Konvolüsyon
\( f \) ve \( g \) parçalı sürekli fonksiyonlar olmak üzere, \( f * g \) şeklinde ifade edilen işleme bu iki fonksiyonun konvolüsyonu denir ve aşağıdaki şekilde hesaplanır.
\( t \ge 0 \) olmak üzere,
\( (f * g)(t) = \displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {f(u)g(t - u)\ du} \)
Konvolüsyon işlemini bir örnek üzerinde gösterelim.
\( f(t) = t^3 + t^2 \) ve \( g(t) = 2t \) fonksiyonlarının konvolüsyonunu bulalım.
\( (f * g)(t) = \displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {f(u)g(t - u)\ du} \)
\( = \displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {(u^3 + u^2)(2(t - u))\ du} \)
\( = \displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {(2tu^3 - 2u^4 + 2tu^2 - 2u^3)\ du} \)
\( = \left[ \dfrac{tu^4}{2} - \dfrac{2u^5}{5} + \dfrac{2tu^3}{3} - \dfrac{u^4}{2} \right]_{u=0}^{u=t} \)
\( = \left( \dfrac{t(t)^4}{2} - \dfrac{2t^5}{5} + \dfrac{2t(t)^3}{3} - \dfrac{t^4}{2} \right) - (0 - 0 + 0 - 0) \)
\( = \dfrac{t^5}{2} - \dfrac{2t^5}{5} + \dfrac{2t^4}{3} - \dfrac{t^4}{2} \)
\( = \dfrac{t^5}{10} + \dfrac{t^4}{6} \)
Konvolüsyonun İşlem Özellikleri
Konvolüsyon işleminin değişme özelliği vardır.
\( f * g = g * f \)
Konvolüsyon işleminin birleşme özelliği vardır.
\( f * (g * h) = (f * g) * h \)
Konvolüsyon işleminin toplama işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.
\( f * (g + h) = f * g + f * h \)
Bir fonksiyonun sıfır fonksiyonu ile konvolüsyonu sıfıra eşittir.
\( f * 0 = 0 * f = 0 \)
Konvolüsyon Teoremi
Konvolüsyon teoremine göre, iki fonksiyonun konvolüsyonunun Laplace dönüşümü, fonksiyonların ayrı ayrı Laplace dönüşümlerinin çarpımına eşittir.
\( \mathcal{L}\{ (f * g)(t) \} = \mathcal{L}\{ f(t) \} \cdot \mathcal{L}\{ g(t) \} \)
\( = F(s)G(s) \} \)
Bir diğer ifadeyle, \( s \) değişkenine bağlı iki fonksiyonun çarpımının ters Laplace dönüşümü, bu iki fonksiyonun ayrı ayrı Laplace dönüşümlerinin konvolüsyonuna eşittir.
\( \mathcal{L}^{-1}\{ F(s)G(s) \} = (f * g)(t) \)
Aşağıdaki örnekte görülebileceği gibi, konvolüsyon ters Laplace dönüşümlerinde sıklıkla kullanılan bir yöntemdir.
\( \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{(s - 3)(s - 5)} \right\} \)
ters Laplace dönüşümünün sonucunu bulalım.
Verilen ifadeyi iki fonksiyonun çarpımı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{1}{(s - 3)(s - 5)} = F(s)G(s) \)
\( F(s) = \dfrac{1}{s - 3} \)
\( G(s) = \dfrac{1}{s - 5} \)
Bu iki fonksiyonun ters Laplace dönüşümleri aşağıdaki gibidir.
\( f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{ F(s) \} = e^{3t} \)
\( g(t) = \mathcal{L}^{-1}\{ G(s) \} = e^{5t} \)
Konvolüsyon teoremini uygulayalım.
\( \mathcal{L}^{-1}\{ F(s)G(s) \} = (f * g)(t) \)
\( = \displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {e^{3u}e^{5(t-u)}\ du} \)
\( = \displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {e^{3u}e^{5t}e^{-5u}\ du} \)
İntegral \( u \) değişkenine göre alındığı için \( t \) değişkenini sabit kabul edebiliriz.
\( = e^{5t}\displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {e^{-2u}\ du} \)
\( = e^{5t}(-\dfrac{1}{2}e^{-2u})|_0^t \)
\( = -\dfrac{1}{2}e^{5t}(e^{-2t} - e^{-2(0)}) \)
\( = -\dfrac{1}{2}e^{5t}(e^{-2t} - 1) \)
\( = \dfrac{e^{5t} - e^{3t}}{2} \)
Aynı sonuç basit kesirlere ayırma yöntemi ile de bulunabilir.
\( \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{(s + 7)(s - 5)} \right\} \)
ters Laplace dönüşümünün sonucunu bulunuz.
Çözümü GösterVerilen ifadeyi iki fonksiyonun çarpımı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{1}{(s + 7)(s - 5)} = F(s)G(s) \)
\( F(s) = \dfrac{1}{s + 7} \)
\( G(s) = \dfrac{1}{s - 5} \)
Bu iki fonksiyonun ters Laplace dönüşümleri aşağıdaki gibidir.
\( f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{ F(s) \} = e^{-7t} \)
\( g(t) = \mathcal{L}^{-1}\{ G(s) \} = e^{5t} \)
Konvolüsyon teoremini uygulayalım.
\( \mathcal{L}^{-1}\{ F(s)G(s) \} = (f * g)(t) \)
\( = \displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {e^{-7u}e^{5(t-u)}\ du} \)
\( = \displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {e^{5t}e^{-12u}\ du} \)
İntegral \( u \) değişkenine göre alındığı için \( t \) değişkenini sabit kabul edebiliriz.
\( = e^{5t}\displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {e^{-12u}\ du} \)
\( = e^{5t}\left[ -\dfrac{1}{12}e^{-12u} \right]_0^t \)
\( = -\dfrac{1}{12}e^{5t}(e^{-12t} - e^{-12(0)}) \)
\( = -\dfrac{1}{12}e^{5t}(e^{-12t} - 1) \)
\( = \dfrac{e^{5t} - e^{-7t}}{12} \)
Aynı sonuç basit kesirlere ayırma yöntemi ile de bulunabilir.
İfadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{(s + 7)(s - 5)} \right\} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{-\frac{1}{12}}{s + 7} + \dfrac{\frac{1}{12}}{s - 5} \right\} \)
Ters Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanalım.
\( = -\dfrac{1}{12}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s + 7} \right\} + \dfrac{1}{12}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s - 5} \right\} \)
\( = \dfrac{e^{5t} - e^{-7t}}{12} \)
\( f(x) = x^2 \)
\( g(x) = \begin{cases} 0 & x \lt 5 \\ x & x \ge 5 \end{cases} \)
fonksiyonlarının konvolüsyonunu bulunuz.
Çözümü Göster\( (f * g)(x) = \displaystyle\int_{u=0}^{u=x} {f(u)g(x - u)\ du} \)
\( = \displaystyle\int_{u=0}^{u=x-5} {u^2(x - u)\ du} \)
\( = \displaystyle\int_{u=0}^{u=x-5} {(xu^2 - u^3)\ du} \)
\( = \left[ \dfrac{xu^3}{3} - \dfrac{u^4}{4} \right]_0^{x-5} \)
\( = \dfrac{x(x - 5)^3}{3} - \dfrac{x(0)^3}{3} - \left( \dfrac{(x - 5)^4}{4} - \dfrac{0^4}{4} \right) \)
\( = \dfrac{(x - 5)^3}{12}(4x - 3(x - 5)) \)
\( = \dfrac{(x - 5)^3(x + 15)}{12} \)
\( f(t) = e^t \)
\( g(t) = \begin{cases} 0 & t \lt 10 \\ e^{-2t} & t \ge 10 \end{cases} \)
fonksiyonlarının konvolüsyonunu bulunuz.
Çözümü Göster\( (f * g)(t) = \displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {f(u)g(t - u)\ du} \)
\( = \displaystyle\int_{u=0}^{u=t-10} {e^ue^{-2(t - u)}\ du} \)
\( = \displaystyle\int_{u=0}^{u=t-10} {e^{-2t}e^{3u}\ du} \)
\( = e^{-2t}\left[ \dfrac{1}{3}e^{3u} \right]_0^{t-10} \)
\( = e^{-2t}\left[ \dfrac{1}{3}e^{3(t - 10)} - \dfrac{1}{3}e^{3(0)} \right] \)
\( = \dfrac{1}{3}(e^{t - 30} - e^{-2t}) \)
\( \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s^2(s - 2)} \right\} \)
ters Laplace dönüşümünün sonucunu bulunuz.
Çözümü GösterVerilen ifadeyi iki fonksiyonun çarpımı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{1}{s^2(s - 2)} = F(s)G(s) \)
\( F(s) = \dfrac{1}{s^2} \)
\( G(s) = \dfrac{1}{s - 2} \)
Bu iki fonksiyonun ters Laplace dönüşümleri aşağıdaki gibidir.
\( f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{ F(s) \} = t \)
\( g(t) = \mathcal{L}^{-1}\{ G(s) \} = e^{2t} \)
Konvolüsyon teoremini uygulayalım.
\( \mathcal{L}^{-1}\{ F(s)G(s) \} = (f * g)(t) \)
\( = \displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {ue^{2(t - u)}\ du} \)
\( = \displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {ue^{2t}e^{-2u}\ du} \)
İntegral \( u \) değişkenine göre alındığı için \( t \) değişkenini sabit kabul edebiliriz.
\( = e^{2t}\displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {ue^{-2u}\ du} \)
İfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( z \) ve \( dw \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( z = u \)
\( dw = e^{-2u}\ du \)
Buna göre \( dz \) ve \( w \) aşağıdaki gibi olur.
\( dz = du \)
\( w = -\dfrac{1}{2}e^{-2u} \)
Bu ifadeleri \( \int {z\ dw} = zw - \int {w\ dz} \) kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( = e^{2t}\left( \left[ -\dfrac{1}{2}ue^{-2u} \right]_0^t - \displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {-\dfrac{1}{2}e^{-2u}\ du} \right) \)
\( = e^{2t}\left( \left[ -\dfrac{1}{2}ue^{-2u} \right]_0^t - \left[ \dfrac{1}{4}e^{-2u} \right]_0^t \right) \)
\( = e^{2t}\left( -\dfrac{1}{2}te^{-2t} + \dfrac{1}{2}(0)e^{-2(0)} - \dfrac{1}{4}e^{-2t} + \dfrac{1}{4}e^{-2(0)} \right) \)
\( = e^{2t}\left( -\dfrac{1}{2}te^{-2t} - \dfrac{1}{4}e^{-2t} + \dfrac{1}{4} \right) \)
\( = \dfrac{1}{4}e^{2t} - \dfrac{1}{2}t - \dfrac{1}{4} \)
\( f(t) = e^{-t} \) ve \( g(t) = \cos{t} \) fonksiyonlarının konvolüsyonunu bulunuz.
Çözümü Göster\( (f * g)(t) = \displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {f(u)g(t - u)\ du} \)
\( = \displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {e^{-u}\cos(t - u)\ du} \)
İfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( z \) ve \( dw \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( z = \cos(t - u) \)
\( dw = e^{-u}\ du \)
Buna göre \( dz \) ve \( w \) aşağıdaki gibi olur.
\( dz = \sin(t - u)\ du \)
\( w = -e^{-u} \)
Bu ifadeleri \( \int {z\ dw} = zw - \int {w\ dz} \) kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {e^{-u}\cos(t - u)\ du} = [-e^{-u}\cos(t - u)]_0^t + \displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {e^{-u}\sin(t - u)\ du} \)
İfadenin integralini almak için tekrar kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( z \) ve \( dw \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( z = \sin(t - u) \)
\( dw = e^{-u}\ du \)
Buna göre \( dz \) ve \( w \) aşağıdaki gibi olur.
\( dz = -\cos(t - u)\ du \)
\( w = -e^{-u} \)
Bu ifadeleri \( \int {z\ dw} = zw - \int {w\ dz} \) kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {e^{-u}\cos(t - u)\ du} = [-e^{-u}\cos(t - u)]_0^t - [e^{-u}\sin(t - u)]_0^t - \displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {e^{-u}\cos(t - u)\ du} \)
\( 2\displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {e^{-u}\cos(t - u)\ du} = [-e^{-t}\cos{0} + e^{-0}\cos{t}] - [e^{-t}\sin{0} - e^{-0}\sin{t}] \)
\( \displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {e^{-u}\cos(t - u)\ du} = \dfrac{\cos{t} + \sin{t} - e^{-t}}{2} \)
\( f(x) = xe^{-2x} \) ve \( g(x) = x \) fonksiyonlarının konvolüsyonunu bulunuz.
Çözümü Göster\( (f * g)(x) = \displaystyle\int_{u=0}^{u=x} {f(u)g(x - u)\ du} \)
\( = \displaystyle\int_{u=0}^{u=x} {ue^{-2u}(x - u)\ du} \)
İfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( z \) ve \( dw \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( z = u(x - u) \)
\( dw = e^{-2u}\ du \)
Buna göre \( dz \) ve \( w \) aşağıdaki gibi olur.
\( dz = (x - 2u)\ du \)
\( w = -\dfrac{1}{2}e^{-2u} \)
Bu ifadeleri \( \int {z\ dw} = zw - \int {w\ dz} \) kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( = \left[ -\dfrac{1}{2}u(x - u)e^{-2u} \right]_0^x + \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{u=0}^{u=x} {e^{-2u}(x - 2u)\ du} \)
İfadenin integralini almak için tekrar kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( z \) ve \( dw \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( z = x - 2u \)
\( dw = e^{-2u}\ du \)
Buna göre \( dz \) ve \( w \) aşağıdaki gibi olur.
\( dz = -2\ du \)
\( w = -\dfrac{1}{2}e^{-2u} \)
Bu ifadeleri \( \int {z\ dw} = zw - \int {w\ dz} \) kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( = \left[ -\dfrac{1}{2}u(x - u)e^{-2u} \right]_0^x + \dfrac{1}{2}\left( \left[ -\dfrac{1}{2}(x - 2u)e^{-2u} \right]_0^x - \displaystyle\int_{u=0}^{u=x} {e^{-2u}\ du} \right) \)
\( = \left[ -\dfrac{1}{2}u(x - u)e^{-2u} \right]_0^x + \dfrac{1}{2}\left( \left[ -\dfrac{1}{2}(x - 2u)e^{-2u} \right]_0^x + \left[ \dfrac{1}{2}e^{-2u} \right]_0^x \right) \)
\( = \left[ -\dfrac{1}{2}u(x - u)e^{-2u} \right]_0^x - \left[ \dfrac{1}{4}(x - 2u)e^{-2u} \right]_0^x + \left[ \dfrac{1}{4}e^{-2u} \right]_0^x \)
\( = \left[ -\dfrac{1}{2}x(x - x)e^{-2x} - 0 \right] - \left[ \dfrac{1}{4}(x - 2x)e^{-2x} - \dfrac{1}{4}(x - 2(0))e^{-2(0)} \right] + \left[ \dfrac{1}{4}e^{-2x} - \dfrac{1}{4}e^{-2(0)} \right] \)
\( = \dfrac{1}{4}(xe^{-2x} + x + e^{-2x} - 1) \)
\( \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{2}{s(s^2 + 4)} \right\} \)
ters Laplace dönüşümünün sonucunu bulunuz.
Çözümü GösterVerilen ifadeyi iki fonksiyonun çarpımı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{2}{s(s^2 + 4)} = F(s)G(s) \)
\( F(s) = \dfrac{1}{s} \)
\( G(s) = \dfrac{2}{s^2 + 4} \)
Bu iki fonksiyonun ters Laplace dönüşümleri aşağıdaki gibidir.
\( f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{ F(s) \} = 1 \)
\( g(t) = \mathcal{L}^{-1}\{ G(s) \} = \sin(2t) \)
Konvolüsyon teoremini uygulayalım.
\( \mathcal{L}^{-1}\{ F(s)G(s) \} = (f * g)(t) \)
\( = \displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {1 \cdot \sin(2(t - u))\ du} \)
\( = \displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {\sin(2t - 2u)\ du} \)
Sinüs fark formülünü kullanalım.
\( = \displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {(\sin(2t)\cos(2u) - \cos(2t)\sin(2u))\ du} \)
\( = \displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {\sin(2t)\cos(2u)\ du} - \displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {\cos(2t)\sin(2u)\ du} \)
İntegral \( u \) değişkenine göre alındığı için \( t \) değişkenini sabit kabul edebiliriz.
\( = \sin(2t)\displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {\cos(2u)\ du} - \cos(2t)\displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {\sin(2u)\ du} \)
\( = \sin(2t)\left[ \dfrac{1}{2}\sin(2u) \right]_0^t - \cos(2t)\left[ -\dfrac{1}{2}\cos(2u) \right]_0^t \)
\( = \dfrac{1}{2}(\sin(2t)(\sin(2t) - \sin(2(0))) + \cos(2t)(\cos(2t) - \cos(2(0)))) \)
\( = \dfrac{1}{2}(\sin(2t)\sin(2t) + \cos(2t)(\cos(2t) - 1)) \)
\( = \dfrac{1}{2}(\sin^2(2t) + \cos^2(2t) - \cos(2t)) \)
\( = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2t)) \)
\( = \sin^2{t} \)
\( \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s^2(s^2 + 1)} \right\} \)
ters Laplace dönüşümünün sonucunu bulunuz.
Çözümü GösterVerilen ifadeyi iki fonksiyonun çarpımı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{1}{s^2(s^2 + 1)} = F(s)G(s) \)
\( F(s) = \dfrac{1}{s^2} \)
\( G(s) = \dfrac{1}{s^2 + 1} \)
Bu iki fonksiyonun ters Laplace dönüşümleri aşağıdaki gibidir.
\( f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{ F(s) \} = t \)
\( g(t) = \mathcal{L}^{-1}\{ G(s) \} = \sin{t} \)
Konvolüsyon teoremini uygulayalım.
\( \mathcal{L}^{-1}\{ F(s)G(s) \} = (f * g)(t) \)
\( = \displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {u\sin(t - u)\ du} \)
İfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( z \) ve \( dw \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( z = u \)
\( dw = \sin(t - u)\ du \)
Buna göre \( dz \) ve \( w \) aşağıdaki gibi olur.
\( dz = du \)
\( w = \cos(t - u) \)
Bu ifadeleri \( \int {z\ dw} = zw - \int {w\ dz} \) kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( = [u\cos(t - u)]_0^t - \displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {\cos(t - u)\ du} \)
Kosinüs fark formülünü kullanalım.
\( = [u\cos(t - u)]_0^t - \displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {(\cos{t}\cos{u} + \sin{t}\sin{u})\ du} \)
\( = [u\cos(t - u)]_0^t - \displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {\cos{t}\cos{u}\ du} - \displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {\sin{t}\sin{u}\ du} \)
İntegral \( u \) değişkenine göre alındığı için \( t \) değişkenini sabit kabul edebiliriz.
\( = [u\cos(t - u)]_0^t - \cos{t}\displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {\cos{u}\ du} - \sin{t}\displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {\sin{u}\ du} \)
\( = [u\cos(t - u)]_0^t - \cos{t}[\sin{u}]_0^t - \sin{t}[-\cos{u}]_0^t \)
\( = t\cos(t - t) - 0\cos(t - 0) - \cos{t}(\sin{t} - \sin{0}) - \sin{t}(-\cos{t} + \cos{0}) \)
\( = t - \cos{t}\sin{t} + \sin{t}\cos{t} - \sin{t} \)
\( = t - \sin{t} \)
\( \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{3s}{(s^2 + 9)^2} \right\} \)
ters Laplace dönüşümünün sonucunu bulunuz.
Çözümü GösterVerilen ifadeyi iki fonksiyonun çarpımı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{3s}{(s^2 + 9)^2} = F(s)G(s) \)
\( F(s) = \dfrac{3}{s^2 + 9} \)
\( G(s) = \dfrac{s}{s^2 + 9} \)
Bu iki fonksiyonun ters Laplace dönüşümleri aşağıdaki gibidir.
\( f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{ F(s) \} = \sin(3t) \)
\( g(t) = \mathcal{L}^{-1}\{ G(s) \} = \cos(3t) \)
Konvolüsyon teoremini uygulayalım.
\( \mathcal{L}^{-1}\{ F(s)G(s) \} = (f * g)(t) \)
\( = \displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {\sin(3u)\cos(3(t - u))\ du} \)
\( = \displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {\sin(3u)\cos(3t - 3u)\ du} \)
Kosinüs fark formülünü kullanalım.
\( = \displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {\sin(3u)(\cos(3t)\cos(3u) + \sin(3t)\sin(3u))\ du} \)
\( = \displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {\sin(3u)\cos(3t)\cos(3u)\ du} + \displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {\sin(3t)\sin^2(3u)\ du} \)
İntegral \( u \) değişkenine göre alındığı için \( t \) değişkenini sabit kabul edebiliriz.
\( = \cos(3t)\displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {\sin(3u)\cos(3u)\ du} + \sin(3t)\displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {\sin^2(3u)\ du} \)
\( = \cos(3t)\displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {\dfrac{1}{2}\sin(6u)\ du} + \sin(3t)\displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {\dfrac{1 - \cos(6u)}{2}\ du} \)
\( = \cos(3t)\left[ -\dfrac{\cos(6u)}{12} \right]_0^t + \sin(3t)\left[ \dfrac{u}{2} - \dfrac{\sin(6u)}{12} \right]_0^t \)
\( = \cos(3t)\left( -\dfrac{\cos(6t)}{12} + \dfrac{\cos(6(0))}{12} \right) + \sin(3t)\left( \dfrac{t}{2} - \dfrac{\sin(6t)}{12} - \dfrac{0}{2} + \dfrac{\sin(6(0))}{12} \right) \)
\( = -\dfrac{\cos(6t)\cos(3t)}{12} + \dfrac{\cos(3t)}{12} + \dfrac{t\sin(3t)}{2} - \dfrac{\sin(6t)\sin(3t)}{12} \)
\( = -\dfrac{\cos(6t)\cos(3t) + \sin(6t)\sin(3t)}{12} + \dfrac{\cos(3t)}{12} + \dfrac{t\sin(3t)}{2} \)
Kosinüs fark formülünü kullanalım.
\( = -\dfrac{\cos(6t - 3t)}{12} + \dfrac{\cos(3t)}{12} + \dfrac{t\sin(3t)}{2} \)
\( = -\dfrac{\cos(3t)}{12} + \dfrac{\cos(3t)}{12} + \dfrac{t\sin(3t)}{2} \)
\( = \dfrac{t\sin(3t)}{2} \)
\( \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{2}{s(s^2 - 2s + 5)} \right\} \)
ters Laplace dönüşümünün sonucunu bulunuz.
Çözümü GösterVerilen ifadeyi iki fonksiyonun çarpımı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{2}{s(s^2 - 2s + 5)} = F(s)G(s) \)
\( F(s) = \dfrac{1}{s} \)
\( G(s) = \dfrac{2}{s^2 - 2s + 5} = \dfrac{2}{(s - 1)^2 + 4} \)
Bu iki fonksiyonun ters Laplace dönüşümleri aşağıdaki gibidir.
\( f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{ F(s) \} = 1 \)
\( g(t) = \mathcal{L}^{-1}\{ G(s) \} = e^t\sin(2t) \)
Konvolüsyon teoremini uygulayalım.
\( \mathcal{L}^{-1}\{ F(s)G(s) \} = (f * g)(t) \)
\( = \displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {1 \cdot e^{t - u}\sin(2(t - u))\ du} \)
\( = \displaystyle\int_{u=0}^{u=t} {e^{t - u}\sin(2(t - u))\ du} \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( z = t - u \)
\( \Longrightarrow \ dz = -1\ du \)
Sınır değerlerini \( z \) cinsinden yazalım.
\( z(0) = t - 0 = t \)
\( z(t) = t - t = 0 \)
\( t \) değişkenlerinin \( z \) karşılıklarını yazalım.
\( = \displaystyle\int_{z=t}^{z=0} {-e^z\sin(2z)\ dz} \)
\( = \displaystyle\int_{z=0}^{z=t} {e^z\sin(2z)\ dz} \)
İfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( v \) ve \( dw \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( v = \sin(2z) \)
\( dw = e^z\ dz \)
Buna göre \( dv \) ve \( w \) aşağıdaki gibi olur.
\( dv = 2\cos(2z)\ dz \)
\( w = e^z \)
Bu ifadeleri \( \int {v\ dw} = vw - \int {w\ dv} \) kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( = [e^z\sin(2z)]_0^t + \displaystyle\int_{z=0}^{z=t} {-2e^z\cos(2z)\ dz} \)
İfadenin integralini almak için tekrar kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( v \) ve \( dw \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( v = -2\cos(2z) \)
\( dw = e^z\ dz \)
Buna göre \( dv \) ve \( w \) aşağıdaki gibi olur.
\( dv = 4\sin(2z)\ dz \)
\( w = e^z \)
Bu ifadeleri \( \int {v\ dw} = vw - \int {w\ dv} \) kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( = [e^z\sin(2z)]_0^t - [2e^z\cos(2z)]_0^t - \displaystyle\int_{z=0}^{z=t} {4e^z\sin(2z)\ dz} \)
\( \displaystyle\int_{z=0}^{z=t} {e^z\sin(2z)\ dz} + 4\displaystyle\int_{z=0}^{z=t} {e^z\sin(2z)\ dz} = [e^z\sin(2z)]_0^t - [2e^z\cos(2z)]_0^t \)
\( 5\displaystyle\int_{z=0}^{z=t} {e^z\sin(2z)\ dz} = (e^t\sin(2t) - e^0\sin(2(0))) - (2e^t\cos(2t) - 2e^0\cos(2(0))) \)
\( 5\displaystyle\int_{z=0}^{z=t} {e^z\sin(2z)\ dz} = e^t\sin(2t) - 2e^t\cos(2t) + 2 \)
\( \displaystyle\int_{z=0}^{z=t} {e^z\sin(2z)\ dz} = \dfrac{e^t\sin(2t)}{5} - \dfrac{2e^t\cos(2t)}{5} + \dfrac{2}{5} \)