Prizma

Alt ve üst tabanları özdeş birer çokgen olan ve birbirine paralel iki düzlem üzerinde bulunan, bu iki taban arasındaki tüm paralel kesitleri de tabanlarla özdeş olan ve yan yüzleri düz olan cisme prizma denir.

Tüm prizmaların ortak özellikleri şunlardır:

• Alt ve üst tabanları özdeş birer çokgendir. Dolayısıyla, tabanları daire olan silindir bir prizma değildir.
• Alt ve üst tabanları birbirine paralel iki düzlem üzerinde bulunur. Buna göre, tabanları birbiriyle açı yapan cisimler prizma değildir.
• Alt ve üst tabanları arasındaki tüm paralel kesitleri de tabanlarla özdeştir.
• Yan yüzleri düzdür.
• Tabanları \( n \) kenarlı olan prizmanın \( n \) tane yan yüzü vardır ve bu yan yüzler birer paralelkenardır.

Prizma Tipleri

Prizmalar saydığımız ortak özellikleri dışında iki özelliğe göre farklı şekillerde ve isimlerde olabilirler.

Taban Şekline Göre Prizmalar

Prizmaların tabanları (ve tabanlara paralel olan kesitleri) düzgün olan ya da olmayan herhangi bir çokgen şeklinde olabilir.

• Üçgen tabanlar: Normal üçgen, eşkenar üçgen, ikizkenar üçgen, dik üçgen vb.
• Dörtgen tabanlar: Dikdörtgen, kare, eşkenar dörtgen, yamuk vb.
• Çokgen tabanlar: Beşgen, düzgün altıgen, düzgün sekizgen vb.

Dik ve Eğik Prizmalar

Bir prizmanın alt ve üst tabanlarını birleştiren yan yüzleri tabanlara dik ise bu prizmaya dik prizma denir. Yan yüzler tabanlara dik değilse, bu prizmaya eğik prizma denir. Prizmaların genel özelliği olan alt ve üst tabanların paralelliği, eğik prizmalar için de geçerlidir.

Dik prizmaların tüm yan yüzleri dikdörtgendir. Eğik prizmaların yan yüzlerinin bazıları paralelkenardır.

Hem dik hem de eğik prizmaların yüksekliği, alt ve üst paralel tabanlar arasındaki dik ve en kısa mesafedir.

Prizmaların İsimlendirmesi

Prizmalar tabanlarının şekillerine ve dik/eğik olma durumlarına göre isimlendirilir (dik dikdörtgen prizma, eğik kare prizma, dik ikizkenar üçgen prizma vb.). Eğer bir prizmanın isminde dik ya da eğik olduğu belirtilmemişse, prizmanın dik olduğu varsayılabilir (bu notlarda biz de bu varsayımla ilerleyeceğiz).

Örnek Prizmalar

Prizmalar çok farklı tiplerde olabilse de, en çok karşılaşacağımız prizmalar aşağıdadır. Taban kenarları ile yan yüzlerin ilişkisini daha net göstermek adına, prizmaların açılımları alt taban sabit kalacak şekilde verilmiştir.

Dikdörtgen Prizma

Dikdörtgen prizmanın alt ve üst tabanları özdeş birer dikdörtgendir.

Dikdörtgen prizmanın dört yan yüzü vardır ve karşılıklı yüzler özdeştir.

Kare Prizma

Kare prizmanın alt ve üst tabanları özdeş birer karedir.

Kare prizmanın taban kenarları birbirine eşit, yüksekliği farklıdır. Kare prizmanın dört yan yüzü vardır ve tümü özdeştir.

Küp

Küpün alt ve üst tabanları özdeş birer karedir ve prizmanın yüksekliği tabanın bir kenar uzunluğuna eşittir.

Küpün tüm yüzleri özdeştir.

Üçgen Prizma

Üçgen prizmanın alt ve üst tabanları özdeş birer üçgendir.

Üçgen prizmanın üç yan yüzü vardır ve bu yüzler tabanın kenar uzunluklarına göre özdeş ya da farklı olabilir.

Düzgün Beşgen Prizma

Düzgün beşgen prizmanın alt ve üst tabanları özdeş birer düzgün beşgendir.

Düzgün beşgen prizmanın beş yan yüzü vardır ve kenar uzunlukları eşit olduğu için tümü özdeştir.

Prizmanın Yüzey Alanı

Prizmanın toplam yüzey alanı, taban ve yan yüz (yanal) alanlarının toplamına eşittir. Her prizma tipi için ayrı bir alan formülü vermek yerine, aşağıdaki gibi genel bir formül vermeyi daha doğru buluyoruz.

Bir dik prizmanın yan yüzlerinin tümünün yüksekliği \( h \) olduğu ve yan yüzlerin genişlikler toplamı taban çevresine eşit olduğu için, yüzey alan formülünü aşağıdaki şekilde de yazabiliriz.

Prizmanın yüzey alan hesaplaması açısından önemli bazı noktalar şunlardır:

• Prizmaların her iki tabanının alanları her zaman birbirine eşittir.
• Dik prizmalarda uzunlukları eşit olan taban kenarlarını birleştiren yan yüzlerin alanları birbirine eşittir.
• Buna göre, tabanları eşkenar üçgen, kare, eşkenar dörtgen ya da herhangi bir düzgün çokgen olan dik prizmaların tüm yan yüzlerinin alanları birbirine eşittir.
• Tabanları dikdörtgen ya da paralelkenar olan prizmaların karşılıklı yan yüzlerinin alanları birbirine eşittir.
• Dik prizmaların tüm yan yüzleri dikdörtgendir. Eğik prizmaların yan yüzlerinin bazıları paralelkenardır.

Prizmanın Hacmi

Dik ve eğik prizmaların hacmi, taban alanı ve yüksekliğin çarpımına eşittir. Eğik prizmalarda bahsettiğimiz gibi, hem dik hem de eğik prizmaların yüksekliği alt ve üst tabanlar arasındaki dik ve en kısa mesafedir.

Prizmanın Köşegenleri

Taban Köşegeni

Dörtgenler bölümünde gördüğümüz gibi, taban köşegen uzunluğunu farklı taban tipleri için aşağıdaki formüllerle bulabiliriz.

Cisim Köşegeni

Cisim köşegen uzunluğunu farklı prizma tipleri için aşağıdaki formüllerle bulabiliriz.