Laplace Dönüşümü ile Denklem Sistemi Çözümü
Aşağıdaki şekilde iki bilinmeyen fonksiyon (\( y_1(t) \) ve \( y_2(t) \)) ve iki lineer ADD'den oluşan bir diferansiyel denklem sistemi tanımlayalım.
\( y_1'(t) = 2y_1(t) + 3y_2(t) \)
\( y_2'(t) = 4y_1(t) - y_2(t) \)
\( y_1(0) = 1 \)
\( y_2(0) = 3 \)
Bu şekilde, iki ya da daha fazla bilinmeyen fonksiyon ve denklemden oluşan bir diferansiyel denklem sistemi de Laplace dönüşümü kullanılarak çözülebilir.
Diferansiyel denklem sistemleri Laplace dönüşümü kullanılarak aşağıdaki şekilde çözülür.
Adım 1: Laplace dönüşümü
Denklem sistemindeki her bilinmeyen fonksiyon için birer Laplace dönüşümü tanımlanır.
\( \mathcal{L}\{ y_i(t) \} = Y_i(s) \)
Denklem sistemindeki her denklemin taraflarına Laplace dönüşümü uygulanır.
Laplace dönüşümünün doğrusallık ve diğer özellikleri kullanılarak tüm terimlerin Laplace dönüşümü bulunur.
Adım 2: Başlangıç koşulları
Bilinmeyen fonksiyonlar için verilen başlangıç koşulları denklemlerde yerine konur.
Adım 3: Frekans tanım kümesindeki çözüm
Elde edilen \( n \) adet bilinmeyen fonksiyon ve \( n \) adet denklemden oluşan denklem sistemi cebirsel olarak (yerine koyma, yok etme vb. yöntemler) ya da matris yöntemiyle (Gauss eliminasyon yöntemi) çözülür.
Elde edilen \( Y_i(s) \) ifadeleri denklem sisteminin frekans tanım kümesindeki çözümüdür.
Adım 4: Zaman tanım kümesindeki çözüm
Her bir \( Y_i(s) \) çözümünün taraflarına ters Laplace dönüşümü uygulanarak zaman tanım kümesindeki \( y_i(t) \) çözümleri bulunur.
\( \mathcal{L}^{-1}\{ Y_i(s) \} = y_i(t) \)
İki bilinmeyen fonksiyon ve iki denklemden oluşan bir diferansiyel denklem sisteminin Laplace dönüşümü ile çözümünü bir örnek üzerinde gösterelim.
\( x' = x - y \)
\( y' = 3x + 5y \)
\( x(0) = 3, \quad y(0) = 1 \)
denklem sisteminin verilen başlangıç koşulları için çözümünü bulalım.
Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanarak eşitliklerin taraflarına Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \mathcal{L}\{ x' \} = \mathcal{L}\{ x \} - \mathcal{L}\{ y \} \)
\( \mathcal{L}\{ y' \} = 3\mathcal{L}\{ x \} + 5\mathcal{L}\{ y \} \)
Bilinmeyen fonksiyonların Laplace dönüşümlerini tanımlayalım.
\( \mathcal{L}\{ x \} = X(s) \)
\( \mathcal{L}\{ y \} = Y(s) \)
Türevin dönüşümü formülünü kullanalım.
\( \mathcal{L}\{ x' \} = sX(s) - x(0) \)
\( = sX(s) - 3 \)
\( \mathcal{L}\{ y' \} = sY(s) - y(0) \)
\( = sY(s) - 1 \)
\( x, y \) ve türevlerini denklem sisteminde yerine koyalım.
\( sX(s) - 3 = X(s) - Y(s) \)
\( sY(s) - 1 = 3X(s) + 5Y(s) \)
Denklemleri düzenleyelim.
\( (s - 1)X(s) + Y(s) = 3 \)
\( -3X(s) + (s - 5)Y(s) = 1 \)
İlk denklemin taraflarını \( s - 5 \) ile çarpalım.
\( (s - 1)(s - 5)X(s) + (s - 5)Y(s) = 3(s - 5) \)
\( -3X(s) + (s - 5)Y(s) = 1 \)
Birinci denklemden ikinci denklemi çıkaralım.
\( (s - 1)(s - 5)X(s) + 3X(s) = 3(s - 5) - 1 \)
\( (s^2 - 6s + 8)X(s) = 3s - 16 \)
\( X(s) = \dfrac{3s - 16}{(s - 2)(s - 4)} \)
Bu değeri denklem sistemindeki denklemlerden birinde yerine koyduğumuzda \( Y(s) \) için aşağıdaki değeri elde ederiz.
\( Y(s) = \dfrac{s + 8}{(s - 2)(s - 4)} \)
Eşitliklerin taraflarına ters Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \mathcal{L}^{-1}\{ X(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{3s - 16}{(s - 2)(s - 4)} \right\} \)
\( \mathcal{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{s + 8}{(s - 2)(s - 4)} \right\} \)
Eşitliklerin sağ tarafını basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \mathcal{L}^{-1}\{ X(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{5}{s - 2} - \dfrac{2}{s - 4} \right\} \)
\( \mathcal{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ -\dfrac{5}{s - 2} + \dfrac{6}{s - 4} \right\} \)
Ters Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanalım.
\( \mathcal{L}^{-1}\{ X(s) \} = 5\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s - 2} \right\} - 2\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s - 4} \right\} \)
\( \mathcal{L}^{-1}\{ Y(s) \} = -5\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s - 2} \right\} + 6\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s - 4} \right\} \)
Denklem sisteminin çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( x(t) = 5e^{2t} - 2e^{4t} \)
\( y(t) = -5e^{2t} + 6e^{4t} \)
Şimdi de üç bilinmeyen fonksiyon ve üç denklemden oluşan bir diferansiyel denklem sisteminin Laplace dönüşümü ile çözümünü bir örnek üzerinde gösterelim.
\( w' + y = 0 \)
\( w' - z = -t \)
\( w + y' - z = -1 \)
\( w(0) = 0, \quad y(0) = -1, \quad z(0) = 1 \)
denklem sisteminin verilen başlangıç koşulları için çözümünü bulalım.
Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanarak eşitliklerin taraflarına Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \mathcal{L}\{ w' \} + \mathcal{L}\{ y \} = 0 \)
\( \mathcal{L}\{ w' \} - \mathcal{L}\{ z \} = -\mathcal{L}\{ t \} \)
\( \mathcal{L}\{ w \} + \mathcal{L}\{ y' \} - \mathcal{L}\{ z \} = -\mathcal{L}\{ 1 \} \)
Bilinmeyen fonksiyonların Laplace dönüşümlerini tanımlayalım.
\( \mathcal{L}\{ w \} = W(s) \)
\( \mathcal{L}\{ y \} = Y(s) \)
\( \mathcal{L}\{ z \} = Z(s) \)
Türevin dönüşümü formülünü kullanalım.
\( \mathcal{L}\{ w' \} = sW(s) - w(0) \)
\( = sW(s) \)
\( \mathcal{L}\{ y' \} = sY(s) - y(0) \)
\( = sY(s) + 1 \)
\( w, y, z \) ve türevlerini denklem sisteminde yerine koyalım.
\( sW(s) + Y(s) = 0 \)
\( sW(s) - Z(s) = -\dfrac{1}{s^2} \)
\( W(s) + (sY(s) + 1) - Z(s) = -\dfrac{1}{s} \)
Denklemleri düzenleyelim.
\( Y(s) = -sW(s) \)
\( sW(s) - Z(s) = -\dfrac{1}{s^2} \)
\( W(s) + s(-sW(s)) - Z(s) = -\dfrac{s + 1}{s} \)
Üçüncü denklemin taraflarını \( -1 \) ile çarpalım.
\( Y(s) = -sW(s) \)
\( sW(s) - Z(s) = -\dfrac{1}{s^2} \)
\( (s^2 - 1)W(s) + Z(s) = \dfrac{s + 1}{s} \)
İkinci ve üçüncü denklemleri taraf tarafa toplayalım.
\( (s^2 - 1)W(s) + sW(s) = \dfrac{s + 1}{s} - \dfrac{1}{s^2} \)
\( (s^2 + s - 1)W(s) = \dfrac{s^2 + s - 1}{s^2} \)
\( W(s) = \dfrac{1}{s^2} \)
Bu değeri birinci denklemde yerine koyalım.
\( Y(s) = -\dfrac{1}{s} \)
\( W(s) \) değerini ikinci denklemde yerine koyduğumuzda \( Z(s) \) için aşağıdaki değeri elde ederiz.
\( Z(s) = \dfrac{1}{s} + \dfrac{1}{s^2} \)
Eşitliklerin taraflarına ters Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \mathcal{L}^{-1}\{ W(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s^2} \right\} \)
\( \mathcal{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ -\dfrac{1}{s} \right\} \)
\( \mathcal{L}^{-1}\{ Z(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s} + \dfrac{1}{s^2} \right\} \)
Ters Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanalım.
\( \mathcal{L}^{-1}\{ W(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s^2} \right\} \)
\( \mathcal{L}^{-1}\{ Y(s) \} = -\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s} \right\} \)
\( \mathcal{L}^{-1}\{ Z(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s} \right\} + \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s^2} \right\} \)
Denklem sisteminin çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( w(t) = t \)
\( y(t) = -1 \)
\( z(t) = 1 + t \)
\( \begin{cases} z' - w = 2e^{2x} \\ w' + z = e^{2x} \\ z(0) = 2, \quad w(0) = -1 \end{cases} \)
denklem sisteminin verilen başlangıç değerleri için çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterLaplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanarak eşitliklerin taraflarına Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \begin{cases} \mathcal{L}\{ z' \} - \mathcal{L}\{ w \} = 2\mathcal{L}\{ e^{2x} \} \\ \mathcal{L}\{ w' \} + \mathcal{L}\{ z \} = \mathcal{L}\{ e^{2x} \} \end{cases} \)
Bilinmeyen fonksiyonların Laplace dönüşümlerini tanımlayalım.
\( \mathcal{L}\{ z \} = Z(s) \)
\( \mathcal{L}\{ w \} = W(s) \)
Türevin dönüşümü formülünü kullanalım.
\( \mathcal{L}\{ z' \} = sZ(s) - z(0) \)
\( = sZ(s) - 2 \)
\( \mathcal{L}\{ w' \} = sW(s) - w(0) \)
\( = sW(s) + 1 \)
\( z, w \) ve türevlerini denklem sisteminde yerine koyalım.
\( \begin{cases} sZ(s) - 2 - W(s) = \dfrac{2}{s - 2} \\ sW(s) + 1 + Z(s) = \dfrac{1}{s - 2} \end{cases} \)
Denklemleri düzenleyelim.
\( \begin{cases} sZ(s) - W(s) = \dfrac{2s - 2}{s - 2} \\ sW(s) + Z(s) = \dfrac{3 - s}{s - 2} \end{cases} \)
İlk denklemin taraflarını \( s \) ile çarpalım.
\( \begin{cases} s^2Z(s) - sW(s) = \dfrac{2s^2 - 2s}{s - 2} \\ sW(s) + Z(s) = \dfrac{3 - s}{s - 2} \end{cases} \)
İki denklemi taraf tarafa toplayalım.
\( s^2Z(s) + Z(s) = \dfrac{2s^2 - 2s}{s - 2} + \dfrac{3 - s}{s - 2} \)
\( (s^2 + 1)Z(s) = \dfrac{2s^2 - 3s + 3}{s - 2} \)
\( Z(s) = \dfrac{2s^2 - 3s + 3}{(s - 2)(s^2 + 1)} \)
Bu değeri denklem sistemindeki denklemlerden birinde yerine koyduğumuzda \( W(s) \) için aşağıdaki değeri elde ederiz.
\( W(s) = -\dfrac{s + 1}{s^2 + 1} \)
Eşitliklerin taraflarına ters Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \begin{cases} \mathcal{L}^{-1}\{ Z(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{2s^2 - 3s + 3}{(s - 2)(s^2 + 1)} \right\} \\ \mathcal{L}^{-1}\{ W(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ -\dfrac{s + 1}{s^2 + 1} \right\} \end{cases} \)
Eşitliklerin sağ tarafını basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \begin{cases} \mathcal{L}^{-1}\{ Z(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s - 2} + \dfrac{s - 1}{s^2 + 1} \right\} \\ \mathcal{L}^{-1}\{ W(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ -\dfrac{s}{s^2 + 1} - \dfrac{1}{s^2 + 1} \right\} \end{cases} \)
Ters Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanalım.
\( \begin{cases} \mathcal{L}^{-1}\{ Z(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s - 2} \right\} + \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{s}{s^2 + 1} \right\} - \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s^2 + 1} \right\} \\ \mathcal{L}^{-1}\{ W(s) \} = -\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{s}{s^2 + 1} \right\} - \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s^2 + 1} \right\} \end{cases} \)
Denklem sisteminin çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( \begin{cases} z(x) = e^{2t} + \cos{x} - \sin{x} \\ w(x) = -\cos{x} - \sin{x} \end{cases} \)
\( \begin{cases} v'' + x' + 6v = 24 - 10e^{-5t} \\ x' + 5v' = 12e^{6t} - 10e^{-5t} \\ v(0) = 3, \quad v'(0) = -6, \quad x(0) = 9, \quad x'(0) = 32 \end{cases} \)
denklem sisteminin verilen başlangıç değerleri için çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterLaplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanarak eşitliklerin taraflarına Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \begin{cases} \mathcal{L}\{ v'' \} + \mathcal{L}\{ x' \} + 6\mathcal{L}\{ v \} = 24\mathcal{L}\{ 1 \} - 10\mathcal{L}\{ e^{-5t} \} \\ \mathcal{L}\{ x' \} + 5\mathcal{L}\{ v' \} = 12\mathcal{L}\{ e^{6t} \} - 10\mathcal{L}\{ e^{-5t} \} \end{cases} \)
Bilinmeyen fonksiyonların Laplace dönüşümlerini tanımlayalım.
\( \mathcal{L}\{ v \} = V(s) \)
\( \mathcal{L}\{ x \} = X(s) \)
Türevin dönüşümü formülünü kullanalım.
\( \mathcal{L}\{ v' \} = sV(s) - v(0) \)
\( = sV(s) - 3 \)
\( \mathcal{L}\{ v'' \} = s^2V(s) - sv(0) - v'(0) \)
\( = s^2V(s) - 3s + 6 \)
\( \mathcal{L}\{ x' \} = sX(s) - x(0) \)
\( = sX(s) - 9 \)
\( v, x \) ve türevlerini denklem sisteminde yerine koyalım.
\( \begin{cases} s^2V(s) - 3s + 6 + (sX(s) - 9) + 6V(s) = \dfrac{24}{s} - \dfrac{10}{s + 5} \\ sX(s) - 9 + 5(sV(s) - 3) = \dfrac{12}{s - 6} - \dfrac{10}{s + 5} \end{cases} \)
Denklemleri düzenleyelim.
\( \begin{cases} (s^2 + 6)V(s) + sX(s) = \dfrac{14s + 120}{s(s + 5)} + 3s + 3 \\ sX(s) + 5sV(s) = \dfrac{2s + 120}{(s - 6)(s + 5)} + 24 \end{cases} \)
\( \begin{cases} (s^2 + 6)V(s) + sX(s) = \dfrac{3s^3 + 18s^2 + 29s + 120}{s(s + 5)} \\ sX(s) + 5sV(s) = \dfrac{24s^2 - 22s - 600}{(s - 6)(s + 5)} \end{cases} \)
Birinci denklemden ikinci denklemi çıkaralım.
\( (s^2 + 6)V(s) - 5sV(s) = \dfrac{3s^3 - 39s^2 + 138s - 144}{s(s - 6)} \)
\( (s^2 - 5s + 6)V(s) = \dfrac{3s^3 - 39s^2 + 138s - 144}{s(s - 6)} \)
\( (s - 2)(s - 3)V(s) = \dfrac{3(s - 2)(s - 3)(s - 8)}{s(s - 6)} \)
\( V(s) = \dfrac{3s - 24}{s(s - 6)} \)
Bu değeri denklem sistemindeki denklemlerden birinde yerine koyduğumuzda \( X(s) \) için aşağıdaki değeri elde ederiz.
\( X(s) = \dfrac{9s + 23}{(s + 5)(s - 6)} \)
Eşitliklerin taraflarına ters Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \begin{cases} \mathcal{L}^{-1}\{ V(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{3s - 24}{s(s - 6)} \right\} \\ \mathcal{L}^{-1}\{ X(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{9s + 23}{(s + 5)(s - 6)} \right\} \end{cases} \)
Eşitliklerin sağ tarafını basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \begin{cases} \mathcal{L}^{-1}\{ V(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{4}{s} - \dfrac{1}{s - 6} \right\} \\ \mathcal{L}^{-1}\{ X(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{2}{s + 5} + \dfrac{7}{s - 6} \right\} \end{cases} \)
Ters Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanalım.
\( \begin{cases} \mathcal{L}^{-1}\{ V(s) \} = 4\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s} \right\} - \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s - 6} \right\} \\ \mathcal{L}^{-1}\{ X(s) \} = 2\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s + 5} \right\} + 7\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s - 6} \right\} \end{cases} \)
Denklem sisteminin çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( \begin{cases} v(t) = 4 - e^{6t} \\ x(t) = 2e^{-5t} + 7e^{6t} \end{cases} \)
\( \begin{cases} z'' - y' = 3 \\ 4z + y' = 5 \\ z(0) = 3, \quad z'(0) = 0, \quad y(1) = -4 \end{cases} \)
denklem sisteminin verilen başlangıç değerleri için çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterLaplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanarak eşitliklerin taraflarına Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \begin{cases} \mathcal{L}\{ z'' \} - \mathcal{L}\{ y' \} = 3\mathcal{L}\{ 1 \} \\ 4\mathcal{L}\{ z \} + \mathcal{L}\{ y' \} = 5\mathcal{L}\{ 1 \} \end{cases} \)
Bilinmeyen fonksiyonların Laplace dönüşümlerini tanımlayalım.
\( \mathcal{L}\{ z \} = Z(s) \)
\( \mathcal{L}\{ y \} = Y(s) \)
Türevin dönüşümü formülünü kullanalım.
\( \mathcal{L}\{ z' \} = sZ(s) - z(0) \)
\( = sZ(s) - 3 \)
\( \mathcal{L}\{ z'' \} = s^2Z(s) - sz(0) - z'(0) \)
\( = s^2Z(s) - 3s \)
\( \mathcal{L}\{ y' \} = sY(s) - y(0) \)
\( y(0) = C \) yazalım.
\( = sY(s) - C \)
\( z, y \) ve türevlerini denklem sisteminde yerine koyalım.
\( \begin{cases} s^2Z(s) - 3s - (sY(s) - C) = \dfrac{3}{s} \\ 4Z(s) + (sY(s) - C) = \dfrac{5}{s} \end{cases} \)
Denklemleri düzenleyelim.
\( \begin{cases} s^2Z(s) - sY(s) = \dfrac{3}{s} + 3s - C \\ 4Z(s) + sY(s) = \dfrac{5}{s} + C \end{cases} \)
İki denklemi taraf tarafa toplayalım.
\( s^2Z(s) + 4Z(s) = \dfrac{3}{s} + 3s + \dfrac{5}{s} \)
\( (s^2 + 4)Z(s) = \dfrac{3s^2 + 8}{s} \)
\( Z(s) = \dfrac{3s^2 + 8}{s(s^2 + 4)} \)
Bu değeri denklem sistemindeki denklemlerden birinde yerine koyduğumuzda \( Y(s) \) için aşağıdaki değeri elde ederiz.
\( Y(s) = \dfrac{Cs^3 - 7s^2 + 4Cs - 12}{s^2(s^2 + 4)} \)
Eşitliklerin taraflarına ters Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \begin{cases} \mathcal{L}^{-1}\{ Z(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{3s^2 + 8}{s(s^2 + 4)} \right\} \\ \mathcal{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{Cs^3 - 7s^2 + 4Cs - 12}{s^2(s^2 + 4)} \right\} \end{cases} \)
Eşitliklerin sağ tarafını basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \begin{cases} \mathcal{L}^{-1}\{ Z(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{2}{s} + \dfrac{s}{s^2 + 4} \right\} \\ \mathcal{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{C}{s} - \dfrac{3}{s^2} - \dfrac{4}{s^2 + 4} \right\} \end{cases} \)
Ters Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanalım.
\( \begin{cases} \mathcal{L}^{-1}\{ Z(s) \} = 2\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s} \right\} + \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{s}{s^2 + 4} \right\} \\ \mathcal{L}^{-1}\{ Y(s) \} = C\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s} \right\} - 3\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s^2} \right\} - 2\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{2}{s^2 + 4} \right\} \end{cases} \)
\( \begin{cases} z(t) = 2 + \cos(2t) \\ y(t) = C - 3t - 2\sin(2t) \end{cases} \)
\( y(1) = -4 \) başlangıç değerini denklemde yerine koyalım.
\( -4 = C - 3 - 2\sin(2) \)
\( C = 2\sin(2) - 1 \)
Denklem sisteminin çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( \begin{cases} z(t) = 2 + \cos(2t) \\ y(t) = 2\sin(2) - 1 - 3t - 2\sin(2t) \end{cases} \)
\( \begin{cases} v' + 3x = 0 \\ 3x' + v + u' = 2t \\ u'' - 6x - 2v = 2 \\ x(0) = 2, \quad u(0) = 0, \quad u'(0) = 0, \quad v(0) = -6 \end{cases} \)
denklem sisteminin verilen başlangıç değerleri için çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterLaplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanarak eşitliklerin taraflarına Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \begin{cases} \mathcal{L}\{ v' \} + 3\mathcal{L}\{ x \} = 0 \\ 3\mathcal{L}\{ x' \} + \mathcal{L}\{ v \} + \mathcal{L}\{ u' \} = 2\mathcal{L}\{ t \} \\ \mathcal{L}\{ u'' \} - 6\mathcal{L}\{ x \} - 2\mathcal{L}\{ v \} = 2\mathcal{L}\{ 1 \} \end{cases} \)
Bilinmeyen fonksiyonların Laplace dönüşümlerini tanımlayalım.
\( \mathcal{L}\{ x \} = X(s) \)
\( \mathcal{L}\{ u \} = U(s) \)
\( \mathcal{L}\{ v \} = V(s) \)
Türevin dönüşümü formülünü kullanalım.
\( \mathcal{L}\{ x' \} = sX(s) - x(0) \)
\( = sX(s) - 2 \)
\( \mathcal{L}\{ u' \} = sU(s) - u(0) \)
\( = sU(s) \)
\( \mathcal{L}\{ u'' \} = s^2U(s) - su(0) - u'(0) \)
\( = s^2U(s) \)
\( \mathcal{L}\{ v' \} = sV(s) - v(0) \)
\( = sV(s) + 6 \)
\( x, u, v \) ve türevlerini denklem sisteminde yerine koyalım.
\( \begin{cases} sV(s) + 6 + 3X(s) = 0 \\ 3(sX(s) - 2) + V(s) + sU(s) = \dfrac{2}{s^2} \\ s^2U(s) - 6X(s) - 2V(s) = \dfrac{2}{s} \end{cases} \)
Denklemleri düzenleyelim.
\( \begin{cases} sV(s) + 3X(s) = -6 \\ 3sX(s) + V(s) + sU(s) = \dfrac{2}{s^2} + 6 \\ s^2U(s) - 6X(s) - 2V(s) = \dfrac{2}{s} \end{cases} \)
Birinci denklemin taraflarını \( -s \) ile çarpıp ikinci denkleme ekleyelim.
\( \begin{cases} sV(s) + 3X(s) = -6 \\ V(s) + sU(s) - s^2V(s) = \dfrac{2}{s^2} + 6 + 6s \\ s^2U(s) - 6X(s) - 2V(s) = \dfrac{2}{s} \end{cases} \)
Birinci denklemde \( 3X(s) \), ikinci denklemde \( sU(s) \) ifadelerini yalnız bırakalım.
\( \begin{cases} 3X(s) = -6 - sV(s) \\ sU(s) = \dfrac{2 + 6s^2 + 6s^3}{s^2} + (s^2 - 1)V(s) \\ s(sU(s)) - 2(3X(s)) - 2V(s) = \dfrac{2}{s} \end{cases} \)
Üçüncü denklemde bu ifadeleri yerine koyalım.
\( s\left( \dfrac{2 + 6s^2 + 6s^3}{s^2} + (s^2 - 1)V(s) \right) - 2(-6 - sV(s)) - 2V(s) = \dfrac{2}{s} \)
\( V(s) \) ifadesini yalnız bırakalım.
\( s(s^2 - 1)V(s) + 2sV(s) - 2V(s) = \dfrac{2}{s} - \dfrac{2 + 6s^2 + 6s^3}{s} - 12 \)
\( (s^3 + s - 2)V(s) = -6s - 6s^2 - 12 \)
\( (s - 1)(s^2 + s + 2)V(s) = -6(s^2 + s + 2) \)
\( V(s) = -\dfrac{6}{s - 1} \)
\( V(s) \) değerini birinci ve ikinci denklemlerde yerine koyduğumuzda aşağıdaki değeri elde ederiz.
\( \begin{cases} X(s) = \dfrac{2}{s - 1} \\ U(s) = \dfrac{2}{s^3} \\ V(s) = -\dfrac{6}{s - 1} \end{cases} \)
Eşitliklerin taraflarına ters Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \begin{cases} \mathcal{L}^{-1}\{ X(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{2}{s - 1} \right\} \\ \mathcal{L}^{-1}\{ U(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{2}{s^3} \right\} \\ \mathcal{L}^{-1}\{ V(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ -\dfrac{6}{s - 1} \right\} \end{cases} \)
Denklem sisteminin çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( \begin{cases} x(t) = 2e^t \\ u(t) = t^2 \\ v(t) = -6e^t \end{cases} \)
\( \begin{cases} v' + 2v - x = -\cos{t} \\ x' + 3v - 2x = 2\sin{t} \\ v(0) = 1, \quad x(0) = 3 \end{cases} \)
denklem sisteminin verilen başlangıç değerleri için çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterLaplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanarak eşitliklerin taraflarına Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \begin{cases} \mathcal{L}\{ v' \} + 2\mathcal{L}\{ v \} - \mathcal{L}\{ x \} = -\mathcal{L}\{ \cos{t} \} \\ \mathcal{L}\{ x' \} + 3\mathcal{L}\{ v \} - 2\mathcal{L}\{ x \} = 2\mathcal{L}\{ \sin{t} \} \end{cases} \)
Bilinmeyen fonksiyonların Laplace dönüşümlerini tanımlayalım.
\( \mathcal{L}\{ v \} = V(s) \)
\( \mathcal{L}\{ x \} = X(s) \)
Türevin dönüşümü formülünü kullanalım.
\( \mathcal{L}\{ v' \} = sV(s) - v(0) \)
\( = sV(s) - 1 \)
\( \mathcal{L}\{ x' \} = sX(s) - x(0) \)
\( = sX(s) - 3 \)
\( v, x \) ve türevlerini denklem sisteminde yerine koyalım.
\( \begin{cases} sV(s) - 1 + 2V(s) - X(s) = -\dfrac{s}{s^2 + 1} \\ sX(s) - 3 + 3V(s) - 2X(s) = \dfrac{2}{s^2 + 1} \end{cases} \)
Denklemleri düzenleyelim.
\( \begin{cases} (s + 2)V(s) - X(s) = \dfrac{s^2 - s + 1}{s^2 + 1} \\ (s - 2)X(s) + 3V(s) = \dfrac{3s^2 + 5}{s^2 + 1} \end{cases} \)
İlk denklemin taraflarını \( s - 2 \) ile çarpalım.
\( \begin{cases} (s + 2)(s - 2)V(s) - (s - 2)X(s) = \dfrac{(s^2 - s + 1)(s - 2)}{s^2 + 1} \\ (s - 2)X(s) + 3V(s) = \dfrac{3s^2 + 5}{s^2 + 1} \end{cases} \)
İki denklemi taraf tarafa toplayalım.
\( (s^2 - 4)V(s) + 3V(s) = \dfrac{(s^2 - s + 1)(s - 2)}{s^2 + 1} + \dfrac{3s^2 + 5}{s^2 + 1} \)
\( (s^2 - 1)V(s) = \dfrac{s^3 + 3s + 3}{s^2 + 1} \)
\( V(s) = \dfrac{s^3 + 3s + 3}{(s - 1)(s + 1)(s^2 + 1)} \)
Bu değeri denklem sistemindeki denklemlerden birinde yerine koyduğumuzda \( X(s) \) için aşağıdaki değeri elde ederiz.
\( X(s) = \dfrac{3s^3 + 3s^2 + 8s + 7}{(s - 1)(s + 1)(s^2 + 1)} \)
Eşitliklerin taraflarına ters Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \begin{cases} \mathcal{L}^{-1}\{ V(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{s^3 + 3s + 3}{(s - 1)(s + 1)(s^2 + 1)} \right\} \\ \mathcal{L}^{-1}\{ X(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{3s^3 + 3s^2 + 8s + 7}{(s - 1)(s + 1)(s^2 + 1)} \right\} \end{cases} \)
Eşitliklerin sağ tarafını basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \begin{cases} \mathcal{L}^{-1}\{ V(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{\frac{7}{4}}{s - 1} + \dfrac{\frac{1}{4}}{s + 1} - \dfrac{s + \frac{3}{2}}{s^2 + 1} \right\} \\ \mathcal{L}^{-1}\{ X(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{\frac{21}{4}}{s - 1} + \dfrac{\frac{1}{4}}{s + 1} - \dfrac{\frac{5}{2}s + 2}{s^2 + 1} \right\} \end{cases} \)
Ters Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanalım.
\( \begin{cases} \mathcal{L}^{-1}\{ V(s) \} = \dfrac{7}{4}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s - 1} \right\} + \dfrac{1}{4}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s + 1} \right\} - \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{s}{s^2 + 1} \right\} - \dfrac{3}{2}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s^2 + 1} \right\} \\ \mathcal{L}^{-1}\{ X(s) \} = \dfrac{21}{4}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s - 1} \right\} + \dfrac{1}{4}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s + 1} \right\} - \dfrac{5}{2}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{s}{s^2 + 1} \right\} - 2\mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s^2 + 1} \right\} \end{cases} \)
Denklem sisteminin çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( \begin{cases} v(t) = \dfrac{7}{4}e^t + \dfrac{1}{4}e^{-t} - \cos{t} - \dfrac{3}{2}\sin{t} \\ x(t) = \dfrac{21}{4}e^t + \dfrac{1}{4}e^{-t} - \dfrac{5}{2}\cos{t} - 2\sin{t} \end{cases} \)
\( \begin{cases} x'' + y = 1 \\ y'' + x = 1 \\ x(0) = 2, \quad x'(0) = 2, \quad y(0) = 0, \quad y'(0) = 0 \end{cases} \)
denklem sisteminin verilen başlangıç değerleri için çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterLaplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanarak eşitliklerin taraflarına Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \begin{cases} \mathcal{L}\{ x'' \} + \mathcal{L}\{ y \} = \mathcal{L}\{ 1 \} \\ \mathcal{L}\{ y'' \} + \mathcal{L}\{ x \} = \mathcal{L}\{ 1 \} \end{cases} \)
Bilinmeyen fonksiyonların Laplace dönüşümlerini tanımlayalım.
\( \mathcal{L}\{ x \} = X(s) \)
\( \mathcal{L}\{ y \} = Y(s) \)
Türevin dönüşümü formülünü kullanalım.
\( \mathcal{L}\{ x'' \} = s^2X(s) - sx(0) - x'(0) \)
\( = s^2X(s) - 2s - 2 \)
\( \mathcal{L}\{ y'' \} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) \)
\( = s^2Y(s) \)
\( x, y \) ve türevlerini denklem sisteminde yerine koyalım.
\( \begin{cases} s^2X(s) - 2s - 2 + Y(s) = \dfrac{1}{s} \\ s^2Y(s) + X(s) = \dfrac{1}{s} \end{cases} \)
İlk denklemin taraflarını \( s^2 \) ile çarpalım.
\( \begin{cases} s^4X(s) - 2s^3 - 2s^2 + s^2Y(s) = s \\ s^2Y(s) + X(s) = \dfrac{1}{s} \end{cases} \)
Birinci denklemden ikinci denklemi çıkaralım.
\( s^4X(s) - 2s^3 - 2s^2 - X(s) = s - \dfrac{1}{s} \)
\( (s^4 - 1)X(s) = \dfrac{s^2 - 1}{s} + 2s^3 + 2s^2 \)
\( (s^4 - 1)X(s) = \dfrac{2s^4 + 2s^3 + s^2 - 1}{s} \)
\( X(s) = \dfrac{2s^3 + s - 1}{s(s - 1)(s^2 + 1)} \)
Bu değeri denklem sistemindeki denklemlerden birinde yerine koyduğumuzda \( Y(s) \) için aşağıdaki değeri elde ederiz.
\( Y(s) = -\dfrac{s + 1}{s(s - 1)(s^2 + 1)} \)
Eşitliklerin taraflarına ters Laplace dönüşümü uygulayalım.
\( \begin{cases} \mathcal{L}^{-1}\{ X(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{2s^3 + s - 1}{s(s - 1)(s^2 + 1)} \right\} \\ \mathcal{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ -\dfrac{s + 1}{s(s - 1)(s^2 + 1)} \right\} \end{cases} \)
Eşitliklerin sağ tarafını basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \begin{cases} \mathcal{L}^{-1}\{ X(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s} + \dfrac{1}{s - 1} + \dfrac{1}{s^2 + 1} \right\} \\ \mathcal{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s - 1} + \dfrac{1}{s^2 + 1} \right\} \end{cases} \)
Ters Laplace dönüşümünün doğrusallık özelliğini kullanalım.
\( \begin{cases} \mathcal{L}^{-1}\{ X(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s} \right\} + \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s - 1} \right\} + \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s^2 + 1} \right\} \\ \mathcal{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s} \right\} - \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s - 1} \right\} + \mathcal{L}^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s^2 + 1} \right\} \end{cases} \)
Denklem sisteminin çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( \begin{cases} x(t) = 1 + e^t + \sin{t} \\ y(t) = 1 - e^t + \sin{t} \end{cases} \)