \} = \dfrac{d^2}{ds^2}\left( \dfrac{3}{s^2 + 9} \right) \)
Parantez içindeki ifadenin türevini alalım.
\( = \dfrac{d}{ds}\left( \dfrac{0(s^2 + 9) - 3(2s)}{(s^2 + 9)^2} \right) \)
\( = \dfrac{d}{ds}\left( -\dfrac{6s}{(s^2 + 9)^2} \right) \)
Parantez içindeki ifadenin tekrar türevini alalım.
\( = -\dfrac{6(s^2 + 9)^2 - 6s[2(s^2 + 9)2s]}{(s^2 + 9)^4} \)
\( = \dfrac{18(s^2 - 3)}{(s^2 + 9)^3} \)
İSPATI GÖSTER
\( \mathcal{L}\{ f(t) \} = F(s) \) olmak üzere,
\( f(t) \) fonksiyonunun \( t \) ile çarpımının Laplace dönüşümünü \( F(s) \) cinsinden aşağıdaki şekilde bulmuştuk.
\( \mathcal{L}\{ tf(t) \} = -\dfrac{dF}{ds} \)
\( t^2 \) ile çarpım:
\( f(t) \) fonksiyonunun \( t^2 \) ile çarpımının Laplace dönüşümünü aşağıdaki şekilde yazalım.
\( \mathcal{L}\{ t^2f(t) \} = \mathcal{L}\{ t[tf(t)] \} \)
\( tf(t) \) fonksiyonunun \( t \) ile çarpımı şeklinde yazdığımız bu ifadeye yukarıdaki formülü uygulayalım.
\( = -\dfrac{d}{ds}\left[ \mathcal{L}\{ tf(t) \} \right] \)
\( = -\dfrac{d}{ds}\left[ -\dfrac{dF}{ds} \right] \)
\( = \dfrac{d^2F}{ds^2} \)
\( t^3 \) ile çarpım:
\( f(t) \) fonksiyonunun \( t^3 \) ile çarpımının Laplace dönüşümünü aşağıdaki şekilde yazalım.
\( \mathcal{L}\{ t^3f(t) \} = \mathcal{L}\{ t[t^2f(t)] \} \)
\( t^2f(t) \) fonksiyonunun \( t \) ile çarpımı şeklinde yazdığımız bu ifadeye yukarıdaki formülü uygulayalım.
\( = -\dfrac{d}{ds}\left[ \mathcal{L}\{ t^2f(t) \} \right] \)
\( = -\dfrac{d}{ds}\left[ \dfrac{d^2F}{ds^2} \right] \)
\( = -\dfrac{d^3F}{ds^3} \)
\( t^4 \) ile çarpım:
\( f(t) \) fonksiyonunun \( t^4 \) ile çarpımının Laplace dönüşümünü aşağıdaki şekilde yazalım.
\( \mathcal{L}\{ t^4f(t) \} = \mathcal{L}\{ t[t^3f(t)] \} \)
\( t^3f(t) \) fonksiyonunun \( t \) ile çarpımı şeklinde yazdığımız bu ifadeye yukarıdaki formülü uygulayalım.
\( = -\dfrac{d}{ds}\left[ \mathcal{L}\{ t^3f(t) \} \right] \)
\( = -\dfrac{d}{ds}\left[ -\dfrac{d^3F}{ds^3} \right] \)
\( = \dfrac{d^4F}{ds^4} \)
Bu örüntü devam ettirildiğinde, \( f(t) \) fonksiyonunun \( t \)'nin \( n \). dereceden kuvveti ile çarpımının Laplace dönüşümü için aşağıdaki genel formül elde edilir.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( \mathcal{L}\{ t^nf(t) \} = (-1)^n\dfrac{d^nF}{ds^n} \)
Türevin Dönüşümü
\( f(t) \) fonksiyonunun birinci türevinin Laplace dönüşümü aşağıdaki formülle bulunur.
\( \mathcal{L}\{ f(t) \} = F(s) \),
\( f \) fonksiyonu \( [0, \infty) \) aralığında sürekli ve \( \alpha \) mertebeden üstel,
\( f' \) fonksiyonu \( (0, \infty) \) aralığında parçalı sürekli,
\( s \gt \alpha \) olmak üzere,
\( \mathcal{L}\{ f'(t) \} = sF(s) - f(0) \)
\( \cos{t} \) fonksiyonunun Laplace dönüşümünü türevin dönüşümü formülünü kullanarak bulalım.
\( f(t) = \sin{t} \) diyelim.
\( \mathcal{L}\{ f(t) \} = F(s) = \dfrac{1}{s^2 + 1} \)
\( f'(t) = \cos{t} \)
\( \mathcal{L}\{ f'(t) \} = sF(s) - f(0) \)
\( \mathcal{L}\{ \cos{t} \} = s\dfrac{1}{s^2 + 1} - \sin{0} \)
\( = \dfrac{s}{s^2 + 1} \)
Bulduğumuz sonuç önceki bölümde \( \cos{t} \) fonksiyonu için bulduğumuz sonuca eşittir.
İSPATI GÖSTER
Laplace dönüşüm formülünü kullanalım.
\( \mathcal{L}\{ f(t) \} = \displaystyle\int_{0}^{\infty} {e^{-st}f(t)\ dt} \)
\( f'(t) \) fonksiyonunun Laplace dönüşümünü bulmak için \( f(t) \) yerine \( f'(t) \) yazalım.
\( \mathcal{L}\{ f'(t) \} = \displaystyle\int_{0}^{\infty} {e^{-st}f'(t)\ dt} \)
İntegrali almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = e^{-st} \)
\( dv = f'(t)\ dt \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = -se^{-st}\ dt \)
\( v = f(t) \)
Bu ifadeleri \( \int_0^{\infty} {u\ dv} = (uv)|_0^{\infty} - \int_0^{\infty} {v\ du} \) kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( = (e^{-st}f(t))|_0^{\infty} - \displaystyle\int_{0}^{\infty} {-se^{-st}f(t)\ dt} \)
\( = (e^{-st}f(t))|_0^{\infty} + s\displaystyle\int_{0}^{\infty} {e^{-st}f(t)\ dt} \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (e^{-st}f(t)) - e^{-s(0)}f(0) + s\displaystyle\int_{0}^{\infty} {e^{-st}f(t)\ dt} \)
\( = \lim\limits_{t \to \infty} (e^{-st}f(t)) - f(0) + s\displaystyle\int_{0}^{\infty} {e^{-st}f(t)\ dt} \)
\( t \to \infty \) iken \( e^{-st}f(t) \to 0 \) olur.
\( = 0 - f(0) + s\displaystyle\int_{0}^{\infty} {e^{-st}f(t)\ dt} \)
İntegral ifadesi \( f(t) \) fonksiyonunun Laplace dönüşümüne eşittir.
\( = s\mathcal{L}\{ f(t) \} - f(0) \)
\( = sF(s) - f(0) \)
\( f(t) \) fonksiyonunun ikinci, üçüncü ve dördüncü mertebeden türevlerinin Laplace dönüşümü aşağıdaki formüllerle bulunur.
\( \mathcal{L}\{ f''(t) \} = s^2F(s) - sf(0) - f'(0) \)
\( \mathcal{L}\{ f'''(t) \} = s^3F(s) - s^2f(0) - sf'(0) - f''(0) \)
\( \mathcal{L}\{ f^{(4)}(t) \} = s^4F(s) - s^3f(0) - s^2f'(0) - sf''(0) - f'''(0) \)
İSPATI GÖSTER
\( f(t) \) fonksiyonunun birinci türevinin Laplace dönüşümünü aşağıdaki şekilde bulmuştuk.
\( \mathcal{L}\{ f'(t) \} = s\mathcal{L}\{ f(t) \} - f(0) \)
2. Mertebeden Türev:
Birinci türev için bulduğumuz formülde \( f(t) \) fonksiyonunun ve türevlerinin türevini alalım.
\( \mathcal{L}\{ [f'(t)]' \} = s\mathcal{L}\{ [f(t)]' \} - [f(0)]' \)
\( \mathcal{L}\{ f''(t) \} = s\mathcal{L}\{ f'(t) \} - f'(0) \)
\( f'(t) \) fonksiyonunun Laplace dönüşümü yerine yukarıda bulduğumuz karşılığını yazalım.
\( = s[s\mathcal{L}\{ f(t) \} - f(0)] - f'(0) \)
\( = s^2\mathcal{L}\{ f(t) \} - sf(0) - f'(0) \)
\( = s^2F(s) - sf(0) - f'(0) \)
3. Mertebeden Türev:
İkinci türev için bulduğumuz formülde \( f(t) \) fonksiyonunun ve türevlerinin türevini alalım.
\( \mathcal{L}\{ [f''(t)]' \} = s^2\mathcal{L}\{ [f(t)]' \} - s[f(0)]' - [f'(0)]' \)
\( \mathcal{L}\{ f'''(t) \} = s^2\mathcal{L}\{ f'(t) \} - sf'(0) - f''(0) \)
\( f'(t) \) fonksiyonunun Laplace dönüşümü yerine yukarıda bulduğumuz karşılığını yazalım.
\( = s^2[s\mathcal{L}\{ f(t) \} - f(0)] - sf'(0) - f''(0) \)
\( = s^3F(s) - s^2f(0) - sf'(0) - f''(0) \)
4. Mertebeden Türev:
Üçüncü türev için bulduğumuz formülde \( f(t) \) fonksiyonunun ve türevlerinin türevini alalım.
\( \mathcal{L}\{ [f'''(t)]' \} = s^3\mathcal{L}\{ [f(t)]' \} - s^2[f(0)]' - s[f'(0)]' - [f''(0)]' \)
\( \mathcal{L}\{ f^{(4)}(t) \} = s^3\mathcal{L}\{ f'(t) \} - s^2f'(0) - sf''(0) - f'''(0) \)
\( f'(t) \) fonksiyonunun Laplace dönüşümü yerine yukarıda bulduğumuz karşılığını yazalım.
\( = s^3[s\mathcal{L}\{ f(t) \} - f(0)] - s^2f'(0) - sf''(0) - f'''(0) \)
\( = s^4F(s) - s^3f(0) - s^2f'(0) - sf''(0) - f'''(0) \)
Bu örüntü devam ettirildiğinde, \( f(t) \) fonksiyonunun \( n \). mertebeden türevinin Laplace dönüşümü için aşağıdaki genel formül elde edilir.
\( f, f', \ldots, f^{(n-1)} \) fonksiyonları \( [0, \infty) \) aralığında sürekli ve \( \alpha \) mertebeden üstel,
\( f^{(n)} \) fonksiyonu \( (0, \infty) \) aralığında parçalı sürekli,
\( s \gt \alpha \) olmak üzere,
\( \mathcal{L}\{ f^{(n)}(t) \} = s^nF(s) - s^{n-1}f(0) - s^{n-2}f'(0) - s^{n-3}f''(0) - \ldots - sf^{n-2}(0) - f^{n-1}(0) \)
Dönüşümün İntegrali
\( f(t) \) fonksiyonunun \( t \)'ye bölümünün Laplace dönüşümü aşağıdaki formülle bulunur.
\( \mathcal{L}\{ f(t) \} = F(s) \),
\( f \) fonksiyonu \( (0, \infty) \) aralığında parçalı sürekli ve \( \alpha \) mertebeden üstel,
\( \lim\limits_{t \to 0^+} {\dfrac{f(t)}{t}} \) limiti bir reel sayı olarak tanımlı,
\( s \gt \alpha \) olmak üzere,
\( \mathcal{L}\left\{ \dfrac{f(t)}{t} \right\} = \displaystyle\int_{s}^{\infty} {F(u)\ du} \)
\( \dfrac{e^{-t} - 1}{t} \) fonksiyonunun Laplace dönüşümünü bulalım.
İfadenin limitinin bir reel sayı olarak tanımlı olduğunu kontrol edelim.
\( \lim\limits_{t \to 0^+} {\dfrac{e^{-t} - 1}{t}} = \lim\limits_{t \to 0^+} {\dfrac{(e^{-t} - 1)'}{t'}} \)
\( = \lim\limits_{t \to 0^+} {\dfrac{-e^{-t}}{1}} = -1 \)
Buna göre dönüşümün integrali formülünü kullanabiliriz.
\( f(t) = e^{-t} - 1 \) diyelim.
\( \mathcal{L}\{ f(t) \} = F(s) = \dfrac{1}{s + 1} - \dfrac{1}{s} \)
\( \mathcal{L}\left\{ \dfrac{f(t)}{t} \right\} = \displaystyle\int_{s}^{\infty} {F(u)\ du} \)
\( = \displaystyle\int_{s}^{\infty} {\left( \dfrac{1}{u + 1} - \dfrac{1}{u} \right)\ du} \)
İfadenin genelleştirilmiş integralini alalım.
\( = \lim\limits_{L \to \infty} \displaystyle\int_{s}^{L} {\left( \dfrac{1}{u + 1} - \dfrac{1}{u} \right)\ du} \)
\( = \lim\limits_{L \to \infty} [\ln{\abs{u + 1}} - \ln{\abs{u}}]_{s}^{L} \)
\( = \lim\limits_{L \to \infty} \left[ \ln{\abs{\dfrac{u + 1}{u}}} \right]_{s}^{L} \)
\( = \lim\limits_{L \to \infty} \left( \ln{\abs{\dfrac{L + 1}{L}}} - \ln{\abs{\dfrac{s + 1}{s}}} \right) \)
\( L \to \infty \) iken \( \frac{L + 1}{L} \to 1 \) olur.
\( f \) fonksiyonu \( \alpha = 0 \) mertebeden üsteldir, dolayısıyla \( s \gt 0 \) için Laplace dönüşümü tanımlıdır.
\( = \ln{1} - \ln{\dfrac{s + 1}{s}} \)
\( = \ln{\dfrac{s}{s + 1}} \)
\( h(t) = t^2e^{2t} \) fonksiyonunun Laplace dönüşümünü bulunuz.
Çözümü Göster\( f(t) = e^{2t} \) diyelim.
\( \mathcal{L}\{ f(t) \} = F(s) = \dfrac{1}{s - 2} \)
Dönüşümün türevi formülünü kullanalım.
\( \mathcal{L}\{ t^2f(t) \} = \dfrac{d^2(F(s))}{ds^2} \)
\( \mathcal{L}\{ t^2e^{2t} \} = \dfrac{d^2}{ds^2}\left( \dfrac{1}{s - 2} \right) \)
Parantez içindeki ifadenin türevini alalım.
\( = \dfrac{d}{ds}\left( -\dfrac{1}{(s - 2)^2} \right) \)
Parantez içindeki ifadenin tekrar türevini alalım.
\( = \dfrac{2}{(s - 2)^3} \)
\( g(t) = 4t\sin(4t)\cos(4t) \) fonksiyonunun Laplace dönüşümünü bulunuz.
Çözümü Göster\( g(t) = 4t\sin(4t)\cos(4t) \)
Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( = 2t\sin(8t) \)
\( f(t) = \sin(8t) \) diyelim.
\( \mathcal{L}\{ f(t) \} = F(s) = \dfrac{8}{s^2 + 64} \)
Dönüşümün türevi formülünü kullanalım.
\( \mathcal{L}\{ tf(t) \} = -\dfrac{d(F(s))}{ds} \)
\( \mathcal{L}\{ 2t\sin(8t) \} = 2\mathcal{L}\{ t\sin(8t) \} \)
\( = -2\dfrac{d}{ds}\left( \dfrac{8}{s^2 + 64} \right) \)
Parantez içindeki ifadenin türevini alalım.
\( = -2 \cdot \dfrac{-8(2s)}{(s^2 + 64)^2} \)
\( = \dfrac{32s}{(s^2 + 64)^2} \)
\( g(t) = t^2\sin^2{t} \) fonksiyonunun Laplace dönüşümünü bulunuz.
Çözümü Göster\( g \) fonksiyonunu düzenleyelim.
\( g(t) = t^2\sin^2{t} \)
Kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( = t^2\left( \dfrac{1 - \cos(2t)}{2} \right) \)
\( = \dfrac{t^2}{2} - \dfrac{t^2\cos(2t)}{2} \)
\( \mathcal{L}\{ t^2\sin^2{t} \} = \mathcal{L}\left\{ \dfrac{t^2}{2} - \dfrac{t^2\cos(2t)}{2} \right\} \)
Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanalım.
\( = \mathcal{L}\left\{ \dfrac{t^2}{2} \right\} - \mathcal{L}\left\{ \dfrac{t^2\cos(2t)}{2} \right\} \)
\( = \dfrac{1}{2}\mathcal{L}\{ t^2 \} - \dfrac{1}{2}\mathcal{L}\{ t^2\cos(2t) \} \)
\( = \dfrac{1}{2}\dfrac{2}{s^3} - \dfrac{1}{2}\mathcal{L}\{ t^2\cos(2t) \} \)
\( f(t) = \cos(2t) \) diyelim.
\( \mathcal{L}\{ f(t) \} = F(s) = \dfrac{s}{s^2 + 4} \)
Dönüşümün türevi formülünü kullanalım.
\( = \dfrac{1}{s^3} - \dfrac{1}{2}\dfrac{d^2}{ds^2}\left( \dfrac{s}{s^2 + 4} \right) \)
Parantez içindeki ifadenin türevini alalım.
\( = \dfrac{1}{s^3} - \dfrac{1}{2}\dfrac{d}{ds}\left( \dfrac{1(s^2 + 4) - s(2s)}{(s^2 + 4)^2} \right) \)
\( = \dfrac{1}{s^3} - \dfrac{1}{2}\dfrac{d}{ds}\left( \dfrac{4 - s^2}{(s^2 + 4)^2} \right) \)
Parantez içindeki ifadenin tekrar türevini alalım.
\( = \dfrac{1}{s^3} - \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{(-2s)(s^2 + 4)^2 - (4 - s^2)(4s)(s^2 + 4)}{(s^2 + 4)^4} \right) \)
\( = \dfrac{1}{s^3} - \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{(-2s)(s^2 + 4) - (4 - s^2)(4s)}{(s^2 + 4)^3} \right) \)
\( = \dfrac{1}{s^3} - \dfrac{-s^3 - 4s + 2s^3 - 8s}{(s^2 + 4)^3} \)
\( = \dfrac{1}{s^3} - \dfrac{s^3 - 12s}{(s^2 + 4)^3} \)
\( g(t) = 6t^2\sinh{t} \) fonksiyonunun Laplace dönüşümünü bulunuz.
Çözümü Göster\( f(t) = \sinh{t} \) diyelim.
\( \mathcal{L}\{ f(t) \} = F(s) = \dfrac{1}{s^2 - 1} \)
Dönüşümün türevi formülünü kullanalım.
\( \mathcal{L}\{ t^2f(t) \} = \dfrac{d^2(F(s))}{ds^2} \)
\( \mathcal{L}\{ 6t^2\sinh{t} \} = 6\mathcal{L}\{ t^2\sinh{t} \} \)
\( = 6\dfrac{d^2}{ds^2}\left( \dfrac{1}{s^2 - 1} \right) \)
Parantez içindeki ifadenin türevini alalım.
\( = 6\dfrac{d}{ds}\left( \dfrac{-2s}{(s^2 - 1)^2} \right) \)
\( = -12\dfrac{d}{ds}\left( \dfrac{s}{(s^2 - 1)^2} \right) \)
Parantez içindeki ifadenin tekrar türevini alalım.
\( = -12 \cdot \dfrac{1(s^2 - 1)^2 - (4s^2)(s^2 - 1)}{(s^2 - 1)^4} \)
\( = \dfrac{36s^2 + 12}{(s^2 - 1)^3} \)
\( h(t) = te^{-2t}\cos(3t) \) fonksiyonunun Laplace dönüşümünü bulunuz.
Çözümü Göster\( f(t) = e^{-2t}\cos(3t) \) diyelim.
\( \mathcal{L}\{ f(t) \} = F(s) = \dfrac{s + 2}{(s + 2)^2 + 9} \)
Dönüşümün türevi formülünü kullanalım.
\( \mathcal{L}\{ tf(t) \} = -\dfrac{d(F(s))}{ds} \)
\( \mathcal{L}\{ te^{-2t}\cos(3t) \} = -\dfrac{d}{ds}\left( \dfrac{s + 2}{(s + 2)^2 + 9} \right) \)
Parantez içindeki ifadenin türevini alalım.
\( = -\dfrac{1((s + 2)^2 + 9) - 2(s + 2)(s + 2)}{((s + 2)^2 + 9)^2} \)
\( = -\dfrac{9 - (s^2 + 4s + 4)}{((s^2 + 4s + 4) + 9)^2} \)
\( = \dfrac{s^2 + 4s - 5}{(s^2 + 4s + 13)^2} \)
\( g(t) = e^t\sin(2t) + 2e^t\cos(2t) \) fonksiyonunun Laplace dönüşümünü bulunuz.
Çözümü GösterLaplace dönüşümünü türevin dönüşümü formülü ile bulalım.
\( f(t) = e^t\sin(2t) \) diyelim.
\( f'(t) = e^t\sin(2t) + 2e^t\cos(2t) \)
\( g(t) = f'(t) \)
\( \mathcal{L}\{ f(t) \} = F(s) = \dfrac{2}{(s - 1)^2 + 4} \)
\( \mathcal{L}\{ g(t) \} = \mathcal{L}\{ f'(t) \} = sF(s) - f(0) \)
\( = s \cdot \dfrac{2}{(s - 1)^2 + 4} - e^0\sin(2(0)) \)
\( = \dfrac{2s}{(s - 1)^2 + 4} \)
\( h(t) = 2e^{-3t} - 12te^{-3t} + 9t^2e^{-3t} \) fonksiyonunun Laplace dönüşümünü bulunuz.
Çözümü GösterLaplace dönüşümünü türevin dönüşümü formülü ile bulalım.
\( f(t) = t^2e^{-3t} \) diyelim.
\( f'(t) = 2te^{-3t} - 3t^2e^{-3t} \)
\( f''(t) = 2e^{-3t} - 12te^{-3t} + 9t^2e^{-3t} \)
\( h(t) = f''(t) \)
\( \mathcal{L}\{ f(t) \} = F(s) = \dfrac{2}{(s + 3)^3} \)
\( \mathcal{L}\{ h(t) \} = \mathcal{L}\{ f''(t) \} = s^2F(s) - sf(0) - f'(0) \)
\( = s^2\dfrac{2}{(s + 3)^3} - s(0^2e^{-3(0)}) - (2(0)e^{-3(0)} - 3(0)^2e^{-3(0)}) \)
\( = \dfrac{2s^2}{(s + 3)^3} \)
\( g(t) = 6e^t + 18te^t + 9t^2e^t + t^3e^t \) fonksiyonunun Laplace dönüşümünü bulunuz.
Çözümü GösterLaplace dönüşümünü türevin dönüşümü formülü ile bulalım.
\( f(t) = t^3e^t \) diyelim.
\( f'(t) = 3t^2e^t + t^3e^t \)
\( f''(t) = 6te^t + 6t^2e^t + t^3e^t \)
\( f'''(t) = 6e^t + 18te^t + 9t^2e^t + t^3e^t \)
\( g(t) = f'''(t) \)
\( \mathcal{L}\{ f(t) \} = F(s) = \dfrac{6}{(s - 1)^4} \)
\( \mathcal{L}\{ g(t) \} = \mathcal{L}\{ f'''(t) \} = s^3F(s) - s^2f(0) - sf'(0) - f''(0) \)
\( = s^3\dfrac{6}{(s - 1)^4} - s^2(0^3e^0) - s(3(0)^2e^0 + 0^3e^0) - (6(0)e^0 + 6(0)^2e^0 + 0^3e^0) \)
\( = \dfrac{6s^3}{(s - 1)^4} \)
\( g(t) = \dfrac{3\sin(2t)}{t} \) fonksiyonunun Laplace dönüşümünü bulunuz.
Çözümü Gösterİfadenin limitinin bir reel sayı olarak tanımlı olduğunu kontrol edelim.
\( \lim\limits_{t \to 0^+} {\dfrac{3\sin(2t)}{t}} = \lim\limits_{t \to 0^+} {\dfrac{(3\sin(2t))'}{t'}} \)
\( = \lim\limits_{t \to 0^+} {\dfrac{6\cos(2t)}{1}} = 6 \)
Buna göre dönüşümün integrali formülünü kullanabiliriz.
\( f(t) = 3\sin(2t) \) diyelim.
\( \mathcal{L}\{ f(t) \} = F(s) = \dfrac{6}{s^2 + 4} \)
\( \mathcal{L}\left\{ \dfrac{f(t)}{t} \right\} = \displaystyle\int_{s}^{\infty} {F(u)\ du} \)
\( = \displaystyle\int_{s}^{\infty} {\left( \dfrac{6}{u^2 + 4} \right)\ du} \)
İfadenin genelleştirilmiş integralini alalım.
\( = \lim\limits_{L \to \infty} \displaystyle\int_{s}^{L} {\left( \dfrac{6}{u^2 + 4} \right)\ du} \)
\( = \lim\limits_{L \to \infty} \left[ 3\arctan{\dfrac{u}{2}} \right]_{s}^{L} \)
\( = \lim\limits_{L \to \infty} \left( 3\arctan{\dfrac{L}{2}} - 3\arctan{\dfrac{s}{2}} \right) \)
\( L \to \infty \) iken \( \arctan{\frac{L}{2}} \to \frac{\pi}{2} \) olur.
\( f \) fonksiyonu \( \alpha = 0 \) mertebeden üsteldir, dolayısıyla \( s \gt 0 \) için Laplace dönüşümü tanımlıdır.
\( = \dfrac{3\pi}{2} - 3\arctan{\dfrac{s}{2}} \)
\( g(t) = \dfrac{e^{-3t} - e^{-5t}}{t} \) fonksiyonunun Laplace dönüşümünü bulunuz.
Çözümü Gösterİfadenin limitinin bir reel sayı olarak tanımlı olduğunu kontrol edelim.
\( \lim\limits_{t \to 0^+} {\dfrac{e^{-3t} - e^{-5t}}{t}} = \lim\limits_{t \to 0^+} {\dfrac{(e^{-3t} - e^{-5t})'}{t'}} \)
\( = \lim\limits_{t \to 0^+} {\dfrac{-3e^{-3t} + 5e^{-5t}}{1}} = 2 \)
Buna göre dönüşümün integrali formülünü kullanabiliriz.
\( f(t) = e^{-3t} - e^{-5t} \) diyelim.
\( \mathcal{L}\{ f(t) \} = F(s) = \dfrac{1}{s + 3} - \dfrac{1}{s + 5} \)
\( \mathcal{L}\left\{ \dfrac{f(t)}{t} \right\} = \displaystyle\int_{s}^{\infty} {F(u)\ du} \)
\( = \displaystyle\int_{s}^{\infty} {\left( \dfrac{1}{u + 3} - \dfrac{1}{u + 5} \right)\ du} \)
İfadenin genelleştirilmiş integralini alalım.
\( = \lim\limits_{L \to \infty} \displaystyle\int_{s}^{L} {\left( \dfrac{1}{u + 3} - \dfrac{1}{u + 5} \right)\ du} \)
\( = \lim\limits_{L \to \infty} [\ln{\abs{u + 3}} - \ln{\abs{u + 5}}]_{s}^{L} \)
\( = \lim\limits_{L \to \infty} \left[ \ln{\abs{\dfrac{u + 3}{u + 5}}} \right]_{s}^{L} \)
\( = \lim\limits_{L \to \infty} \left( \ln{\abs{\dfrac{L + 3}{L + 5}}} - \ln{\abs{\dfrac{s + 3}{s + 5}}} \right) \)
\( L \to \infty \) iken \( \ln{\abs{\frac{L + 3}{L + 5}}} \to \ln{1} \) olur.
\( f \) fonksiyonu \( \alpha = 0 \) mertebeden üsteldir, dolayısıyla \( s \gt 0 \) için Laplace dönüşümü tanımlıdır.
\( = \ln{1} - \ln{\abs{\dfrac{s + 3}{s + 5}}} \)
\( = \ln{\dfrac{s + 5}{s + 3}} \)
\( h(x) = \dfrac{\sin^2(2x)}{x} \) fonksiyonunun Laplace dönüşümünü bulunuz.
Çözümü Gösterİfadenin limitinin bir reel sayı olarak tanımlı olduğunu kontrol edelim.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} {\dfrac{\sin^2(2x)}{x}} = \lim\limits_{x \to 0^+} {\dfrac{(\sin^2(2x))'}{x'}} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0^+} {\dfrac{4\sin(2x)\cos(2x)}{1}} = 0 \)
Buna göre dönüşümün integrali formülünü kullanabiliriz.
\( f(x) = \sin^2(2x) = \dfrac{1 - \cos(4x)}{2} \) diyelim.
\( \mathcal{L}\{ f(x) \} = F(s) = \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{s} - \dfrac{s}{s^2 + 16} \right) \)
\( \mathcal{L}\left\{ \dfrac{f(t)}{t} \right\} = \displaystyle\int_{s}^{\infty} {F(u)\ du} \)
\( = \displaystyle\int_{s}^{\infty} \dfrac{1}{2}{\left( \dfrac{1}{u} - \dfrac{u}{u^2 + 16} \right)\ du} \)
İfadenin genelleştirilmiş integralini alalım.
\( = \lim\limits_{L \to \infty} \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{s}^{L} {\left( \dfrac{1}{u} - \dfrac{u}{u^2 + 16} \right)\ du} \)
\( = \lim\limits_{L \to \infty} \dfrac{1}{2}\left[ \ln{\abs{u}} - \dfrac{1}{2}\ln{\abs{u^2 + 16}} \right]_{s}^{L} \)
\( = \lim\limits_{L \to \infty} \dfrac{1}{4}\left[ 2\ln{\abs{u}} - \ln{\abs{u^2 + 16}} \right]_{s}^{L} \)
\( = \lim\limits_{L \to \infty} \dfrac{1}{4}\left[ \ln{\abs{u^2}} - \ln{\abs{u^2 + 16}} \right]_{s}^{L} \)
\( = \lim\limits_{L \to \infty} \dfrac{1}{4}\left[ \ln{\abs{\dfrac{u^2}{u^2 + 16}}} \right]_{s}^{L} \)
\( = \lim\limits_{L \to \infty} \dfrac{1}{4}\left( \ln{\abs{\dfrac{L^2}{L^2 + 16}}} - \ln{\abs{\dfrac{s^2}{s^2 + 16}}} \right) \)
\( L \to \infty \) iken \( \ln{\abs{\frac{L^2}{L^2 + 16}}} \to \ln{1} = 0 \) olur.
\( f \) fonksiyonu \( \alpha = 0 \) mertebeden üsteldir, dolayısıyla \( s \gt 0 \) için Laplace dönüşümü tanımlıdır.
\( = \dfrac{1}{4}\left( 0 - \ln{\abs{\dfrac{s^2}{s^2 + 16}}} \right) \)
\( = \dfrac{1}{4}\ln{\dfrac{s^2 + 16}{s^2}} \)
\( g(t) = 2t\sin(4t)\sin(3t) \) fonksiyonunun Laplace dönüşümünü bulunuz.
Çözümü Göster\( g(t) = 2t\sin(4t)\sin(3t) \) diyelim.
Trigonometrik çarpım ters dönüşüm formülünü kullanalım.
\( \sin{x}\sin{y} = -\dfrac{1}{2}(\cos(x + y) - \cos(x - y)) \)
\( = 2t[-\dfrac{1}{2}(\cos(4t + 3t) - \cos(4t - 3t))] \)
\( = t(\cos{t} - \cos(7t)) \)
\( f(t) = \cos{t} - \cos(7t) \) diyelim.
\( \mathcal{L}\{ f(t) \} = F(s) = \dfrac{s}{s^2 + 1} - \dfrac{s}{s^2 + 49} \)
Dönüşümün türevi formülünü kullanalım.
\( \mathcal{L}\{ tf(t) \} = -\dfrac{d(F(s))}{ds} \)
\( \mathcal{L}\{ t(\cos{t} - \cos(7t)) \} = -\dfrac{d}{ds}\left( \dfrac{s}{s^2 + 1} - \dfrac{s}{s^2 + 49} \right) \)
\( = -\dfrac{1(s^2 + 1) - s(2s)}{(s^2 + 1)^2} + \dfrac{1(s^2 + 49) - s(2s)}{(s^2 + 49)^2} \)
\( = \dfrac{s^2 - 1}{(s^2 + 1)^2} - \dfrac{s^2 - 49}{(s^2 + 49)^2} \)