Laplace Dönüşümü ile Denklem Çözümü
Önceki bölümlerde bir türev ifadesine Laplace dönüşümü uygulandığında ifadenin türev içermeyen bir cebirsel ifadeye dönüştüğünü gördük (aşağıdaki \( f'(0) \) ifadesi türev fonksiyonunun belirli bir noktadaki değeri olup sabit bir değerdir).
\( \mathcal{L}\{ f'(t) \} = sF(s) - f(0) \)
\( \mathcal{L}\{ f''(t) \} = s^2F(s) - sf(0) - f'(0) \)
Bu özellik Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliği ile birlikte düşünüldüğünde, bir diferansiyel denkleme Laplace dönüşümü uygulandığında denklemin türev içermeyen bir cebirsel denkleme dönüşeceği görülebilir. Böyle bir denklem de diferansiyel denklem çözüm yöntemlerine girmeden cebirsel işlemlerle çözülebilir.
Laplace dönüşümü genellikle sabit katsayılı ve homojen lineer ADD'lerin çözümünde kullanılır ve denklemin mertebesi ile ilgili herhangi bir kısıtlama yoktur. Bununla birlikte aşağıdaki iki noktanın bilinmesi önemlidir.
- Eşitliğin sağ tarafındaki \( f(t) \) fonksiyonu Laplace dönüşümü alınabilir bir fonksiyon olmak koşuluyla, Laplace dönüşümü homojen olmayan denklemlere de uygulanabilir.
- Oluşan terimleri Laplace dönüşümü alınabilir terimler olmak koşuluyla, Laplace dönüşümü değişken katsayılı lineer denklemlere de uygulanabilir. Bu durumda Laplace dönüşümü ile elde edilen denklemin daha düşük mertebeden, ama yine bir diferansiyel denklem olacağı akılda tutulmalıdır (bu konuda aşağıdaki ilgili soruları inceleyebilirsiniz).
Bir türev ifadesinin Laplace dönüşümü fonksiyonun \( t = 0 \) noktasındaki başlangıç değerini içerdiği için, Laplace dönüşümü başlangıç koşulları \( t = 0 \) noktası için verilmiş başlangıç değer problemlerine uygulanabilir.
Diferansiyel denklemler Laplace dönüşümü kullanılarak aşağıdaki şekilde çözülür.
Adım 1: Laplace dönüşümü
Denklemdeki bilinmeyen fonksiyon için Laplace dönüşümü tanımlanır.
\( \mathcal{L}\{ y(t) \} = Y(s) \)
Denklemin taraflarına Laplace dönüşümü uygulanır.
Laplace dönüşümünün doğrusallık ve diğer özellikleri kullanılarak tüm terimlerin Laplace dönüşümü bulunur.
Adım 2: Başlangıç koşulları
Bilinmeyen fonksiyon için verilen başlangıç koşulları denklemde yerine konur.
Adım 3: Frekans tanım kümesindeki çözüm
Elde edilen \( s \) değişkenine bağlı denklemde \( Y(s) \) ifadesi yalnız bırakılır.
Bu \( Y(s) \) ifadesi denklemin frekans tanım kümesindeki çözümüdür.
Adım 4: Zaman tanım kümesindeki çözüm
\( Y(s) \) çözümünün taraflarına ters Laplace dönüşümü uygulanarak zaman tanım kümesindeki \( y(t) \) çözümü bulunur.
\( \mathcal{L}^{-1}\{ Y(s) \} = y(t) \)
Karşılaşacağımız sorulardaki denklemlerin Laplace dönüşümü çoğu zaman \( Y(s) = \frac{P(s)}{Q(s)} \) formunda bir rasyonel fonksiyon olarak bulunur, bu durumda \( Y(s) \) çözümü önce basit kesirlere ayırma yöntemiyle basit kesirlerin toplamı şeklinde yazılır, daha sonra ters Laplace dönüşümü uygulanarak \( y(t) \) çözümü bulunur.
Bir diferansiyel denklemin Laplace dönüşümü ile çözümünü bir örnek üzerinde gösterelim.
Basit kesirlere ayırma yöntemi Laplace dönüşümü ile diferansiyel denklem çözümünde sıklıkla kullanılır. Bu bölümdeki sorularda basit kesirlere ayırma işlemlerini detaylandırmadan sonucu tek adımda veriyor olacağız. Bu yöntemle ilgili detaylı bilgi için ilgili konu anlatım sayfasını inceleyebilirsiniz.
\( y' - 3y = 6 \)
\( y(0) = 1 \)
denkleminin verilen başlangıç değeri için çözümünü bulalım.
Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanarak eşitliğin taraflarına Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \mathcal{L}\{ y' \} - 3\mathcal{L}\{ y \} = \mathcal{L}\{ 6 \} \)
\( \mathcal{L}\{ y \} = Y(s) \) diyelim.
Türevin dönüşümü formülünü kullanalım.
\( \mathcal{L}\{ y' \} = sY(s) - y(0) \)
\( = sY(s) - 1 \)
\( y \) ve türevlerini denklemde yerine koyalım.
\( sY(s) - 1 - 3Y(s) = \dfrac{6}{s} \)
\( Y(s) \) ifadesini yalnız bırakalım.
\( (s - 3)Y(s) = \dfrac{6}{s} + 1 \)
\( Y(s) = \dfrac{6 + s}{s(s - 3)} \)
Bu \( Y(s) \) ifadesi denklemin frekans tanım kümesindeki çözümüdür.
Denklemin zaman tanım kümesindeki \( y(t) \) çözümünü bulmak için \( Y(s) \) çözümünün taraflarına ters Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( y(t) = \mathcal{L}^{-1}\{ Y(s) \} \)
\( = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{6 + s}{s(s - 3)} \right\} \)
Basit kesirlere ayırma yöntemi ile ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{3}{s - 3} - \dfrac{2}{s} \right\} \)
Ters Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanalım.
\( = 3\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s - 3} \right\} - 2\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s} \right\} \)
Denklemin verilen başlangıç değeri için özel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y(t) = 3e^{3t} - 2 \)
Bulduğumuz çözümün verilen denklemi ve başlangıç koşulunu sağladığını kontrol edelim.
\( y' - 3y = 6 \)
\( (3e^{3t} - 2)' - 3(3e^{3t} - 2) \overset{?}{=} 6 \)
\( 9e^{3t} - 9e^{3t} + 6 = 6 \)
\( y(0) \overset{?}{=} 1 \)
\( 3e^{3(0)} - 2 = 1 \)
\( y'' + y = -\cos{x} \)
\( y(0) = 1, \quad y'(0) = -2 \)
denkleminin verilen başlangıç değerleri için çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterLaplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanarak eşitliğin taraflarına Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \mathcal{L}\{ y'' \} + \mathcal{L}\{ y \} = -\mathcal{L}\{ \cos{x} \} \)
\( \mathcal{L}\{ y \} = Y(s) \) diyelim.
Türevin dönüşümü formülünü kullanalım.
\( \mathcal{L}\{ y'' \} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) \)
\( = s^2Y(s) - s + 2 \)
\( y \) ve türevlerini denklemde yerine koyalım.
\( s^2Y(s) - s + 2 + Y(s) = -\dfrac{s}{s^2 + 1} \)
\( Y(s) \) ifadesini yalnız bırakalım.
\( (s^2 + 1)Y(s) = -\dfrac{s}{s^2 + 1} + s - 2 \)
\( Y(s) = \dfrac{s - 2}{s^2 + 1} - \dfrac{s}{(s^2 + 1)^2} \)
Eşitliğin taraflarına ters Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \mathcal{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{s - 2}{s^2 + 1} - \dfrac{s}{(s^2 + 1)^2} \right\} \)
\( = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{s}{s^2 + 1} - \dfrac{2}{s^2 + 1} - \dfrac{s}{(s^2 + 1)^2} \right\} \)
Ters Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanalım.
\( = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{s}{s^2 + 1} \right\} - 2\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s^2 + 1} \right\} - \dfrac{1}{2}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{2s}{(s^2 + 1)^2} \right\} \)
\( y(x) = \cos{x} - 2\sin{x} - \dfrac{1}{2}x\sin{x} \)
\( y' + 4y = 1 \)
\( y(0) = 2 \)
denkleminin verilen başlangıç değeri için çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterLaplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanarak eşitliğin taraflarına Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \mathcal{L}\{ y' \} + 4\mathcal{L}\{ y \} = \mathcal{L}\{ 1 \} \)
\( \mathcal{L}\{ y \} = Y(s) \) diyelim.
Türevin dönüşümü formülünü kullanalım.
\( \mathcal{L}\{ y' \} = sY(s) - y(0) \)
\( = sY(s) - 2 \)
\( y \) ve türevlerini denklemde yerine koyalım.
\( sY(s) - 2 + 4Y(s) = \dfrac{1}{s} \)
\( Y(s) \) ifadesini yalnız bırakalım.
\( (s + 4)Y(s) = \dfrac{1}{s} + 2 \)
\( Y(s) = \dfrac{1 + 2s}{s(s + 4)} \)
Eşitliğin taraflarına ters Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \mathcal{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1 + 2s}{s(s + 4)} \right\} \)
Eşitliğin sağ tarafını basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{4s} + \dfrac{7}{4(s + 4)} \right\} \)
Ters Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanalım.
\( = \dfrac{1}{4}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s} \right\} + \dfrac{7}{4}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s + 4} \right\} \)
\( y(t) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{7}{4}e^{-4t} \)
\( y'' - y = 0 \)
\( y(0) = 5, \quad y'(0) = 2 \)
denkleminin verilen başlangıç değerleri için çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterLaplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanarak eşitliğin taraflarına Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \mathcal{L}\{ y'' \} - \mathcal{L}\{ y \} = \mathcal{L}\{ 0 \} \)
\( \mathcal{L}\{ y \} = Y(s) \) diyelim.
Türevin dönüşümü formülünü kullanalım.
\( \mathcal{L}\{ y'' \} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) \)
\( = s^2Y(s) - 5s - 2 \)
\( y \) ve türevlerini denklemde yerine koyalım.
\( s^2Y(s) - 5s - 2 - Y(s) = 0 \)
\( Y(s) \) ifadesini yalnız bırakalım.
\( (s^2 - 1)Y(s) = 5s + 2 \)
\( Y(s) = \dfrac{5s + 2}{s^2 - 1} \)
Eşitliğin taraflarına ters Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \mathcal{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{5s + 2}{s^2 - 1} \right\} \)
Eşitliğin sağ tarafını basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{\frac{7}{2}}{s - 1} + \dfrac{\frac{3}{2}}{s + 1} \right\} \)
Ters Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanalım.
\( = \dfrac{7}{2}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s - 1} \right\} + \dfrac{3}{2}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s + 1} \right\} \)
\( y(t) = \dfrac{7}{2}e^t + \dfrac{3}{2}e^{-t} \)
\( y' - 2y = 4\sin(2x) \)
\( y(0) = 0 \)
denkleminin verilen başlangıç değeri için çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterLaplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanarak eşitliğin taraflarına Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \mathcal{L}\{ y' \} - 2\mathcal{L}\{ y \} = 4\mathcal{L}\{ \sin(2x) \} \)
\( \mathcal{L}\{ y \} = Y(s) \) diyelim.
Türevin dönüşümü formülünü kullanalım.
\( \mathcal{L}\{ y' \} = sY(s) - y(0) \)
\( = sY(s) - 0 \)
\( y \) ve türevlerini denklemde yerine koyalım.
\( sY(s) - 2Y(s) = \dfrac{4 \cdot 2}{s^2 + 4} \)
\( Y(s) \) ifadesini yalnız bırakalım.
\( (s - 2)Y(s) = \dfrac{8}{s^2 + 4} \)
\( Y(s) = \dfrac{8}{(s^2 + 4)(s - 2)} \)
Eşitliğin taraflarına ters Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \mathcal{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{8}{(s^2 + 4)(s - 2)} \right\} \)
Eşitliğin sağ tarafını basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s - 2} - \dfrac{s + 2}{s^2 + 4} \right\} \)
Ters Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanalım.
\( = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s - 2} \right\} - \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{s}{s^2 + 4} \right\} - \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{2}{s^2 + 4} \right\} \)
\( y(x) = e^{2x} - \cos(2x) - \sin(2x) \)
\( v' + v = te^{-2t} \)
\( v(0) = -2 \)
denkleminin verilen başlangıç değeri için çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterLaplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanarak eşitliğin taraflarına Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \mathcal{L}\{ v' \} + \mathcal{L}\{ v \} = \mathcal{L}\{ te^{-2t} \} \)
\( \mathcal{L}\{ v \} = V(s) \) diyelim.
Türevin dönüşümü formülünü kullanalım.
\( \mathcal{L}\{ v' \} = sV(s) - v(0) \)
\( = sV(s) + 2 \)
\( v \) ve türevlerini denklemde yerine koyalım.
\( sV(s) + 2 + V(s) = \dfrac{1}{(s + 2)^2} \)
\( V(s) \) ifadesini yalnız bırakalım.
\( (s + 1)V(s) = \dfrac{1}{(s + 2)^2} - 2 \)
\( V(s) = \dfrac{1}{(s + 1)(s + 2)^2} - \dfrac{2}{s + 1} \)
Eşitliğin taraflarına ters Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \mathcal{L}^{-1}\{ V(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{(s + 1)(s + 2)^2} - \dfrac{2}{s + 1} \right\} \)
Eşitliğin sağ tarafını basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s + 1} - \dfrac{1}{s + 2} - \dfrac{1}{(s + 2)^2} - \dfrac{2}{s + 1} \right\} \)
\( = \mathcal{L}^{-1}\left\{ -\dfrac{1}{s + 1} - \dfrac{1}{s + 2} - \dfrac{1}{(s + 2)^2} \right\} \)
Ters Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanalım.
\( = -\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s + 1} \right\} - \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s + 2} \right\} - \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{(s + 2)^2} \right\} \)
\( = -e^{-t} - e^{-2t} - te^{-2t} \)
\( v(t) = -e^{-t} - (t + 1)e^{-2t} \)
\( y'' - 4y' + 3y = 4e^{-3t} \)
\( y(0) = -3, \quad y'(0) = 7 \)
denkleminin verilen başlangıç değerleri için çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterLaplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanarak eşitliğin taraflarına Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \mathcal{L}\{ y'' \} - 4\mathcal{L}\{ y' \} + 3\mathcal{L}\{ y \} = 4\mathcal{L}\{ e^{-3t} \} \)
\( \mathcal{L}\{ y \} = Y(s) \) diyelim.
Türevin dönüşümü formülünü kullanalım.
\( \mathcal{L}\{ y' \} = sY(s) - y(0) \)
\( = sY(s) + 3 \)
\( \mathcal{L}\{ y'' \} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) \)
\( = s^2Y(s) + 3s - 7 \)
\( y \) ve türevlerini denklemde yerine koyalım.
\( s^2Y(s) + 3s - 7 - 4(sY(s) + 3) + 3Y(s) = \dfrac{4}{s + 3} \)
\( s^2Y(s) + 3s - 4sY(s) - 19 + 3Y(s) = \dfrac{4}{s + 3} \)
\( Y(s) \) ifadesini yalnız bırakalım.
\( (s^2 - 4s + 3)Y(s) = \dfrac{4}{s + 3} - (3s - 19) \)
\( Y(s) = \dfrac{4}{(s + 3)(s^2 - 4s + 3)} - \dfrac{3s - 19}{s^2 - 4s + 3} \)
Eşitliğin taraflarına ters Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \mathcal{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{4}{(s + 3)(s - 1)(s - 3)} - \dfrac{3s - 19}{(s - 1)(s - 3)} \right\} \)
\( = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{4 - (3s - 19)(s + 3)}{(s + 3)(s - 1)(s - 3)} \right\} \)
\( = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{-3s^2 + 10s + 61}{(s + 3)(s - 1)(s - 3)} \right\} \)
Eşitliğin sağ tarafını basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{\frac{1}{6}}{s + 3} - \dfrac{\frac{17}{2}}{s - 1} + \dfrac{\frac{16}{3}}{s - 3} \right\} \)
Ters Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanalım.
\( = \dfrac{1}{6}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s + 3} \right\} - \dfrac{17}{2}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s - 1} \right\} + \dfrac{16}{3}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s - 3} \right\} \)
\( y(t) = \dfrac{1}{6}e^{-3t} - \dfrac{17}{2}e^t + \dfrac{16}{3}e^{3t} \)
\( xy'' - xy' + y = 7 \)
\( y(0) = 7, \quad y'(0) = -2 \)
denkleminin verilen başlangıç değerleri için çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterLaplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanarak eşitliğin taraflarına Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \mathcal{L}\{ xy'' \} - \mathcal{L}\{ xy' \} + \mathcal{L}\{ y \} = 7\mathcal{L}\{ 1 \} \)
\( \mathcal{L}\{ y \} = Y(s) \) diyelim.
Türevin dönüşümü formülünü kullanalım.
\( \mathcal{L}\{ y' \} = sY(s) - y(0) \)
\( = sY(s) - 7 \)
\( \mathcal{L}\{ y'' \} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) \)
\( = s^2Y(s) - 7s + 2 \)
Dönüşümün türevi formülünü kullanalım.
\( \mathcal{L}\{ xy' \} = -\dfrac{d}{ds}\mathcal{L}\{ y' \} \)
\( = -\dfrac{d}{ds}(sY(s) - 7) \)
\( = -sY'(s) - sY(s) \)
\( \mathcal{L}\{ xy'' \} = -\dfrac{d}{ds}\mathcal{L}\{ y'' \} \)
\( = -\dfrac{d}{ds}(s^2Y(s) - 7s + 2) \)
\( = -s^2Y'(s) - 2sY(s) + 7 \)
\( y \) ve türevlerini denklemde yerine koyalım.
\( -s^2Y'(s) - 2sY(s) + 7 - (-sY'(s) - sY(s)) + Y(s) = \dfrac{7}{s} \)
\( (s - s^2)Y'(s) + (2 - 2s)Y(s) = \dfrac{7}{s} - 7 \)
\( s(1 - s)Y'(s) + 2(1 - s)Y(s) = \dfrac{7(1 - s)}{s} \)
\( Y'(s) + \dfrac{2}{s}Y(s) = \dfrac{7}{s^2} \)
Elde ettiğimiz birinci mertebeden lineer denklemi çözelim.
Denklemin integral çarpanını bulalım.
\( \mu(s) = e^{\int {\frac{2}{s}\ ds}} \)
\( = e^{2\ln{\abs{s}}} \)
\( = e^{\ln{s^2}} \)
\( = s^2 \)
Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.
\( s^2Y'(s) + 2sY(s) = 7 \)
Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(s)Y(s) \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.
\( \dfrac{d}{ds}(s^2Y(s)) = 7 \)
Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.
\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{ds}(s^2Y(s))\ ds} = \displaystyle\int {7\ ds} \)
\( s^2Y(s) = 7s + C \)
\( Y(s) = \dfrac{7}{s} + \dfrac{C}{s^2} \)
\( Y(s) \) üstel mertebeden ve parçalı sürekli bir fonksiyonun Laplace dönüşümü ise, \( \lim\limits_{s \to \infty} {Y(s)} = 0 \) sağlanmalıdır.
\( \lim\limits_{s \to \infty} \left( \dfrac{7}{s} + \dfrac{C}{s^2} \right) = 0 \)
\( \lim\limits_{s \to \infty} \dfrac{7}{s} + \lim\limits_{s \to \infty} \dfrac{C}{s^2} = 0 \)
\( 0 + 0 = 0 \)
Buna göre \( C \in \mathbb{R} \) bulunur.
\( Y(s) = \dfrac{7}{s} + \dfrac{C}{s^2} \)
Eşitliğin taraflarına ters Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \mathcal{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{7}{s} + \dfrac{C}{s^2} \right\} \)
Ters Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanalım.
\( = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{7}{s} \right\} + C\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s^2} \right\} \)
\( y(x) = 7 + Cx \)
\( y'(x) = C \)
\( y(0) = 7, y'(0) = -2 \) başlangıç değerlerini denklemde yerine koyalım.
\( \begin{cases} 7 = 7 + C(0) \\ -2 = C \end{cases} \)
\( C = -2 \)
Denklemin verilen başlangıç değerleri için çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y(x) = 7 - 2x \)
\( ty'' + (1 - 2t)y' - 2y = 0 \)
\( y(0) = 4, \quad y'(0) = 8 \)
denkleminin verilen başlangıç değerleri için çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterLaplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanarak eşitliğin taraflarına Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \mathcal{L}\{ ty'' \} + \mathcal{L}\{ y' \} - 2\mathcal{L}\{ ty' \} - 2\mathcal{L}\{ y \} = \mathcal{L}\{ 0 \} \)
\( \mathcal{L}\{ y \} = Y(s) \) diyelim.
Türevin dönüşümü formülünü kullanalım.
\( \mathcal{L}\{ y' \} = sY(s) - y(0) \)
\( = sY(s) - 4 \)
\( \mathcal{L}\{ y'' \} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) \)
\( = s^2Y(s) - 4s - 8 \)
Dönüşümün türevi formülünü kullanalım.
\( \mathcal{L}\{ ty' \} = -\dfrac{d}{ds}\mathcal{L}\{ y' \} \)
\( = -\dfrac{d}{ds}(sY(s) - 4) \)
\( = -sY'(s) - Y(s) \)
\( \mathcal{L}\{ ty'' \} = -\dfrac{d}{ds}\mathcal{L}\{ y'' \} \)
\( = -\dfrac{d}{ds}(s^2Y(s) - 4s - 8) \)
\( = -s^2Y'(s) - 2sY(s) + 4 \)
\( y \) ve türevlerini denklemde yerine koyalım.
\( -s^2Y'(s) - 2sY(s) + 4 + (sY(s) - 4) - 2(-sY'(s) - Y(s)) - 2Y(s) = 0 \)
\( (2s - s^2)Y'(s) - sY(s) = 0 \)
\( -s[(s - 2)Y'(s) + Y(s)] = 0 \)
\( (s - 2)Y'(s) + Y(s) = 0 \)
\( Y'(s) + \dfrac{1}{s - 2}Y(s) = 0 \)
Elde ettiğimiz birinci mertebeden lineer denklemi çözelim.
Denklemin integral çarpanını bulalım.
\( \mu(s) = e^{\int {\frac{1}{s - 2}\ ds}} \)
\( = e^{\ln{\abs{s - 2}}} \)
\( = \abs{s - 2} \)
İntegral çarpanı denklemdeki tüm terimlerle çarpıldığı için önündeki işaretin pozitif ya da negatif olması çözümü değiştirmez, bu yüzden mutlak değer çarpandan kaldırılabilir.
\( = s - 2 \)
Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.
\( (s - 2)Y'(s) + Y(s) = 0 \)
Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(s)Y(s) \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.
\( \dfrac{d}{ds}((s - 2)Y(s)) = 0 \)
Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.
\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{ds}((s - 2)Y(s))\ ds} = \displaystyle\int {0\ ds} \)
\( (s - 2)Y(s) = C \)
\( Y(s) = \dfrac{C}{s - 2} \)
\( Y(s) \) üstel mertebeden ve parçalı sürekli bir fonksiyonun Laplace dönüşümü ise, \( \lim\limits_{s \to \infty} {Y(s)} = 0 \) sağlanmalıdır.
\( \lim\limits_{s \to \infty} {\dfrac{C}{s - 2}} = 0 \)
\( 0 = 0 \)
Buna göre \( C \in \mathbb{R} \) bulunur.
\( Y(s) = \dfrac{C}{s - 2} \)
Eşitliğin taraflarına ters Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \mathcal{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{C}{s - 2} \right\} \)
\( y(t) = Ce^{2t} \)
\( y'(t) = 2Ce^{2t} \)
\( y(0) = 4, y'(0) = 8 \) başlangıç değerlerini denklemde yerine koyalım.
\( \begin{cases} 4 = Ce^{2(0)} = C \\ 8 = 2Ce^{2(0)} = 2C \end{cases} \)
\( C = 4 \)
Denklemin verilen başlangıç değerleri için çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y(t) = 4e^{2t} \)
\( ty''' - y'' = -2 \)
\( y(0) = 5, \quad y'(0) = -3, \quad y''(1) = 8 \)
denkleminin verilen başlangıç değerleri için çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterLaplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanarak eşitliğin taraflarına Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \mathcal{L}\{ ty''' \} - \mathcal{L}\{ y'' \} = -2\mathcal{L}\{ 1 \} \)
\( \mathcal{L}\{ y \} = Y(s) \) diyelim.
Türevin dönüşümü formülünü kullanalım.
\( \mathcal{L}\{ y'' \} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) \)
\( = s^2Y(s) - 5s + 3 \)
\( \mathcal{L}\{ y''' \} = s^3Y(s) - s^2y(0) - sy'(0) - y''(0) \)
\( = s^3Y(s) - 5s^2 + 3s - y''(0) \)
Dönüşümün türevi formülünü kullanalım.
\( \mathcal{L}\{ ty''' \} = -\dfrac{d}{ds}\mathcal{L}\{ y''' \} \)
\( = -\dfrac{d}{ds}(s^3Y(s) - 5s^2 + 3s - y''(0)) \)
\( = -s^3Y'(s) - 3s^2Y(s) + 10s - 3 \)
\( y \) ve türevlerini denklemde yerine koyalım.
\( -s^3Y'(s) - 3s^2Y(s) + 10s - 3 - (s^2Y(s) - 5s + 3) = -\dfrac{2}{s} \)
\( -s^3Y'(s) - 4s^2Y(s) = -\dfrac{2}{s} + 6 - 15s \)
\( Y'(s) + \dfrac{4}{s}Y(s) = \dfrac{2}{s^4} + \dfrac{15}{s^2} - \dfrac{6}{s^3} \)
Elde ettiğimiz birinci mertebeden lineer denklemi çözelim.
Denklemin integral çarpanını bulalım.
\( \mu(s) = e^{\int {\frac{4}{s}\ ds}} \)
\( = e^{4\ln{\abs{s}}} \)
\( = e^{\ln{\abs{s}^4}} \)
\( = s^4 \)
Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.
\( s^4Y'(s) + 4s^3Y(s) = 2 + 15s^2 - 6s \)
Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(s)Y(s) \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.
\( \dfrac{d}{ds}(s^4Y(s)) = 2 + 15s^2 - 6s \)
Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.
\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{ds}(s^4Y(s))\ ds} = \displaystyle\int {(2 + 15s^2 - 6s)\ ds} \)
\( s^4Y(s) = 2s + 5s^3 - 3s^2 + C_1 \)
\( Y(s) = \dfrac{2}{s^3} + \dfrac{5}{s} - \dfrac{3}{s^2} + \dfrac{C_1}{s^4} \)
\( Y(s) \) üstel mertebeden ve parçalı sürekli bir fonksiyonun Laplace dönüşümü ise, \( \lim\limits_{s \to \infty} {Y(s)} = 0 \) sağlanmalıdır.
\( \lim\limits_{s \to \infty} \left( \dfrac{2}{s^3} + \dfrac{5}{s} - \dfrac{3}{s^2} + \dfrac{C_1}{s^4} \right) = 0 \)
\( \lim\limits_{s \to \infty} \dfrac{2}{s^3} + \lim\limits_{s \to \infty} \dfrac{5}{s} - \lim\limits_{s \to \infty} \dfrac{3}{s^2} + \lim\limits_{s \to \infty} \dfrac{C_1}{s^4} = 0 \)
\( 0 + 0 - 0 + 0 = 0 \)
Buna göre \( C_1 \in \mathbb{R} \) bulunur.
\( Y(s) = \dfrac{2}{s^3} + \dfrac{5}{s} - \dfrac{3}{s^2} + \dfrac{C_1}{s^4} \)
Eşitliğin taraflarına ters Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \mathcal{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{2}{s^3} + \dfrac{5}{s} - \dfrac{3}{s^2} + \dfrac{C_1}{s^4} \right\} \)
Ters Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanalım.
\( = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{2!}{s^3} \right\} + 5\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s} \right\} - 3\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s^2} \right\} + C\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{3!}{s^4} \right\} \)
\( y(t) = t^2 + 5 - 3t + Ct^3 \)
\( y'(t) = 2t - 3 + 3Ct^2 \)
\( y''(t) = 2 + 6Ct \)
\( y(0) = 5, y'(0) = -3, y''(1) = 8 \) başlangıç değerlerini denklemde yerine koyalım.
\( \begin{cases} 5 = 0^2 + 5 - 3(0) + 0 + C(0)^3 \\ -3 = 2(0) - 3 + 3C(0)^2 \\ 8 = 2 + 6C(1) \end{cases} \)
\( C = 1 \)
Denklemin verilen başlangıç değerleri için çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y(t) = 5 - 3t + t^2 + t^3 \)
\( y'' + 4y' - 5y = 3te^{2t} \)
\( y(0) = 4, \quad y'(0) = 1 \)
denkleminin verilen başlangıç değerleri için çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterLaplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanarak eşitliğin taraflarına Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \mathcal{L}\{ y'' \} + 4\mathcal{L}\{ y' \} - 5\mathcal{L}\{ y \} = 3\mathcal{L}\{ te^{2t} \} \)
\( \mathcal{L}\{ y \} = Y(s) \) diyelim.
Türevin dönüşümü formülünü kullanalım.
\( \mathcal{L}\{ y' \} = sY(s) - y(0) \)
\( = sY(s) - 4 \)
\( \mathcal{L}\{ y'' \} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) \)
\( = s^2Y(s) - 4s - 1 \)
\( y \) ve türevlerini denklemde yerine koyalım.
\( s^2Y(s) - 4s - 1 + 4(sY(s) - 4) - 5Y(s) = \dfrac{3}{(s - 2)^2} \)
\( s^2Y(s) - 4s + 4sY(s) - 17 - 5Y(s) = \dfrac{3}{(s - 2)^2} \)
\( Y(s) \) ifadesini yalnız bırakalım.
\( (s^2 + 4s - 5)Y(s) = \dfrac{3}{(s - 2)^2} + 4s + 17 \)
\( = \dfrac{4s^3 + s^2 - 52s + 71}{(s - 2)^2} \)
\( Y(s) = \dfrac{4s^3 + s^2 - 52s + 71}{(s - 2)^2(s^2 + 4s - 5)} \)
Eşitliğin taraflarına ters Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \mathcal{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{4s^3 + s^2 - 52s + 71}{(s - 2)^2(s^2 + 4s - 5)} \right\} \)
Eşitliğin sağ tarafını basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \mathcal{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{4s^3 + s^2 - 52s + 71}{(s - 2)^2(s - 1)(s + 5)} \right\} \)
\( = \mathcal{L}^{-1}\left\{ -\dfrac{\frac{24}{49}}{s - 2} + \dfrac{\frac{3}{7}}{(s - 2)^2} + \dfrac{4}{s - 1} + \dfrac{\frac{24}{49}}{s + 5} \right\} \)
Ters Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanalım.
\( = -\dfrac{24}{49}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s - 2} \right\} + \dfrac{3}{7}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{(s - 2)^2} \right\} + 4\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s - 1} \right\} + \dfrac{24}{49}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s + 5} \right\} \)
\( y(t) = -\dfrac{24}{49}e^{2t} + \dfrac{3}{7}te^{2t} + 4e^t + \dfrac{24}{49}e^{-5t} \)
\( z'' - 2z' + 5z = -16e^{-x} \)
\( z(0) = 4, \quad z'(0) = 6 \)
denkleminin verilen başlangıç değerleri için çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterLaplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanarak eşitliğin taraflarına Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \mathcal{L}\{ z'' \} - 2\mathcal{L}\{ z' \} + 5\mathcal{L}\{ z \} = -16\mathcal{L}\{ e^{-x} \} \)
\( \mathcal{L}\{ z \} = Z(s) \) diyelim.
Türevin dönüşümü formülünü kullanalım.
\( \mathcal{L}\{ z' \} = sZ(s) - z(0) \)
\( = sZ(s) - 4 \)
\( \mathcal{L}\{ z'' \} = s^2Z(s) - sz(0) - z'(0) \)
\( = s^2Z(s) - 4s - 6 \)
\( z \) ve türevlerini denklemde yerine koyalım.
\( s^2Z(s) - 4s - 6 - 2(sZ(s) - 4) + 5Z(s) = -\dfrac{16}{s + 1} \)
\( s^2Z(s) - 4s - 2sZ(s) + 2 + 5Z(s) = -\dfrac{16}{s + 1} \)
\( Z(s) \) ifadesini yalnız bırakalım.
\( (s^2 - 2s + 5)Z(s) = 4s - 2 - \dfrac{16}{s + 1} \)
\( Z(s) = \dfrac{4s - 2}{s^2 - 2s + 5} - \dfrac{16}{(s + 1)(s^2 - 2s + 5)} \)
\( = \dfrac{4s^2 + 2s - 18}{(s + 1)(s^2 - 2s + 5)} \)
Eşitliğin taraflarına ters Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \mathcal{L}^{-1}\{ Z(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{4s^2 + 2s - 18}{(s + 1)(s^2 - 2s + 5)} \right\} \)
Eşitliğin sağ tarafını basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{6s - 8}{s^2 - 2s + 5} - \dfrac{2}{s + 1} \right\} \)
\( = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{6(s - 1) - 2}{(s - 1)^2 + 4} - \dfrac{2}{s + 1} \right\} \)
\( = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{6(s - 1)}{(s - 1)^2 + 4} - \dfrac{2}{(s - 1)^2 + 4} - \dfrac{2}{s + 1} \right\} \)
Ters Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanalım.
\( = 6\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{s - 1}{(s - 1)^2 + 4} \right\} - \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{2}{(s - 1)^2 + 4} \right\} - 2\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s + 1} \right\} \)
\( z(x) = 6e^x\cos(2x) - e^x\sin(2x) - 2e^{-x} \)
\( y''' + 3y'' + 3y' + y = 4e^t \)
\( y(0) = 2, \quad y'(0) = 8, \quad y''(0) = -4 \)
denkleminin verilen başlangıç değerleri için çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterLaplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanarak eşitliğin taraflarına Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \mathcal{L}\{ y''' \} + 3\mathcal{L}\{ y'' \} + 3\mathcal{L}\{ y' \} + \mathcal{L}\{ y \} = 4\mathcal{L}\{ e^t \} \)
\( \mathcal{L}\{ y \} = Y(s) \) diyelim.
Türevin dönüşümü formülünü kullanalım.
\( \mathcal{L}\{ y' \} = sY(s) - y(0) \)
\( = sY(s) - 2 \)
\( \mathcal{L}\{ y'' \} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) \)
\( = s^2Y(s) - 2s - 8 \)
\( \mathcal{L}\{ y''' \} = s^3Y(s) - s^2y(0) - sy'(0) - y''(0) \)
\( = s^3Y(s) - 2s^2 - 8s + 4 \)
\( y \) ve türevlerini denklemde yerine koyalım.
\( s^3Y(s) - 2s^2 - 8s + 4 + 3(s^2Y(s) - 2s - 8) + 3(sY(s) - 2) + Y(s) = \dfrac{4}{s - 1} \)
\( s^3Y(s) - 2s^2 + 3s^2Y(s) - 14s + 3sY(s) - 26 + Y(s) = \dfrac{4}{s - 1} \)
\( Y(s) \) ifadesini yalnız bırakalım.
\( (s^3 + 3s^2 + 3s + 1)Y(s) = \dfrac{4}{s - 1} + 2s^2 + 14s + 26 \)
\( Y(s) = \dfrac{4}{(s - 1)(s^3 + 3s^2 + 3s + 1)} + \dfrac{2s^2 + 14s + 26}{s^3 + 3s^2 + 3s + 1} \)
\( = \dfrac{2s^3 + 12s^2 + 12s - 22}{(s - 1)(s + 1)^3} \)
Eşitliğin taraflarına ters Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \mathcal{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{2s^3 + 12s^2 + 12s - 22}{(s - 1)(s + 1)^3} \right\} \)
Eşitliğin sağ tarafını basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{\frac{1}{2}}{s - 1} + \dfrac{\frac{3}{2}}{s + 1} + \dfrac{9}{(s + 1)^2} + \dfrac{12}{(s + 1)^3} \right\} \)
Ters Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanalım.
\( = \dfrac{1}{2}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s - 1} \right\} + \dfrac{3}{2}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s + 1} \right\} + 9\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{(s + 1)^2} \right\} + 12\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{(s + 1)^3} \right\} \)
\( y(t) = \dfrac{1}{2}e^t + \dfrac{3}{2}e^{-t} + 9te^{-t}+ 6t^2e^{-t} \)
\( y'' + 2ty' - 4y = 2 \)
\( y(0) = 1, \quad y'(0) = 0 \)
denkleminin verilen başlangıç değerleri için çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterLaplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanarak eşitliğin taraflarına Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \mathcal{L}\{ y'' \} + 2\mathcal{L}\{ ty' \} - 4\mathcal{L}\{ y \} = 2\mathcal{L}\{ 1 \} \)
\( \mathcal{L}\{ y \} = Y(s) \) diyelim.
Türevin dönüşümü formülünü kullanalım.
\( \mathcal{L}\{ y' \} = sY(s) - y(0) \)
\( = sY(s) - 1 \)
\( \mathcal{L}\{ y'' \} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) \)
\( = s^2Y(s) - s \)
Dönüşümün türevi formülünü kullanalım.
\( \mathcal{L}\{ ty' \} = -\dfrac{d}{ds}\mathcal{L}\{ y' \} \)
\( = -\dfrac{d}{ds}(sY(s) - 1) \)
\( = -sY'(s) - Y(s) \)
\( y \) ve türevlerini denklemde yerine koyalım.
\( s^2Y(s) - s + 2(-sY'(s) - Y(s)) - 4Y(s) = \dfrac{2}{s} \)
\( -2sY'(s) + (s^2 - 6)Y(s) = \dfrac{2}{s} + s \)
\( Y'(s) + \left( \dfrac{3}{s} - \dfrac{s}{2} \right)Y(s) = -\dfrac{1}{s^2} - \dfrac{1}{2} \)
Elde ettiğimiz birinci mertebeden lineer denklemi çözelim.
Denklemin integral çarpanını bulalım.
\( \mu(s) = e^{\int {(\frac{3}{s} - \frac{s}{2})\ ds}} \)
\( = e^{3\ln{\abs{s}} - \frac{s^2}{4}} \)
\( = e^{\ln{s^3} - \frac{s^2}{4}} \)
\( = s^3e^{-\frac{s^2}{4}} \)
Denklemin taraflarını integral çarpanı ile çarpalım.
\( s^3e^{-\frac{s^2}{4}}Y'(s) + \left( \dfrac{3}{s} - \dfrac{s}{2} \right)s^3e^{-\frac{s^2}{4}}Y(s) = -se^{-\frac{s^2}{4}} - \dfrac{s^3e^{-\frac{s^2}{4}}}{2} \)
Bu eşitliğin sol tarafı, \( \mu(s)Y(s) \) çarpımının türevinin çarpma kuralı ile açılımına eşittir.
\( \dfrac{d}{ds}(s^3e^{-\frac{s^2}{4}}Y(s)) = -se^{-\frac{s^2}{4}} - \dfrac{s^3e^{-\frac{s^2}{4}}}{2} \)
Eşitliğin taraflarının ayrı ayrı integralini alalım.
\( \displaystyle\int {\dfrac{d}{ds}(s^3e^{-\frac{s^2}{4}}Y(s))\ ds} = \displaystyle\int {\left( -se^{-\frac{s^2}{4}} - \dfrac{s^3e^{-\frac{s^2}{4}}}{2} \right)\ ds} \)
\( s^3e^{-\frac{s^2}{4}}Y(s) + C_1 = 2e^{-\frac{s^2}{4}} + \displaystyle\int {\dfrac{s^2}{2}(-se^{-\frac{s^2}{4}})\ ds} \)
Eşitliğin sağ tarafındaki ifadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = \dfrac{s^2}{2} \)
\( dv = -se^{-\frac{s^2}{4}}\ ds \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = s\ ds \)
\( v = 2e^{-\frac{s^2}{4}} \)
Bu ifadeleri \( \int {u\ dv} = uv - \int {v\ du} \) kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( s^3e^{-\frac{s^2}{4}}Y(s) + C_1 = 2e^{-\frac{s^2}{4}} + s^2e^{-\frac{s^2}{4}} - \displaystyle\int {2se^{-\frac{s^2}{4}}\ ds} \)
\( = 2e^{-\frac{s^2}{4}} + s^2e^{-\frac{s^2}{4}} + 4e^{-\frac{s^2}{4}} \)
\( s^3e^{-\frac{s^2}{4}}Y(s) = s^2e^{-\frac{s^2}{4}} + 6e^{-\frac{s^2}{4}} + C \)
\( Y(s) = \dfrac{1}{s} + \dfrac{6}{s^3} + \dfrac{Ce^{\frac{s^2}{4}}}{s^3} \)
\( Y(s) \) üstel mertebeden ve parçalı sürekli bir fonksiyonun Laplace dönüşümü ise, \( \lim\limits_{s \to \infty} {Y(s)} = 0 \) sağlanmalıdır.
\( \lim\limits_{s \to \infty} \left( \dfrac{1}{s} + \dfrac{6}{s^3} + \dfrac{Ce^{\frac{s^2}{4}}}{s^3} \right) = 0 \)
\( \lim\limits_{s \to \infty} \dfrac{1}{s} + \lim\limits_{s \to \infty} \dfrac{6}{s^3} + \lim\limits_{s \to \infty} \dfrac{Ce^{\frac{s^2}{4}}}{s^3} = 0 \)
\( 0 + 0 + \lim\limits_{s \to \infty} {\dfrac{Ce^{\frac{s^2}{4}}}{s^3}} = 0 \)
Buna göre \( C = 0 \) bulunur.
\( Y(s) = \dfrac{1}{s} + \dfrac{6}{s^3} \)
Eşitliğin taraflarına ters Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \mathcal{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s} + \dfrac{6}{s^3} \right\} \)
Ters Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanalım.
\( = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s} \right\} + 3\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{2}{s^3} \right\} \)
\( y(t) = 1 + 3t^2 \)
\( y''' + y'' + 3y' - 5y = 16xe^{-3x} \)
\( y(0) = 0, \quad y'(0) = 2, \quad y''(0) = -3 \)
denkleminin verilen başlangıç değerleri için çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterLaplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanarak eşitliğin taraflarına Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \mathcal{L}\{ y''' \} + \mathcal{L}\{ y'' \} + 3\mathcal{L}\{ y' \} - 5\mathcal{L}\{ y \} = 16\mathcal{L}\{ xe^{-3x} \} \)
\( \mathcal{L}\{ y \} = Y(s) \) diyelim.
Türevin dönüşümü formülünü kullanalım.
\( \mathcal{L}\{ y' \} = sY(s) - y(0) \)
\( = sY(s) \)
\( \mathcal{L}\{ y'' \} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) \)
\( = s^2Y(s) - 2 \)
\( \mathcal{L}\{ y''' \} = s^3Y(s) - s^2y(0) - sy'(0) - y''(0) \)
\( = s^3Y(s) - 2s + 3 \)
\( y \) ve türevlerini denklemde yerine koyalım.
\( s^3Y(s) - 2s + 3 + s^2Y(s) - 2 + 3sY(s) - 5Y(s) = \dfrac{16}{(s + 3)^2} \)
\( s^3Y(s) - 2s + s^2Y(s) + 1 + 3sY(s) - 5Y(s) = \dfrac{16}{(s + 3)^2} \)
\( Y(s) \) ifadesini yalnız bırakalım.
\( (s^3 + s^2 + 3s - 5)Y(s) = \dfrac{16}{(s + 3)^2} + 2s - 1 \)
\( = \dfrac{2s^3 + 11s^2 + 12s + 7}{(s + 3)^2} \)
\( Y(s) = \dfrac{2s^3 + 11s^2 + 12s + 7}{(s + 3)^2(s^3 + s^2 + 3s - 5)} \)
Eşitliğin taraflarına ters Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \mathcal{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{2s^3 + 11s^2 + 12s + 7}{(s + 3)^2(s^3 + s^2 + 3s - 5)} \right\} \)
Eşitliğin sağ tarafını basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( x = 1 \) değerinin paydadaki \( s^3 + s^2 + 3s - 5 \) polinomunu sıfır yaptığı görülebilir.
\( s^3 + s^2 + 3s - 5 \) polinomunu \( x - 1 \) polinomuna polinom bölmesi ile bölerek diğer çarpanı bulalım.
\( = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{2s^3 + 11s^2 + 12s + 7}{(s + 3)^2(s - 1)(s^2 + 2s + 5)} \right\} \)
\( = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{\frac{1}{4}}{s - 1} - \dfrac{\frac{3}{8}}{s + 3} - \dfrac{\frac{1}{2}}{(s + 3)^2} + \dfrac{\frac{s + 11}{8}}{(s + 1)^2 + 4} \right\} \)
Ters Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanalım.
\( = \dfrac{1}{4}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s - 1} \right\} - \dfrac{3}{8}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s + 3} \right\} - \dfrac{1}{2}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{(s + 3)^2} \right\} + \dfrac{1}{8}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{s + 11}{(s + 1)^2 + 4} \right\} \)
\( = \dfrac{1}{4}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s - 1} \right\} - \dfrac{3}{8}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s + 3} \right\} - \dfrac{1}{2}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{(s + 3)^2} \right\} + \dfrac{1}{8}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{s + 1}{(s + 1)^2 + 4} \right\} + \dfrac{5}{8}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{2}{(s + 1)^2 + 4} \right\} \)
\( y(x) = \dfrac{1}{4}e^x - \dfrac{3}{8}e^{-3x} - \dfrac{1}{2}xe^{-3x} + \dfrac{1}{8}e^{-x}\cos(2x) + \dfrac{5}{8}e^{-x}\sin(2x) \)
\( y^{(4)} + 2y''' - 4y'' - 2y' + 3y = 0 \)
\( y(0) = 7, \quad y'(0) = -2, \quad y''(0) = 4, \quad y'''(0) = -5 \)
denkleminin verilen başlangıç değerleri için çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterLaplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanarak eşitliğin taraflarına Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \mathcal{L}\{ y^{(4)} \} + 2\mathcal{L}\{ y''' \} - 4\mathcal{L}\{ y'' \} - 2\mathcal{L}\{ y' \} + 3\mathcal{L}\{ y \} = 0 \)
\( \mathcal{L}\{ y \} = Y(s) \) diyelim.
Türevin dönüşümü formülünü kullanalım.
\( \mathcal{L}\{ y' \} = sY(s) - y(0) \)
\( = sY(s) - 7 \)
\( \mathcal{L}\{ y'' \} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) \)
\( = s^2Y(s) - 7s + 2 \)
\( \mathcal{L}\{ y''' \} = s^3Y(s) - s^2y(0) - sy'(0) - y''(0) \)
\( = s^3Y(s) - 7s^2 + 2s - 4 \)
\( \mathcal{L}\{ y^{(4)} \} = s^4Y(s) - s^3y(0) - s^2y'(0) - sy''(0) - y'''(0) \)
\( = s^4Y(s) - 7s^3 + 2s^2 - 4s + 5 \)
\( y \) ve türevlerini denklemde yerine koyalım.
\( s^4Y(s) - 7s^3 + 2s^2 - 4s + 5 + 2(s^3Y(s) - 7s^2 + 2s - 4) - 4(s^2Y(s) - 7s + 2) - 2(sY(s) - 7) + 3Y(s) = 0 \)
\( s^4Y(s) + 2s^3Y(s) - 4s^2Y(s) - 2sY(s) + 3Y(s) - 7s^3 - 12s^2 + 28s + 3 = 0 \)
\( Y(s) \) ifadesini yalnız bırakalım.
\( (s^4 + 2s^3 - 4s^2 - 2s + 3)Y(s) = 7s^3 + 12s^2 - 28s - 3 \)
\( Y(s) = \dfrac{7s^3 + 12s^2 - 28s - 3}{s^4 + 2s^3 - 4s^2 - 2s + 3} \)
Eşitliğin taraflarına ters Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \mathcal{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{7s^3 + 12s^2 - 28s - 3}{s^4 + 2s^3 - 4s^2 - 2s + 3} \right\} \)
Eşitliğin sağ tarafını basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
Paydadaki \( s^4 + 2s^3 - 4s^2 - 2s + 3 \) ifadesini sıfır yapan değerleri incelediğimizde \( x - 1 \) ve \( x + 1 \) çarpanlarını bulabiliriz.
Polinomunu bu çarpanlara polinom bölmesi ile bölerek diğer çarpanları bulalım.
\( = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{7s^3 + 12s^2 - 28s - 3}{(s - 1)^2(s + 3)(s + 1)} \right\} \)
\( = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{\frac{15}{4}}{s + 1} + \dfrac{\frac{13}{4}}{s - 1} - \dfrac{\frac{3}{2}}{(s - 1)^2} \right\} \)
Ters Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanalım.
\( = \dfrac{15}{4}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s + 1} \right\} + \dfrac{13}{4}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s - 1} \right\} - \dfrac{3}{2}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{(s - 1)^2} \right\} \)
\( y(t) = \dfrac{15}{4}e^{-t} + \dfrac{13}{4}e^t - \dfrac{3}{2}te^t \)